期末复习专题11 角的比较与运算（4知识点+7大题型+思维导图+过关检测） 2025-2026学年人教版七年级数学上册期末备考（知识梳理+题型精讲）

期末复习专题11 角的比较与运算 （4知识点+7大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 角的比较】 2 【题型2 三角板中角度计算】 5 【题型3 几何图形中角度计算问题】 8 【题型4 角度的四则运算】 11 【题型5 实际问题中角度计算问题】 13 【题型6 角平分线的有关计算】 18 【题型7 角n等分线的有关计算】 22 【知识点1 角的比较】 角的大小由角的两边张开的程度决定，与边的长短无关。常用的比较方法有两种： 1. 度量法 工具：量角器 步骤：用量角器分别测量出两个角的度数。 比较两个度数的大小，度数大的角就大。 例：∠1=55°，∠B=40°，则 ∠1>∠2 2. 叠合法 操作前提：将两个角的顶点及一条边重合 步骤：把两个角的顶点重合，把两个角的一条边重合，观察两个角的另一条边的位置： 若另一边也重合 → 两角相等（∠1=∠2） 若另一边在内部 → 则此角小（如∠1的另一边在∠2内部 → ∠1<∠2） 若另一边在外部 → 则此角大（如∠1的另一边在∠2外部 → ∠1>∠2） 【知识点2 借助三角板中的角画角】 借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？ 列表总结： 【知识点3 角的和差运算】 1. 角的和 若一个角的度数等于另外两个角的度数之和，这个角就是那两个角的和。 图形表示：两个角共用一条边，且非公共边在公共边两侧，拼成一个大角。 例：如图， ∠AOB=∠AOC+∠BOC 2. 角的差 若一个角的度数等于另外两个角的度数之差，这个角就是那两个角的差。 图形表示：一个小角在一个大角的内部，除去小角剩下的部分就是两角的差。 例：如上图， ∠AOC=∠AOB−∠BOC 【知识点4 角的平分线】 1. 定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 2.教师总结： 3. 拓展 类似地，如图，OB，OC是∠AOD内的两条射线，当存在下列关系时，OB，OC是∠AOD的三等分线. ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝3 (1) ∠AOD （或∠AOD＝3 ∠AOB ＝3 ∠BOC ＝3 ∠COD ） . 【题型1 角的比较】 【典例】．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查两个角的大小的比较，根据射线在的内部，可知在的内部，且有一条公共边，进而即可判断求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴在的内部，且有一条公共边， ∴， 故选：． 【跟随训练1】．比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，若，则　　 A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D． 【答案】A 【分析】此题考查利用重合的方法比较两个角的大小，注意两个重合：顶点和一边；一个同侧：两个角的另一条边再重合边的同侧．如果两个角的顶点重合，且有一边重合，两角的另一边均落在重合边的同旁：如果这两边也重合，说明两角相等；如果两边不重合，另一条边在里面的小，在外面的大；由此方法解答即可． 【详解】解：比较与时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，若，如图： 则落在的内部． 故选：A． 【跟随训练2】．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了角的和差和网格的特征等知识，求出是关键．根据网格的特征和角的和差解答即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 由图可知，， ∴ 故选：B 【跟随训练3】．用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ 　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的比较，熟练掌握叠合法比较角的大小是解题的关键，根据角的大小比较即可得到结论． 【详解】解：如图， ∴， 故选：A. 【题型2 三角板中角度计算】 【典例】．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角板有关的计算问题，根据题意，得，则，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 【跟随训练1】．将一副三角尺按下列不同位置摆放，满足的有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角尺的角度计算，关键是找到角的和差的关系． 【详解】解：①， ②∵， ∴， ③∵是同一个角的余角， ∴， ④， ∴②③满足； 故选：D． 【跟随训练2】．（1）如图（1）若，则___________；若，则___________； （2）如图（2）若，则___________； 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，三角板中的角度计算． （1）根据可求得，根据可求得； （2）根据计算可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【跟随训练3】．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______； (2)将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则______； (4)上述三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，观察三角板边的运动情况．若绕点O按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，绕点O运动时间为______秒，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键． （1）根据，，即可求得和的度数； （2）根据题意，利用，即可解答； （3）表示出，，作差即可； （4）分类讨论，即当绕点O顺时针旋转时或当绕点O逆时针旋转时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：；； （2）解：在图2中，， ， 故答案为：； （3）解：在图3中，， ， ， 故答案为：； （4）解：或，理由如下： 如图， ， 当恰好为的平分线时，， ， 当绕点O顺时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 当绕点O逆时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 故答案为：或． 【题型3 几何图形中角度计算问题】 【典例】．如图，点、、在同一条直线上，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．由角平分线，得出，代入数据即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， 故选：B． 【跟随训练1】．在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键，根据题意分两种情况分类讨论：在内部或外部，分别计算的度数． 【详解】解：①当在内部时， ∵， ∴， ②当在外部时， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故选：C． 【跟随训练2】．如图，平分，C为内部一点，连接，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差计算． 根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ . 故答案为：． 【跟随训练3】．已知内部有三条射线，其中，平分，平分． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)若将题中的“平分”的条件改为“，”，且，用含的式子表示的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的和差运算与角平分线（或角的比例关系）的性质，熟练掌握“将所求角转化为已知角的和差，结合角的平分（或比例）关系进行推导”是解题的关键． （1）先由角的和差求，再结合角平分线的性质分别求、，最后求和得； （2）利用角平分线的性质，将转化为的一半，用表示； （3）结合新的角的比例关系，将转化为的，用表示． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 同理，， ∴（）； （3）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 角度的四则运算】 【典例】．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． （1）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （2）根据度分秒的乘法和加法法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解：． 【跟随训练1】．计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算． （1）根据题意用度、分、秒分别相减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位不够减，需要向上一级单位借1，即可求解； （2）由题意先算乘除，再算加减，注意度、分、秒之间的进制都是60进制，小单位满60需要向上一级单位进1，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【跟随训练2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【跟随训练3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5 实际问题中角度计算问题】 【典例】．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 【跟随训练1】．将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算等知识．由题意得，根据，即可求出． 【详解】解：如图， 由题意得， 因为， 所以． 故选：B 【跟随训练2】．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 【跟随训练3】．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 【题型6 角平分线的有关计算】 【典例】．如图，已知射线分别平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角的和差关系求出的度数，角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差关系即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【跟随训练1】．如图，点O是直线上一点，射线分别平分．若，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合射线分别平分，则，又因为，故，根据，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵射线分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟随训练2】．如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，注意整体思想应用． （1）先根据，，求出，再根据角平分线定义得出，，从而求出，最后求出结果即可； （2）先根据，，求出，再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴ ； （2）解：由条件可知 ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 【跟随训练3】．【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是 ，的大小是 ； ②直接写出的值． (2)再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 【分析】本题考查角度和差，与角平分线有关的角度计算； （1）①由，得到，，再结合，求出和，接着根据角平分线求出和，最后根据计算即可； ②把①中的角度代入计算即可． （2）设，表示出和，再根据角平分线求出和，根据求出，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，； ②． 即的值是． （2）证明：设， ∴，， ∵平分， ∴； 又∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴一般情形，如图1，（1）中②的结论仍然成立． 【题型7 角n等分线的有关计算】 【典例】．，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将均分为四份，根据图形可得是其中的3份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故选：C． 【跟随训练1】．一个角的七等分线将角分成7个相等的小角，若一个小角为，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的等分线的有关计算．角的七等分线将角分成个相等的小角，每个小角，因此总角度为． 【详解】解：角被七等分，每个小角为， 总角度． 故选：C． 【跟随训练2】．（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【跟随训练3】．（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 【答案】（1）3；（2）3；（3）秒或5秒或10秒；（4）15秒或10秒或20秒 【分析】本题是几何变换综合题，考查了线段和角倍数关系，新定义的理解和运用等知识，并与方程相结合，运用分类讨论的思想解决问题． （1）根据C是线段的“二倍点”，即可解答； （2）根据射线是的“二倍线”，即可解答； （3）根据线段的“二倍点”的定义分三种情况即可解答； （4）根据的“二倍线”的定义分三种情况即可解答． 