备考信息导航演练5-【衡水真题密卷】2025年高考数学备考信息导航演练（A版）

2024一2025学年度备考信息导航演练 光题 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若集合A={x|8.x3-27<0},B={xy=ln(3x-1)},则A∩B= () a女3x<ax<c✉>引 1 .2 1 3 、2 1 D.xx> 3 2.已知A(0,0),B(a2,1),C(,-2),D(2,-1),若AB与DC共线，则入= A.1 B.2 C.-1或2 D.-2或1 3.已知正数m,n满足4m+6m=1,则1+2m 的最小值为 ( ) m n A.2+43 B.4+4√3 C.7+43 D.7+23 1 4已知数列a}满足a1白2a号二a ,若a>0,则a8= 1 4a-1十 ) Ag 1 B. c周 √2 64 D.8 5.函数f(x)=6cos2x-x2在[-π，π]上的大致图象为 ( 个 Oππ 2π5π 6 63 B 数学试题（五）第1页（共4页） 真题密卷·备 6.将李老师、唐老师等六名优秀教师委派到三个学校进行督导活动，其中每个老师都必须 班级 去一个学校，每个学校至少派一名老师，则李老师和唐老师不在同一学校督导的情况有 ( A.240种 B.360种 C.390种 D.420种 姓名 7.定义：已知A(x1,y1),B(x2,y2),若x1十y2=x2十y1,则称A,B两点具有性质X.已知 点M在以原点O为圆心，2为半径的圆上，点N(2√2，t),若M,N两点具有性质X,则 得分 ON的取值范围为 () A.[4,2/10] B.[22,45] C.[22,2√10] D.[2,45] 8.已知定义域均为R的函数f(x),g(x)满足f(2一x)十f(x)=2,g(4一x)=g(x), g(2)=3,若f(x)=g(2十x)十4，则下列说法错误的是 A.f(x)的图象关于y轴对称 B.一8为f(x)的一个周期 C.f(2023)=-1 D.总f)=16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在一次人口普查中，经过统计得到某地区大学生的年龄X服从正态分布N(18,1.69),则 () 参考数据：P(4一o<X<十o)=0.6827,P(一2o<X<4十2a)=0.9545,P(4-3o<X <μ+3)=0.9973 A.P(X>18)=0.5 B.P(X<14.1)>P(X>20.6) C.P(16.7<X<20.6)=0.8186 D.P(14.1<X<19.3)=0.82 10.已知函数f(x)=sin2x,gz)=cos(ax十g)(o>0,g<2),fx)与g(x)的图象关 于x=石对称，若A)=fx)一g),则 ( Ag=-6 B直线4-5为A()图象的一条对称轴 C.g(x)在 2π5π -3’-12 上单调递减 D.函数h(x)在[-π，π]上有5个零点 11.在正三棱柱ABCA1B1C1中，点E为棱BB1的中点，点F为棱AA1的中点，则下列说 法正确的是 ( A.A1E∥平面C1BF B.若AB=AA1,则A1E⊥AC1 C.若AA1=2AB,则直线A1E与CF所成角的余弦值为7 D.若AB=AA1,则平面CEF与平面ABC的夹角为日 专信息导航演练 数学试题（五）第2页（共4页） A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若x(2一i)=4+5i,则之= 13.已知函数f(x)=e2一mx一2在x=0处的切线与直线x一y=0垂直，则f(x)的极小 值为 M,已知双曲线C名@>0，b>0的两系渐近线分别为4，，直线1：y2红土 (≠0)与11，l2分别交于P,Q两点，若N(4λ，0)满足∠NPQ=∠NQP,则C的离心 率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(I3分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b<c,anA+tan Atan B tan B 2 1-tan B. (1)证明：A=2B. (2若点十C-5,Ai-Ai,求8的值 sin A 16.（15分)已知数列a.的前n项和为S,其中a=3,5.= 2n2+n. (1)求入的值以及数列{am}的通项公式； (2)若bn=a5m-4·3”,求数列{bn}的前n项和Tn 17.(15分)已知函数f(x)=x2-3x+λ1nx. (1)当0<A<8时，讨论f(x)的单调性： (2)若Hx∈[2,4]，f(x)≤0，求实数λ的取值范围. Y 数学试题（五）第3页（共4页） 真题密卷·备扌 18.(17分)某企业倡导员工工作之余积极参与户外活动，现调查每个员工上半年每周参加 户外活动的时间，所得数据统计如图所示（每个员工上半年每周户外活动的时间为 [2,12]小时)，已知该企业有3000名员工，其中每周户外活动时间低于6小时的有 1050人. 个频率/组距 0.15 0.1 0.05 0 3 4 681012时间/小时 (1)求该企业员工上半年每周户外活动时间的平均数（每组数据以区间的中点值为代 表)； (2)为了合理安排一些活动，现采用按比例随机抽样的方法从每周户外活动时间在 [4,6),[6,8),[8,10)小时的员工中抽取14人，再从这14人中随机抽取4人，记每 周户外活动时间在[8,10)小时的人数为X,求X的分布列以及数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从每周户外活动时间在[4,10)小时的员工中随机抽取20 人，用p(k)表示这20名员工中恰有k人每周户外活动时间在[8,10)小时的概率， 其中k=1,2…,20.当p(k)最大时，写出k的值.（写出证明） 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(xo,y0),总存在一点Q(x。,y') 满足关系式p: (x'o=mxo, (m>0,n>0),则称p为平面直角坐标系中的m一一n伸缩 yo=nyo 麼换，已知点P在椭圆C+是1a>b>0)上，C过点2，二回，二区)，作点 P到P的吗号伸缩变挨 (1)求P'的轨迹C的方程. (2)已知O为原点，M(-1,0),点N满足OM+ON=0,过点M(-1,0)且倾斜角为a1 (0°<a1<90)的直线L与C交于D,E两点，直线ND与C'的另一个交点为G,直线 NE与C的另一个交点为H. (ⅰ)直线GH是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由， (i)记直线GH的倾斜角为a2,当a2一a1取最大值时，求直线GH的方程. 信息导航演练 数学试题（五）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度备考信息导航演练数学（五） 一、选择题 7.C【解析】设M(2cos0,2sin0),0∈[0,2π]，则 1.B【解折】袋题意A=<=<引B 2cos0+t=2sin0+2√2，则t=2sin0-2cos0+2√2= a3-o-女>做AnB=女吉<引 2Esim(g-牙）+2E,则t∈[0,4]，故ON= 2.D【解析】依题意，AB=(a2,1),DC=(-2,-1), √8+t∈[22,2√10]. 又AB与DC共线，故一入2=入一2，解得λ=一2或1. 8.C【解析】因为f(x)=g(2十x)十4，所以f(-x)= g(2-x)+4,又因为g(4-x)=g(x),所以g(2+x)= 3.B【解析】依题意， 6n十 ,1+2m_4m+6n+2m=4+6 m n m n m g(2-x),所以f(x)=f(-x),所以f(x)的图象关于 2m_ ,6m.2m=4+43,当且仅当6=2m,即 y轴对称，故A正确；又因为f(2一x)十f(x)=2,所以 m≥4+2m·n f(-x)十f(2十x)=2,所以f(x)十f(2十x)=2,即 2n= f(2十x)=2-f(x),所以f(4十x)=f[2+(2十x)]= 2-f(2+x)=2-[2-f(x)]=f(x),所以T=4,故B 值为4+45. 正确；在∫(x)+f(2-x)=2中，令x=1,得f(1)=1, 4.D【解析】依题意，4"·a层=4"-1·a-1十1，故数列 所以f(2023)=f(3)=f(-1)=f(1)=1,故C错误； {4"·a}是首项为1，公差为1的等差数列，则4"·a=n. 因为g(2)=3,所以f(0)=g(2)十4=7，所以f(4)=7, 周为a>0,故a.-一会则a,--语 8√2 所以f(2)=2-f(0)=-5,f(3)=f(-1)=f(1)=1, 所以3f)=[f①+f2)+f3)+f4w]X5+f)+ 5.A【解析】当x∈(0，）时，f(x)单调递减，故排除 f(2)=(1-5+1+7)×5+1-5=16,故D正确. cD,当xe(管）时，f(x)=-12in2z-2x> 二、选择题 9.AC【解析】依题意，X~N(18,1.32),故P(X>18)= 6√3-2x>0,f(x)单调递增，故排除B. 0.5,故A正确；P(X<14.1)=P(X<μ-3o)=P(X> 6.C【解析】依题意，分组情况可能为(1,1,4)，(1,2,3)， u十3a)<P(X>μ十2)=P(X>20.6),故B错误； (2,2,2) 条法-，遥的情技为是心+CCG十)8- P16.7<X<20.6)=0.682740.9545=0.8186,故C 2 A 540,其中李老师和唐老师在同一学校督导的情况数为 正确；P14.1<X<19.3)-0.9730.6827=0.84,故 2 (C+CGcC+CGg+9S)线=150，幸老师布唐老师 D错误， 10.BC【解析】在函数y=g(x)的图象上任取，点(x,y),此 不在同一学校督导的情况有390种. 解法二：若派遣的人数情况为(1,1,4)，则李老师和唐老 点关于z=石的对称点（行-x在）一f)的圈象上， 师不在同一学校督导的情况有A+CCA=54种；若 派遣的人数情况为(1,2,3)，则李老师和唐老师不在同 故y=m(管-小=血管2）-s(z-》,所 一学校督导的情况有(CC}+C2C?+CC号A)A-264 种；若派遣的人数情况为(2,2,2)，则李老师和唐老师不 以gx)=c0s(2x一日)，故w=2,9=-石，故A错误；则 在同一学校督导的情况有CCgA=72种；故李老师和 唐老师不在同一学校督导的情况有390种. 数学答案（五）第1页（共5页） A 真题密卷 备考信息导航演练（五） h(-1,故B正确：当x∈[登阅 2π_5π] 时，2x∈ 三、填空题 314 12.号-写1 【解析】依题意，之= 4+5i(4+5i)(2+i) 2-i(2-i)(2+i) 55,故=314 8+4i+10i-5314: [商 上单调递减，故C正确；因为h(x) 55i 13.-2ln2【解析】由题知f'(x)=e-m,f'(0)=1一 fx)-gx)=sim(2x-）,令sin2z-5）=0,所 m,所以1-m=一1，解得m=2.令f′(x)=e一2= 0,解得x=ln2.故当x∈(-o∞，ln2)时，f'(x)<0, f(x)单调递减；当x∈(In2,+o∞)时，f'(x)>0, f(x)单调递增.所以f(x)的极小值为f(In2)= -2ln2. 以=-2，-1,0,1，所以函数h(x)在[π，π]上有4 个零点，故D错误. 14.√0【解析】不妨设1：y= t,hiy=- b 2. 11.ABD【解析】对于A,由题可得A1E∥BF,又A1E中 y=2x+λ， λa x= 平面C1BF,BFC平面C1BF,故A1E∥平面C1BF,故 b-2a' 联立 b解得 A正确；对于B,取棱A1B1的中点D,连接C1D,AD, a2, b y=6-2a’ 可证A1E⊥平面AC1D,故A1E⊥AC1,故B正确；对于 C,因为A1E∥BF,所以∠BFC1(或其补角)即为直线 A1E与C1F所成的角，不妨设AB=1,AA1=2,则BF= C1F=√2，BC=√5，故直线A1E与C1F所成角的余弦值 发线P阳的◆点Rp的)丙∠NnQ- 为|cos∠BFC|= -宁0格是对干 A62 b2-4a2 ∠NQP,故kNR=2a2 2,解得 1 a=9,故 D,取EF的中点G,连接DG,C1G,则A1B1⊥DG, b2-4a2-41 A1B1⊥DC1,DG∩DC1=D,所以AB1⊥平面 6 DGC1,因为EF∥A1B1,又EF中平面A1B1C1, e= a 1 a-v10. A1B1C平面A1B1C1,所以EF∥平面A1B1C1,设平面 四、解答题 EFC∩平面A1B1C1=L,则EF∥1，所以l∥A1B1,所以 15.(I)证明：由tanA十tan Atan B 2 L⊥平面DGC1,所以L⊥CG,l⊥DC1,则∠DCG为平面 tan B 1-tan B 2tan B CEF与平面ABC的夹角，易知cos∠DCG-),故平 得tanA=1-tanB =tan 2B, (2分) 面C,EF与平面ABC的夹角为行，故D正病 因为b<c,所以B<C,所以B∈(0，》， B 故2B∈(0，π)， 又A∈(0，π)，所以A=2B. (5分) (2)解：由A=2B,得C=π-A-B=π-3B, sin A=sin 2B,sin C=sin 3B, (7分) 所以sinB+sinC_sinB+sin3B sin A 2sin Bcos B sin B+sin Bcos 2B+sin 2Bcos B B 2sin Bcos B 0 sin B+sin Bcos 2B+2sin B cos2 B C 2sin Bcos B A 数学答案（五）第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 1+cos 2B+2 cos2 B 令f'(x)=0, 2cos B 3+√9-8x 4 cos2 B 得x1=3-9-8 ,x2= =2cosB=√3， 4 (4分) 2cos B 故msB=,又B∈0，》， 故当0<<8时，0<<，故当z∈(0，)时， f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(x1,x2)时，f'(x)< 所以B=A=C=子， (10分) 0,f(x)单调递减；当x∈(x2,十∞)时，f'(x)>0,f(x) 在△BCD中由余弦定理得， 单调递增， CD=√BC2+BD2-2BC·BD·cOs∠CBA √7 26, 综上e在，3(+a+止单 4 (12分) 调递增；在3一√9-8双，3十√9一8网)上单调递减 4 4 √7 (7分) (13分) (2)令x2-3x十lnx≤0， 9 16.解：(1)依题意a=S,-S,=2+3-2-2 2+=3, 因为E2,的，所以a0微 -,(8分) 解得入-1 2’ (2分) 令g(x)=3x-x In x, 所以5.-2+合 1 则g'(x)= (3-2x)lnx-3+x (In x)2 (10分) 当n≥2时，am=Sm-Sm-1=n, (3分) 令h(x)=(3-2x)lnx-3+x, 当n=1时，a1=S1=1,满足上式， (5分) 则'(x)=-21nz+3-1, (11分) 综上所述，am=n, (6分) (2)依题意，bn=(5n-4)×3”, (7分) 易知h'(x)为减函数， 故Tm=1×3+6×32+11×33+…+(5n-4)×3”, 则在2,4上，')≤/(2)=号-2n2<0,(12分) 故3Tm=1×32+6×33+11×34+…+(5n-4)× 3m+1, 故h(x)在[2,4幻上单调递减， (8分) 则h(x)≤h(2)=-ln2-1<0, (13分) 两式相减可得，一2Tm=1×31+5×32+5×33+…十 5×3”-(5n-4)×3+1 故g'(x)<0,g(x)在2,4幻上单调递减， (9分) 2 =5×31+5X32+5×33+·+5×3m-(5n-4)× 故入≤g(x)m=g(4)=一n2' (14分) 3m+1-12 (10分) 15(1-3") -(5n-4)×3+1-12 故实数入的取值范围为（一，一2 (15分) -2 18.解：(1)记每周户外活动时间在[4,6)，[8,10)小时的 -(9-15m)×-2, (13分) 频率分别为m,n, 1050 则工.-（-9）×3+9 (15分) 则m= -0.2=0.15, (1分) 3000 17.解：(1)依题意，x∈(0，+∞)， 1950 n=3000 0.3-0.1=0.25, (2分) f)=2z-3+1-2x-3+入A=9-8x2分) 故所求平均数为 3×0.2+5×0.15+7×0.3+9×0.25+11×0.1=6.8. 9 当0<1<8时，4>0， (4分) 数学答案（五）第3页（共5页）》 A 真题密卷 备考信息导航演练（五） (2)每周户外活动时间在[4,6)，[6,8)，[8,10)小时的 4 2 [11 频率之比为0.15：0.3：0.25=3：6：5， a2 +6=1, a3=8’ 19.解：(1)依题意， 解得 所以14人中每周户外活动时间在[4,6)小时的人数 2,3 11 a+62=1, 6=4, 为4×14=3，在[6,8)小时的人数为6×14=6 (1分) 在区，10)小时的人数为×14-5， x2,y2 (6分) 故C:8+4=1 (2分) 则X的可能取值为0,1,2,3,4， 设GP9.则+生-1， (3分) C 18 所以P(X=0)=C143' √2 x- 20, P(X=1)= C8C60 则P'的轨迹C'的方程为 4+y2=1. C4143 1 y= 2yo, C号C号360 P(X=2)= C14-1001' (4分) CC 90 (2)(i)依题意可得N(1,0),设直线l:y=(x十1)， P(X=3)= C14-1001, k>0, P(X=4)= C 5 C14-1001' 联立4 +y2=1, 故X的分布列为 y=k(x十1)， 0 2 2 整理得(1十4k2)x2+8k2x+4k2-4=0,△>0， 4 18 60 360 90 5 设D(x1,y1),E(x2y2), 143 143 1001 1001 1001 8k2 4k2-4 (6分) (9分) 则x1十x2=一1十4hx1x=1+4级2 510 故E(X)=4X47 (11分) 直线NG的方程为x=一1， y1y+1, (3)从每周户外活动时间在[4,10)小时的员工中随机 代入写+=1中， 抽取20人，每周户外活动时间在[8,10)小时的概率 0.25 整理得 p=0.15+0.3+0.25-14' (12分) ++2, -=0, 则p(k)=C0p(1-p)20- C2050920-e (7分) 1420, (13分) -3y1 -3y1 C150+1919-k 设G(xy),则y1y:=1-1)2+4y5-2x 故P+1) 1420 3y1 5x1-8 (k) C8050920- 故y3 2x1-504-2x1-59 1420 即G(5x-8.3y1) 201 2x1-5'2x1-5 6Xk+1)！·(19-b)！_5N◇ 20！ 9k+1 同理可得H(5x一8.3y:) (9分) k！·(20-k)1 2x2-5'2x2-5 3y23y1 (15分) 故kGH一 x2-52x1-521k(x1-x2)7k 解得k≥3=6.5，所以当k=7时，中k)最大 x2-85x1-89(x1-x2）=3, 2x2-52x1-5 故p(k)最大时，k的值为7. (17分) (10分) A 数学答案（五）第4页（共5页）》 ·数学· 参考答案及解析 3y17k5x1一8 所以直线GH的方程为y21-53x一2x,-5 4k 因为k>0时，tan(a2-a1)= 7 1+32 3+7k2 即y-气-》， 所以直线GH过定点（停o (12分) ，4≤4=2W2I 右+7k2V2T 3 21 (15分) 7k (i)因为kcH=3,所以tana1,tana2正负相同， 当且仅当k-可时等号成立， 且a2>a1,所以0<a:一a1<2, π 此时tan(a2一a1)取最大值，a2一a1取最大值， 当a2一a1取最大值时，tan(a2一a1)取最大值， 此时直线GH的方程为y-西(-9》 (17分) (13分) 数学答案（五）第5页（共5页） A