备考信息导航演练4-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（B版）

2024一2025学年度备考信息导航演练 光题 数学（四） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合M={-1,0,22,3N=xx<x2,则MnN ( ) A{-1,0,2 B{-1, C.{2,3} D.{0,2,3} 2.已知复数x在复平面内对应的点为(1，一3)，则之i= A.-3+i B.-3-i C.1+3i D.-1-3i 3.已知3sin(2a- ）=7c0sa,则cos&= ( A.3 .3 c n 4.已知a>0,b>0,则“a+b<2”是“ab<1”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)=ax一ln(x十1)，若曲线y=f(x)与x轴相切，则a的值为 A-司 B.0 C.1 D.e-1 6.在x-2y)y 的展开式中，不含x的所有项的系数和为 A.2 B.3 C.5 D.7 数学试题（四）第1页（共4页） 真题密卷·备 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为2的直线l与C相交于A,B 班级 两点，若y轴截以AB为直径的圆所得的弦长为4，则AB的值为 ( A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知函数f(x)=eax(eax十a)在区间（一1,0）上单调递减，则a的取值范围为( 姓名 A.(-∞，1] B.[-2,0) C.(-∞，0] D.(-∞，0) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 得分 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设随机变量X~N(2,12),随机变量Y~N(1,22),则 A.E(X)=2E(Y) B.D(Y)=2D(X) C.P(X≥1)>P(Y≥1)》 D.P(Y≥3)>P(X≥3) 10.须弥座是一种古建筑的基座形式，又名“金刚座”，通常用于宫殿、寺庙、塔、碑等重要建 筑的基座部分，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高 的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六 棱台的上底面边长为18m,下底面边长为24m,侧面积为756m,则 ( A.该正六棱台的高为3m B.该正六棱台的体积为900m3 C,该正六楼台的侧棱与底面所成角的正切值为号 D.该正六棱台的侧面与下底面的夹角为30° 11.已知函数f(x)= sin2x ,则 cos x A.fx)在区间(-2,0上单调递增 B点(20)是曲线y=f(x)的对称中心 C.曲线y=f(x)与x轴相切 D.当a<<b时，f(x)<-,则b-a的最大值为日 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(x,1),b=(1一x,3),c=(2,x十1)，若(a一b)⊥c,则x的值为 13.将某班周三的上午四节课和下午四节课全部安排为语文、数学、英语、物理、化学，要求 这五门课都有，数学两节且连排，语文、英语、物理可一节也可两节且连排，化学一节， 若上午第四节和下午第一节不算连排，则不同的排课方案共有 种 14.已知F为双血线C:无-(@>0，b>0)的右焦点，0为坐标原点，点P在C上，点 Q在C的渐近线上，若OQ·QF=0,FP=2PQ,则C的离心率为 专信息导航演练 数学试题（四）第2页（共4页） B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记Sm为正项数列{am}的前n项和，已知 Sn .-=a1,bm}为等差数列，且b1十b。= a1十a3,b2十b4=S3. (1)求{am}和bn}的通项公式； (2)若cn-,求数列c,}的前n项和T an 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，AD=√2AB=2√2，E为BC的 中点，PB⊥AE,PC⊥AD. Di- E (1)证明：PD⊥平面ABCD. (2)若F为PB的中点，平面AEF与平面BEF的夹角为45°，求PD的长. 17.(15分)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第 一阶段由参赛队中一名队员投篮2次，每次投篮投中得2分，未投中得一1分；第二阶 段由该队的另一名队员投篮2次，每次投篮投中得3分，未投中得一2分.记该队的比 赛成绩X为第一阶段与第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每 2 次投中的概率为2，乙每次投中的概率为？，各次投中与否相互独立. (1)X的取值能否为5？若不能，请说明理由；若能，请比较由谁参加第一阶段的比赛 时，X=5的概率更大. (2)若甲参加第一阶段的比赛，求X的分布列与数学期望. B 数学试题（四）第3页（共4页） 真题密卷 8.(17分)在平面直角坐标系x0y中，A,B分别是椭圆C:2十2=1(Q>b>0)的右顶 点、上顶点，AB=5,且直线AB的斜率为一 (1)求C的方程. (2)M,N是C上异于顶点的两个动点，且直线BM交x轴于点P,直线BN交x轴于 点Q. (ⅰ)当点M在第一象限且MN的中点为O时，求四边形AMBN面积的最大值. (iⅱ)当PQ的中点为A时，证明：直线MN过定点，并求出该定点的坐标. 19.(17分)已知定义在区间D上的函数f(x)的导函数是f'(x),若存在正数t,使得f(tx)≥ tf(x)恒成立，则称f(x)为区间D上的“t倍超导”函数. (1)试判断f(x)=sinx是否为R上的“t倍超导”函数？并说明理由. (2)若(x)=x3十a(x十3)是(0，十∞)上的“3倍超导”函数，求a的取值范围， (3)若g(x)=x2+mx十m是R上的“1倍超导”函数，证明：ex+x2十x十xln(一x)< g(x)+1. 备考信息导航演练 数学试题（四）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练 数学（四）》 一、选择题 7.A【解析】依题意得F(?0）,则1：y=2(x-）联 1.B【解析】因为M={1,02,3,N=z<1 且x≠0，所以MnN={-1,2: 之=2（号》清y释-6pE+=,设A医 ly2=2px, 2.A【解析】由题意知之=1一3i,所以zi=i(1十3i)=一3 +i. y),Bx),则1十x:=2,AB=十x+p= 3p 3.A【解折】由3sin(2a-7）=7c0sa,得3c0s2a+7a0se 2,因为y轴截以AB为直径的圆所得的弦长为4，所以 5 =0,所以6cos2a+7cosa-3=0,所以(2cosa+3)(3cosa √2)-（2T-2,即力=2，所以AB1-碧-5. ,解得0sa三3或cosa=二（舍），所 8.B【解析】令t=e,则原函数转化为y=t(t十a),其图 1 象的对称轴为直线1=一号，若a>0,则1=心“在(-1， 4.A【解析】由a>0,b>0,可得2>a十b≥2√ab,所以 0)上单调递增，且t∈(ea,1),因为原函数在区间(-1， 1 ab<1;反之当a=2,b=4时，满足ab<1,但a+b>2, 0)上单洞递减，于是得-号≥1，解得a≤-2，与a>0矛 所以“a十b<2”是“ab<1”的充分不必要条件， 盾；若a<0,则t=e在(-1,0)上单调递减，且t∈(1， 1 5.C【解析】由题意知f'(x)=a一z十，设切点横坐标 e),因为原函数在区间（一1,0上单调道减，于是得一号≤ 为xo,因为曲线y=f(x)与x轴相切， 1,解得a≥-2，则-2≤a<0;若a=0,则f(x)=1在区间 1 (-1,0)上不单调，舍去，故一2≤a<0. 所以ax十1=0， a- 所以lna-a+1=0, 二、选择题 axo-In(zo+1)=0, 9.AC【解析】由X~N(2,1),Y~N(1,2)知，E(X)= 令g(a)=lna-a+1,则g'(a)=1-1=1-a 2,E(Y)=1,D(X)=1,DY)=4,所以E(X)=2E(Y), a D(Y)=4D(X),故A正确，B错误；因为P(X≥1)> 所以当a∈(0，l)时，g'(a)>0,g(a)单调递增； 当a∈(1，十∞)时，g'(a)<0,g(a)单调递减， PGX2-PY≥D-所以PCX≥>PY》. 所以g(a)mx=g(1)=0,所以方程lna-a十1=0的 故C正确；因为E(X)十WD(X)=EY)+√D(Y)= 根为a=1. 3,所以P(Y≥3)=P(X≥3)，故D错误. 6D【解新】（侵-展开式的道项为T=C… 10.ACD【解析】由已知可得侧面中每个梯形的面积为 126m2,梯形的高为6m,由此可得棱台的高h= (-10ry=(-1Cxy,所以x-2)(任)°的 62-24-18)=3m,故A正确，孩棱台上底面 展开式中的项为(-1)rC5x-4y'或-2(-1)rCx-5· y+1,令r=4,得(-1)rC5x-4y=5y4;令r=5,得 面积S1=54×9√3m2,下底面面积S2=72×12W3m2, -2-1rCxy1-2y,所以在红-2)(}月 故棱台的体积V-号×(54×93+72×12B+ 的展开式中，不含x的所有项的系数和为5十2=7. √54×9√3×72×12W3)×3=1998√3m3,故B错误； 数学答案（四）第1页（共5页） B 真题密卷 备考信息导航演练（四） 设侧棱与底面所成的角为a,则tana 3 24-18=2,故 c2-5a,即 =5，所以C的离心率e=C=5. 31 C正确；设侧面与下底面的夹角为B,则sinB= 四、解答题 6-2’ 所以B=30°，故D正确. 15.解：(1)由 n-1=a1,得 a1-1=a1, 11.BCD【解析】f(x)=sinx-1-cos2z_1 解得a1=2或a1=0,又an>0,所以a1=2,(1分) coSxcosx cOS x 所以Sn=2(am-1),当n≥2时，Sm-1=2(am-1-1), s,国为函数y=asx在区间同(-0小上单满递增， 两式作差得an=2am一2am-1, 即当n≥2时，am=2an-1, 一x在区间(0,1)上单调递减，所以∫(x)在区间 所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 x an=2X2-1=2 (4分) (-,0)上单调道减，故A错误：因为f(元一x) 设{bnm}的公差为d,由 b1十b3=a1十a3, sin2(r-x）sinx b2+b4=S3, ,所以f(π一x)=一f(x),即f(x) Cos(π-x) 得 2b1+2d=2+8=10, 的图象关于点（合0）中心对称，益B正确：因为了) 2b1+4d=14, sin x 解得 十sinx,所以f'(0)=0,又f(0)=0,所以f(x)的 =3所以6，=3+(n-1D×2=2m+1, d=2, cosx 所以am=2",bm=2n+1,n∈N. (6分) 图象与x轴相切，故C正确；由f(x)<一 得 3 (2)由(1)知c,=b-2m+1 (7分) 2,所 cosz<0, am2, cos x 2c0sx-3c0sx-2<0,即 所以Tm=c1十c2十…十cn 35,7, 2n-1,2n+1 cosx<0, 1 22+2+…+ 2n-1 2n (2cosx+1)(cosx-2)<0, 所以-2<cosx<0, 3,5,7 区2T2十2干2…+2m-1420十1 所以(b一a)x=6,故D正确. 2n 2n+1, (9分) 两式相减得2工，一2十(2 3./1 1 28+…1 1 2n+1 三、填空题 2n+1 12.2【解析】因为(a-b)⊥c,所以(a-b)·c=0,又a-b= -) 1 (2x-1,-2),c=(2,x+1),所以2(2x-1)-2(x+1)=0, 3 2n+152n+5 2n+1 2 2m+1, (11分) 解得x=2. 13.216【解析】由题意知这五门课中有三门课两节且连 1一2 排，另两门课分别为一节.若数学、语文、英语分别为两 所以Tn=5- 2n+5 节且连排，则有2×3AA=72种排课方案；同理若数 2n (13分) 学、语文、物理或数学、英语、物理分别为两节且连排， 16.(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD⊥DC, 则分别有72种排课方案，所以不同的排课方案共有 因为PC⊥AD,PC∩DC=C, 72×3=216种. 所以AD⊥平面PCD,又PDC平面PCD, 14.√5【解析】不妨设P,Q在x轴的上方，C的焦距为 所以AD⊥PD, (2分) 2c,则1wy=名，周为0成.0破-0，所以0y 连接BD,因为在矩形ABCD中，AD=√2AB, 所以tan∠ABD AD 名(x-c),解得Q(食，)，因为币=2P成，设 AB-2, AB tan∠AEB= 2a2+c2 D 1 =2, c-9 3c P(xoy),则 解得 2ab 因为tan∠ABD=tan∠AEB, yo= 3c, 且∠ABD,∠AEB均为锐角， 所以∠ABD=∠AEB, 又点P在C上，所以 (2a2+c2)24a2 9a2c2 9c=1,化简整理得 所以∠AEB+∠EBD=∠ABD+∠EBD=90°， B 数学答案（四） 第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 所以AE⊥BD, (4分) 又PB⊥AE,PB∩BD=B, Px=1=××2x号×1-)= 所以AE⊥平面PBD, (5分) 若由乙参加第一阶段的比赛，P(X=5)=P(X1=4)· 因为PDC平面PBD,所以AE⊥PD, px=D-号×号×2x×1-2》-号， 又AE∩AD=A,所以PD⊥平面ABCD. (6分) (2)解：由(1)知PD⊥平面ABCD,AD⊥DC, 所以由乙参加第一阶段的比赛时，X=5的概率更大. 所以以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为 (7分) xy,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 (2)由题意知，X的可能取值为-6，-3，-1,0,2,4， 5,7,10, (8分) 1 则P(X=-6)=P(X1=-2)·P(X,=-4)=2X DI- 1，1 P(X=-3)=P(X,=1)·P(X:=-4)=2X2×2X 1×1_2_1 3×3-36-18 1、1 PX=-1)=PX,=-2)·P(X,=1)=2×2 2× 设PD=2a,由AD=√2AB=2√2， 得A(2√2,0,0)，C(0,2,0),P(0,0,2a),B(2√2,2,0)， 1 1 1 E(√2,2,0)，F(√2,1，a), P(X=0)=P(X,=4)·P(X:=-4)=2×2×3× PC=(0,2,-2a),CB=(22,0,0), 11 3-36 A立=(-2,2,0)，AF=(-2,1,a), (8分) 设平面AEF的法向量为m=(x,y,z), PX=2》=Px=DP(X:=1)=2xX号×2× m·AE=0,-√2x+2y=0, 则 即 m·AF=0, -√2x十y十az=0, 号x”6 令x=√2a,则y=a,z=1, PX=0=PX,=-2PX,=6)=8××号 所以平面AEF的一个法向量m=(√2a,a,1) 2-4-1 (11分) 33699 设平面BEF的法向量为n=(x1y1,之1)， 1 P(X=5)=9 n·PC=0,2y1-2ax1=0, 则 ”即 .1 n·CB=0,2W2x1=0, P(X=7)=P(X,=1D·P(X=6)=2X 3十 令y1=a,则x1=0,21=1, 282 所以平面BEF的一个法向量n=(0,a,1).(13分) 3=36=99 因为1eoa1=设 1 1 P(X=10)=P(X1=4)·P(X2=6)= 2十2 十 a2+1 √2 √2a2+a2+1X√a+i2’ 台-嘉司 解得a2=1,所以a=1或a=-1(舍)， 所以X的分布列为 所以PD=2. (15分) X -6 -3 -1 0 2 4 5 7 10 17.解：(1)设该队第一阶段的得分为X1,第二阶段的得 分为X2,当X1=4,X2=1时，X的取值为5，(2分) 36 18 36 9 9 若由甲参加第一阶段的比赛，P(X=5)=P(X1=4)· (13分) 数学答案（四） 第3页（共5页） B 真题密卷 备考信息导航演练（四） 故E(X)=-6X 31 1 +2x号 1 当t+m=2,即t=-m十2时， 36 8 1×g+0× 4 lMN :x=my+t=m(y-1)+2, ×g+5xg+7x 2 111 +10X 此时直线MN过定点(2，I), 931 (15分) 所以直线MN过定点，该定点的坐标为(2,1). a2+b2=5, (17分) 18.(1)解：由题意知A(a,0),B(0,b),且b1 a =2’ 19.(1)解：f(x)=sinx不是R上的“t倍超导”函数. 解得b=1,a=2, 理由如下： 假设f(x)=sinx是R上的“t倍超导”函数， 所以C的方程为+y=1. (4分) 则Hx∈R,f(tx)≥tf'(x)恒成立， (2)()解：当点M在第一象限且MN的中点为O时， 即sin tx≥tcos x, 设M(p,9),则N(-p,一q), 当x=0时，0≥t,与t为正数矛盾， 故f(x)=sinx不是R上的“t倍超导”函数.(3分) 且0+g2=1,p>0,9>0,所以p2+4g2=4,(5分) (2)解：因为k(x)=x3十a(x+3)是(0，十∞)上的“3倍 因为2(p2+4g2)≥(p+2q)2,所以(p+2q)2≤8， 超导”函数，所以对Hx∈(0，十∞)，k(3x)≥3k'(x)恒 即p十2q≤2√2，当且仅当=2g=√2时，等号成立， 成立， (7分) 即27x3+a(3x十3)≥3(3.x2+a)在(0，+c∞)上恒成立， ×24+2x7×=b+24<2, 1 即9x3+ax≥3x2在(0，十∞)上恒成立，即a≥3x-9x2, 所以S四边形AMBN=2X 112， 所以四边形AMBN面积的最大值为2√2. (9分) 又a≥8x-9r=-9-+在0，+y上恒 (i)证明：由题意知直线MN的斜率不为0， 成立， 设lMw:x=my十t,M(x1,y1),N(x2,y2), 所以a≥4，故a的取值范围为 (7分) (x2 联立4+y2-1, (3)证明：因为g(x)=x2十mx十m是R上的“1倍超 x=my+t, 导”函数，所以Hx∈R,g(x)≥g'(x)恒成立， 消x得(m2+4)y2+2mty+t2-4=0, 即x2十(m-2)x≥0恒成立，所以m=2. 则△=4m2t2-4(m2+4)(t2-4) 此时e十x2十x十xln(-x)<g(x)十l等价于e =16(m2-t2+4)>0, x+xln(-x)-3<0. (9分) 下面证明该不等式成立： y1+y2=- 2mt t2-4 m2+4'y1y2= m2+4' (11分) 令h(x)=e-x+xln(-x)-3(x<0), 由(1)知A(2,0),B(0,1), 则h'(x)=e+ln(-x). 所以1my己+1，令y=0,符= 工1 当x<-1时，h'(x)=e2+ln(-x)>0. 当-1≤x<0时，令p(x)=h'(x), 同理1x议十1，令y=0,得0 则ga)=+2 (12分) 因为A为PQ的中点， 因为≤-1e<1,所以ga)<0, 所以t”-4小 即h'(x)单调递减， (11分) 1-y2 =e-1<0, 整理得(2m+4)y1y2十(t-m-4)(y1十y2)+4-2t=0, 所以2m+0生 um》 2mt +4-2t=0, 所以3z,∈(-1，启)：使)=0， 化简整理得(t十m)2=2(t十m), 故当x∈(-∞，xo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增； 所以t十m=0或t+m=2. (15分) 当x∈(xo,0)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 当t十m=0,即t=-m时， 即可得h(x)max=h(xo)=eo一xo十xoln(-xo)-3. lMN :x=my+t=m(y-1), 因为h'(xo)=0,所以e=-ln(-xo), 此时直线MN过定点B(0,1),舍去； 即xoeo=-xoln(-xo）=e'olne, (13分) B 数学答案（四）第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 令t(x)=一xln(-x),易得其定义域为(-∞，0)， 所以xo=-eo,所以ln(-xo)=xo, 则（红）=(-c),因为当x<-时， 可得h(xo)=x-2x0-3. (15分) t'(x)=-ln(-x)-1<0, 因为x(1,》, 所以1x)在(-60，-是)上单调递减， 所以h(x)=x6-2x。-3<0, 又因为h(x)≤h(xo),所以h(x)<0, 又，∈(1，)所以-e<-是 所以e+x2+x十xln(-x)<g(x)+1得证.(17分) 数学答案（四）第5页（共5页） B