天津市南开大学附属中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段检测数学试卷

南开大学附中25-26学年上学期第二次阶段检测 高二致学学科试卷 一、单坊逼 1.已知数列1,3,715，…，2”-1，…，则1023是这个数列的() A,第8顶 B.第9项 C.第10项 D,第11项 2.设A(0,-3).B(0,3)是平面内两个定点，动点P满足‖P小-P到=4，则 P点的轨迹方程是（). A. x2 y2 =1 B.x 45 =1 45 D. =1 5-4 3.若{ā，石，}是空何向昼的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是 () A.{a,26,3 B.{2a,a+b,a-} c.Ja-c,a-B,B-8 D.Ja+c,a+B,B-c 4.设等差数列{an}的前n项和为Sm,若a4=7,Ss=25,则a1=（) A.I B.2 C.3 D.5 5.点2为直线k:x+y-2=0上的一点，过点2作圆C:(x+2)}+y2=1的两 条切线，切点分别为A,B,则四边形ACB面积的最小值为() A.√F B.2√2 C.2N万 D.4 6.已知实数-1，x,y,乙，4成等比数列，则y=（) A.-8 B.±8 C.-2 D.2 阶段检测试卷 高二数学学科 第1页共4页 若方程术+y产 大中+一太1表示焦点在y抽上的椭圆，则实数k的取收范限为() A.{k-1<k<1 D,{k-1<k<3} c.{k<k<3} D.{k1<k≤} 8.若抛物线y=上的点P心m,m成m>0)到其焦点F的距离为3，则实数m 的值为() A.2 B.3 C.2N5 D.3√2 9.如图1，正方形ABCD中，AE=EB,DF=FC,O是BD的中点将△ABD 沿BD折叠到AA'BD的位置，使得平面A'BD⊥平面BCD(如图2)，则直线 BD与平面EOF所成角的正弦值为() E B 图1 图2 A. 5 B. C. 6 D. 3 3 3 10.已知双自线C:言茶=a>0,b>0)的左右盘点分别为R,B,C 上一点M(-3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F.若N(x,%)是C 上的一个动点，满足NF·NE<0,则%的取值范围是() A.（-5,5)B.(4,4) c.（-5,4) D.（-4,5) 阶段检测试卷 高二数学学科 第2页共4页 二、填空如 11.已知直线I经过点P(2,)、(4,5)两点，直线m的倾斜角是直线1的领斜 角的2倍，则直线m的斜率为 12.已知正项签比数列{an}的前n项和为Sn,公比为9，S=3S,则g=_ 13.若圆C:x2+y2-2x+a=0与圆C2:x2+(y-1)2=4相交于A,B两点， 且A=2互，则买数a= 14.已知F(-1,0),F(1,0)是椭圆C的左、右焦点，椭四C与抛物线y2=4x 在第一象限的交点为户，连接PF与y轴交于点，若F2是∠PFF的角平 分线，则椭圆C的离心率为一 1反已如风曲宝c等若-(a>0b到的流、右纸点分别为R,5 点A在C上，点B在y轴上，5A15a,乃=-子B, 则C的离心串为」 三、解容题 16.已知数列{o,}满足：马=1,4=22若，= 2an+1 (1)求证：{bn}为等差数列， (2)求数列{an}的通项公式 17.在等差数列和，}中，首项a=1,数列，}满是6=孕，且0,4=在 (I)求数列{an}的通项公式： (I)求a☑1+a2b2+…+anbn<2 阶段检测试卷 高二数学学科 第3页共4页 18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平而ABCD,ADIBC,PA=1, AB=V3,BC=1,AD=2,M是PD的中点. (I)求证：CM∥平面PAB (2)若AB⊥AD, ①求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值； ②在线段BD上是否存在点2，使得点D到平面PAQ的距离为2工？若存 在，求出器的值，若不存在，请说明理由。 19.已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F(c,O)到一条渐近线的距离为√5. (1)求双曲线C的方程： (2)设A,A2分别为C的左右顶点，P为C异于A,A2一点，直线AP与AP 分别交y轴于M,W两点，求证：以线段N为直径的圆D经过两个定点. 20. 已知椭圆C: 2+=1(a>b>0)的离心率为亏，长轴为4 (1)求椭圆C的标准方程： 2)直线L:x-2y+1=0与椭圆交于A,B两点，求弦长AB: B)点H身引在C上，过点r40的直战4交精题C于P,Q两点（异于点 H),设直线HP,H2的斜率分别为k,.k2,证明：k+k2为定值. 阶段检测试卷 高二数学学科 第4页共4页 南开大学附中25-26学年上学期第二次阶段检测 高二数学学科答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A A C A C C B 1.C 【分析】根据题意，令2”-1=1023，求得n的值，即可得到答案. 【详解】由数列1,3,7,15，…，2”-1，…，可得数列的通项公式为an=2”-1, 令2”-1=1023，解得n=10,所以1023是这个数列的第10项. 故选：C 2.B 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线， 因为2a=4,c=3,所以b2=c2-a2=9-4=5, 所以其轨迹方程为少- -=1. 45 故选：B 3.A 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论 【详解】对于A,因为{a,b,c是空间向量的一组基底，所以向量ā，b,c不共 面， 因此a,2五，3C也不共面，因此{a,2b,3c}可以作为一组基底，即A正确； 对于B,易知2a=(a+)+(a-),因此向量2a,a+i,a-3共面，不能作为 阶段检测答案 高一数学学科 第1页共18页 基底，即B错误； 对于C,显然a-c=(a-)+(6-c),因此a-c,a-i,6-c共面，不能作为 基底，即C错误： 对于D,显然a+c=(a+b)-(石-c),因此a+c,a+万，6-c共面，不能作为 基底，即D错误； 故选：A 4.A 【分析】设等差数列{αn}的公差为d,根据题意，列出方程组，即可求解 【详解】设等差数列{an}的公差为d,因为a4=7且S=25, a,+3d=7 可得 5a1+ 4d=25'解得a=1,d=2. 5×4 故选：A 5.A 【分析】当圆心与点Q的距离最小时，切线长QA,QB最小，则四边形的面积 最小，此时是点到已知直线的垂线段.然后利用点到直线的距离公式求出圆心 到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可. 【详解】由圆方程知圆心为C(-2,0),半径为1， 因为QA,QB为圆的切线，所以 AB⊥QC,CA⊥QA,CB⊥QB,QA=|QB, 阶段检测答案 高一数学学科 第2页共18页 S四边形0cB=AAC=2A,要使得S四边形0acB最小， 只要QA最小， 由切线长公式知，只要QC最小. 当0c11时，ec-2t0-2-25,此时e4=locr-k4-v5. 2 所以S四边形0ACB的最小值是√7， 故选：A 6.C 【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出y=-2 【详解】设等比数列的公比为9，则y=-1×g2<0,且y2=(-1)×(-4)=4, 解得y=-2. 故选：C 7.A 【分析】根据方程表示焦点在y轴上的椭圆，可得出关于实数k的不等式组， 解之即可. 【详解】因为方程 、y2 =1表示焦点在y轴上的椭圆，所以 k+13-k 3-k>k+1 k+1>0 ，解得-1<k<1. 故选：A. 阶段检测答案 高一数学学科 第3页共18页 8.C 【分析】根据题意，求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义转化为点P到准 线的距离为3，求得n的值，进而求得m的值，得到答案. 【详解】由抛物线y=二x2,可得x2=4y,则焦点F(0,1),准线方程为y=-1, 因为点P(m,n)到其焦点F的距离为3， 根据抛物线的定义，可得点P到准线的距离为3，即n-(-1)=3,解得n=2, 所以m2=8,因为m>0,所以m=2√2. 故选：C. 9.C 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解， 【详解】连接A'O,CO,如图， 由题意可知，A'O⊥BD,CO⊥BD, 又平面A'BD⊥平面BCD,BD是交线，AOC平面A'BD, 所以AO⊥平面BCD,又COc平面BCD,所以AO⊥CO, 以O为坐标原点，OB,OC,OA'所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 设BD=2,则O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,0,1),D(-1,0,0),C(01,0), 阶段检测答案 高一数学学科 第4页共18页 由花=丽，DF=F元，如RF为4QD的中点，则}0 F o匹-2oF-(25o小oa-ao. 设平面EOF的一个法向量元=（x,y,z), iO死=x+5z=0 则 22 %.O万=1,1·令x=1，则y=1,z=1，即i=（1,1一1）， 22 设直线BD与平面EOF所成角为O, 则sin0=os元，O丽- n.OB 5 08 V1+1+13 故选：C 10.B 【分析】依题意可得∠FBM=2,则M丽·M沉=0，从而得到点N在以O为 圆心，OF=OM为半径的圆的内部，即可求出的取值范围。 【详解】设MF,与渐近线y=二x的交点为P,则P为MF的中点，且 OP⊥Mf2, 又O为F5的中点，所以OP,即∠RM=子，所以M派5=0， 要使NF·NE<0,则点N在以O为圆心，OF=OM为半径的圆的内部， 根据对称性可知-4<y<4,即y的取值范围是(-4,4)， 阶段检测答案 高一数学学科 第5页共18页 故选：B 1.-4/-1 【分析】根据两点求得直线l的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线m的斜 率 1=2 详解】因为直线1经过点P(2,D)、Q(45)两点，所以k。-二 设直线I的倾斜角为0，所以tan日=2，故tan20=,2tan0 4 1-tan203’ 4 故直线m的斜率为- 3 故答案为： 12.1 【分析】将Sn用a,表示，由等比数列通项公式代入化简求值. 【详解】因为S=3S,所以4+a2+a=3a,即a(1+g+g2)=3a1， 因41≠0，则得g2+q-2=0,解得9=-2或9=1， 因为an>0,所以9>0，所以9=-2不满足条件， 所以g=1. 阶段检测答案 高一数学学科 第6页共18页