精品解析：吉林省长春市第八十七中学2025-2026学年上学期期末复习九年级数学试卷

长春市第87中学2025-2026学年度上学期九年级数学 课题：期末复习4 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 抛物线的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线的顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：C． 2. 二次根式有意义的条件是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数非负． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：C． 3. 学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 蓝色 学生人数 学校决定购买蓝色校服，参考的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计量的选择．学校根据喜欢蓝色校服的学生人数最多做出决定，这符合众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据. 【详解】解：∵喜欢蓝色校服的学生人数为750，远高于其他颜色， ∴这组数据的众数是蓝色， ∴学校参考的统计量是众数. 故选：C． 4. 若点都二次函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴． 故选：A． 5. 2024年11月19日，长春四大滑雪场之一的天定山滑雪场举行了开板首滑仪式，标志着长春市2024-2025新雪季正式开始．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据正弦的定义计算即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, （米）． 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选∶B． 7. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 图象是一条开口向下抛物线 B. 图象与轴没有交点 C. 当时，随增大而增大 D. 图象的顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意； B、， ， 即图象与轴有两个交点， 故此选项不符合题意； C、抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， 故此选项不符合题意； D、， 图象的顶点坐标是， 故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 8. 如图，抛物线与轴交于点，点在轴的正半轴上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，能作辅助线构造全等三角形是解题的关键．先求出，然后设点的坐标为，过点作于点，证得，即可得点的坐标为，代入二次函数解析式即可求解． 【详解】解：令，则， ， 设点的坐标为，过点作于点， 由旋转可得：，， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， 把代入得， 解得，舍去， 点的坐标为， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 是关于x的一元二次方程的解，则.__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程得：，所以， 所以 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 10. 把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m=_____，n=_____． 【答案】 ①. -1 ②. 4 【解析】 【分析】先将常数项移到等号的右边、一次项移到等式左边得x2−2x＝3，再配方得（x−1）2＝4，故可以得出结果． 【详解】∵x2−3＝2x， ∴x2−2x＝3， 则x2−2x＋1＝3＋1，即（x−1）2＝4， ∴m＝−1、n＝4， 故答案为−1、4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．将问题转化为一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线（是常数）与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， 故答案为：． 12. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 13. 如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则点的坐标为，将点的坐标代入二次函数的解析式求解即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵平行于轴，且， ∴点的坐标为， 将点，代入得： ， 解得， 将代入②得：， 所以点的纵坐标为， 故答案为：． 14. 已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②方程的根是；③抛物线上有三点，则；④若，则的取值范围是；其中正确的有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，根据二次函数的对称性求函数值，的最值，根据二次函数图象确定相应方程根的情况等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别求出，，再代入中计算，可判断①； 利用抛物线的对称轴与对称性，求出抛物线与轴的另一个交点，即可判断②； 根据抛物线与轴的交点，根据①求抛物线的解析式，从而可求得三点中的函数值，从而可比较它们的大小，由此可判断③； 根据抛物线与轴的交点，结合的范围、抛物线的顶点坐标，可确定的范围，从而可判断④． 【详解】解：抛物线，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴， 故①正确； ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴方程的根是， 故②正确； ∵抛物线，对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右边，随的增大而增大， ∵抛物线与轴交于点，，点在抛物线上，对称轴为， ∴与都在对称轴的右侧， ∴， ∵点在抛物线上，对称轴为直线， ∴为抛物线的顶点， ∵抛物线的顶点在轴的下方， ∴， ∵点在抛物线上，抛物线与轴交于点， ∴， ∴， 故③错误； 抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为， 当时，的取值范围是， 故④正确， 综上所述，①②④是正确的， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，根据二次函数的对称性求函数值，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂以及零指数的运算法则； （1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂以及零指数进行计算即可求解； （2）根据零指数，特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为、、三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张在同一区域观看比赛的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查知识点是列表法与树状图法、概率公式，解题关键是熟练掌握列表法和树状图法．画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小张在同一区域观看比赛的结果数，再利用概率公式即可得答案． 【详解】画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果共3种， 所以小明和小张在同一区域观看比赛的概率． 17. 如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、． （1）直接写出点、的坐标； （2）求该抛物线对应的函数表达式； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得，抛物线的对称轴为直线．令，得，即点的坐标为，进而可得点的坐标为． （2）利用待定系数法求二次函数的解析式即可． （3）结合图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点、点， 抛物线的对称轴为直线， 令，得， ． 点与点关于抛物线的对称轴对称， ． 【小问2详解】 解：将，代入得， 解得：， ； 【小问3详解】 解：∵，， 由图可得，关于的不等式的解集为． 18. 如图，在一面靠墙的空地上用长32m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为8m，设花圃的宽AB为x（m）． （1）用含x的代数式表示BC的长． （2）若被两道篱笆间隔的每个小矩形花圃的面积是16m2，求AB的长． 【答案】（1）（32﹣4x）m；（2）AB的长是6m． 【解析】 【分析】（1）根据BC的长＝32﹣4AB列出式子即可； （2）根据题意列出方程即可解决问题. 【详解】解：（1）由题意得，BC的长为：（32﹣4x）m． （2）由题意，得x（32﹣4x）＝3×16． 解得x1＝2，x2＝6． 当x＝2时，32﹣4x＝24＞8（不合题意，舍去）， 当x＝6时，32﹣4x＝8． 答：AB的长是6m． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点． （1）在图①中，连结、、，使； （2）在图②中，连结、，使； （3）在图③中，连结，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格在图①中，作，的垂直平分线交于点，即可使； （2）根据网格在图②中，找到格点，连结、，根据平行线的性质和四边形内角和定理可得； （3）根据网格在图③中，连结，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得． 【小问1详解】 解：如图①，点即为所求； 点在，的垂直平分线上， ； 【小问2详解】 如图②，点或点即为所求； 由网格可知：， 由网格可知：，， ； ； 【小问3详解】 如图③，点即为所求； 由网格可知：， ， 由网格可知：，，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，四边形内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的判定与性质． 20. 某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． （1）大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下： ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； （2）个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 【答案】（1）①；；② （2）乙； 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）①根据频数分布表即可解决问题； ②根据平均数的定义即可判断； （2）根据题意得，根据平均数相同，方差越小，排名越靠前即可解决问题． 【小问1详解】 解：①由题意， 共有名家长评委给每位选手打分， 家长评委打分的中位数为第个和第个数据的平均数， ∴中位数 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为 平均数为： ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得：， ∵为整数，则或 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙 故答案为：乙；． 21. 图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）在点处建有垂直于地面的防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙． 【答案】（1） （2）石块能飞越防御墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案； （2）把代入函数解析式，求得y的值，与10作比较即可得解． 【小问1详解】 解：当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米， 抛物线顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 点的坐标为， ， 解得： 抛物线的表达式为 【小问2详解】 当 时，，即石块能飞越防御墙 22. 【教材呈现】如表是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 如图，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在四边形中，，，点P、M、N分别是、、中点，连接、、．若，则的大小为______． （2）如图③，在中，点D在上，且，点M、N分别是、的中点，连接并延长，交延长线于点E，则与的数量关系为_____． 【答案】定理证明:见解析；结论应用（1）；（2）． 【解析】 【分析】定理证明：由中点性质得到，根据，推出，据此即可证明结论成立； 结论应用：（1）根据的结论推出，，，，然后根据平行线的性质，等腰三角形的性质求出结果即可； （2）取的中点P，连接、，根据结论得出：，，，，根据平行线的性质，求出结果即可． 【详解】解：定理证明： ∵点D、E分别是与的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，且； 结论应用：（1）∵点P、M分别是、的中点， ∴，， 同理可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：25； （2）取的中点P，连接、，如图所示： ∵点P、M分别是、的中点， ∴，， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定和性质、中位线的性质等知识，正确作出辅助线利用中位线性质求解是解题的关键． 23. 如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，(点不与点、重合)，连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧． （1）当时，求的长； （2）当时，点到直线的距离为_____________； （3）当点落在边上时，求正方形的边长； （4）若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为_____________． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据菱形的面积底边高可计算高的长，由勾股定理可得的长； （2）根据等面积法即可解答； （3）如图2，证明，列比例式得：：：：，如图，过点作于，设，，，根据列方程即可解答； （4）分两种情况：①当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则，根据列方程即可解答；②当，在的两侧时，如图，同理可解答． 【小问1详解】 解：如图1，， 菱形的边长为，面积为， ， ， 由勾股定理得： 【小问2详解】 如图2，过点作于，过点作于， 由（1）可得：， ，， ， 即点到直线的距离为 故答案为：． 【小问3详解】 如图2，，， ， ， 即：：：：， 如图，过点作于， 设，，， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 即正方形的边长为 【小问4详解】 分两种情况： ①当，在的同侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，则， 由（3）知：设，，， ， 点到直线的距离是点到直线距离的倍， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②当，在的两侧时，如图，过点作于，过点作于，过点作于，设与交于点， 同理设，，， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，正确作辅助线构建直角三角形是解本题的关键，并运用分类讨论的思想解决问题． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线．点是抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，连结，过点作，过点作轴，与交于点，以为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时． ①求此抛物线在内部（含边上）的最高点与最低点纵坐标之差； ②求的值； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是直线，求得，即可求解； （2）①根据题意分别求得的坐标，根据函数图象确定最高点和最低点的坐标，即可求解； ②根据勾股定理求得点的坐标，进而求得的长，根据正切的定义，即可求解； （3）分点分别在对称轴的左侧两种情况分析，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线（是常数）的对称轴是直线． ∴， 解得 ∴该抛物线对应的函数表达式为 【小问2详解】 解：①如图， 当时． 点横坐标分别为 当时， 当时， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，， ∴当时，取得最小值为 当时，取得最大值为 ∴抛物线在内部（含边上）的最高点与最低点纵坐标之差为 ②设， ∴，， ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵点是抛物线上不重合两点，横坐标分别为， 当，即时，点在点重合， 当点在点左侧时； ①当点落在顶点上时， 解得 ②当经过顶点时，如图， 过作，过抛物线顶点作于点， 则， ∴， ，， ，， ∴， 整理得，， 解得：，， ； 当点在点A右侧时， ①当落在顶点时，； ②当经过顶点时，如图， 同理， ，，， 解得：或 ∴ 综上所述，当此抛物线在内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第87中学2025-2026学年度上学期九年级数学 课题：期末复习4 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 抛物线顶点坐标是( ) A. B. C. D. 2. 二次根式有意义的条件是（） A B. C. D. 3. 学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 蓝色 学生人数 学校决定购买蓝色校服，参考的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 若点都在二次函数图象上，则（ ） A. B. C. D. 5. 2024年11月19日，长春四大滑雪场之一的天定山滑雪场举行了开板首滑仪式，标志着长春市2024-2025新雪季正式开始．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 下列关于二次函数的说法正确的是( ) A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 图象与轴没有交点 C. 当时，随增大而增大 D. 图象的顶点坐标是 8. 如图，抛物线与轴交于点，点在轴的正半轴上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在抛物线上，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 是关于x的一元二次方程的解，则.__________． 10. 把方程x2﹣3=2x用配方法化为（x+m）2=n的形式，则m=_____，n=_____． 11. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是_____________． 12. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 13. 如图，抛物线与平行于轴的直线交于，两点．若，则点的纵坐标为______． 14. 已知抛物线的部分图象如图所示，以下结论：①；②方程的根是；③抛物线上有三点，则；④若，则的取值范围是；其中正确的有______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1） （2）． 16. 2025年全明星篮球赛时隔24年将再次落户长春．小明和小张是篮球运动的爱好者，他们相约一起去现场观赛，现场的普通观赛区分为、、三个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．如果小明和小张都购买普通观赛区的门票，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小张在同一区域观看比赛的概率． 17. 如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、． （1）直接写出点、的坐标； （2）求该抛物线对应的函数表达式； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 18. 如图，在一面靠墙的空地上用长32m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃，墙的最大可用长度为8m，设花圃的宽AB为x（m）． （1）用含x的代数式表示BC的长． （2）若被两道篱笆间隔的每个小矩形花圃的面积是16m2，求AB的长． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求找格点． （1）在图①中，连结、、，使； （2）在图②中，连结、，使； （3）在图③中，连结，使． 20. 某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． （1）大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下： ．家长评委打分频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； （2）个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 21. 图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）在点处建有垂直于地面防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙． 22. 【教材呈现】如表是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． 如图，在中，点D、E分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【定理证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在四边形中，，，点P、M、N分别是、、中点，连接、、．若，则的大小为______． （2）如图③，在中，点D在上，且，点M、N分别是、中点，连接并延长，交延长线于点E，则与的数量关系为_____． 23. 如图，菱形的边长为，面积为，点是边上的一点，(点不与点、重合)，连结，在线段上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线的同侧． （1）当时，求的长； （2）当时，点到直线的距离为_____________； （3）当点落在边上时，求正方形的边长； （4）若点到直线的距离是点到直线距离的2倍，则的长为_____________． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）的对称轴是直线．点是抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，连结，过点作，过点作轴，与交于点，以为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时． ①求此抛物线在内部（含边上）的最高点与最低点纵坐标之差； ②求的值； （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $