备考信息导航演练6-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（A版）

真题密卷 备考信息导航演练（六） 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练数学（六）】 一、选择题 4.2、 1 l.C【解析】由a十i=b+2-ai(a,b∈R), 5X3 X- a=b+2解得 b=一3， 13 得 1=-a, 所以a+b=一4. 30P (AD)=P (ABC U ABC)=P (ABC)+ a=-1,1 2.C【解析】解法一：因为函数f(x)的定义域为（一o∞，0）U 1 0,十∞)，故排除Af=e-1,f(-1D=是+1，所以 PABC)=日所以PA1D) P(AD)310 P(D)1313 30 f(1)≠-f(-1),f(1)≠f(-1),故排除B,D. 6.A【解析】设A(x1y1),B(x2y2),由x2=4y,得y= 解法二：因为了)=号子所以了-)≠， ，所以-日所以a-司所以点A类的初线 1 f(一x)≠一f(x),所以f(x)为非奇非偶函数，故B,D均 1 误汉南题可知fC)2记+草-一2E中， 方程为y一=21(x一x),又因为点A(1y)在C x3 当x<0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，故A错误； 上，所以y= 4x,所以得到点A处的切线方程为y= 记p(x)=(x-2)e十x,易知p(x)=(x-2)e十x单调递 1 增，又因为p(2)=2>0,p(1)=-e十1<0，所以3x∈(1， x1x一y1,又因为点A处的切线过点M(3,1),所以 2),使得p(xo)=0,所以当x∈(-∞，0)时，f(x)>0, 3x1一2y1-2=0.同理可得3x2一2y2-2=0,所以直线 f(x)单调递增；当x∈(0，x)时，f'(x)<0,f(x)单调递 3x-2y-2=0, 减；当x∈(x0,十∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，又因为 AB的方程为3x-2y-2=0.联立y=1, 当x→一∞时，f(x)→0+；当x→0时，f(x)→十∞.综合 4 上述可知C正确. 整理得x2-6x十4=0，所以x1十x2=6,x1x2=4,所以 3.B【解析】由绝对值的几何意义可知x十1十x一3≥4， 1AB1=空1=C,= 当且仅当一1≤x≤3时取等号，所以m<4,又因为m为 正实数，所以0<m<4,所以m的整数解取值为1,2， √1 2/36-4X4=√65，点M到直线AB的距离为d= 3,共有3个. 4.B【解析】因为函数f(x)=sin2x十acos2x的图象过 13×3-2×1-2=5 √/13 所以S6e=号AB·d= W131 点(0，W3),所以a=√3，所以f(x)=sin2x十√5cos2x= 2日血2z+s2z)-2a如(2x-》,将共图象向右 2×V6丽x5=55 W√132 7.D【解析】因为f(4十x)=一f(4-x),所以f(x)的 平移个单位长度得到gx)=2sin(2x+）的图象，令 图象关于(4,0)中心对称，故A正确；因为f(x十2)为 偶函数，所以f(x)=f(4一x),又因为f(4十x)= 2红+晋-受+k∈么，解得x=晋+经kE乙 -f(4-x),所以f(x)=一f(4+x),所以f(4十x)= 5,D【解析】设双打与第二、第三场单打赢对方分别为 -f(8十x),所以f(x)=f(8十x),所以f(x)的一个 事件A,B,C,三场比赛中恰有两场赢对方为事件D, 周期为8，故B正确；f(2025)=f(253×8+1)= 则PA)=台，PB)=号，P(C)=,P(D) f(1),故C正确；由f(4十x)=-f(4-x),得f(7) f(4+3)=-f(1),又当x∈[0,2]时，f(x)=x2-2x, P(ABCUABCUABC)=P(ABC)+P(ABC)+所以f(1)=1?-2X1=-1,即f(7)=1,故D错误. A 数学答案（六）第1页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 8.C【解析】由题可知B(1,-1),所以OA=OB=√2， 所有真子集个数是3，故A正确；对于B,因为M∩N≠ 由翻折的不变性可知OA1=OB1=√2，翻折后的图形 ☑，M∩N≠M,所以-1≤a<2,故B错误；对于C,由 如图所示，设点A1在x轴上的投影为E,易知A1E⊥ 题易知a≥2，故C正确；对于D,CRN={xx>a},由 平面EOB1, M二(CRN)可知a<-l,故D错误. 10.AB【解析】对于A,由余弦定理得，®sC=a+b-C 2ab <0,因为0<C<π，所以∠C为钝角，则△ABC是钝角三 角形，故A正确；对于B,由a2=b2十c2-2 bccos A=9+ c2-2×3ccos3-13,得c2-3c-4=0,解得c=4或c =-1(舍去)，所以△ABC的周长为7+√13，故B正 确；对于C,因为b2十c2-16=√3bc≥2bc-16,所以bc ≤16(2十√3)，当且仅当b=c=2√2十2√6时取等号，所 B 以SaAc=2cnA=& 1 bc≤8+43，故△ABC面积的 连接EB1,A1B1,所以A1E⊥EB1.点B1在x轴上的投影 为F,在△EFB1中，由勾股定理得EB?=EF2十FB=5, 最大值为8十4W3,故C错误；对于D,设BC边上的中线为 AD,则2AD=AB+AC,两边平方可得4AD2=AB2+ 所以在Rt△A1EB1中，易得A1B1=√6，在△AOB1中，由 余弦定理得，A1B=A1O+OB-2A1OXOB1· AC+2Ai.AC-2+3+2X2×3×子，解得1Ad= cos∠A1OB1,即6=2+2-2X√2X√2cOs∠A1OB1,解 √/19 ,故D错误。 得os☑A1OB,=- 2,所以∠A0B=120所以△A,OB1 2 11.ABD【解析】对于A,设圆锥的侧面展开图的圆心角 是一个顶角为120°，腰长为√2的等腰三角形，将其绕直线 为a,期3=2xX1,所以a=至故A正确；对于B,周 A1B1旋转一周得到的旋转体为两个同底面且等高的圆锥组 合体，其轴截面如图所示， 锥的高S0=厚=2反，所以V-日xX1,S0 rX22-22 1 元，故B正确；对于C,设圆维的两条 母线的夹角为日，则过这两条母线所作截面的面积为 X3X3n0=si血0，因为过国维母线的所有我面 1 中，轴截面三角形对应的日最大，此时c0s0= 32+32-227 2X3X3=g>0,所以0<0<，所以sin0<1,所 则在该轴截面中△OA1G和△OB1G为边长为√2的等 以发西西积的最大值小于号，故C错误；对千D,将国 边三角形，则该旋转体内切球的半径？即为菱形 锥的侧面展开，如图所示，由A可知，其展开图的圆心 OA1GB1内切圆的半径，由等面积法可得2S△A,G 角为2，即∠ASA12r 分，又AS=3,SP=1,所以由余 ←号·(OA+AG+GB,+B,O)r,即2X只X2 弦定理可知AP= 2 1 V6 /SA+SP2-2SA·SPos =2×2X4X7,解得r=,因此该旋转体内切球的 6/9+1+2X3X1X2=3,故D正确 表面积为4x2=3x 2· 二、选择题 9.AC【解析】对于A,由题意M={x|ln(x2一x一1)=0}= {xx2-x-1=1}={xx=-1或x=2},所以集合M的 数学答案（六）第2页（共5页） A 真题密卷 备考信息导航演练（六） 三、填空题 因为am=2n一1是单调递增数列，且a1=1, 12.√34【解析】a·b=-2-3x=1,解得x=-1,所以 所以若存在3项am,as,ap(m<飞<p)成等比数列， a=(2,1),所以2a十b=(3,5),所以2a十b=√34. 则必有a=am·ap, 13.√6【解析】因为2PF1=3PF21,所以设|PF2=2x, 即(2k-1)2=(2m-1)·(2p-1), (10分) 则|PF1=3x,又|F1F2|=2C,在△F1PF2中，由余弦定 化简得2k2-2k=2mp-(m+p), 理有cos∠RPF,=PF+|PR,:-E,E2 2PF·PF2 即k-?=m十 2 -mp, (12分) 即3x)2+(2z)2-(2c)213x2-4c27 2·3x·2x 12z2-12,解得x= 令m=1,k=2,p=5,符合k-k2=m十色 mp, 2 V 3C.由双曲线定义得|PF:-1PF,=3x-2x= 所以a1,a2,a5成等比数列. (13分) (注：若有其他答案，正确即给分) =2a,p-2,部得号-5所以C的离心率为后. 16.解：(1)由频率分布直方图可知， a 5×(0.032+0.064+a+0.04+0.008)=1, 14云g21)馔1向a)+re) 解得a=0.056, (3分) a.+o,得2fetu-re》 所以补全后的频率分布直方图如图所示， ↑频率 组距 ,故xf()=nx+C,C为常数，又f(1)=0,解得 0.064- C=0,故f)=,x∈0，e,则r) 0.040-- 1 0.032 交-2an一210合f/e)=0,即1-2n x4 =0,解得x=√.故当x∈(0，)时，f'(x)>0,当 0.008 x∈(，+o∞)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0，N)上 155160165170175180身高/cm 单调递增，在(W,十∞)上单调递减，故f(x)的极大 (5分) 值f)云由<fa)可得<E0,四)， 又因为5×(0.032十0.064)=0.48<0.5， 5×(0.032+0.064+0.056)=0.76>0.5, 因为f(1)=0,且f(x)在(W,十∞)上单调递减，所 所以中位数在区间[165,170)内，设其值为b, 以f(2)>f(3)>∫(4)，所以要使<∫(x)恰有2个 所以0.48+(b-165)×0.056=0.5,解得b≈165.36， 整数解，则整数解为2,3，所以f(4)≤k<f(3),即 所以样本中学生身高的中位数约为165.36.(8分) g<化荷释2≤k< (2)由题意可知， 四、解答题 元=1+2+3+4+5-3， 15.解：(1)设{am}的公差为d, 5 由a2+a6=14,S10=100, 158+162+166+170+184-168, y (10分) a1+d+a1+5d=14, 得 0a1+10xg 2d=100, X158+2X162+3×166+4X1 (2分) 化简得a+3d=7, =2580, 2a1+9d=20, x2=12+2+3+4+52=55, (12分) =1 解得a1=1,d=2, (4分) 根据公式，可求得6=2580-5×3X16860 所以am=2n-1. (6分) 55-5×32 10 6； (2)由(1)知am=2n-1, 则a=168-6×3=150, (14分) 所以am=2m-1,a。=2k-1,ap=2p一1， 所以所求回归直线方程为y=6.x+150. (15分) A 数学答案（六）第3页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 17.(1)证明：当入=2时，即M为线段B,C的中点， 所以cos(m,n川=mn m·n √7|2λ-1 √7(2λ-1)2+8 因为△ABC≌△A1B1C1,所以A1B1=A1C1, (12分) 所以B1C⊥A1M, (2分) 又BC∥B:C1,所以BC⊥A1M, 又平面A,BC与平面A,MC夹角的余弦值为/ 79 又因为A1O⊥平面ABC,平面A1B1C1∥平面ABC, 所以A1O⊥平面A1B1C1,AMC平面A1B1C1, √22.79，解得1一3或A2 所以 √72λ-1√553 Γ3 所以A,O⊥A1M, (4分) (15分) 且A1O∩BC=O,A1O,BCC平面A1BC, 所以1的做为行安号。 所以A1M⊥平面A1BC. 3 3 18.(1)解：由题意可得e=a=2'且a2十46二1， 又因为A1MC平面A1MC, 所以平面A1MC⊥平面A1BC (6分) (2分) (2)解：因为AB=AC=2,O为BC的中点，所以AO 又a2=b2十c2,解得a=2,b=√5，c=1, ⊥BC,且A1O⊥平面ABC,故以O为坐标原点，OA, 枚C的方为雪-1 (4分) OB,OA1分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直 (2)①解：由题可得P(3,0),设直线PA,PB的斜率分 角坐标系， 别为k1,k2, 则直线PA的方程为y=(x一√3)， 由直线PA与圆Q相切可知， 圆心Q到直线PA的距离 -3-3k =t,(6分) √+1 整理得(3-t2)十6k1十3-t2=0, 同理(3-t2)k号十6k2十3-t2=0, 因为AA1=2AB=4,所以OA=√2， 则k1,k2为方程(3-t2)k2+6k十3一t2=0的两个根， 所以1·k2=1. (8分) A,O=√AA-AO=√W14, ②证明：设A(x1y1),B(x2y2), 所以A(√2,0,0)，B(0,√2,0)，C(0,-√2,0)， [y=k1(x-√3)， A1(0,0,W14), 可得CB=C1B1=(0,2√2,0)， +1 得(3k+4)x2-6√3x+9k- CC=AA=(-2,0,4), 12=0, 所以CM=CC+CM=(-√2,22x,√14)， 则V3x1= 9k-12 3√5k-4√3 39+4,即x1- 3k+4, CA1=(0,W2,W14). (8分) 设平面A1MC的法向量为m=(x,y,z), 所以y1= -8√3k1 3k+4’ 则mC=cy,2)(-E,2w2x,W)=0, 所以A(3V3?-43 -8√3k1 (10分) m·CA1=(x,y,x)·(0,W2,W14)=0, 3k+4’3k+4 x=(2λ-1)y, -83k2 化简得 同理得B(33经-4√5 (11分) y=-√7x, 3k号+4’3k号+4/ 直线AB的斜率 令之=1，则y=一√7，x=-√7(2λ-1)， 可得m=(-7(2λ-1)，-√7,1)， (10分) -83k2+8/5k 3k经+43k+4 由题意可知，平面A1BC的法向量n=(1,0,0), 3√5k-4√33√3k-45 (11分) 3k号+4 3k2+4 数学答案（六）第4页（共5页）》 A 真题密卷 备考信息导航演练（六） -8√3k2+8√3k1-k2+k1 -1 号成立)，即x-lnx-1≥0恒成立，所以当a≤0时， 24√3k经-24V3k?3k经-3k73(k1十2)' f'(x)=x-lnx-a-1≥0，f(x)在(0，十∞)上单调 (14分) 递增，不符合题意， (8分) 所以直线AB的方程为 因为x1,x2分别是方程f'(x)=0的两个不等的实数根， ,8√3k1 -1 3√5k-4√3 所以-a<0,即a>0, y+3k+43(k1十k2)x 3k+4 所以实数a的取值范围为(0，十∞). (10分) 令y=0,得x=-213号-283 ②证明：因为x1,x2分别是方程f'(x)=0的两个不 =-73, 3k2+4 等的实根， 所以直线AB与x轴交于定点T(-75,0).(17分) 所以不妨设0<x1<1<x2, 1 x1-Inx1-a-1=0,x2-Inz2-a-1=0, 19.(1)解：当a=1时，f(x)=2x2-xlnx-x, x-In x1=a+1,z2-Inz2=a+1. f'(x)=x-Inx-2, (1分) 要证x1十x2>a十2，即证x2>a十2-x1=1-lnx1 若“动态切线系列”中存在两条切线平行于x轴， 当0<x<1时，1<1-lnx, 则方程f'(x)=x一lnx一2=0有两个不等的实数根， 由①知g(x)=f'(x)=x-lnx-a-l, (2分) 且有g(1-lnx)=1-lnx-ln(1-lnx)-a-l, 记g(x)=f(x),所以g'(x)=1-1=x-1 (13分) h(x)=g(x)-g(1-In x)=x-1+In(1-In x) 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， (0<x<1), 即f'(x)单调递减； 1 当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 则h'(x)=1-x1-inx)0<x<1). 即f'(x)单调递增， (3分) 设p(x)=x(1-lnx)(0<x<1), 又因为f'(1)=-1<0, 则p'(x)=-lnx>0, 1 所以p(x)在(0,1)上单调递增， 所以0<p(x)<p(1)=1, f'(e2)=e2-lne2-2>0, (5分) 1 所以3x1∈(0,1)，使得f'(x1)=0, 所以h'(x)=1-za-nx<0, 3x2∈(1，+∞)，使得f'(x2)=0, 即h(x)在(0,1)上单调递减. 所以方程f'(x)=x-lnx一2=0有两个不等的实数根， 因为h(1)=g(1)-g(1)=0, 所以“动态切线系列”中存在两条切线平行于x轴. 所以h(x)>0,即g(x)>g(1-lnx). (7分) 因为0<x1<1,所以g(x1)>g(1-lnx1).(15分) 因为g(x1)=g(x2)=0, (2)①解：因为f(x)=2x2-aInx-az, 所以g(x2)>g(1-lnx1). 所以f(x)定义域为(0，十∞)， 由①可知g(x)在(1，十∞)上单调递增， 且f'(x)=x-lnx-a-1, 所以x2>1-lnx1,即x1十x2>a+2得证.(17分) 由切线不等式易知x-1≥lnx(当且仅当x=1时，等 A 数学答案（六）第5页（共5页）2024一2025学年度备考信息导航演练 题 数学（六） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若a+i=b十2-ai(a,b∈R),则a十b= () A.2 B.4 C.-4 D.-2 2.函数f(x)= ez 1 一二的部分图象大致是 ( 2 o -1 B 2 0 5 +2 C D 3.若不等式|x十1+|x一3>m恒成立，则正实数m整数解的个数为 () A.4 B.3 C.2 D.1 4已知函数f)=sin2x十acos2x的图象过点0w5),将f)的图象向右平移个单 位长度后，得到函数g(x)的图象，则g(x)的图象的对称轴为 () +2,∈Z B.x=πkπ 6+2k∈z 5 C.x=- 6十kπ，k∈Z _13m+k元，k∈Z D.x=12 数学试题（六）第1页（共4页） 真题密卷·备习 5.现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打， 班级 第三场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是子 3,,且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方 23 姓名 的概率为 ) 2 9 10 得分 A.5 3 B.0 C.3 D.13 6.已知抛物线C:x2=4y,过M(3,1)作两条斜率存在的直线分别与C有一个公共点，公 共点分别为A,B,则△MAB的面积为 ( 人吗 B.5 C.2 D.2√5 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十2)为偶函数，f(4+x)=一f(4一x),则下列 说法错误的是 () A.f(x)的图象关于(4,0)中心对称 B.f(x)的周期为8 C.f(2025)=f(1) D.当x∈[0,2]时，f(x)=x2一2x,则f(7)的值为一1 8.在平面直角坐标系中，点A(一1,1)，B与A关于原点O对称，现以x轴为折痕，将x轴 下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角，A,B两点相应变成A1,B1两点，将 △A1OB1绕直线A1B1旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为 () A 3π B.4 D.2π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合M={x|ln(x2-x一1)=0}，N={xx≤a},则下列结论正确的有 () A.集合M的所有真子集个数是3 B.若M∩N≠⑦，M∩N≠M,则一1≤a≤2 C.若M二N,则a的最小值为2 D.若M二(C.N),则a的最大值为-1 10.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则下列说法正确的有 () A.若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形 B若a=丽，6=3，A=背，则△ABC的周长为7+丽 C,若A-石B2+e2-16=月c,则△ABC面积的最大值为4+23 2,63,A则BC边上的中 信息导航演练 数学试题（六）第2页（共4页） 11.若圆锥S0的底面半径为1，母线长为3，则下列关于此圆锥的说法正确的是（) A.圆维S0的侧面展开图的圆心角为 B圆维S0的体积为2,2， 3π S0的两条母线作截面，则截面面积的最 D.A为底面圆周上一点，P为SA上靠近S的三等分点，从点A出发绕圆锥SO侧面 一周回到点P的无弹性细绳的最短长度为√I3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a=(2,-x),b=(-1,3),a·b=1,则2a+b= x2 y2 13.已知F1,F2分别为双曲线C:a一6=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点P在C上，且 满足2PF,=3PF:1s∠F,PF:=7,则C的离心率为 的定义域为0，+∞)，f)为f)的导函数，且2f ∫(1)=0，则∫(x)的极大值为.若<∫(x)恰有2个整数解，则实数k的取值范 围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知等差数列{am}的前n项和为Sm,且满足a2十a6=14,S1o=100. (1)求{an}的通项公式. (2)在{am}中是否存在am,a,ab(m<k<p)成等比数列？若存在，求出一个这样的3 项；若不存在，请说明理由. 16.(15分)某学校为了解入学新生的身高情况，随机抽取了50名新生，测得他们的身高 (单位：cm),并分成以下5组：[155,160)，[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175， 180],绘制成如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0.064---- 0.040----- 0.032- 0.008-- 155160165170175180身高cm (1)补全频率分布直方图，并求出样本中学生身高的中位数.（保留小数点后两位） 数学试题（六）第3页（共4页） 真题密卷·备寺 (2)该学校体育教研室为了解身高是否在一定的范围内与参加弹跳运动时长有关，调 研得到以下5组数据： 参加弹跳运动时长x(单位：年) 1 2 3 4 5 身高y(单位：cm) 158 162166170 184 表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，试求出y关于x的回归方程. 附：回归直线y=x十a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= 2xy:一nxy i=1 ,a=y-bx. 2x-na? i=】 17.(15分)如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC,点A1在底面ABC上 的投影为BC的中点O,点M满足C1M=C1B1(0≤λ≤1). (1)当X=2时，证明：平面AMC1平面ABC (2)已知AA,=2AB=4,若平面A,BC与平面A1MC夹角的余弦值为3 79,求λ 的值. 1(17分)椭圆C号+若=1a>6>0)的商心率为7点（停，5）在C上. y2,x2 (1)求C的方程. (2)圆Q:x2+(y一√3)2=t2在椭圆C内，过C的右顶点P作圆Q的两条切线11，l2, 斜率分别为k1,k2,且分别与C交于A,B两点（均不与点P重合）. ①求k1·k2的值. ②当t变化时，证明：直线AB与x轴交于定点. 19.(17分)已知函数fx)三x2一xlnx一Q☑ (1)当a=1时，点P在曲线y=f(x)上运动，过点P作切线可得到一系列的切线l1, l2,3,…,称其为“动态切线系列”，试探讨“动态切线系列”中是否存在两条切线平 行于x轴.（写出推理依据） (2)若x1,x2分别是f(x)的两个不等的极值点. ①求实数a的取值范围. ②证明：x1十x2>a十2. 信息导航演练 数学试题（六）第4页（共4页）