专题01 方程与等式重难点题型专训（3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 方程与等式重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 判断是否是方程的解 题型三 列方程 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 等式的性质 拓展训练一 利用等式的性质解方程 拓展训练二 与方程有关的规律问题 拓展训练三 根据等式的性质判断变形是否正确 知识点一：方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）关于x的方程是一元一次方程，则 ． 知识点二：方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 【即时训练】 1．（2025·陕西渭南·模拟预测）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，下表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是 ． 0 1 2 5 3 1 知识点三： 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）已知，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）由得，这种变形属于 ，其依据是 ． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列式子中，方程的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）下列四个式子，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）方程：含有 的等式叫做方程． 3．（24-25七年级·福建福州·单元测试）已知等式 是关于x的一元一次方程，则m= ． 4．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【经典例题二 判断是否是方程的解】 【例2】（2025七年级上·浙江·模拟预测）下列一元一次方程的解是的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·天津·期中）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知方程，则在，，中， 是方程的解． 3．（24-25七年级上·河南信阳·期中）已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是 ． 4．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【经典例题三 列方程】 【例3】（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程 ． 4．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）根据下列条件，列出方程． （1）x的倒数减去-5的差为9； （2）5与x的差的绝对值等于4的平方； （3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40； （4）y减去13的差的一半为x的． 【经典例题四 已知方程的解，求参数】 【例4】（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 1．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）如下表，整式的值随的取值变化而变化，则关于的方程的解是(   ) 0 1 2 2 A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）如果关于的方程的解比方程的解小6，那么 ． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）我们规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则 ． （2）已知关于的一元一次方程：和都是“差解方程”，则代数式 ． 4．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项，得到的一元一次方程的解为． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 【经典例题五 等式的性质】 【例5】（24-25七年级上·吉林·期中）若等式□成立，则“□”内的数字是（   ） A．4 B． C．2 D． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，则的值是(    ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）由等式可得 ，这是根据等式性质 ，在等式两边同时 ． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）我们知道，，反过来，，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下： 设① 则② 把等式②的两边分别减去①的两边得，即 解这个方程，得 所以． (1)在以上解答过程中，由①得到②，根据的理由是：____________； (2)类比小明的解答方法，将无限循环小数写成分数的形式； (3)计算：． 【拓展训练一 利用等式的性质解方程】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) 2．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 【拓展训练二 与方程有关的规律问题】 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）一列方程如下：的解是x＝2；的解是x=3；的解是x=4，……，根据观察得到的规律，写出其中解是x=5的方程： 3．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： …… (1)根据上述规律，写出第六个等式为 ． (2)请写出第个等式，并利用整式的乘除说明你写出的等式成立． 【拓展训练三 根据等式的性质判断变形是否正确】 1．（24-25七年级上·江西南昌·单元测试）是否可以由方程10x+3=5x﹣7经过变形得到方程4x=﹣8？若能，请说明是怎样变形的，依据是什么？若不能，请说明理由． 2．（2025七年级上·浙江·模拟预测）下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 3．（2025七年级上·湖南长沙·模拟预测）判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 1．（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）若2是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的数为（   ） 3 … A．3 B． C．2 D． 4．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川·阶段练习）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）关于x的方程的解是3，则a的值为 ． 7．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 9．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 10．（2025·黑龙江·模拟预测）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 11．（2025七年级上·浙江·模拟预测）利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）已知是关于的方程的解，求的值． 13．（2025七年级上·浙江·模拟预测）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 14．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 15．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 方程与等式重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 判断是否是方程的解 题型三 列方程 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 等式的性质 拓展训练一 利用等式的性质解方程 拓展训练二 与方程有关的规律问题 拓展训练三 根据等式的性质判断变形是否正确 知识点一：方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川南充·期中）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义即含有一个未知数且未知数的指数为1的整式方程，判断即可． 本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，最高次数为2，不是1，不符合题意； B. ，不是整式方程，不符合题意；     C. ，是一元一次方程，符合题意； D. ，未知数的个数为2个，不是一个，不是一元一次方程，不符合题意；     故选：C． 2．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值， 根据一元一次方程的定义列出，，即可求出m的值．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 知识点二：方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 【即时训练】 1．（2025·陕西渭南·模拟预测）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值． 将代入关于的一元二次方程，得到，解方程即可． 【详解】解根据题意，将代入， ， ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，下表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是 ． 0 1 2 5 3 1 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，通过观察找出变形后的方程的表中对应值是解题的关键． 首先将方程变形为，观察表格可知，当时，，即可得出方程的解． 【详解】解：∵方程可以变形为， 而由表格中的对应值可知，当时，， ∴是方程的解， 故答案为：． 知识点三： 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）已知，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍成立，等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、在等式的两边同时加上2，等式仍成立，即，故本选项不符合题意； B、在等式的两边同时减去b，等式仍成立，即，故本选项不符合题意； C、在等式的两边同时减去2，等式仍成立，即，故本选项不符合题意； D、当，得不到，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北襄阳·阶段练习）由得，这种变形属于 ，其依据是 ． 【答案】 移项 等式的基本性质 【分析】一元一次方程中的移项是将含有未知数的移动到等号的左边，不含未知数的项移动到等号右边，根据等式的性质，移项要变号． 【详解】解：由得，这种变形属于移项，其依据是等式的基本性质， 故答案为：移项；等式的基本性质． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列式子中，方程的个数是（    ）． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 【详解】解：方程为：②③④，有个， 故选B． 1．（24-25七年级上·福建厦门·期中）下列四个式子，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此即可判断． 【详解】解：A、是等式不是方程，故此选项不符合题意； B、是代数式，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、是一元一次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念．一元一次方程的未知数的指数为1． 2．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）方程：含有 的等式叫做方程． 【答案】未知数 【详解】含有未知数的等式叫做方程. 根据方程的定义可知答案为：未知数. 3．（24-25七年级·福建福州·单元测试）已知等式 是关于x的一元一次方程，则m= ． 【答案】-1 【详解】试题分析：只含有一个未知数，且所含未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程. 由题意得，. 考点：一元一次方程的定义 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元一次方程的定义，即可完成. 4．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】本题考查了方程的解，判断方程的解是将的的值代入方程中进行计算，看左边是否与右边相等，若方程则是方程的根，反之就不是方程的根． （1）分别把，代入方程中进行计算求解； （2）分别把，代入方程中进行计算求解． 【详解】（1）解：当时，左边，右边，左边右边， 不是原方程的解； 当时，左边，右边，左边右边， 不是原方程的解； （2）解：当时，左边； 右边，左边右边， 不是原方程的解； 当时，左边，右边， 左边右边， 是原方程的解． 【经典例题二 判断是否是方程的解】 【例2】（2025七年级上·浙江·模拟预测）下列一元一次方程的解是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程是解题关键． 根据解一元一次方程的方法，分别解每个方程，得到每个方程的解，再来与比较求解． 【详解】解：A．，解得，故此项错误； B．，解得，故此项错误； C．，解得，故此项正确； D．，解得，故此项错误． 故选：C． 1．（24-25七年级上·天津·期中）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，代数式的值的等知识，先根据方程的解的定义求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 化简得， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知方程，则在，，中， 是方程的解． 【答案】，， 【分析】本题考查了方程的解，将，，分别代入原方程的左边，验证是否等于右边，即可求解． 【详解】解：将代入方程，，等式成立，因此是方程的解． 将代入方程，得到，等式同样成立，故也是方程的解． 将代入方程，得到，等式成立，所以同样是方程的解． 故答案为：，，． 3．（24-25七年级上·河南信阳·期中）已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是（由得出）．则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，读懂解题干中特定形式的方程的方法是解题关键． 参照已知方程的形式，将方程变形为，由此即可求解． 【详解】解：可变形为， 由题意可得， 解得． 故答案为：． 4．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 【经典例题三 列方程】 【例3】（24-25七年级上·河北保定·阶段练习）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：由题意列方程得 ． 故选：D 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【答案】A 【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案． 【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 2．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这个班学生共有人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的增加了组，根据此列方程即可． 【详解】解：设这个班学生共有人， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，第一个乘数可以表示为，积可以表示为，由此列出方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 4．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）根据下列条件，列出方程． （1）x的倒数减去-5的差为9； （2）5与x的差的绝对值等于4的平方； （3）长方形的长与宽分别为16、x，周长为40； （4）y减去13的差的一半为x的． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）表示出x的倒数，再表示出这个倒数与-5差等于9，即可得方程； （2）表示出5与x差，根据差的绝对值等于4的平方，即可得方程； （3）根据长方形周长公式即可得方程； （4）表示出y与13差，再表示出这个差的一半，以及x的，即可得方程． 【详解】（1）根据题意，得：， 故答案为：； （2）根据题意，得：， 故答案为：； （3）根据题意，得：， 故答案为：； （4）根据题意，得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出方程，建立方程要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的相等关系关系． 【经典例题四 已知方程的解，求参数】 【例4】（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程．把代入即可得出关于a的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得． 故选：B． 1．（24-25七年级上·江西南昌·阶段练习）如下表，整式的值随的取值变化而变化，则关于的方程的解是(   ) 0 1 2 2 A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，由表格可知当时，；时，，即可求出、的值，代入方程即可求出方程的解． 【详解】解：由表格可知当时，；时，， ， ， 代入得， ， 解得， 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）如果关于的方程的解比方程的解小6，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先解方程可得再根据题意可得的解为，再进一步求解即可． 【详解】解： ， 解得：， 关于的方程的解比方程的解小6， ∴是方程的解， ， 去分母得：， 解得：； 故答案为： 3．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）我们规定关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则 ． （2）已知关于的一元一次方程：和都是“差解方程”，则代数式 ． 【答案】 【分析】（）根据“差解方程”的概念及计算方法，解方程的方法的综合运用即可求解； （）根据“差解方程”的概念及计算方法，分别求出，，代入式子计算即可； 本题主要考查了定义新运算，解方程的综合，理解“差解方程”的概念及计算方法，掌握解方程，整式的混合运算是解题的关键． 【详解】解：（）由“差解方程”定义可知：， ∴， 解得：， 故答案为：； （）∵和都是“差解方程”， ∴由“差解方程”定义可知：，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项，得到的一元一次方程的解为． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)在移项的过程中要注意变号（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）将错就错，按照题干错误方式去分母后，把代入，求出的值； （2）把的值代入方程，按照解方程的步骤进行求解即可； （3）根据解方程的步骤提出注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意，去分母，得：， 把代入，得：， 解得：； （2）解：把代入原方程，得：， 去分母，得：， 移项，合并得：； （3）解：在移项的过程中要注意变号（答案不唯一）． 【经典例题五 等式的性质】 【例5】（24-25七年级上·吉林·期中）若等式□成立，则“□”内的数字是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：□， 故□， 故选D． 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的性质进行计算即可． 【详解】解：将原式两边同时减去可得：， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 2．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）由等式可得 ，这是根据等式性质 ，在等式两边同时 ． 【答案】 x 1 减x 【分析】根据等式性质解答即可． 【详解】解：由等式可得 ， 这是根据等式性质1，在等式两边同时减x． 故答案为：x；1； 减x． 【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍是等式是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，即可得到答案． 【详解】解：设第三行与第二列交点的数为,根据九宫图的填法， ∴， 解得：； 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数加减法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键． 4．（24-25七年级上·福建福州·期中）我们知道，，反过来，，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下： 设① 则② 把等式②的两边分别减去①的两边得，即 解这个方程，得 所以． (1)在以上解答过程中，由①得到②，根据的理由是：____________； (2)类比小明的解答方法，将无限循环小数写成分数的形式； (3)计算：． 【答案】(1)等式的性质 (2)； (3)； 【分析】本题考查了一元一次方程的其他实际应用问题，等式的性质，掌握题目中的转化方法、解一元一次方程的方法是解题的关键： （1）根据等式的性质求解即可解答； （2）仿照题目中的方法列方程求解即可得到答案； （3）仿照题目中的方法令，则，两式相减即可解答． 【详解】（1）解：由①得到②等式两边乘以了， 故答案为：等式的性质； （2）解：由题意可得， 设， 则， 得， ， 解得： ， ∴； （3）解：设， 则 两式相减得， ， ∴． 【拓展训练一 利用等式的性质解方程】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了学生依据等式的性质，以及比例基本性质解方程的能力． （1）方程的两边同时乘上，然后再同时除以即可得到未知数的值． （2）运用比例的基本性质，把比例转化成方程，然后方程的两边同时除以即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 2．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是方程的解法，等式的基本性质的应用； （1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去7，再同时减去，最后同时除以2即可； （2）先按照比例的基本性质变为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时乘以3，再同时减去2即可； （3）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去60，再在方程两边同时减去，最后在方程两边同时除以即可； （4）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可． 【详解】（1）解：， 化简，得， 两边同时减去7，得， 即， 两边同时减去，得， 即， 两边同时除以2，得， 即； （2）解：， ∴， 即， 两边同时乘3，得， 即， 两边同时减去2，得， 即； （3）解： 化简，得， 两边同时减去60，得， 即， 两边同时减去，得 即， 两边同时除以，得， 即； （4）解：， 两边同时乘以6，得， 化简，得， 两边同时加上12，得， 两边同时减去x，得， 两边同时除以5，得． 3．（24-25七年级上·山东威海·期中）计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 【答案】(1)③④①② (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程的步骤：“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤结合各依据填空即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：解：原方程化为③， 去分母，得 ②， 去括号，得④， 移项，得①， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得②． 故答案为：③④①②； （2）解：原方程化为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 把未知数x的系数化为1，得：． 【拓展训练二 与方程有关的规律问题】 1．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第个方程和方程的解，列出关于的方程，求出，从而求出即可．解题关键是根据已知条件找出规律． 【详解】解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为：， 方程的解为：， ∵第n个方程的解为， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）一列方程如下：的解是x＝2；的解是x=3；的解是x=4，……，根据观察得到的规律，写出其中解是x=5的方程： 【答案】 【分析】根据观察找到题目中的规律：式子中，第一个分子是x，分母是解得二倍，第二个分子是x减去比解小1的数，分母是2，即可得到答案. 【详解】解：根据题意， ∵的解是x＝2； 的解是x=3； 的解是x=4， ……， ∴的解是x=5； 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．解题的关键是正确找到题目中的规律. 3．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： …… (1)根据上述规律，写出第六个等式为 ． (2)请写出第个等式，并利用整式的乘除说明你写出的等式成立． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算、数字的变化特点，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子． （1）根据题目中给出的式子的特点，可以写出第六个等式； （2）根据题目中式子的特点，写出第个等式，然后通过计算说明成立即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 第六个等式为：， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 第个等式为：， 理由：设， 则， ， ， ， 即成立． 【拓展训练三 根据等式的性质判断变形是否正确】 1．（24-25七年级上·江西南昌·单元测试）是否可以由方程10x+3=5x﹣7经过变形得到方程4x=﹣8？若能，请说明是怎样变形的，依据是什么？若不能，请说明理由． 【答案】能 【分析】可先将方程变形为5x=-10，然后方程两边同时乘以即可变形为4x=-8． 【详解】能，10x+3=5x﹣7 方程两边同时减5x得：5x+3=﹣7．（等式性质1） 方程两边同时减3得：5x=﹣10．（等式性质1） 方程两边同时乘以得：4x=﹣8．（等式性质2） 【点睛】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 2．（2025七年级上·浙江·模拟预测）下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由，得． (2)由，得． (3)由，得． (4)由，得． 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)不正确，理由见解析 (3)不正确，理由见解析 (4)不正确，理由见解析 【分析】（1）根据左边减3，右边加3，可得变形不正确； （2）根据左边除以7，右边乘，可得变形不正确； （3）根据左边乘2，右边加2，可得变形不正确； （4）根据左边加x减3，右边减x减3，可得变形不正确． 【详解】（1）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵方程左边减3，右边加3， ∴变形不正确； （2）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边除以7，右边乘， ∴变形不正确； （3）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边乘2，右边加2， ∴变形不正确； （4）解：由，得，不是，故原变形不正确， ∵左边加x减3，右边减x减3， ∴变形不正确． 【点睛】本题考查了等式的性质，等式的两边不是都加或都减同一个数，左右大小关系发生了变化，等式的两边不是都乘或都除同一个数（不为0），左右大小关系发生了变化． 3．（2025七年级上·湖南长沙·模拟预测）判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质1逐项验证即可得到答案； （2）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （3）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （4）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案． 【详解】（1）解：正确． 等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1； （2）解：正确． 等式两边都除以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2； （3）解：正确． 等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2； （4）解：正确． 由知，等式两边都乘以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2． 1．（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，由，等式两边同时除以，得；当时，等式两边同时除以无意义，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得到，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时乘以，得，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得，该选项等式变形正确； 故选：． 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）若2是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入方程，再解关于 的一元一次方程即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵2是关于的方程的解， ∴，解得 故选：C. 3．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2025个格子中的数为（   ） 3 … A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类规律，解决本题的关键是找出等量关系，列出方程，求出a、b、c的值．根据表格中的任意三个相邻格子中所填整数之和都相等列出方程，求出a、b、c的值，再找出规律即可求解． 【详解】解：根据题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴格子中的数字为：、3、、、3、 ∴格子中的数为3个数一个循环， ∴， ∴第2025个格子中的数为：． 故选：B． 4．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，熟知方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得， ， ∴， 故选：． 5．（25-26七年级上·四川·阶段练习）下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）关于x的方程的解是3，则a的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查根据方程的解求参数的值，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：4． 7．（24-25七年级上·江西南昌·课后作业）（1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质． 根据等式的性质求解即可． 【详解】解：（1）如果，那么； （2）如果，那么． 故答案为：，． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．设左盘中物体的质量等于，根据题意列方程并解得x的值即可． 【详解】解：设左盘中物体的质量等于， 由题意得， 解得：， 即左盘中物体的质量等于， 故答案为：． 9．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 10．（2025·黑龙江·模拟预测）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】47 【分析】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．将代入方程得出，然后将代入变形后的代数式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：47 11．（2025七年级上·浙江·模拟预测）利用等式的基本性质解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】 本题考查利用等式的基本性质解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．利用等式的基本性质解各个方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6） 解： ． 12．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）已知是关于的方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于m的方程，求得m的值，然后代入代数式即可求解，熟练掌握方程的解的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵是的解， ∴将代入方程得，， ∴． 13．（2025七年级上·浙江·模拟预测）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【答案】(1)第一步的依据是：等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力． （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴根据等式的性质1，两边都加上， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以x，等式不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 14．（24-25七年级上·陕西汉中·阶段练习）已知方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)若关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义． （1）根据一元一次方程的定义，得到，求解即可； （2）由（1）知，即，求出x，取x的倒数代入即可求解a的值． 【详解】（1）解：方程是关于的一元一次方程， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，原方程为， 解得． 方程的解与关于的一元一次方程的解互为倒数， 关于的一元一次方程的解为， 将，代入方程中，得， 解得． 15．（2025七年级上·江西南昌·模拟预测）根据下列问题，设未知数并列出方程： (1)某校女生占全体学生数的52，比男生多80人，这所学校有多少名学生？ (2)如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程，找到等量关系是本题关键． （1）根据全校人数女生人数，女生人数—男生人数＝80建立等量关系即可； （2）根据扩大部分面积为5x，通过原来面积加上扩大部分面积等于现在总面积可建立等量关系． 【详解】（1）设这所学校的学生数为，那么女生数为， 男生数为． 根据“女生比男生多80人”， 列得方程． （2）设正方形绿地的边长为m， 扩大部分面积为：5x 那么扩大后的绿地面积为． 根据“扩大后的绿地面积是”． 列得方程． 学科网（北京）股份有限公司 $