精品解析：湖南省邵阳市第四中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

邵阳市四中2025年秋季学期九年级12月月考 数学试卷 说明：本试卷共26小题，考试时间120分钟，满分120分．请将答案填写（涂）到答题卡上，写在试卷或草稿纸上的答案一律无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在这四个数中，绝对值最小的数是(　　) A. 0 B. C. -3 D. 2 2. 下列化学容器或装置的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截止到5月份，《哪吒2》全球总票房已突破158亿元，位居全球动画电影票房榜第1名，全球影视票房榜第4位．数据“158亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 多彩社团助“双减”，“五育”并举促成长．2025年12月16日我校举办了初一初二“校歌啦啦操”比赛．评委组九名评委对初一某班的啦啦操表演给出的得分分别是，，，，，，，，，这组评分的众数和中位数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知是关于x的方程的两个根，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 7. 如图，中，对角线，交于点，点是的中点，若的周长是10，，则的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知点在一次函数的图象上且时，，则的值可能是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大得到，且，若点的坐标是，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 分解因式：3a2-3__． 12. 已知，则___________． 13. 不等式组的解为_______． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 15. 如图，在中，，分别为边，上的点，且，若，，，则的长为___________． 16. 如图，在和中，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是__________． 17. 数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 18. 新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 三、解答题（共8小题，19，20小题各6分，21，22小题各8分，23，24小题各9分，25，26小题各10分，满分66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值， 21. 2024年的春晚设立了四个分会场，它们分别是A（新疆喀什）、B（陕西西安）、C（辽宁沈阳）、D（湖南长沙）．某班组织了一次“你喜欢的春节分会场”调查活动，每位学生从四个分会场中任选一个，选择结果的不完整折线统计图和扇形统计图如图所示． （1）求该班的学生人数； （2）求扇形统计图中D分会场所对应的圆心角大小； （3）请以该班的统计数据估计全校5000名学生中有多少人选D分会场． 22. 今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． （1）求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； （2）若该水果销售店试销草莓获得的利润为2800元，求销售价格． 23. 如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长度； （3）根据图象写出时的取值范围（不需说明理由）． 24. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走了6米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）． （1）求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度（结果保留根号）． 25. 如图1，为等边三角形，，点为边上的动点（点不与点，重合），且，其中点在边上． （1）求证：； （2）如图2，当运动到的中点时，求的长． （3）是否存在点，使得点恰好是的中点？若存在，求的长，若不存在请说明理由． 26. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市四中2025年秋季学期九年级12月月考 数学试卷 说明：本试卷共26小题，考试时间120分钟，满分120分．请将答案填写（涂）到答题卡上，写在试卷或草稿纸上的答案一律无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在这四个数中，绝对值最小的数是(　　) A. 0 B. C. -3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出各个数的绝对值，再比较即可． 【详解】解：∵， ∴在这四个数中，绝对值最小的数是0， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，能求出每个数的绝对值是解此题的关键． 2. 下列化学容器或装置的平面示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，故选项符合题意； C、不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 3. 截止到5月份，《哪吒2》全球总票房已突破158亿元，位居全球动画电影票房榜第1名，全球影视票房榜第4位．数据“158亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：158亿． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，对各选项计算后即可求解． 【详解】A、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意． B、，故B不符合题意． C、，故C符合题意． D、，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，熟练掌握运算性质和公式是解题的关键． 5. 多彩社团助“双减”，“五育”并举促成长．2025年12月16日我校举办了初一初二“校歌啦啦操”比赛．评委组九名评委对初一某班的啦啦操表演给出的得分分别是，，，，，，，，，这组评分的众数和中位数分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 根据众数和中位数的定义求解即可． 【详解】解：将数据重新排列为：，，，，，，，，， ∴众数为，中位数是第5个数，即， 故选：C． 6. 已知是关于x的方程的两个根，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的方程的两个根，且， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，中，对角线，交于点，点是的中点，若的周长是10，，则的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得到AB=CD，BC=AD，OA=OC，根据中位线的性质得到AB=2，进而得到AB=CD=2，根据的周长是10，即可求出BC=3． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，BC=AD，OA=OC， ∵点是的中点， ∴OE为△ABC的中位线， ∴AB=2OE=2， ∴AB=CD=2， ∵的周长是10， ∴BC+AD=6， ∴BC=3． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，熟知两个知识点并灵活应用是解题的关键． 8. 已知点在一次函数的图象上且时，，则的值可能是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 先根据时，判断出一次函数的增减性，即可求出m的取值范围，即可求解． 【详解】解：时，， 随x的增大而减小， ，解得， 故m的值可能为5，不可能为，，． 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大得到，且，若点的坐标是，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用位似求坐标，掌握位似比与相似比的关系以及位似图形对应点的坐标与位似比的关系是解决问题的关键．根据位似定义，结合图象直接求解即可得出结论． 【详解】解：如图所示，， 又∵， ， ， ，即， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点的坐标规律探索、等腰直角三角形的性质，仔细观察图形，找到点的坐标变化规律是解答的关键．先确定出在x轴的负半轴上，再写成、、、…的坐标，从而得到点的坐标的变化规律，然后即可求解． 【详解】解：由题意，∵， ∴在x轴的负半轴上， ∵，，，，…， ∴的横坐标为，即， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 分解因式：3a2-3__． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 【详解】3a2-3=3(a2-1)=3(a+1)(a-1)； 故答案是；. 【点睛】本题考查的知识点是用提公因式法和公式法进行分解，解题关键是熟记因式分解的方法. 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例性质，熟记比例性质是解决问题的关键． 由，可设，将代入计算即可得到答案． 【详解】解：， 设， ， 故答案为：． 13. 