【详解】解：（1）当点C是的中点时，， 当点C为靠近B的三等分点时，， 当点C为靠近A的三等分点时，， ∴线段上共有3个“二倍点”； 故答案为∶3； （2）有三种情况∶ ①当为角平分线时，， ②当靠近的三等分线时，， ③当靠近的三等分线时，， ∴内部共有3条“二倍线”； 故答案为∶3； （3）分三种情况∶ ①当点M是的中点时，， ∴， ∴， ②当点M为靠近B的三等分点时，， ∴， ∴， ③当点M为靠近A的三等分点时，， ∴， ∴， 综上：t为秒或5秒或10秒时，点M是线段的“二倍点” （4）有三种情况∶ ①当为角平分线时∶， ∴， ∴， ②当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； ③当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； 综上，t的值是15秒或10秒或20秒时射线是的“二倍线” 1．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查几何图形初步中“角”的相关知识，解题的关键在于准确理解图形中每个角的定义和范围，根据知识点，结合图形，对每个选项进行逐一分析． 【详解】解：选项A、不可以用表示，当点为顶点的角不止一个时，这种表示会引起歧义，A选项错误，不符合题意； 选项B、从图中可直观看出，射线更靠近射线，因此明显小于，B选项错误，不符合题意； 选项C、根据角的表示法，与都指的是由射线和组成的同一个角，C选项正确，符合题意； 选项D、根据图形，，D选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中角度计算问题． 根据三角板的性质得，可得，结合图形即可求解． 【详解】解：∵这是一副三角板， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．已知是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差计算，先由角平分线的定义求出的度数，再分两种情况：射线在的内部和射线在的外部，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴； 当射线在的内部时，则， 当射线在的外部时，则， 综上所述，的度数为或， 故选：D． 4．如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角的比较． 根据网格线得出，进而判断出；再由网格线得出，，进而求出，最后由网格线得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：由图知， ， ∴； 由图知，，， ∴， 由图知，，， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（    ）． A．5或23 B．5或21 C．7或23 D．7或21 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值． 【详解】解：∵， ∴， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ∴； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ∴； ∴t的值为：5或23． 故选：A． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查度分秒的换算和运算，需掌握的基本关系． 根据度分秒的换算和运算逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：，计算正确，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D错误； 故选：B． 7．如图，直线，相交于点O，射线平分，是直角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，由射线平分，，得出，由是直角，根据得出答案． 【详解】解：∵射线平分，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算，熟知折叠前后的对应角相等是解题的关键． 根据折叠前后的对应角相等进行计算即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知， ， ， ， ． 故选：D． 9．如图，，平分且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，涉及角平分线的性质，正确识图准确计算是解题的关键．先利用角平分线的定义得到，然后计算，即可求得． 【详解】解：∵平分且， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图1中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图2是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，三角形是水车的支架，．水车的支架固定，若平分，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义． 根据周角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，由即可作答. 【详解】解：由题意得，， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，一束光线照射到玻璃表面时，发生了折射和反射现象，已知，，，则反射光线与折射光线形成的的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查了角的和差计算，解题的关键是正确找出各角度之间的关系． 根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 12．计算： ； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的四则运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据角度的减法计算法则求解即可； （2）根据角度的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：． 13．如图，点O是直线上一点，射线在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键． （1）利用角平分线的定义求出的度数，再利用垂直的定义求出的度数；然后根据，代入计算求出的度数． （2）利用邻补角的定义和已知条件，可求出，的度数，利用角平分线的定义求出的度数；然后根据，代入计算求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴． 14．如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 15．如图，和都是直角，在的内部． (1)如果，那么____________． (2)找出除和之外相等的角：____________；如果，它们还会相等吗？