备考信息导航演练1-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（B版）

2024一2025学年度备考信息导航演练 光题 数学（一） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x2x<10},则集合A∩N*的子集个数为 ( A.3 B.4 C.8 D.16 2.在△ABC中，已知BD=DC,EC=2AE,则D尼- () A店+3ad B.2AB+gAC 1、 C.3AB-2AC D. 1 2AB-6AC 2 3 3.sin cosa 一的最小值为 () A.5 B.5+2√6 C.12 D.5-2√6 十1十2-1+logx,则满足不等式2f(a)+fa+1)>10的a的取值 3x 4.已知函数f(x)= 范围为 () A.(10,+∞) B.(0,1) C.(2,十∞) D.(1,十∞) 5.甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自备选的10道题 中分别抽取2道题现场回答，已知在10道备选题中，有5道是代数题，5道是几何题，则 甲、乙二人抽取的4道题目中恰有2道代数题的概率为 () A 3 B.2 c品 D.4 1y2 6.设F1为椭圆C:+-1a>6>0)的左焦点，A,B是C上的两个动点，若△AFB 周长的取值范围为(m,3m],则C的离心率为 () 2 A.2 C.z 1 D.3 数学试题（一）第1页（共4页） 真题密卷·备 7.已知数列{an}的前n项和Sn=2m+1一2，等差数列bm》满足b1=一5，b5=5b2,数列{cn}满 班级 足cn=an一bn,设数列{cn}的前n项和为Tm,若对Hn∈N*,都有Tn≥Tk,则k=() A.6 B.7 C.8 D.9 8.设a十log2a=3,2b十log2b=6,3c+log2c=9,则 姓名 ( A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a -- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 得分 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数fx)=-sin(x十p)o>0,lp<)的最小正周期为，fx-)是奇函数， 则 ) A.w=2,4=3 元 Bf)的图象关于直线x-一D对称 C.f(x)在 -6’3 上单调递减 D,将f)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=c0s2x的图象 Q.已知双曲线C31a>0,b>0过点B8,42和点P(y,F,F,为电 左、右焦点，且A(1,2)在其渐近线上，则 () A.C的焦距为√5 B.当yo=4时，△PF1F2为直角三角形 4W5 C.当yo=S时，△PFF:为直角三角形 D.当|PF1|=2|PF2|时，△PF1F2为直角三角形 11.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2,AA1=√3，E,F分别为AB,B1C1的中点，P为 线段A1C上的动点，A1,E,C,F四点均在球O的表面上，则 ( A.EF∥平面ACC1A1 B.几何体A1B1BEFC的体积为2 C.球O的表面积为7π D.AP+PE≥7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知(1+2i)(之一1)=5，则之的虚部为 2x+1 13.函数fx)=2-2图象的对称中心为 专信息导航演练 数学试题（一）第2页（共4页） B 14.已知am=2n一1，现从数列{an}的前10项中任取3项，则这3项能构成等差数列的概 率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知√2 bcos A=acos C+ ccos A. (1)求A; (2)若cosA=√2sinB,△ABC的周长为√6+3√2+2，求△ABC的面积. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PB=PD=4,∠PDA= 60°，M是CD的中点，AM=√5. (1)证明：平面PAM⊥平面ABCD. (2)若N是棱PB的中点，求直线PC与平面AMN所成角的正弦值. 17.(15分)某工厂生产一种商品，为了解该种商品的销售额与居民收入之间的关系，该工 厂派人收集了某城市近10年的居民年收入与该商品销售额的数据，如表所示： 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民收人x(亿元) 32.231.132.935.837.138.039.043.244.646.1 商品销售额y(万元) 25.030.034.037.039.041.042.044.048.050.0 已知上述数据的样本平均数为x=38,y=39,样本方差为s2=25,s子=54.6，用最小二 乘法得到的经验回归方程为y=x一14.2. (1)求相关系数r(保留2位小数). B 数学试题（一）第3页（共4页） 真题密卷 (2)利用经验回归方程，预测当居民收人达到50亿元时该商品的销售额为多少万元？ (3)若从上述居民收入不超过40亿元的年份中任取3年，设其中有X年该商品的销售 额超过40万元，求随机变量X的分布列和均值. 2(x:-x)(y:-y) (x:-x)y:一y 参考公式：r ,6-i ,a=y-bx; /②(x-x)22:-y)2 2z:-2)2 W=1 1 参考数据：√54.6=7.4. 18.(17分)已知M(1,-2),抛物线C:y=ax2(a>0),过点M作直线ME和MF都与C相 切，切点分别为E,F,EF的中点为N. (1)若ME⊥MF,求△MEF的面积； (2)试判断直线MN与y轴的位置关系，并给出证明. 19.17分)尼知两数f)=2-mx+1-至，数列a,}满足a1号a1=sm(受，月 (1)直接写出a2,a3,a4的值. (2)求/：)在[牙，哥引上的大值和最小值， (3)证明：当n≥2时a,>1-(任)。 备考信息导航演练 数学试题（一）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练数学（一）】 一、选择题 n≥7时，cm>0,因此当n≤6时，数列Tm》单调递减； 1.C【解析】因为集合A∩N={1,2,3},其中有3个元 当n≥6时，{Tm》单调递增，因为Tm≥T6,故=6. 素，所以它共有23=8个子集 8.D【解析】由a十log2a=3,得1og2a=3-a,由此可得 2.D【解析】连接AD,D成-A正-A市=A花-（店 a是方程log2x=3-x的根，也是直线y=3-x与曲线 y=log2x交点的横坐标；同理，b是直线y=6一2x与 +ò)=-号店-后花 曲线y=log2x交点的横坐标，c是直线y=9一3x与曲 线y=log2x交，点的横坐标.由于上述三条直线相交于 3.B【解析】因为sg+coSg=（sina十cos22), 一点(3,0)，结合函数图象可得c>b>a. （品。十2)-5+21518，里 sin2a cos2a 仅当tana=y 3时，等号成立，所以2 3 Sin2a.十cos2的最} 小值为5+2√6. 4.D【解析】因为f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以函数 g(x)=2f(x)+f(x十1)在(0，十∞)上也单调递增，因为 二、选择题 g(1)=2f(1)+f(2)=10,所以不等式2f(a)+f(a+1)> 9,BD【解折】白已知得。-无-2，于)的图象关于点 10可化为g(a)>g(1),因此a∈(1，十∞). 5.C【解析】甲、乙二人从10道备选题中各自独立地抽 (-牙0)对称，从而f(-）=0,由此2x(）+9 取两道题，不同的抽法共有CC。=45×45种，其中恰 有2道代数题的抽法共有CC·CC+2CC号=25X xE刀，所以9=x十号ED,又因为pl<受，所 33,所以甲、乙二人抽取的4道题目中恰有2道代数题 的微本为X朗-品 以9=-3，放A错误影fx)=n2x-）,因为当 6.D【解析】当AB经过右焦，点F2时，△AF1B的周长 t=一时，2红一子=一受，所以了x)的图象关于直线 为4a;当AB不经过F2时，因为|AB|<|AF2|+ IBF2|,所以|AB|+|AF1|+|BF1I<|AF2|+|BF2|+ x=对系，故B正确：周为当x[后时，2江 |AF1|十|BF1|=4a.综上，△AF1B周长的最大值为 4a,即3m=4a.又因为m=2(a-c),所以4a=6a- 6c,即a=3c,或C的高心率e=行 错误；因为f(+）=n(2x十）=cos2z,放D正痛。 7.A【解析】由已知得am=2",bn=20n-25,cn=2 (b二2， a a=1, 20n十25，则cm+1-cm=2m+1-20(m十1)+25-2"+ 10.BCD【解析】由已知得 62,从5 解 932 20n-25=2m-20,所以当n<5时，cn+1<cm;当n≥5 a262=1, 时，cn+1>cn,所以，c1>c2>c3>c4>c5<c6<c?<c8< …,又因为c1=7>0,c2=-11<0,c6=-31<0,c7= c-5,C的焦距为25，故A错误；C的方程为x2- 4 13>0,所以当n=1时，c1>0;当2≤n≤6时，cm<0;当 1,由y0=4,可得x0=士√5，从而P(5,4)或 数学答案（一）第1页（共4页） B 真题密卷 备考信息导航演练（一） P(-5,4),又因为F1(-√5,0)，F2(5,0),显然此 13.1,4） 2x+1,22-x+1 【解析】f(x)十f(2-x)= 2-222-x-21 45 时△PF1F2为直角三角形，故B正确；由y。= 5,可 2+1 4+2x 2-221 2-2 4-2X2- 2(2-2)=2,所以f(x)图象的 对卷中心为1，》 PE-周为F·E-0所以 14.6 【解析】从数列{am}的前10项中任取3项，取法 ∠F1PF2=90°，因此△PF1F2为直角三角形，故C正确； 10×9×8 由PF1-PF2=2,|PFI=2PF2,得PF1=4,PF2= 总数为C1。=3X2×1 =120种，其中取到的3项能构 2,又因为F1F2=25,所以PF12+|PF2|?=|F1F2|P,因 成等差数列的取法共有8十6十4十2=20个，所以其概 此△PFF2为直角三角形，故D正确. 率为P=0百 201 11.ACD【解析】如图，取AC的中点Q,连接EQ,QC1, 四、解答题 又E,F分别为AB,B1C1的中点，所以EQ∥BC∥ 15.解：(1)根据正弦定理，由√2 bcos A=a cos C+ccos A, FC,BQ=号BC=FC,所以回边形EQC,F是年行 得√2 sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A,(2分) 四边形，所以EF∥QC1,又EF寸平面ACC1A1,QC 即√2 sin Bcos A=sin(A十C), (3分) C平面ACC1A1,所以EF∥平面ACC1A1,故A正 即√2 sin Bcos A=sinB, (4分) 确；因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1F⊥平面 BCC1B1,CE⊥平面ABB1A1,又AB=2,AA1=√3， 又因为sinB≠0，所以cosA= 2 (5分) 所以V元行体A,B,BEFC=V三接拉ARCA,B,C,一V三我A1F0C, 又因为A∈0，)，所以A=至 (6分) 3×4X V:线AA=V:我AKA,G,一2V三限C= 2)由osA=EsnB,A=至，得sinB- 21 厅-2×号×号×1×5×=2，故B错民：周为 1 又因为B∈(o,）,所以B= 3π 6, (8分) △A1EC与△A1FC均为以A1C为斜边的直角三角形， 所以点O为A1C的中点，所以球O的表面积为 于是sinC=sin(A+B)=6+2 (9分) 4 9)’-=A.C=AA+AC)=7,技CE0: 由正弦定理得， 因为A1E=√A1A2+AE=2=A1C1,CE=CC1=√3， a:6:c=sinA:sinB:sinC=2:是：6+2 4 CE⊥A1E,A1C1⊥C1C,所以△AEC≌△A1C1C,所 以PE=PC1,所以AP+PE≥AC1=√7，故D正确. 所以a=√2b,c= 6+E6, 2 a+b+c= 6+32+2b, 2 又因为a+b+c=√6+3√2+2，所以b=2,a=2√2， (11分) 因此△ABC的面积 2absin C= ×2x2×6+2-5+1. 1 4 三、填空题 (13分) 5(1-2i) 16.(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，M为CD的中 5 12.2【解析】因为z=1十2+1=a十2)-2D+1=2 点，AM=5,所以AD=2. (1分) 2i,所以之=2十2i,其虚部为2. 在△PAD中，由余弦定理得 B 数学答案（一）第2页（共4页）】 ·数学· 参考答案及解析 PA=WAD2+PD2-2AD·PDcos∠PDA=2√5， 2(x:-x)(y:-y) 因为PA2+AD2=PD2=16,所以∠PAD=90°， b= 即PA⊥AD, (3分) 2(x:-x)” 又PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB (5分) 所以 L2(x:-x) n-1 5 因为AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD, 12(y:-y) 7.4 (5分) 所以PA⊥平面ABCD. (6分) n i-1 又因为PAC平面PAM, 5 所以平面PAM⊥平面ABCD. (7分) 因此r=7.4X1.4≈0.95. (6分) (2)解：由(1)得PA=2√3，AB=AD=2,AB,AD, (2)由(1)得=1.4，所以回归方程为y=1.4x一14.2， PA两两垂直，故以A为原点，AB,AD,AP所在直 令x=50,得y=55.8, (8分) 线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角 因此，当居民收入达到50亿元时， 坐标系 (9分) 该商品销售额的预测值为55.8万元. (9分) (3)在样本中居民收入不超过40亿元的年份共有7 个，其中该商品的销售额超过40万元的年份只有2 个，故随机变量X服从超几何分布，X的可能取值为 0,1,2, (11分) P(X=0)= C2C 2 C=7' B 则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2√5)， P(X=1)= C2C%4 C=7 M(1,2,0),N(1,0,3), 于是AM=(1,2,0),AN=(1,0,W3), P(X=2)= CC 1 C9=7, (13分) P元=(2,2，-2W3). (10分) 故随机变量X的分布列为 设平面AMN的法向量为n=(x,y,之)， X 0 1 2 AM·n=0,x+2y=0, P 2 4 1 则 即 AN.n=0,x+3x=0, 7 7 (14分) 令=1，得-(5，小， (12分) E(X)=0x号+1x号+2x-号 16 (15分) 设直线PC与平面AMN所成角为0， 18.解：(1)设过点M(1,-2)与C相切的直线方程为y十 则sin0=|cos(PC,n)|= PC.n 3 2=k(x-1), PCIn 厚xm y+2=k(x-1), 由 得ax2-kx十k十2=0， ly=ax2, -3√285 (14分) 95 由△=(-k)2-4a(k+2)=0,得k2-4ak-8a=0, 因为直线ME,MF都与C相切， 因此直线PC与平面AMN所成角的正弦值为3/25 95 所以它们的斜率是方程k2一4ak一8a=0的两根. (15分) 由已知得1，=-8a=-1,因此a 8, (2分) 17.解：(1)由题知，点(38,39)适合方程y=x一14.2， 即39=383-14.2，解得6=1.4， (2分) 则C的方程为y=gy= 1 4℃. (3分) (x:-x)(0:-y) 设切点E的坐标为(m,n), 因为r i=1 1 则切线ME的方程为)一”=nc一m)， 数学答案（一）第3页（共4页） B 真题密卷 备考信息导航演练（一） 即m.x-4y-4n=0, 又因为直线ME经过点M(1,-2), 所以m-4n+8=0, 所以f(x)max=0, (7分) 所以切点E在直线x一4y+8=0上， 因此f(x)在 上的最大值为0，最小值为1一 同理切点F也在直线x一4y十8=0上， 所以直线EF的方程为x一4y+8=0. (5分) √3π 212 (8分) 点M到直线EF的距离d-1-4X(一2)+8-V丽， √12+4 (3)证明：当n-1时a=∈[小， y= 4x+2, 由 得x2-2x一16=0， 假设e,∈[日小∈N).则受a:∈[任，） y= 所以EP=√+忘)g+416)= 17 2, (7分) 比时ae[日小， 所以△MEF的面积 s-号BFdx号xwm-17厘 (10分) 4 (9分) 因此，对于Yn∈N,都有a,∈[2,1) (2)直线MN与y轴平行，证明如下： (10分) 由2)得，当x∈[任，)时，f)0, (11分) E(,y1),F(z2,y2),N (o,yo), 切线ME的方程为y一y1=2ax1(x一x1)， 又因为a,eB,7.e[贤） 又因为y1=ax1,所以ME:y=2ax1x-ax,(12分) 又因为直线ME经过点M,所以-2=2ax1一ax, 于是f(a.)<0, 同理，一2=2ax2-ax, (13分) 即2×a-sm(经)+1-<0， 所以2a(x1-x2)=a(x1-x2)(x1十x2), 又因为x1≠x2,a>0,所以x1十x2=2, 即.-a1+1-<0， 又因为工，=士，所以，=1 (15分) 所以1-a4<至1-a.), (14分) 又因为M(1,一2)，所以xM=xN,所以直线MN∥y轴. 因此当n≥1时，有 (17分) 19.(1)解：a:=,a 1-a:<1-a), 4a=sin si .√2π (3分) 1-a<1-a), 2)解：由fa)=7x一mx+1-子， 1-a.<1-a, 得∫'x)=2-cosx, (4分) 所以当n≥2时， 所以当x∈[匠）时，'e)<0,f)单调递减： 1-a.<(任）”'a-aw=2×( (16分) 当x∈（管，引时，f')>0,fx)调递增，(5分） 即，>1-号任，原式得证 (17分) 所以-）-1-复 (6分) B 数学答案（一）第4页（共4页）