不等式组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解． 【详解】， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程根的情况与判别式的关系求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，解不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 则 ， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别为边，上的点，且，若，，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的证明及性质，熟练掌握定理内容是解决问题的关键． 根据平行线可得到，再根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：4． 16. 如图，在和中，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．根据判定两个直角三角形全等可利用定理，所以再添加即可判定． 【详解】添加 ∵ ∴在和中 ， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，两直角三角形全等时还有． 17. 数据的平均数是，方差的计算公式是，现有一组数据的平均数是，方差，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的公式，熟记方差公式是解题的关键．通过方差表达式中的系数可知数据的频数，从而计算平均数． 【详解】解：从方差表达式中的系数可知，数据组中包含2个7，1个6，3个9，3个8，1个10，共10个数据， 这些数据的和为， 所以平均数． 故答案为：． 18. 新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 三、解答题（共8小题，19，20小题各6分，21，22小题各8分，23，24小题各9分，25，26小题各10分，满分66分） 19. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂和绝对值，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． 先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数、零指数幂和绝对值，再进行实数的乘法和加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值， 【答案】，或 【解析】 【详解】解： =÷ = =， ∵且， ∴x只能取或， 当时，原式=．（或当时，原式=） 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 21. 2024年的春晚设立了四个分会场，它们分别是A（新疆喀什）、B（陕西西安）、C（辽宁沈阳）、D（湖南长沙）．某班组织了一次“你喜欢的春节分会场”调查活动，每位学生从四个分会场中任选一个，选择结果的不完整折线统计图和扇形统计图如图所示． （1）求该班的学生人数； （2）求扇形统计图中D分会场所对应的圆心角大小； （3）请以该班的统计数据估计全校5000名学生中有多少人选D分会场． 【答案】（1）名 （2） （3）估计名 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体； （1）由统计图得选B有人，占，即可求解； （2）选D所占的百分比，即可求解； （3）选D所占的百分比，即可求解； 能从关联的统计图中获取正确的信息，并能用样本估计总体是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 （名） 答：该班的学生人数为名． 【小问2详解】 解：选D分会场的人数为： （名）， 扇形统计图中D分会场所对圆心角大小为： ． 【小问3详解】 解：由题意得 （名）． 答：估计全校5000名学生中选D分会场的人数为名． 22. 今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． （1）求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； （2）若该水果销售店试销草莓获得的利润为2800元，求销售价格． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和一元二次方程的应用是解题关键． （1）设y与x的函数解析式为，将点和点代入计算即可得函数解析式，再根据试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元可得x的取值范围； （2）根据利润=销售量（销售单价成本单价）建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 将点和点代入得：， 解得， 与的函数解析式为， 由题意可知，， 答：与的函数解析式为，的取值范围为． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：销售价格为每千克30元． 23. 如图，函数与的图象交于点，直线与函数的图象分别交于两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长度； （3）根据图象写出时的取值范围（不需说明理由）． 【答案】（1）反比例函数的表达式为； （2）的长度为； （3）时的取值范围是． 【解析】 【分析】本题围绕一次函数与反比例函数的交点及函数性质展开．对于（1），利用交点在一次函数上先求的纵坐标，再代入反比例函数求参数，进而确定表达式；（2）通过直线分别代入两个函数求、纵坐标，计算差值得到长度；（3）结合两函数图象位置关系，确定满足的范围． 【小问1详解】 点在函数的图象上，将代入，得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 将代入，可得，解得． 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 直线与函数的图象交于点， 将代入，可得， 点的坐标为． 直线与函数的图象交于点， 将代入，可得， 点的坐标为． 、两点横坐标相同，的长度为两点纵坐标之差的绝对值， ． 【小问3详解】 观察函数图象，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方，且此时（因）， 故时的取值范围是． 【点睛】本题综合考查一次函数与反比例函数的交点应用、函数值计算及图象分析．（1）利用交点在一次函数上求坐标，再代入反比例函数确定表达式；（2）通过代入直线求两点纵坐标作差得线段长；（3）依据图象上下位置关系确定不等式的解集，体现了数形结合思想的应用． 24. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走了6米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点在同一水平线上）． （1）求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； （2）求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）3米 （2）（）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，坡比和仰角问题，熟练掌握坡比和仰角的计算是解题的关键． （1）过点D作交于点G，根据坡比为，解直角三角形即可求解； （2）过点D作交于点H，设米，求出米，米，利用正切函数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图过点D作交于点G， 由题意知：米， 斜坡的坡比为， =， ， 在中，米， 米， 则王刚同学从点到点的过程中上升的高度为3米； 【小问2详解】 如图，过点D作交于点H， 由题意知：，，四边形是矩形， 设的高度为x米，则米， ， 米， 在中，米， 米， 米， ， 在中，， ， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则大树的高度为（）米． 25. 如图1，为等边三角形，，点为边上的动点（点不与点，重合），且，其中点在边上． （1）求证：； （2）如图2，当运动到的中点时，求的长． （3）是否存在点，使得点恰好是的中点？若存在，求的长，若不存在请说明理由． 【答案】（1） 证明：三角形是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ； （2）的长为5 （3）不存在， 理由如下： ∵为等边三角形，， ∴， 若是的中点，则， 设，则， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ， ∴方程无实数解． ∴不存在这样的点． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到，再利用两角相等的三角形相似求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解； （3）根据点是的中点，则，设，则，根据可得，代入相关数值，结合一元二次方程的判别式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形，点是中点， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质和一元二次方程的应用，灵活运用所学知识是解题的关键． 26. 定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 【猜想论证】（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②4； （2）， 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答； ②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $