备考信息导航演练5-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（B版）

2024一2025学年度备考信息导航演练 光题 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若集合A={x(2x-1)(x+3)<0},B={xx>0},则AUB= () A.0 B.{xx>-3} D.{x0<x<3} 2.已知平面向量a=(2,1),b=(-1,x),若a⊥(a-2b),则x= 9 A.2 B.2 C.5 D.6 3.已知正数m,n满足2m十n=4,则 ( A.mn的最小值为4 B.的最小值为 mn C.mn的最大值为4 D.的最大值为2 mn 4.已知等差数列{am}的前n项和为Sm,若S10=30,a7=9,则S3o= A.1180 B.1190 C.1280 D.1290 5.函数f(x)=6cos2x一x2在[-元，π]上的大致图象为 B -π5远2- 63- 0号 数学试题（五）第1页（共4页） 真题密卷·备习 6.将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中每个老师都必须 班级 去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有 ( A.240种 B.360种 C.390种 D.420种 姓名 7.定义：已知A(x1,y1),B(x2,y2),若x1十y2=x2十y1,则称A,B两点具有性质X.已知 点M在以原点O为圆心，2为半径的圆上，点N(2√2，t),若M,N两点具有性质X,则 得分 ON的取值范围为 () A.[4,2/10] B.[22,45] C.[22,2√10] D.[2,45] 8.已知定义域均为R的函数f(x),g(x)满足f(2一x)十f(x)=2,g(4一x)=g(x), g(2)=3,若f(x)=g(2十x)十4，则下列说法错误的是 A.f(x)的图象关于y轴对称 B.一8为f(x)的一个周期 C.f(2023)=-1 D.总f)=16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在一次人口普查中，经过统计得到某地区大学生的年龄X服从正态分布N(18,1.69),则 () 参考数据：P(4一o<X<十o)=0.6827,P(一2o<X<4十2a)=0.9545,P(4-3o<X <μ+3)=0.9973 A.P(X>18)=0.5 B.P(X<14.1)>P(X>20.6) C.P(16.7<X<20.6)=0.8186 D.P(14.1<X<19.3)=0.82 10.已知函数f(x)=sin2x,gz)=cos(ax十g)(o>0,g<2),fx)与g(x)的图象关 于x=石对称，若A)=fx)一g),则 ( Ag=-6 B直线4-5为A()图象的一条对称轴 C.g(x)在 2π5π -3-12 上单调递减 D.函数h(x)在[-π，π]上有5个零点 11.在正三棱柱ABCA1B1C1中，点E为棱BB1的中点，点F为棱AA1的中点，则下列说 法正确的是 ( A.A1E∥平面C1BF B.若AB=AA1,则A1E⊥AC1 C.若AA1=2AB,则直线A1E与CF所成角的余弦值为7 D.若AB=AA1,则平面CEF与平面ABC的夹角为日 专信息导航演练 数学试题（五）第2页（共4页） B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若之i=3十6i,则之= 13.已知函数f(x)=e一mx一2在x=0处的切线与直线x一y=0垂直，则f(x)的极小 值为 4.已知双曲线，C无，@>0，b>0的两条渐近线分别为：，，直线4：y=2z λ（λ≠0）与l1,l2分别交于P,Q两点，若N(4λ，0)满足∠NPQ=∠NQP,则C的离心 率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.s分E知在△AC中，内角A,BC所对的边分别为a6c,其中am空+m管+c- csin 5 (1)若c=2a,求cosB的值： (2)若a=1,当tanA取最大值时，求△ABC的面积. 16.（15分)已知数列a的前n项和为S其中a:=3,5.= 2n2+n. (1)求入的值以及数列{an}的通项公式； (2)若bn=a5m-4·3”,求数列{bn}的前n项和Tm. 17.(15分)已知函数f(x)=x2-3x+λ1nx. (1)当0<A<8时，讨论f(x)的单调性： (2)若Hx∈[2,4]，f(x)≤0，求实数λ的取值范围. B 数学试题（五）第3页（共4页） 真题密卷·备扌 18.(17分)某企业倡导员工工作之余积极参与户外活动，现调查每个员工上半年每周参加 户外活动的时间，所得数据统计如图所示（每个员工上半年每周户外活动的时间为 [2,12]小时)，已知该企业有3000名员工，其中每周户外活动时间低于6小时的有 1050人. 个频率/组距 0.15 0.1 0.05 0 3 4 681012时间/小时 (1)求该企业员工上半年每周户外活动时间的平均数（每组数据以区间的中点值为代 表)； (2)为了合理安排一些活动，现采用按比例随机抽样的方法从每周户外活动时间在 [4,6),[6,8),[8,10)小时的员工中抽取14人，再从这14人中随机抽取4人，记每 周户外活动时间在[8,10)小时的人数为X,求X的分布列以及数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从每周户外活动时间在[4,10)小时的员工中随机抽取20 人，用p(k)表示这20名员工中恰有k人每周户外活动时间在[8,10)小时的概率， 其中k=1,2…,20.当p(k)最大时，写出k的值.（写出证明） 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(xo,y0),总存在一点Q(x。,y') 满足关系式p: (x'o=mxo, (m>0,n>0),则称p为平面直角坐标系中的m一一n伸缩 yo=nyo 麼换，已知点P在椭圆C+是1a>b>0)上，C过点2，二回，二区)，作点 P到P的吗号伸缩变挨 (1)求P'的轨迹C的方程. (2)已知O为原点，M(-1,0),点N满足OM+ON=0,过点M(-1,0)且倾斜角为a1 (0°<a1<90)的直线L与C交于D,E两点，直线ND与C'的另一个交点为G,直线 NE与C的另一个交点为H. (ⅰ)直线GH是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由， (i)记直线GH的倾斜角为a2,当a2一a1取最大值时，求直线GH的方程. 信息导航演练 数学试题（五）第4页（共4页）真题密卷 备考信息导航演练（五） 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练 数学（五） 一、选择题 √8+t∈[2√2,210]. 1.B【解析】猿题意，A=-3<x<,故AUB= 8.C【解析】因为f(x)=g(2十x)+4,所以f(-x)= {xx>-3}. g(2-x)十4，又因为g(4-x)=g(x),所以g(2+x)= 2.A【解析】依题意，a-2b=(4,1-2x),故a·(a g(2-x),所以f(x)=f(-x),所以f(x)的图象关于 y轴对称，故A正确；又因为f(2-x)十f(x)=2,所以 2b)=8+1-2x=0,解得x=2 9 f(-x)+f(2+x)=2,所以f(x)+f(2十x)=2,即 3.B【解析】依题意，2m十n=4>2√2mn,当且仅当m=1, f(2+x)=2-f(x),所以f(4十x)=f[2+(2十x)]= 1≥1 2-f(2十x)=2-[2-f(x)]=f(x),所以T-4,故B n=2时等号成立，故mn≤2，则 "mn21 正确；在f(x)+f(2-x)=2中，令x=1,得f(1)=1, 4.D【解析】依题意，S0 10(a,十as）=30,故as十a6= 所以f(2023)=f(3)=f(-1)=f(1)=1,故C错误； 2 6=2a,-3d=18-3d,解得d=4,则a15=a7+8d=41, 因为g(2)-3,所以f(0)=g(2)+4-7,所以f(4)=7, a6=45,则S-30a,+aw)=15X86=1290. 所以f(2)=2-f(0)=-5,f(3)=f(-1)=f(1)=1, 2 所以3f(k)=[f(1)+f(2)+f(3)+f4]×5+f1)十 5.A【解析】当x∈(0,2)时，f(x)单羽递减，放排除 f(2)=(1-5十1+7)×5+1-5=16，故D正确. 二、选择题 c.D,当ze）时，x)=-12sm2红一2x之 9.AC【解析】依题意，X~N(18,1.32),故P(X>18)= 6√3-2x>0,f(x)单调递增，故排除B. 0.5,故A正确；P(X<14.1)=P(X<-3o)=P(X> 6.C【解析】依题意，分组情况可能为(1,1,4)，(1,2,3)， 4十3o)<P(X>h+2o)=P(X>20.6),故B错误； (2,2,2) P16.7<X<20.6)=0.68270.9545=0.8186,故C (+GGG+GGC) 解法一：总的情况数为(CCC A9A 2 540,其中李老师和唐老师在同一学校督导的情况数为 正确：P(14.1<X<19.3》=0.973计0.6827=0.84，故 2 (C+CGC+CcC+e)A=I50,故李老第布和席老师 CC D错误. 10.BC【解析】在函数y=g(x)的图象上任取，点(x,y),此 不在同一学校督导的情况有390种. 解法二：若派遣的人数情况为(1,1,4)，则李老师和唐老 点关于直线x=石的对称点（行-x)在y=f)的图象 师不在同一学校督导的情况有A+CCA=54种；若 派遣的人数情况为(1,2,3)，则李老师和唐老师不在同 上放y(行】-n管2a)-2红） 一学校督导的情况有(CC十C2C十CC号A)A=264 种；若派遣的人数情况为(2,2,2)，则李老师和唐老师不 所以g)=(2z-）,放=2,g=一，故A错误 在同一学校督导的情况有C1CA=72种，故李老师和 唐老师不在同一学校督导的情况有390种. 2os2z=sim(2x-F）, 7.C【解析】设M(2cos0,2sin0),0∈[0,2π]，则 2cos 0++t=2sin 0+22,t=2sin 0-2cos 0+22= 故A-1,成B确：当[时，2x 2巨sim(0-牙）+2巨，则1e[o,4],故0N|= B 数学答案（五）第1页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 2_5π 上单调递减，故C正确；因为h(x) 13.-21ln2【解析】由题知f′(x)=e-m,f'(0)=1- -3’-12 m,所以1-m=-1,解得m=2.令f'(x)=e-2= fx)-g(x)=sim2x-）,令sin(2x-）=0,所 0,解得x=ln2,故当x∈(-o∞，ln2)时，f'(x)<0, f(x)单调递减；当x∈(In2,十∞)时，f'(x)>0, 以2x-=k,x= 元kπ 6干2，k∈Z,令-π≤0十2≤ f(x)单调递增，所以f(x)的极小值为f(①n2)= 解得<≤行所以≤≤号又Z,所 5 -21n2. :y=- b b 以k=-2,-1,0,1,所以函数h(x)在[-π，π]上有4 14.√10【解析】不妨设l1:y= 个零，点，故D错误. [y=2x+λ， λa 11.ABD【解析】对于A,由题可得A1E∥BF,又A1E中 x=b-2a 联立{ b解得 平面C1BF,BFC平面C1BF,故A1E∥平面C1BF,故 y= x, a y=-2a’ A正确；对于B,取棱A1B1的中点D,连接C1D,AD, 可证A1E⊥平面AC1D,故A1E⊥AC1,故B正确；对于 故P a入b1 (62a'62a),同理可得Q( 入ab b+2a'b+2a C,因为A1E∥BF,所以∠BFC1(或其补角)即为直线 Ab2 A1E与C1F所成的角，不妨设AB=1,AA1=2,则BF= 故线发0的中成R如)两∠NPQ C1F=√2，BC=√5，故直线A1E与C1F所成角的余弦值 λb2 为|cos∠BFC1|= -c于 ∠NQP,故kNR= b2-4a2 2,解得 a2=9,故 D,取EF的中点G,连接DG,C1G,则A1B1⊥DG, 62-4a2-41 A1B1⊥DC1,DG∩DC1=D,所以A1B1⊥平面 ,b2 e= =1 a a2=10. DGC1,因为EF∥A1B1,又EF中平面A1B1C1, A1B1C平面A1B1C1,所以EF∥平面A1B1C1,设平面 四、解答题 EFC1∩平面A1B1C1=l,则EF∥L,所以l∥A1B1,所以 15.解：(1)依题意，a(5-cosC)=ccos A, (1分) L⊥平面DGC1,所以L⊥CG,l⊥DC1,则∠DC1G为平面 由正弦定理，得sinA(√3-cosC)=sin Ccos A, CEF与平面ABC的夹角，易知cos∠DC,G= 2故平 (2分) 3 sin A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A++C)= 面CEF与平面ABC的夹角为G,故D正确， sin(π-B)=sinB, (3分) B 即b=3a, (4分) 由余弦定理，得cosB-a2+c-6Q3+ da-3a 17 2ac lx2 5a 20 G (6分) (2)由题知b=√3a=√3，则√5-1<c<3+1,(7分) B 当tanA取最大值时，cosA取到最小值. 在△ABC中，由余弦定理， 三、填空题 得cosA= 2bc 12.35【解析】依题意，之= 3+61=6-31,故z|= 2√3c23\c √36+9=3√5. 当且仅当2=c,即c=2时等号成立， (10分) 数学答案（五）第2页（共5页）》 B 真题密卷 备考信息导航演练（五） 此时sinA=-coSA- 3, (11分) 上6.39). +令，+)上单 4 ebe sinA 1 3=2 调通培，在信9区，汁9西)上单调道诚 4 (13分) (7分) 16.解：0①)依题意，agS。一S。9+3以-2-2以=5 2+=3, (2)令x2-3x+alnx≤0， 因为长B,,所以1a≥0，藏4n -,(8分) 解得入日， (2分) 令g(x)=3x-x2 所以S.一a+ 1 2. In x, 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=n, (3分) 则g'(x)= (3-2x)lnx-3+x (In x)2 (10分) 当n=1时，a1=S1=1,满足上式， (5分) 令h(x)=(3-2x)lnx-3+x, 综上所述，an=n. (6分) 则)=-2nx+1, (11分) x (2)依题意，bm=(5n一4)×3”， (7分) 易知h'(x)为减函数， 故Tm=1×3+6×32+11×33+…+(5n-4)×3", 故3Tm=1×32+6×33+11×34+…+(5n-4)× 则在2,4上，'c)≤/2)=3-22<0，(12分) 3+1, (8分) 故h(x)在[2,4幻上单调递减， 两式相减可得，-2Tm=1×31+5×32+5×33+…+ 则h(x)≤h(2)=-ln2-1<0, (13分) 5×3-(5n-4)X3+1 (9分) 故g'(x)<0,g(x)在[2,4幻上单调递减， =5×31+5×32+5×33+…+5×3”-(5n-4)× 2 (14分) 3m+1-12 (10分) 故入≤g(x)m=g(4)=一n2' _151-3"）-（6m-4)X3+1-12 故实数入的取值范周为（一，一品2： 2 (15分) -2 =(915n）×3-2 18.解：(1)记每周户外活动时间在[4,6)，[8,10)小时的 (13分) 频率分别为m,n, 则T.-(货-9》×g+9 1050 (15分) 则m一3000 -0.2=0.15, (1分) 17.解：(1)依题意，x∈(0，十∞)， 1950 -0.3-0.1=0.25, (2分) f'(x)=2x-3+入_2z2-3x+ n=3000 ,△=9-8入.(2分) x x 故所求平均数为 当0<<8时，4>0， 3×0.2+5×0.15+7×0.3+9×0.25+11×0.1=6.8. (4分) 令f'(x)=0, (2)每周户外活动时间在[4,6)，6,8)，[8,10)小时的 ,x,=3+9-8册 得1=3-V9-8以 (4分) 频率之比为0.15：0.3：0.25=3：6：5， 4 4 所以14人中每周户外活动时间在[4,6)小时的人数 故当0<A<8时，0<<，放当z∈(0，)时， 为是×14=3，在6,8)小时的人数为骨×14=6， f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(x1,x2)时，f'(x)< 5 0,f(x)单调递减；当x∈(x2,十∞)时，f'(x)>0,f(x) 在[8,10)小时的人数为×14=5， (6分) 单调递增. 则X的可能取值为0,1,2,3,4， B 数学答案（五）第3页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 所以P(X=0)=C,143 C418 ② x- 2x0 而 P(X=1)= CC 60 则P的筑迹C的方程为十y=1. 1 C141431 y=2y0, P(X=2)= CgC号 360 (4分) C141001’ (2)(i)依题意可得N(1,0),设直线l:y=(x十1)， CC 90 P(X=3)= k>0, C14-1001' P(X=4)= C x2 5 C141001' 联立4+y2=1, y=k(x+1), 故X的分布列为 整理得(1十4k2)x2+8k2x十4k2-4=0,△>0， 0 1 2 3 4 设D(x1,y1),E(x2y2), 18 60 360 90 5 143 143 1001 8k2 4k2-4 1001 1001 则x1十x2= 1十4k2x1x2-1+4k2, (6分) (9分) 510 直线NG的方程为x=1-1y 故E(X)=4×4-7 y1y+1, (11分) (3)从每周户外活动时间在[4,10)小时的员工中随机 代人 4十y2=1中， 抽取20人，每周户外活动时间在[8,10)小时的概率 整理得 0.25 5 +,42,- 1-8=0, p=0.15+0.3+0.2514' (12分) (7分) 则力)=C路p(1-p)0A-C5g0- -3y1 -3y 1420， (13分) 设G(xy),则y1y=(红1-1)2+4y5-2a' C8155+1919-6 3y1 5x1-8 放（质+1） 1420 故y=21-5x3=2x1-5 (k) C8050920-t 1420 即G /5x1-83y1 2x1-5'2x1-5 20! 5x2-83y21 =5×k+1)！:49-k)1=5.20-k 同理可得H(2x:-52x:-5》” (9分) 9 20！ 9+1≤1， k！·(20-k)I 3y2 3y1 2x2-52x1-521k(x1-x2)7k (15分) 故kGH= 5x2-85x1-89(x1-x2)31 解得>13 6.5,所以当=7时，p(k)最大， 2x2-52x1-5 (10分) 故(k)最大时，k的值为7. (17分) 「4.2 1 1 2+62-1, 所以省发G阴的方爱为y”专气--》 a2=8 19.解：(1)依题意， 解得 .3 11 即-》， a3+6=1, 6=4 (1分) 所以直线GH过定点（侣，o】 (12分) (2分) 7k （1)因为kcH=3,所以tana,tana:正负相同， 设P(),P'(x,y),则+-1， 8F4 (3分) 且a2>a1,所以0<a2-a1<2' 数学答案（五）第4页（共5页）》 B 真题密卷 备考信息导航演练（五） 当a2一a1取最大值时，tan(a2一a1)取最大值， 当且仅当k=2T (13分) 时等号成立， 4 此时tan(a2一a1)取最大值，a2一a1取最大值， 因为当k>0时，tan(a2-a1)=一 3 4k 36 3+7k2 此时直线GH的方程为y-会(-》.(17分) -≤4_2V21 4 k+72W221, 3. (15分) B 数学答案（五）第5页（共5页）