备考信息导航演练3-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（B版）

2024一2025学年度备考信息导航演练 光题 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 5 1.若集合M=xz2+ax十a十4 =0,a∈R}中仅有一个元素，则a= A.-1 B.5 C.-1或5 D.0 2若，年2=1+则= A.5 B.2√2 C.3 D.4 3.2x2-)° 的展开式中x3项的系数是 ( A.-160 B.-402 C.40√2 D.160 4.已知直线l:2x-y+4=0与圆C:x2+y2一4x一2ay十a2-5=0交于M,N两点，若 △CMN的周长为10，则a= () A.-13 B.3 C.-13或3 D.3或13 5.若a∈0,2，且2a+B-3,则cosB+2sim2a的取值范围是 ( a22 B. C.[0,2] 6.记数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,amam+1=2",4(S11十3)=a,则= ( A.15 B.19 C.14或15 D.18或19 x2,y2 7.已知椭圆C:十)-1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,A,B为C上两点，且满 足AF1∥BF2,∠AF1F2=60°，2AF1=3BF2,则C的离心率为 () 3 c 2 D.3 数学试题（三）第1页（共4页） 真题密卷·备习 8.如图，圆台OO1的下底面为半球O的大圆面，若半球O的体积为18π，则圆台O01侧 班级 面积的最大值为 0 姓名 得分 A.4√3π B.8√3π C.4√2π D.163元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a,β，y是三个不同平面，a,b,c是三条不同直线，则下列说法正确的是 ( A.若a⊥a,b⊥B,&⊥3，则a⊥b B.若a⊥b,a⊥c,则b∥c C.若a⊥B,a⊥y,则B∥y D.若a⊥a,a∥B,bCB,则a⊥b 10.已知函数f(x)=log(ax一x2),则下列说法正确的是 () A.若f(x)的定义域是(0,4)，则a=4 B.若f(x)的最大值为1，则a=4 C.若f(x)在(0,2)上为增函数，则a≥4 D.若fa)在（侵，3）上为减函数，则a=3 11.空间站宇航员的一项主要工作是进行太空实验，太空实验受实验成本和原材料的限 制，实验失败k次后终止实验，假设每次实验成功的概率都是0.2，且每次实验只有“成 功”和“失败”两种结果，若进行多次实验，其中成功的次数记为，则下列说法正确的是 () A.若k=1,则P(E=n)=0.8"X0.2 B.若k=1,且有四次实验机会，则P(5=4)=0.24 C.P(ξ=m)=Cm+k-10.2m0.8,m=0,1,2,… D若P(g=m)最大则5<mm0,12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向址a=z,2),6=(2,-1),若a+b在b上的投影向甘为-b,则x的值为 13.已知抛物线E:y2=2x的焦点为F,A,B,C为E上的三点，且满足FC=2AF+2BF, 则AF+BF的最小值是 14.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(一x十1)+f(x十1)=0，且当x∈[0，]时，f(x)=1一 x2,则登f)= 专信息导航演练 数学试题（三）第2页（共4页） B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，PA=PC=2√2， 侧面PAC⊥底面ABC,D,E分别为PC,AB的中点. (1)求点E到平面PBC的距离； (2)求平面DEP与平面PBC的夹角的余弦值. 16.(15分)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,ain B=3 sin C,cosB= 6 (1)证明：△ABC为等腰三角形 (2)若c=2,求AC边上的中线BD的长. 17.(15分)一盒中装有2个黄球和n个红球，这些球除颜色外，大小材质完全相同，现从盒 中不放回地逐一取出3个球， (1)若n=3,记事件A=“前两次均取到红球”，事件B=“第三次取到黄球”， 求P(BA); (2)记X为取出红球的个数，若E(X)=2,求D(X). B 数学试题（三）第3页（共4页） 真题密卷 18.(17分)已知函数f(x)=xlnx十ax-2,a∈R. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)求f(x)在区间(1，十∞)上的极值； (3)当a<-1时，3x∈(1，+∞)，使得f(x)<(1一e)a-3e,求a的取值范围. 9.(17分)已知双曲线C:-21(a>0,b>0)经过点36)其渐近线方程为y 士√3x,F1,F2分别为C的左、右焦点，过F1作一条射线分别与C和y轴正半轴交于 A,B两点，过F2作与BF1平行的直线L,L与C在第一象限的交点为D. (1)求C的方程. (2)若AB=2AF1,求1的方程. 《)证明十D为定位 备考信息导航演练 数学试题（三）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练数学（三） 一、选择题 7.C【解析】设|AF1|=3x,则|AF2|=2a-3x,|BF2|= 1.C【解析】由题意△=a2-4(a+）=0,解得a=-1 2x,|BF1=2a一2x.在△AF1F2中，由余弦定理可 得|AF22=AF|2+FF2|2-2·|AF1|IFF2|cos60, 或5. 2b2 2 即(2a-3x)2=9x2+4c2-6cx,解得x=6a-3c 2B【解析】国为千21+片，所以1一2年2=1+ 由AF1∥BF2,∠AF1F2=60°，可知∠BF2F1=120°， 解得之=一2-2i,所以z=22. 在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF1|2=|BF2|2十 3.B【解析】由题意可知，(2x-”的展开式通项为 |F1F2|2-2|BF2|F1F2|cos120°，同理可解得x 262b2 x=cGg)(厂-(12.c 2a+c,所以 a-3c2a十c,即2a=5c,所以e=C=2 a 5 x12-3r,r=0,1,…,6.令12-3r=3,解得r=3,所以x3 8.B【解析折】说丰球0的半径为R,所以经R=18,解得 R=3.设圆台的上底面半径为r(0<r<3),高为h,母线 项的系数是(-1)3·(2)3·Cg=-40√2 4.D【解析】因为圆C:x2+y2-4x-2ay十a2-5=0,整 为1，则r2+h2=R2=9,l=√(3-r)2+h2=√18-6r, 理得(x-2)2十(y一a)2=9,即圆心坐标为(2，a),半径 圆台的侧面积S=π(3十r)l=√6π(3十r)√/3一r= r=3,因为△CMN的周长为10，所以|MN|=4,则圆心 √6π√(r+3)2(3-r),r∈(0,3).令f(r)=(r+3)2· (3-r),则f'(r)=2(r+3)(3-r)-(r+3)2= 到直俊1的矩离d-一（叮 =5,所以 (r+3)(3-3r).令f'(r)=0,得r=1.当r∈(0,1)时， 4-a十4=5，解得a=3或13. f'(r)>0,f(r)单调递增；当r∈(1,3)时，f(r)<0, √5 f(r)单调递减，所以当r=1时，f(r)有最大值，即圆台 OO1侧面积的最大值为8√3π. 5.A【解析】cos+2sina=cos(行-2a)十1-cos2a 二、选择题 名wzna1s-aas1 9.AD【解析】对于A,把直线a,b当作两个平面法向量 所在直线，两个平面垂直，所以a⊥b,故A正确；对于 sm(2e-）+1.周为a∈0，引，所以2a- B,垂直于同一直线的两条直线可能异面，相交，平行， 6 故B错误；对于C,垂直于同一平面的两个平面还可能 [晋m2a-）e: 所以cosB+ 是相交关系，故C错误；对于D,因为aB,a⊥a,所以 a⊥B,因为bCB,所以a⊥b,故D正确. 2。的取值龙图是层，2 10.ACD【解析】对于A,由题意ax-x2>0的解集为 (0,4),所以a=4,故A正确；对于B,令t=ax-x2, 6.D【解析】因为amam+1=2”,所以am+1am+2=2+1,两 由y=log4t为增函数，且最大值为1，所以t=ax一x2 式相除可得a+2=2,因为a1=1,所以a2=2,所以当n an 的最大值为，即写=4，解得a=士4，故B绮误；对于 为偶数时，an=2;当n为奇数时，an=2受.S1= C,令t=ax-x2,由y=log4t在(0,2)上为增函数，所 (a1+a3+…十a1)+(a2+a4+…+a1o)=(1+2+22 以1=ax-x2在0,2)上为增函数，所以号≥2，解得a ++g++…+2)-号+号-8 ≥4，故C正确；对于D,由前面分析可知，t=ax一x2在 3.a=4(S1十3)=2°.当k为奇数时，由2号=2°可 (3上为减画数，则2≤2’解得a=3,故D正确 得k=19;当k为偶数时，由2=29可得k=18. 3a-9≥0， 数学答案（三）第1页（共4页） B 真题密卷 备考信息导航演练（三） 11.BCD【解析】对于A,由题意当=n时，表示进行了四、解答题 n十1次实验，前n次均成功，第n十1次失败，所以 15.解：(1)如图，取AC的中点O,连接OB,OP,BD,CE. P(=n)=0.8X0.2”,故A错误；对于B,由题意成功 四次的概率P(传=4)=0.2，故B正确；对于C,=m 表示进行了k十m次实验，第k十m次实验之前失败 了k一1次，第k十m次实验也失败，所以P(=m)= Cm+k-10.2mX0.8-1X0.8=Cm+k-10.2mX0.8,m=0, 1,2,…,故C正确；对于D,若P(=m)最大，则 1P(5=m)≥P(5=m+1), P(5=m)≥P(传=m-1), 4即C0.20.8≥C0.2*10.g, 因为PA=PC,AB=CB,所以AC⊥PO,AC⊥BO. C%+k-10.2m0.8≥Cm+k-20.2m-10.8, 因为侧面PAC⊥底面ABC, 部得<m<所以著Pg-m莱大， 侧面PAC∩底面ABC=AC, 所以PO⊥底面ABC, (2分) 则二5 k一1 ≤m≤ 4m=0,1,2,,故D正确. Vrae=3×2x号×2×2w5=4 1 1 31 (3分) 三、填空题 12.一3【解析】由题得a十b在b上的投影向量为 PB=√22+(2√3)2=4， a1oabx合-a8y4= 6b,因为 3 BD=√42-(W2)2=√14， 1 a=(x,2),b=(2,-1),所以(a+b)·b=2x+3,b= SAPWc-2X22X 14-27, (4分) √5，所以2x+3=-3,解得x=-3. 设点E到平面PBC的距离为d, 18.号【解析】由抛扬线的方程可得F(分0，设A19,， 1.d·27=3,d=221 7, B(x,y),C(,%),症=（日-x,)萨- 故点E到平面PBC的距离为2阿 7 (5分) (},)庇=（名），因为=2+ (2)以O为坐标原点，OA,OB,OP分别为x轴，y轴， 之轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 2脏，所以，=号-2，十z)且，=-20：+ 卡2 故有y=5-2(y?十y)=4(y1十y2)2,整理得5- 607+0=8y3≤40+，甲听+≥2，当且 仅当y1=y2时等号成立，因为|AF|=x1十2 1 中，BF=+-生，所以A1+B即- E 告十1≥，即AF1十BF的最小位是是 B 2 14.1【解析】因为f(-x十1)+f(x十1)=0，所以f(x十1)= 则P(0,0,2),B(0,2√3,0)，C(-2,0,0), -f(-x+1)=-f(x-1)=-[-f(x-3)]=f(x-3), D(-1,0,1),E(1,W3,0), 所以f(x)的一个周期为4.因为当x∈[0,1]时，f(x)= P言=(0,23，-2)，P元-(-2,0，-2)， 1-x2,所以f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-f(0)=-1, D元=(2，W3,-1),P它=(13，-2) (7分) f(3)=-f(1)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0, 设平面PBC的法向量为n=(x,y,之)， 所以登fa)=5062]+f2020+f2025)= n·PB=0,n2W3y-2z=0, 则n…P花=0，即-2x-2z=0, 即 f(0)+f(1)=1. B 数学答案（三）第2页（共4页） ·数学· 参考答案及解析 令之=√3，则y=1,x=-√3，即n=（-√5,1，W5) P(X=1)= CI C 6 (9分) C%+2(n+1)(n+2)' (10分) 设平面DEP的法向量为m=(a,b,c), C CZ 6(n-1) P(X=2)= Ca+2(n+1)(n+2)' (12分) m·PE=0,a+√3b-2c=0, 则 即 C8(n-2)(n-1) m·DE=0,2a+√3b-c=0, P(X=3)-C,-n+1D(m+2)' (14分) 令c=-1,则a-1,b=-3,即m=(1,-√3，-1). 6 6(n-1) (11分) E(X)-1X ()2X (D(3x 设平面DEP与平面PBC的夹角为a, 98+-2, n·m -3-3-5 则cosa=cos(m,n〉|= 解得n=4. n m √7X5 =3V105 此时Px=)-3P(X=2)=号，PX=3)= 35 DX0=1-0xg+e-0rxg+g-2x写号 55 即平面DEP与平面PBC夹角的余弦值为31O5 35 (15分) (13分) 18.解：(1)若a=1,f'(x)=lnx+2,x∈(0，+o∞)， 16.(1)证明：因为a sin B=3 bsin C, f(1)-2,f(1)=-1, 由正弦定理，得ab=3bc,所以a=3c, (2分) 所以曲线y=f(x)在x-1处的切线方程为 因为asB=日曲余弦定理，得心Bd+方-。 y+1=2(x-1),即2x-y-3=0. (4分) 2ac 6 (2)f'(x)=lnx+1+a,令f'(x)=0, (5分) 得x=ea-1>0. 代人a=c,得0-言化简得6=3,7分 当ea-1≤1，即a≥-1时， 6c2 f'(x)>0在(1，十∞)上恒成立，f(x)单调递增，无极值； 所以a=b,所以△ABC为等腰三角形 (8分) (6分) 当ea-1>1,即a<-1时， (2)解：由题意，BD-2(B心+B, (10分) (1,ea-1) ea-】 (ea-1,十∞) 所以B币=（BC+BA+2B心.BA) f'(x) 0 =号(c+e2+23cc×)=×11c2=1, f(x) 极小值 (14分) 由表可知，极小值为 所以BD=√II. （15分) f(ea-1)=(-a-1)ea-1+aea-1-2=-ea-1-2, C3C23 无极大值 (9分) 17.解：(1)由题意，P(A)= CC10' (1分) (3)由(2)可知，f(x)min=f(ea-1)=-ea-1-2, CCC2 1 因为当a<-1时，3x∈(1，十∞)， P(AB)-CICIC5' (3分) 使得f(.x)<(1-e)a-3e, 故PA)-P-君×9号 所以只需-ea-1-2<(1-e)a-3e成立， (5分) 即不等式ea-1+(1-e)a-3e十2>0成立.(13分) (2)因为E(X)=2,所以n≥2. 令h(a)=ea-1+(1-e)a-3e+2(a<-1), 当n=2时，X的可能取值为1,2. 则h'(a)=-ea-1+1-e, (14分) PX=)=C-P(x=2)-cC-号 C2C8_1 易知h'(a)为增函数，则h'(a)<h'(-l)=-e<0, C2’ (15分) 此时E0X)=1×+2X号2不符合题意：（8分) 1_3 故h(a)在(-∞，-1)上单调递减， (16分) 又h(-2)=0,所以a<-2, 当n>2时，X的可能取值为1,2,3. 故实数a的取值范围为(-∞，一2). (17分) 数学答案（三）第3页（共4页） B 真题密卷 备考信息导航演练（三） 19.(1)解：由题意，设C的方程为(3x)2-y2=λ(a≠0)， (x=my+2, (2分) 设直线l:x=my十2，联立 33y2 因为C经过点(5，√6)，所以λ=3， 31, 得(3m2-1)y2+12my+9=0, 所以C的方程为x 31. (4分) 3m2-1≠0，△>0， (2)解：设A(x1y1),B(0,t), -12m 9 y2+y3=3m2-1y2y=3m2-1' 由(1)可得F1(-2,0),F2(2,0), 由y2y3<0,得3m2-1<0, F1B=(2,t),F1A=(x1+2,y1), /-12m 因为AB|=2AF1|,所以F1B=3F1A, (y3-y2)2=(y3+y2)2-4y2y3= 3m2-1 2 x1+2= 3636(m2+1) 即 3m2-1(3m2-1)2’ t t y1= 3’ y1= 3, (6分) 故y3一y2= 6wm2+1 3m2-1, 代入C的方程可得t=√21， 所以。-y:-2Vm+1 所以直线BP,的斜率为=V②】 (14分) yay3 3 2 (8分) 设1的倾斜角为0， 故1的方程为y=②( 2(x-2), 则tan0= y2 m'sin0=DE2 即√2Ix-2y-2√21=0. (10分) 1 sin 0 1 1 (3)证明：设D(x2,y2),点A(x1y1)关于原点的对 所以DF=y2 m2+i∴y2, 称点记为E(x3,y3),则x=一x1,y3=一y1. 1 1 y1 同理可得EF√m+1 因为kr4一1十2k,-2x1+2 1 1 所以kr,A=kEF2, 所以TAF十DF-TEP,+DF 又因为AF1∥DF2,所以F,A=飞DF2, 1(1-1)=1.y-y=2 即kEF2=bDF2’ √+my2y/ √1+m3y2y 3 所以D,F2,E三点共线，且有|AF1|=|EF2. 1 1 (12分) 故AF十DF为定值. (17分) B 数学答案（三）第4页（共4页）