____________（填“相等”或者“不相等”）． (3)若的度数为，那么的度数为____________（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)；相等 (3) 【分析】本题考查角的和差运算，解题的关键是利用直角的性质分析角之间的关系． （1）通过直角的度数，结合已知角的度数，计算； （2）根据角的和差关系找出相等的角，并判断其恒等性； （3）用含的代数式表示． 【详解】（1）解：和都是直角，， ， ， ． 故答案为：； （2）解：， ，即． 若，上述等式仍成立，故它们仍然相等． 故答案为：；相等． （3）解：， ， ． 故答案为：． 16．已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的运算，角平分线的定义； （1）由可得，平分，可求出，最后根据即可求解； （2）将（1）的过程中的的度数用代替，即可求出的度数； （3）由，可求出，平分，可求出，再由平分，得，列出方程求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （3）解：恰好平分，当在直线下方时，如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当在直线上方时，如图所示， 同理可得：. 综上：. 17．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算． ()根据角的和差关系进行计算即可； ()角的和差关系求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数即可， ()由题意得，由，得到，据此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵恰好平分 ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．阅读与思考． 下面是小欣关于“内半角”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 解密“内半角” 概念理解： 从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图①所示，若，则是的内半角． …… 【特例感知】 （1）如图①所示，已知，是的内半角，则___________，若，___________． 【知识迁移】 （2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？请说明理由． 【拓展探究】 （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当旋转的角度，是的内半角，理由见解析 （3）能，旋转的时间为或或秒 【分析】本题考查了“内半角”的定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，理解新定义，采用分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）先根据定义求得，再根据角的和差计算即可； （2）由题意可知，，然后表示出，再根据定义表示出，结合，得到关于方程，即可解答； （3）分三种情况讨论，设旋转角度为，然后根据定义和角度的和差列出方程，即可解答． 【详解】解：∵，是的内半角， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；． （2）当旋转的角度，是的内半角，理由如下： 由题意可知，， ∴ ∴当是的内半角时，， ∵， ∴， ∴． （3）能，旋转的时间为或或秒． ①如图，当是的内半角时， 设此时的旋转的角度为，则， ∵， ∴， ∵是的内半角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的时间为（秒）； ②如图，当是的内半角时， 设此时的旋转的角度为，则， ∵， ∴， ∵是的内半角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的时间为（秒）； ③如图，当是的内半角时， 设此时的旋转的角度为，则， ∵， ∴， ∵是的内半角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转的时间为（秒）； 综上，旋转的时间为或或秒时，射线能构成内半角． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题11 角的比较与运算 （4知识点+7大题型+思维导图+过关检测） 【题型1 角的比较】 2 【题型2 三角板中角度计算】 5 【题型3 几何图形中角度计算问题】 8 【题型4 角度的四则运算】 11 【题型5 实际问题中角度计算问题】 13 【题型6 角平分线的有关计算】 18 【题型7 角n等分线的有关计算】 22 【知识点1 角的比较】 角的大小由角的两边张开的程度决定，与边的长短无关。常用的比较方法有两种： 1. 度量法 工具：量角器 步骤：用量角器分别测量出两个角的度数。 比较两个度数的大小，度数大的角就大。 例：∠1=55°，∠B=40°，则 ∠1>∠2 2. 叠合法 操作前提：将两个角的顶点及一条边重合 步骤：把两个角的顶点重合，把两个角的一条边重合，观察两个角的另一条边的位置： 若另一边也重合 → 两角相等（∠1=∠2） 若另一边在内部 → 则此角小（如∠1的另一边在∠2内部 → ∠1<∠2） 若另一边在外部 → 则此角大（如∠1的另一边在∠2外部 → ∠1>∠2） 【知识点2 借助三角板中的角画角】 借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？ 列表总结： 【知识点3 角的和差运算】 1. 角的和 若一个角的度数等于另外两个角的度数之和，这个角就是那两个角的和。 图形表示：两个角共用一条边，且非公共边在公共边两侧，拼成一个大角。 例：如图， ∠AOB=∠AOC+∠BOC 2. 角的差 若一个角的度数等于另外两个角的度数之差，这个角就是那两个角的差。 图形表示：一个小角在一个大角的内部，除去小角剩下的部分就是两角的差。 例：如上图， ∠AOC=∠AOB−∠BOC 【知识点4 角的平分线】 1. 定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 2.教师总结： 3. 拓展 类似地，如图，OB，OC是∠AOD内的两条射线，当存在下列关系时，OB，OC是∠AOD的三等分线. ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝3 (1) ∠AOD （或∠AOD＝3 ∠AOB ＝3 ∠BOC ＝3 ∠COD ） . 【题型1 角的比较】 【典例】．在内部任取一点，作射线，则一定存在（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．比较与的大小时，把它们的顶点和边重合，把和放在的同一侧，若，则　　 A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D． 【跟随训练2】．在如图所示的的方格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【跟随训练3】．