精品解析：湖南省永州市新田县云梯学校2025-2026学年八年级上学期12月反馈练习检测数学试题（A卷）

2025年下期第三阶段反馈练习 八年级 数学（A卷） 一、单选题（共30分） 1. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 3. 对于正整数，定义，例如：．则的值为() A. B. C. D. 4. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知中，平分，于点，连接，若，则的面积是（ ） A. 6 B. 7.5 C. 10 D. 15 6. 如图，四边形中，．则四边形的面积是（ ） A. 72 B. 66 C. 42 D. 36 7. 如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 8. 有一个多边形，它的内角和恰好等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 9. 如图，四边形中去掉一个后，剩下的新图形不可能是（ ）边形． A. 三边形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 10. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在的延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②：：；③垂直平分；④其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（共24分） 11. 过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是________． 12. 因式分解的结果为______． 13. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_______________ 14. 已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 15. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 16. 已知，则的值为__________________ 17. 如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为______． 18. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是__________． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 20. 化简分式：，并从1，2，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 21. 如图，在中，，为上的一点，，为上一点，于点，于点，且．连接，交于点． （1）求证：垂直平分； （2）求的长． 22. 如图所示，线段，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，求证：． 23. 2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． （1）该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 24. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度和芦苇的长度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 25. 定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． （1）如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； （2）如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； （3）如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 26. 如图，在等腰三角形中，，点为底边上一动点，连接，在左侧作等腰三角形，使，，连接． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，，当点由点运动到点时： ①的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； ②求出点运动的路径长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期第三阶段反馈练习 八年级 数学（A卷） 一、单选题（共30分） 1. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁能够完全重合，中心对称图形绕某一点旋转后，能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、是中心对称图形，不是轴对称图形； 选项B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； 选项C、既是中心对称图形，也是轴对称图形； 选项D、是轴对称图形，不是中心对称图形； 故选：C． 2. 已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，非负数的性质和代数式求值，利用完全平方公式分解因式把所给等式变形为，根据非负数的性质求出x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴且， ∴，， ∴， 故选：D． 3. 对于正整数，定义，例如：．则的值为() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 4. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，由垂直平分线性质可得，，所以，，通过三角形内角和定理可得，最后通过角度的和与差即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，已知中，平分，于点，连接，若，则的面积是（ ） A. 6 B. 7.5 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，作于点F，由平分，于点E，根据角平分线的性质得，而，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点F， ∵平分，于点E， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，四边形中，．则四边形的面积是（ ） A. 72 B. 66 C. 42 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 7. 如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先利用角平分线和平行线的性质证明线段相等（、），再结合直角三角形的边角关系求出的长度，最后将的周长转化为的长度求解． 【详解】解：∵ 平分，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在中，，， ∴ ， 的周长 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形的边角关系，熟练掌握“角平分线平行线得等腰三角形”的模型是解题的关键． 8. 有一个多边形，它的内角和恰好等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和，解题的关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得． 故选：B． 9. 如图，四边形中去掉一个后，剩下的新图形不可能是（ ）边形． A. 三边形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 10. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在的延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②：：；③垂直平分；④其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，三角形外角的性质，角平分线的定义， 根据角平分线定义得，再根据三角形外角的性质得，即可解答①；作，，，根据角平分线性质定理得，再根据角平分线性质定理的逆定理得平分，然后根据解答；接下来根据平分，解答③；最后根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，即可解答④． 【详解】解：如图， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴，则①正确； 过点P作于点M，于点N，于点S， ∴， ∴平分． ∵，则不正确； ∵平分， ∴垂直平分，则③正确； ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴.则正确． 本题正确的有：． 故选：B． 二、填空题（共24分） 11. 过多边形的一个顶点能引出条对角线，则这个多边形的边数是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式列方程求解即可． 【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引出5条对角线，设多边形边数为n, ∴，解得：． 故答案为：8． 12. 因式分解的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查十字相乘法，直接利用十字相乘法对式子进行因式分解即可． 【详解】解：对进行因式分解，常数项可分解为，一次项系数可由得到， 所以， 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程无解，则m的值为_______________ 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程，并整理得到，原方程无解可分为两种情况：和时，原方程有增根，据此讨论求解即可． 【详解】解： 两边都乘以，得， 整理，得， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，故此时原方程无解，符合题意； 当，即是，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴ 解得； 综上所述，或， 故答案为：或1． 14. 已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为______________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 【详解】解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 15. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，掌握好相关的性质是关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解． 【详解】∵ 代数式 在实数范围内有意义， ∴ ， 解得，且． 故答案为：且． 16. 已知，则的值为__________________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，解二元一次方程组，完全平方公式，代数式求值． 将化为，根据二次根式的非负性，平方的非负性得到关于和的方程组，解方程组后求的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：， 则． 故答案为：． 17. 如图，在中，对角线与交于点O，的平分线与交于点E，点F是的中点，连接，若，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线、等腰三角形的判定与性质．由和角平分线得到，则，再根据是的中位线，得到． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称的应用．解题的关键是能够通过构造全等三角形，把进行转化．构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点． 从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点， ， 在和中， ∴， ， ， ∵有最小值． 当是点到直线的距离时，， 又，，此时， 即取最小值为4， ∴的最小值是 4 ． 故答案为4． 三、解答题（共66分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根据式的乘法，并运用完全平方公式计算，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 化简分式：，并从1，2，3这三个数中取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再在所给的值中选取一个使原式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， 要使原分式有意义， 的值不能取、2， 可取的值为1或3， 当时，原式， 当时，原式． 21. 如图，在中，，为上的一点，，为上一点，于点，于点，且．连接，交于点． （1）求证：垂直平分； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴点在角平分线上，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，则点在角平分线上，，，则，然后通过垂直平分线的判定即可求证； （）由（）得，又，则有是等边三角形，然后通过等边三角形性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． 22. 如图所示，线段，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ． ，分别为，的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】本题主要运用平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质证明线段相等，准确理解和应用性质求解是解题的关键． 通过平行线得到角相等，进而证明三角形全等，再结合中点条件证明四边形是平行四边形，最后得出结论． 【详解】略 23. 2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． （1）该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 【答案】（1）第一批进价40元，第二批进价50元 （2）元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用及不等式的实际应用，解应用题时需要理清楚数量关系，找到合适的量设未知数，根据题意列出方程或不等式，注意分式方程求解需要检验． （1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可； （2）设每件T恤衫的标价是y元，通过利润率不低于列不等式，求解范围即可． 【小问1详解】 设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元； 由题意得， 解得， 经检验为分式方程的解且符合题意， ， 答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元； 【小问2详解】 设每件T恤衫的标价是y元， 第一次购进件，第二次购进件， 利润为：， 利润率不低于， 则 解得， 答：每件T恤衫的标价至少是元． 24. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度和芦苇的长度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽，芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】（1）水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； （2） 证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，则；由勾股定理即可得证． 【小问1详解】 解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ； 即尺，尺； 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺； 【小问2详解】 略 25. 定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． （1）如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； （2）如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； （3）如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 【答案】（1），； （2） 证明：在中，，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴为直角三角形， ∴是机灵三角形， ∴是的机灵线； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，含有直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （）由题得，则，进而可证是等边三角形，所以，即为等腰三角形，再利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，即，即可得证； （）由题可知为直角三角形，进而分类讨论，利用含有的直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是机灵三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵是机灵三角形，且为机灵线， ∴为直角三角形， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 当时，如图， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 综上，的长为或． 26. 如图，在等腰三角形中，，点为底边上一动点，连接，在左侧作等腰三角形，使，，连接． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，，当点由点运动到点时： ①的大小是否为定值？若为定值，求出其大小，若发生变化，请说明理由； ②求出点运动的路径长度． 【答案】（1） 证明：，， 是等边三角形， 同理得也是等边三角形， ，， ， ， 在 和中，， ； （2）①的大小是为定值，其定值为 ②点运动的路径长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质． (1)根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可证和是等边三角形，根据等边三角形的性质可证，利用可证结论成立； (2)①当点在上运动时，过点作，交于F，则是的中点，可证是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得；当点与中点重合时，；当点在上运动时，过点作，交的延长线于点，可得，从而可得； ②点运动的路径是从点到点，根据与都是等腰直角三角形，可知． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：的大小会发生变化， (ⅰ)如下图所示，过点作，交于F，则是的中点， 当点在上运动时，， 理由如下： 过点作于， ，， ， ，， 在和中，， ， ，， ， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形， ； (ⅱ)当点与中点重合时，； (ⅲ)当点在上运动时，， 理由如下： 如下图所示，过点作，交的延长线于点，  同理可证， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，  ②如下图所示，点运动的路径是从点到点， 当点在点时， 设交于， 与都是等腰直角三角形， ， 当点运动到点时， 由， 可得：， ，， ， ，，在同一直线上， 由题意得是等腰直角三角形， ， ， 点运动的路径长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $