备考信息导航演练2-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（B版）

2024一2025学年度备考信息导航演练 光题 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x|x>a},B={xlx2一3x+2≤0}，若A∩B≠☑，则实数a的取值范围为 () A.（-∞，2) B.(-∞，-2] C.(-∞，1) D.(-∞，1] 2.已知(1十ai)(1-2i)=1-2i(a∈R),则a的值为 () A.-2 B.-1 C.0 D.1 3.命题：Hx>1,x3-1>0,则力是 A.Hx>1,x3-1≤0 B.Hx≤1，x3-1>0 C.3x>1,x3-1≤0 D.3x≤1，x3-1≤0 4在数列a中，a=1=21-十2 () an+1 n+2/ ,则am= A B.+1 C.n 2n+1 D.+1 2n+1 5.已知函数f(z)=sin(x十p)o>0,0<p<)的部分图象如图所示，则f(x)在区间 [一3π，3π]上的零点个数为 () 3 12 0 Γ2 A.6 B.7 C.8 D.9 6.已知关于x的不等式xe-a一lnx一x≥0恒成立，则实数a的取值范围为 () A.(-1,1] B.[1,+∞) C.(-∞，-1] D.(-∞，1] 数学试题（二）第1页（共4页） 真题密卷·备习 7.已知正四面体A-BCD的顶点都在球O的表面上，AB=2√3，点M,N,P分别为棱 班级 AB,AC,AD的中点，过点M,N,P作球O的截面，则所得截面圆的面积为 ( ) A.2π B C.4π D.16π 姓名 8.某旅行社开发了一条旅行线路，其中有供游客自由选择的A、B两个景点，游客可以选 择去一个或两个景点游玩，也可以选择两个景点都不去.根据统计数据发现选择去A景 得分 点的概率为0.4，两个景点选择一个的概率为0.5，两个景点都不选择的概率为0.3（记 选择去A景点为事件A,选择去B景点为事件B),则 ( A.P(AB)=0.3B.P(BA)=0.6C.P(AB)=0.6 D.P(BA)=0.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知正实数a,b满足a2-ab-b十3=0，则 () A.a<2 B.b≥2 C.a+b≥4√2-4D.a-b>-3 x2 x2 y2 0.已知稀圆C6十1m之0双线C261m>0有获同焦点R, P是C1与C2的公共点，C1,C2的离心率分别为e1,e2,且e2= 2√6 3e1,则 () A.m2+n2=10 B.e=3 2 C.点P到C2的两条渐近线的距离之和为6 D.△FPF2的面积为2√6 11.已知定义在R上的函数f(x),g(x)满足f(4一x)=f(x),g(2一x)十g(x)=一2， g(x+1)=f(x)-1,g(2)=0,则 () A.f(x)是奇函数 B.g(x)是周期函数 c.罗f)=-1 i=1 2025 D.28(i)=-2025 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某高中将甲、乙等六名安全宣传员平均分配到三个年级协助年级搞好安全宣传活动， 则甲、乙两人不在同一年级的分配方法共有 种.（用数字作答） 13.已知a,b为单位向量，且(a-b)L(2a十b),若a,b的夹角为，则实数入的值 为 14.已知点M,N分别是抛物线C:x2=4y和圆E:x2+（y一5)2=4上的动点，若抛物线C 的焦点为F,则MN|+,NF的最小值为 信息导航演练 数学试题（二）第2页（共4页） B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2c-b)sin Ccos A= csin Acos B (1)求A; (2)若a=3,求△ABC周长的最大值. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PBC与△ADC为正三角形，PB=√2AP= √2AB=√2AC,G为BC的中点. (1)证明：DG⊥平面PAC. (2)求平面PDG与平面PDC夹角的余弦值. 17.(15分)记数列{am}的前n项和为Sm,且a1=4,n2(Sm-1)=n2Sm-1十2n+1(n≥2). (1)求{am}的前n项积. 2令6a-名， 数列6，的前n项和为T证明：当n≥2时，m二十+<T -1+2. 18.(17分)某科技企业自2019年创建以来，不断加大研发投人，走科技创新之路，年利润 得到较快增长，将2019一2023连续五年的年份代码依次记为1,2,3,4,5，把五年的年 利润y(单位：千万元)与年份代码x之间的关系用下面的散点图绘出. ↑利润 16 ● 14 12 10 ● 6 2 ● 年份代码 0 1 34567 B 数学试题（二）第3页（共4页） 真题密卷·备 :=x,v:=lny:(i=1,2,3,4,5). 含a- 2(u:-)2 2(u:-)(y:-y) 含红-)，-) 2w-) 含 374 4.9 187 6.3 100 381.25 6 (1)设{μ：}和{y:}的相关系数为r1,{x:}和{：}的相关系数为r2,请从相关系数的角度， 确定y=bx2十a和y=er+a(其中a,b,p,g均为常数，e为自然对数的底数)哪一 个拟合程度更好； (2)根据(1)的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)若2024年该企业实际年利润为20.1千万元，根据(2)求得的回归方程，求2024年 年利润的残差， 附：①对于一组数据(m1,t1),(m2,t2),…,(mm,tm),其回归直线t=a十m3的斜率 (m:-m)(t:-i) 和截距的最小二乘估计公式分别为3= i=1 ，a=t一m3,相关系数r 含m,一mP 2(m:-m)(t:-t) m,-m√含：-) ②参考数据：√374≈19.34. 19.(17分)定义：已知函数y=f(x)和y=g(x)在区间D上均有意义，曲线y=f(x)在点 A(x1,f(x1)(x1∈D)处的切线为y=ax十b(a,b∈R),且曲线y=g(x)在点B(x2, g(x2)(x2∈D)处的切线也为y=ax十b,则直线y=ax十b是曲线y=f(x)和y g(x)的公切线，且f(x)≤ax十b≤g(x)(a,b∈R),则称曲线y=f(x)和y=g(x)是可 分割曲线，直线l:y=ax十b为两曲线的分割线.已知函数f(x)=2n(x十1)+a+8, x+21 1 g)=2x2+2x. (1)若f(x)为增函数，求实数a的取值范围. (2)当a=一8时，回答下面两个问题： (i)求曲线y=f(x)和y=g(x)的公切线， (i)证明：曲线y=f(x)和y=g(x)是可分割曲线. 专信息导航演练 数学试题（二）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练 数学（二） 一、选择题 1.A【解析】B={x|1≤x≤2}，若A∩B≠⑦，则a<2. 三角形，所以外接圆半径R 2v3 2sin60=2,所以栽面圆 2.C【解析】因为(1+ai)(1-2i)=(1+2a)+(a-2)i=1 的面积S=πR2=4π. -2i,所以1十2a=1且a-2=-2,所以a=0. 3.C【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以7p:3x>1,x3-1≤0. B【限折】周为=-2》-20 n十2，所以 a,=2m十iD则a,=a1×8×2x2×…xa. am+1n十2 - a1 a2 a3 an-1 D =1X品×3文××…×装 2Xn 2 8.C【解析】由题意P(AB)十P(AB)=0.5,P(AB)= 0.3,因为P(AB)+P(AB)十P(AB)十P(AB)=1,所以 5.A【解标】图为了0)=n9=2,又0<g<受所以 P(AB)=1-P(AB)-P(AB)-P(AB)=1-0.5-0.3=0.2, 一吾因为f)的图象过点1，D,所以sn(包+） tA:国方PQ4所aP8A-P8》号 0.5,故B错误；由全概率公式得P(A)=P(AB)+ 1,所以+吾=受+2kk∈z,即w=晋+2,6∈ P(AB),所以P(AB)=P(A)-P(AB)=0.2,又 乙.由智>2，得T>4,所以2>4，所以w<受又w> T P(AB)+P(AB)=0.5,所以P(AB)=0.5-P(AB)= 0.3,由全概率公式得P(B)=P(AB)+P(AB)=0.5,所 0,做a-子，所以f(x)=sn(行+）令fx) 以PA1B)=PAB)0.3 P(B)-0.5=0.6,故C正确；P(BA)= m(+若）=0则 十6=π，k∈Z,所以x=3 P(AB)_0.3-0.5,故D错误. P(A)0.6 会由a≤名≤，得十日<<x十行，则 1 二、选择题 9.BCD【解析】当a=3,b=3时，a2-ab-b+3=0成立， k=一2，-1,0,1,2,3，所以f(x)在区间[-3元，3]上有 6个零点. 故A错误：因为6=。+3_a十1)-2(a+1)+4 a+1 a+1 6.D【解析】令f(x)=xe-a-lnx-x,则f(x)= enx+z-a-lnx-x.令lnx十x=t,则t∈R.令g(t)= a+1+a41-2≥2a+0g千-2-2，s且收 e-a-t,则g'(t)=e-a-l.令g'(t)=0,则t=a,当t∈ 当a十1=2，即a=1时取等号，故B正确；a十b=a十 (-o∞，a)时，g'(t)<0,g(t)单调递减；当t∈(a,十o∞) 时，g'(t)>0,g(t)单调递增，即g(t)≥g(a)=1-a.若 +9-a++.:-e2a+1 a+1-3- f(x)≥0恒成立，则g(t)≥0，即1-a≥0，所以a≤1，即 a∈(-∞，1. 45-3>42-4,放C正确；a-6=4-。2十3 a+1≈1 7.C【解析】将正四面体A-BCD补成边长为√6的正方 体，如图，则M,N,P分别为该正方体三个面对角线的 ,图为五数@)=1在a长0，十)上为带 4 交点，根据正方体的对称性，过点M,N,P三点的平面 函数，所以f(a)>f(0)=-3,故D正确. 与过B,C,D三，点的平面平行，且过点M,N,P三点的 10.ABD【解析】因为16-m2=n2+6,所以m2+n2= 截面圆面积等于过B,C,D三点的截面圆面积，即 △BDC外接圆的面积，因为△BDC是边长为2√3的正 10,故A正境：为e-16m,6,所以 4 数学答案（二）第1页（共4页） B 真题密卷 备考信息导航演练（二） √n2+62W6、√16-m n 3 4 1a×bXa营-1-2，解得-号 n=10,解得m=2,n=6,所以C的方程为父_ 14.23【解析】由抛物线C:x2=4y,可得焦点坐标为 66 二1 F(0,1),由E:x2+(y-5)2=4,可得E(0,5),半径r= 即e巨，e= 2,故B正确；由选项B可得，C的方程 2,设定点P(0,t),满足2|NF|=|NP|成立，且 为十y兰一1，不妨设点卫在第一象限，联立 N(c,w),即，+0-)=+o-1D恒成 2一-6，解得P(22,所以点P到两条渐近 立，所以3.x6+3y8-(8t-2)y十4t2-1=0①，又x8+ x2+4y2=16, y8-10y0+21=0②，由①-②×3得2(4-t)y=16- 线的距离之和为2巨+22+巨=4，故C错误，图为 ,解得4=4，所以P(0,4),所以定点P满足2引NF= √2 √2 R,R=4,所以△F,PF,的面积S=×45XE INP应减立，可得N+F=MN+NP, 如图所示，当且仅当M,N,P在一条直线上时，此时 =2√6，故D正确. |MN+|NP|取得最小值MP|,设M(s,m),|MP= 11.ABD【解析】因为g(x十1)=f(x)-1,即g(x)= √52+(m-4)=√4m+m2-8m+16=√(m-2)2+12≥ f(x-1)-1,由g(2-x)十g(x)=-2,得g(1-x)十 23,当m=2时，等号成立. g(1+x)=-2,得f(1-x)-1)-1+f(1+x)-1) 四、解答题 1=一2，可得f(一x)十f(x)=0,所以f(x)为奇函数，故 15.解：(1)由(2c-b)sin Ccos A=csin Acos B, A正确；由f(4-x)=f(x),得f(4十x)=f(-x)= c(2sin Ccos A-sin Acos B)=bsin Ccos A, -f(x),所以f(8十x)=-f(x十4)=f(x),可知8为 f(x)的一个周期，因为g(8+x)=f(8十(x-1)一1= 所以2 sin Ccos A--sin Acos B=bsin Co cosA,(2分) c f(x-1)-1=g(x),所以8是g(x)的一个周期，故B正 确；因为f(4十x)=-f(x),所以f(x)十f(x十4)=0， sin BinC,所以sinC 由正弦定理，得，6 -=sin B, c 即[f(1)+f(5)]+[f(2)+f(6)]+[f(3)+f(7)]+ E2sin Ccos A-sin Acos B=sin Bcos A, (5分) Cf④+f8)]=0,即2fi)=0,因为g(2)=0,所以 所以2 sin Ccos A=sin(A+B) f1)=1,由于8为f(x)的一个周期，所以罗f() 因为A+B=r-C,所以2 sin Ccos A=sinC, 因为C∈(0，x),所以sinC≠0， 253×0+f(1)=1,故C错误；f(3)=f(1)=1,f(4)= 所以0sA=2' 1 f(0)=0,因为g(x十1)+g(x+5)=f(x)+f(x+4)- 2=-2,所以[g(1)+g(5)]+[g(2)+g(6]+[g(3)+ 因为A∈(0，，所以A=于 (7分) g7)]+[g(④+g(8]=-8,所以2g)=-8,由于8 (2)由余弦定理，得b2+c2-a2=2 bccos A=bc,(9分) 为gx)的一个周期，所以罗g日)=253×（一8）十g1)= 因为a=3,所以(b十c)2-9=3bc≤3× b+c)2 -2024十f(0)-1=-2025,故D正确. 2， 三、填空题 (11分) 12.72【解析】解法一：6人平均分到3个年级，共有 则(b+c)2≤36，即b+c≤6， CC=90种分配方法，其中甲、乙两人在同一年级的 当且仅当b=c=3时取等号， 所以△ABC周长的最大值为9. (13分) 共有CA18种分配方法，所以甲、乙两人不在同 16.(1)证明：因为PB=√2AP=√2AB, 一年级的分配方法共有90一18=72种. 所以AP2+AB2=PB2, 解法二：甲、乙分别从另外四人中各选一人与自己组成 即PA⊥AB,同理PA⊥AC, (1分) 一组，然后6人再平均分配到三个年级共有CCA= 因为AB∩AC=A,AB,ACC平面ABCD, 72种. 所以PA⊥平面ABCD, (2分) 因为DGC平面ABCD,所以DG⊥PA. (3分) 13,4【解析】由(a-b)⊥(2a+b),得(a-b)·(2a+ 因为AB=AC,且AB2+AC2=PB2=BC2, b)=0,整理得(1一2入)a·b=入一2，所以(1一2λ)X 所以△ABC为等腰直角三角形， B 数学答案（二）第2页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 连接AG,则AG-号BC-GC, 22、32、42 (5分) n2 -=(n+1)2. (6分) 因为AD=DC,所以DG⊥AC, 又因为AP∩AC=A, 由)知，6，=a-2=n+20】 n2 n 又AP,ACC平面APC, 1 所以DG⊥平面PAC. (6分) ,所以61=2， (7分) (2)解：由(1)知，AB,AC,AP两两互相垂直， 所以分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,之轴， nm-D1+1、1 当m≥2时6.=1+是1+n 1 n-1n, 建立如图所示的空间直角坐标系， (9分) 所以7，<6，+-+1-号+号++ +1-1=m-1+2, n-1 n (11分) n 当n≥2时，6-1+是>1++D-1+日 n n+1' (13分) 不妨设PA=2,则B(2,0,0),C(0,2,0), 所以T.>6+a-1+号+号+日 n 所以G(1,1,0),又D(-√3,1,0)，P(0,0,2), 1 则PG=(1,1,-2),PD=(-3,1,-2),PC=(0,2, -2), (8分) 综上<2 (15分) 设平面PGD的法向量为n=(x,y,z), 18.解：(1)令u=x2,则y=bx2+a可化为y=b十a, 则 PG·n=0,mx十y-2z=0, 即〈 P市.n=0,-3x+y-2x=0, :-):-y） =1 187 r1= 令之=1，则y=2,x=0, W√374×10 所以n=(0,2,1). (11分) 187 设平面PDC的法向量为m=(a,b,c), 19.34×10≈0.97. (2分) PD·m=0,a 0即3a+b-2c=0, 令o=lny,则y=er+9可化为lny=px十q, 则p元，m=0,26-2c=0, 即v=px十q, 令c=√3，则b=√3，a=-1, 因为2(x,-x)2-10, (3分) 1=1 所以m=(-1,W3,√3). (14分) (x:-x)(u:-0) 6.3 |m·n33_3√105 所以r2= i=1 故cos<m,n)=mn5X7 /10×W/4.9 35 =1 所以平面PDG与平面PDC夹角的余弦值为3o5 =0.9, (4分) 35 则r1>r2,因此从相关系数的角度来看， (15分) 模型y=bx2+十a的拟合程度更好. (5分) 17.(1)解：由n2(Sn-1)=n2Sm-1+2n+1, (2)由(1)知，用模型y=bx2十a更合适， 得n2(Sm-Sm-1)=n2+2n十1， 令μ=x2,则y=bx2十a可化为y=bu十a, 所以n2am=(n+1)2, (2分) 2:0o.-）18 当n≥2时，a.=n十1)2 所以= 374 =0.5, (7分) n2, (u-r)” i■1 又a1=4满足a,=m+1)2 n2, 因为2=1+4+9+16+25 11, (8分) 5 所以a,}的通项公式为a,-n+1), n2, (4分) 因为2(0，-y)2=20y-2yy+y2) i-1 i=1 所以a1·a2·a3·…·an --2y+ 数学答案（二） 第3页（共4页） B 真题密卷 备考信息导航演练（二） =2y-2y×5y+5y=2-5y2. (11分) 所以、2 2x1+1=x2+2, 所以100=381.25-5y2,解得y2=56.25, 且21n(z1+1)- 2x1 1+1- 2x, (10分) 因为y>0,所以y=7.5, (13分) 所以a=y-=7.5-0.5X11=2, 将x十1一2代人2n(+1)-2 2 所以y关于x的回归方程为y=0.5x2+2.(15分) (3)因为y关于x的回归方程为y=0.5x2+2, 整理得ln(x十1)=(z1十1)2 所以当x=6时，=0.5×62+2=20， (16分) 令h(t)=ln(t+1)- t 即2024年该企业的年利润的预测值为20千万元， (t+1Dt>-1), 所以2024年年利润的残差为20.1一20=0.1千万元. 则h'()=t+3) (17分) (+1)(>-1D, 当t∈（一1,0）时，h'(t)<0,h(t)单调递减；当t∈(0， 19.(1)解：因为f(x)=21n(x+1)+a+8 x+2’ 十∞)时，h'(t)>0,h(t)单调递增，所以h(t)mim= 商以r)-异》 h(0)=0,故h(t)=0只有一个根，此时t=0,即x1= (1分) @,此时22,2na+D在0，放公切线为 若f(x)为增函数，则x∈(-1，十∞)，f(x)≥0恒成立， 即2一a+8门 y=2x. (13分) x+1(x+2)≥0恒成立， (i)证明：令s(x)=f(x)-2x=21n(x+1)-2x, 即a+8≤ 2(x+2) x+1 恒成立， (3分) 则异 x十1' 当x>-1时， 由s(x)>0,得-1<x<0;由s'(x)<0,得x>0. 2(x+2)22[(x+1)+1]2 所以当x∈（一1,0）时，s(x)单调递增； x+1 x+1 2x+10+++2企8 当x∈(0，+∞)时，s(x)单调递减， 当且仅当x=0时取等号， 所以s(x)≤s(0)=0, (14分) 所以a十8≤8，即a≤0， 所以f(x)≤2x; 所以实数a的取值范围为(-∞，0]. (6分) 1 (2)当a=-8时，f(x)=2ln(x+1), 令r(x)=g(x)-2x=2≥0， 0解：A1,2n(+1D),B(:日+2x小， 所以g(x)≥2x, 所以f(x)≤2x≤g(x), 因为f)=异ge)=z十2， 又由()可知， (7分) y=2x是曲线y=f(x)和y=g(x)的一条公切线， 所以1的方程为y一2n(x1十1)=x,十7z-x), 所以曲线y=f(x)和y=g(x)是可分割曲线. (17分) 2 2x1 即y=,++2n(x+1D-1+ 同理1的方程他为y=(红：十2》江一号， (9分) B 数学答案（二）第4页（共4页）