用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（ 　） A． B． C． D．不确定 【题型2 三角板中角度计算】 【典例】．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．将一副三角尺按下列不同位置摆放，满足的有（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【跟随训练2】．（1）如图（1）若，则___________；若，则___________； （2）如图（2）若，则___________； 【跟随训练3】．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______； (2)将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则______； (4)上述三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，观察三角板边的运动情况．若绕点O按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，绕点O运动时间为______秒，并说明理由． 【题型3 几何图形中角度计算问题】 【典例】．如图，点、、在同一条直线上，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【跟随训练1】．在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟随训练2】．如图，平分，C为内部一点，连接，平分，若，则的度数为 ． 【跟随训练3】．已知内部有三条射线，其中，平分，平分． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)若将题中的“平分”的条件改为“，”，且，用含的式子表示的度数为 ． 【题型4 角度的四则运算】 【典例】．计算： (1)； (2) 【跟随训练1】．计算题： (1)； (2)． 【跟随训练2】．计算： (1)； (2)． 【跟随训练3】．计算： (1) (2) 【题型5 实际问题中角度计算问题】 【典例】．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【跟随训练1】．将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【跟随训练3】．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【题型6 角平分线的有关计算】 【典例】．如图，已知射线分别平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．如图，点O是直线上一点，射线分别平分．若，则 ． 【跟随训练2】．如图，已知，是内部的两条射线，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，，求的度数．（用α，β含的式子表示） 【跟随训练3】．【问题提出】 如图1，，（），在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出的大小是 ，的大小是 ； ②直接写出的值． (2)再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【题型7 角n等分线的有关计算】 【典例】．，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟随训练1】．一个角的七等分线将角分成7个相等的小角，若一个小角为，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟随训练2】．（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【跟随训练3】．（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 1．如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是（    ） A．可以用表示 B． C．与是同一个角 D． 2．如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．已知是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（    ）． A．5或23 B．5或21 C．7或23 D．7或21 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线，相交于点O，射线平分，是直角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点F处，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，，平分且，则的度数为 ． 10．如图1中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图2是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，三角形是水车的支架，．水车的支架固定，若平分，则的度数为 ． 11．如图，一束光线照射到玻璃表面时，发生了折射和反射现象，已知，，，则反射光线与折射光线形成的的度数为 ． 12．计算： ； ． 13．如图，点O是直线上一点，射线在直线的同一侧，且平分，． (1)如果，求的度数． (2)如果，求的度数． 14．如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 15．如图，和都是直角，在的内部． (1)如果，那么____________． (2)找出除和之外相等的角：____________；如果，它们还会相等吗？____________（填“相等”或者“不相等”）． (3)若的度数为，那么的度数为____________（用含的代数式表示）． 16．已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 17．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，且直角三角板在直线的上方． (1)如图，若直角三角板的一边在射线上，则的度数为_______； (2)如图，直角三角板的边在的内部，若恰好平分．求此时的度数； (3)在图中，请直接写出与之间的数量关系：_______． 18．阅读与思考． 下面是小欣关于“内半角”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 解密“内半角” 概念理解： 从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角，如图①所示，若，则是的内半角． …… 【特例感知】 （1）如图①所示，已知，是的内半角，则___________，若，___________． 【知识迁移】 （2）如图②，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？请说明理由． 【拓展探究】 （3）已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $