专题05 抛物线综合（12大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（苏教版）

专题05 抛物线综合 【苏教版】 【知识清单1 抛物线的标准方程】 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【知识清单2 抛物线的简单几何性质】 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【知识清单3 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【知识清单4 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于，两点，则 |AB|=或 |AB|= (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为，，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【知识清单5 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【知识清单6 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 1．抛物线中的定点、定值问题 抛物线中的定点、定值问题一般与抛物线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．抛物线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型1 抛物线定义的理解】 【例1】（25-26高二上·四川达州·月考）抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【变式1.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1.2】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1.3】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 【例2】（2025·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高三下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 抛物线中距离的最值问题】 【例3】（25-26高二上·辽宁·月考）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 【变式3.1】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知抛物线上有一动点，为其焦点，其所在平面内还有一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3.3】（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【题型4 求抛物线的焦点及准线】 【例4】（25-26高二上·天津·月考）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025高三上·安徽合肥·专题练习）抛物线：的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·福建龙岩·月考）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（    ） A．9 B．5 C． D． 【题型5 求抛物线的标准方程】 【例5】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】（25-26高二·全国·假期作业）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6 抛物线的焦半径公式】 【例6】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式6-2】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】（2025·河北·模拟预测）已知抛物线，是的焦点，是的准线与轴的交点，若曲线上的点满足：，则（    ） A． B．4 C． D．5 【题型7 实际问题中的抛物线】 【例7】（25-26高二上·安徽·月考）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【变式7-1】（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【变式7-2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【变式7-3】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【题型8 直线与抛物线的位置关系】 【例8】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式8.1】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8.2】（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（   ） A． B． C． D．2 【变式8.3】（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【题型9 抛物线的弦长与焦点弦问题】 【例9】（25-26高二上·江苏·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【变式9-1】（2025·山西临汾·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【变式9-2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【变式9-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【题型10 抛物线中的面积问题】 【例10】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【变式10-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 【变式10-2】（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）在平面直角坐标系中，直线与曲线有且仅有一个公共点. (1)求的方程； (2)过的直线与另交于点，若，求的面积. 【变式10-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【题型11 抛物线中的参数范围及最值】 【例11】（25-26高二上·河南·月考）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【变式11-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2. (1)求的准线方程； (2)求的最小值. 【变式11-3】（2025·四川攀枝花·三模）已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求的范围. 【题型12 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 【例12】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【变式12-1】（25-26高二上·辽宁·月考）已知动点到定点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于A，B两点，点，直线，直线的斜率分别为，．若，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【变式12-2】（24-25高二上·云南丽江·月考）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【变式12-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 一、单选题 1．（25-26高二上·吉林长春·月考）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 5．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 6．（25-26高二上·安徽安庆·月考）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 7．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（25-26高二上·江苏·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三上·福建三明·月考）已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A．的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 10．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 11．（2025·江苏·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 三、填空题 12．（25-26高三上·上海松江·期末）抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 13．（2026高三·全国·专题练习）抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，则抛物线的方程为 ． 14．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为 . 四、解答题 15．（25-26高二上·安徽·月考）已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 16．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 17．（25-26高二上·海南儋州·月考）某特色景区入口处，建有一座抛物线形拱门以提升景观.已知拱门底部宽度为12米，拱门最高点距地面6米.为确保车辆安全通行，需对通过车辆的高度进行限制.请同学按照以下要求建立平面直角坐标系：以拱门最高点为原点，平行于地面的方向为轴，竖直向下为轴正方向. (1)求该抛物线形拱门的方程； (2)一辆载货后总宽度为3.8米（即车厢左右两侧距中心线各1.9米）的货车需要安全通过此拱门.若货车车厢顶部为水平平面，请计算并说明，为了保证车厢顶部任何一点都不触及拱门，货车车厢的最大允许高度是多少米？（精确到0.1米） 18．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 19．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线综合 【苏教版】 【知识清单1 抛物线的标准方程】 1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. (2)集合语言表示 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2．抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 3．抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 【知识清单2 抛物线的简单几何性质】 1．抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准 方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 顶点 (0,0) (0,0) 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是 e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 3．与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. (2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【知识清单3 直线与抛物线的位置关系】 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l：y=kx+m，抛物线：y2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【知识清单4 抛物线的弦长与焦点弦问题】 1．弦长问题 设直线与抛物线交于，两点，则 |AB|=或 |AB|= (k为直线的斜率，k≠0). 2．抛物线的焦点弦问题 抛物线y2=2px(p>0)上一点与焦点的距离为|AF|=，若MN为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=x1+x2+p(x1,x2分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为，，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 【知识清单5 抛物线的切线】 1．抛物线的切线 过抛物线y2=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【知识清单6 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 1．抛物线中的定点、定值问题 抛物线中的定点、定值问题一般与抛物线的基本量和题设条件中的给定的点或值有关，曲线过定点问题以直线过定点居多，定点问题其实也可以归结到定值问题(定点的横纵坐标为定值).这类问题用函数的思想方法来处理，具体操作流程如下： (1)变量——选择合适的参变量； (2)函数——要证明为定值的量表示出参数的函数； (3)定值——化简函数解析式，消去参数得定值. 一些存在性问题，是否存在定点使得某一个量为定值，是否存在定值使得某一量为定值，是否存在定点使得曲线过定点，是否存在定值使得曲线过定点，可以看做定点定值问题的延伸. 2．过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； (2)动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 3．求解定值问题的三个步骤 (1)由特例得出一个值，此值一般就是定值； (2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； (3)得出结论． 4．抛物线中的定直线问题 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题.这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程； (2)待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数； (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型1 抛物线定义的理解】 【例1】（25-26高二上·四川达州·月考）抛物线上的点到焦点的距离为6，则点到轴的距离为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解题思路】借助抛物线焦半径公式与抛物线定义计算即可得. 【解答过程】设，则，故， 则点到轴的距离为. 故选：B. 【变式1.1】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义，及焦半径的求法，分析即可得答案. 【解答过程】由题意，抛物线的准线方程为， 因为抛物线上点到直线的距离为5， 所以点到直线的距离为4， 由定义得，抛物线上的点到准线的距离与到焦点的距离相等，所以， 故选：B. 【变式1.2】（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解题思路】根据抛物线方程的定义即可得到答案. 【解答过程】因为点在上，，所以点到的准线的距离为5， 所以点到直线的距离为7． 故选：A． 【变式1.3】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解题思路】先设 ，由抛物线的定义可知 ，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以，得到 【解答过程】设 ,准线为 ， 由抛物线的定义可知点M到准线距离为 ， M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以 即，得到 故选：C. 【题型2 求抛物线的轨迹方程】 【例2】（2025·湖南衡阳·三模）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可. 【解答过程】由题意知，点到点的距离和它到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，所以的方程为，故C正确. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分析可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，即可得解. 【解答过程】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高三下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【解答过程】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2.3】（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【解答过程】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【题型3 抛物线中距离的最值问题】 【例3】（25-26高二上·辽宁·月考）已知抛物线，圆，为抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解题思路】设，则，再根据两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解. 【解答过程】设，由题意得，， 则 ． 当且点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为 故选：A． 【变式3.1】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【解答过程】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 【变式3.2】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知抛物线上有一动点，为其焦点，其所在平面内还有一点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】根据抛物线的定义，等于到准线的距离，进而转化为求的最小值，再根据三点共线即可求得答案. 【解答过程】将抛物线方程化为标准形式，得焦点，准线方程.过点作,垂足为, 根据抛物线定义，等于到准线的距离. 所以，.当且仅当三点共线时等号成立， 此时垂直于准线时，最小，为点到准线的距离. 所以 故的最小值为. 故选: C. 【变式3.3】（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【解答过程】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 【题型4 求抛物线的焦点及准线】 【例4】（25-26高二上·天津·月考）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将抛物线化为标准方程得，即可得到焦点坐标. 【解答过程】将抛物线化为标准方程得，所以焦点坐标是 故选：C. 【变式4-1】（2025高三上·安徽合肥·专题练习）抛物线：的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将抛物线写成标准方程，即可根据准线方程的公式求解. 【解答过程】的标准方程为，故准线方程为， 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·福建龙岩·月考）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出椭圆焦点坐标与抛物线焦点坐标可得，即可得准线方程. 【解答过程】，则椭圆的焦点坐标为， 又抛物线的焦点坐标为， 则，解得，则该抛物线的准线方程为. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（    ） A．9 B．5 C． D． 【答案】D 【解题思路】由抛物线方程求得准线方程求解. 【解答过程】由抛物线方程可得其焦点在轴正半轴上，且，解得， 故其准线方程为，又点的纵坐标为1， 则点到准线的距离为 . 故选：D. 【题型5 求抛物线的标准方程】 【例5】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】先求得焦点坐标，再根据焦点坐标求解抛物线方程即可. 【解答过程】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二·全国·假期作业）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由抛物线的准线方程确定抛物线方程的形式，并求出的值即得． 【解答过程】由于准线方程为，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为， 因为抛物线的准线方程为， 所以，解得， 所以抛物线的方程为． 故选：B． 【变式5-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【解答过程】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 【变式5-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可得，，将代入抛物线方程可得答案. 【解答过程】由题可得，如图，做垂直于x轴，因，， 则，，则， 将代入， 可得， 则抛物线的方程为：. 故选：C. 【题型6 抛物线的焦半径公式】 【例6】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【解答过程】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 【变式6-1】（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解题思路】先由直线求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【解答过程】对于直线 ，令，解得， 所以抛物线的焦点为,准线方程为． ，解得， 所以抛物线的方程为， 设的坐标为，则 ， ∴的坐标为，则，得，所以． 由抛物线的定义，得． 故选：C． 【变式6-2】（24-25高二上·四川凉山·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解答过程】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 【变式6-3】（2025·河北·模拟预测）已知抛物线，是的焦点，是的准线与轴的交点，若曲线上的点满足：，则（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【解题思路】由抛物线方程可知，.由及双曲线的定义可知：点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，且，，从而可求点的轨迹方程.联立抛物线方程与双曲线方程即可求解点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式即可求解. 【解答过程】 由抛物线可知，. 因为，所以根据双曲线的定义可知：点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，且，， 所以的轨迹方程为. 联立，化简整理得，即， 解得，或（舍去）. 所以由抛物线定义及焦半径公式可知. 故选：D. 【题型7 实际问题中的抛物线】 【例7】（25-26高二上·安徽·月考）如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为，水面宽度为，当水面下降后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【解题思路】以拱顶为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，根据条件求出抛物线方程， 再求出水面下降后，水面的宽度. 【解答过程】以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为， 依题意可知抛物线过点，所以，解得， 所以抛物线方程为， 所以当 时，， 解得， 所以当水面下降后，水面的宽度为． 故选：B． 【变式7-1】（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【解答过程】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（    ）    A．1350米 B．758米 C．725米 D．558米 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【解答过程】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为 ， 利用抛物线的定义得：. 故选：C.    【变式7-3】（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据在可得，即可求解. 【解答过程】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 【题型8 直线与抛物线的位置关系】 【例8】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 【变式8.1】（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解答过程】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式8.2】（25-26高二上·陕西榆林·月考）已知抛物线与直线无公共点，则实数可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】抛物线方程与直线方程联立，由解出，进而求解. 【解答过程】由题意有：， 所以，解得， 故选：C. 【变式8.3】（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解题思路】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【解答过程】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与地物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 【题型9 抛物线的弦长与焦点弦问题】 【例9】（25-26高二上·江苏·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【解答过程】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 【变式9-1】（2025·山西临汾·三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【解题思路】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，写出韦达定理得到，进而得到，再利用焦半径公式得到，求解出，最后再利用焦半径公式求值即可. 【解答过程】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且， ，消去x得， 由韦达定理得，则， 由焦半径公式得，， 因为，所以， 联立方程组，解得或（舍去）， 则，故D正确. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可. 【解答过程】（1）设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. （2）易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 【变式9-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点． (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，一条斜率为的直线过该抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点，求弦的长度. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据抛物线焦点的位置分类讨论，设出抛物线的方程，把点代入求解即可； （2）求出直线的方程，代入抛物线，利用弦长公式求解. 【解答过程】（1）若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：； 若抛物线焦点在轴上，则可设， 抛物线经过点，，解得：， 抛物线方程为：， 综上所述：抛物线的方程为：或. （2）由（1）知：抛物线的方程为：，焦点为， 则直线， 代入抛物线方程，消去得，则，显然， 所以，， 则. 【题型10 抛物线中的面积问题】 【例10】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当时，的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为：，，进而联立方程，并结合韦达定理，得，再计算，原点到直线的距离即可计算面积. 【解答过程】设直线的方程为：，两点的坐标分别为， 联立消得：， 由，得， ，则（舍）， 直线的方程为：， 原点到直线的距离， . 故选：C. 【变式10-1】（25-26高二上·江苏·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 【答案】B 【解题思路】设直线的方程，将其与抛物线方程联立，由韦达定理和向量的数量积为零求得，即得直线方程，代入抛物线方程求出点的坐标，再由三角形面积公式求出面积即可. 【解答过程】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程，消去，可得. 由，可得； 由韦达定理可得，. 则. 将，代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为、位于轴两侧，所以，故，满足， 由可得，代入得， 解得，. 当时，；当时， 所以，. . 所以. 故选：B. 【变式10-2】（25-26高二上·辽宁朝阳·月考）在平面直角坐标系中，直线与曲线有且仅有一个公共点. (1)求的方程； (2)过的直线与另交于点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将直线与曲线联立，由题意，求出p值，即可得答案. （2）根据（1）可求出A点坐标，即可求出的斜率，进而可得的斜率，代入公式，可得直线的方程，与抛物线联立，结合弦长公式，可得，根据两点间距离公式，可得，代入面积公式，即可得答案. 【解答过程】（1）联立，得， 其中， 解得（舍）或， 故的方程为. （2）此时由可解得，而，故， 所以的斜率， 故的斜率，所以，即， 联立，可得，解得， 故， 而， 故的面积. 【变式10-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为F，若. (1)求m的值以及抛物线C的方程； (2)过F点的两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，C与B，D四点，求四边形ABCD面积的最小值. 【答案】(1)， (2)8 【解题思路】（1）利用抛物线的定义结合条件求得，得其解析式，代入点，计算即得m的值； （2）依题意设直线：，直线：，将其分别与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得和，结合，表示出四边形ABCD面积的表示式，借助于基本不等式即可求出其最小值. 【解答过程】（1）因抛物线的焦点为F，则 ∴，即抛物线C的方程： 又因为抛物线过点,代入抛物线方程，可得，解得. 综上：，抛物线C的方程：； （2）由题知，过F点的两条互相垂直的直线斜率均存在，且不等于零，如下图：      因此设直线：，直线： 设点、、、， 联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵， 同理，联立直线与抛物线C的方程，得， 则有，∴， 又∵，∴， 又∵， ∴ ， 当且仅当，即时，四边形ABCD面积的最小值是8. 【题型11 抛物线中的参数范围及最值】 【例11】（25-26高二上·河南·月考）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线定义，将点到的距离转化为点到焦点的距离，然后数形结合，根据三角形三边关系，可以得出的最小值即为点到直线的距离，再结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】由题意，抛物线的焦点，准线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以. 联立方程组得：，则， 所以直线与抛物线无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为， 即的最小值为.    故选：A. 【变式11-1】（2025·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 【变式11-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知为抛物线：上的一点，直线交于A，B两点，且直线，的斜率之积为2. (1)求的准线方程； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将点代入即可求出，则得到准线方程； （2）设点，计算斜率得到，联立直线与抛物线得到，则得到韦达定理式，代入即可得到，则，再利用二次函数性质即可得到最值. 【解答过程】（1）因为点在：上， 所以，解得. 所以的准线方程为. （2）由（1）知：，设，. ，同理可得， 所以，即. 联立得， 由得.（*）， ，， 所以， 整理得. 所以， 当，时，等号成立，此时，满足（*）式， 故的最小值为. 【变式11-3】（2025·四川攀枝花·三模）已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求的范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由题意，设出点Q的坐标，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）设出直线的方程和A，B两点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点D，G的坐标，即可求出的表达式，再进行求解即可． 【解答过程】（1）不妨设， 因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为4，点Q到y轴的距离为， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 则抛物线C的方程为； （2）由题意知直线的斜率必存在，， 不妨设直线AB的方程为，， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得， 易知直线OA的方程为， 因为轴，所以，即， 所以， 因为DF⊥AE，所以， 则直线AE的方程为， 因为，所以， 此时， 因为， 所以， 由题意知，则， 所以． 故的取值范围为． 【题型12 抛物线中的定点、定值、定直线问题】 【例12】（25-26高二上·江苏·期末）已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，6. 【解题思路】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程； （2）运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到的定值. 【解答过程】（1）由题意知，设直线的方程为， 由 得：，所以， 所以，所以， 故抛物线的方程为 （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则， 所以， ，即 ， 所以 . 所以：为定值，该定值为6. 【变式12-1】（25-26高二上·辽宁·月考）已知动点到定点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于A，B两点，点，直线，直线的斜率分别为，．若，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点． 【解题思路】依题意，根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，即可求出轨迹方程； （2）设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出，，即可得到、的关系，从而求出定点坐标. 【解答过程】（1）因为动点到定点的距离比它到直线的距离小， 所以动点到直线的距离与到点的距离相等， 根据抛物线的定义，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线方程为，所以，则， 所以曲线的方程为． （2）由题意知直线的斜率存在，设，，直线的方程为， 联立，消去得， 则，，． 所以 ， 又，所以，即， 即直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点． 【变式12-2】（24-25高二上·云南丽江·月考）已知抛物线Ω：焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，且直线与Ω交于M，N两点，直线与Ω交于E，P两点，M，E均在第一象限，设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)直线AB是否过定点？请说明理由； (2)证明：点H在直线上． 【答案】(1)过定点，理由见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （2）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【解答过程】（1）抛物线Ω：的焦点， 互相垂直的直线，与抛物线各有两个交点，知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得，， ，，弦MN的中点， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，当时，恒有， 所以直线过定点，其坐标为. （2）直线的斜率，同理得直线的斜率， 此时直线的方程为，即， 同理，直线的方程为，即，整理得， 由，消去解得， 所以直线ME与直线NP的交点在直线上. 【变式12-3】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1)标准方程为，准线方程为； (2)证明见解析； (3)证明见解析，. 【解题思路】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【解答过程】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； （2）设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 一、单选题 1．（25-26高二上·吉林长春·月考）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先写出抛物线的标准方程，即可写出焦点坐标. 【解答过程】抛物线的标准方程为：，所以抛物线焦点坐标为. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏·期末）以为焦点的抛物线标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，由条件，求出的值，即可得答案. 【解答过程】由题意，抛物线标准方程形如，焦点坐标为， 所以，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是. 故选：D. 3．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知为抛物线上一点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由抛物线的焦半径公式可求得的值. 【解答过程】由题意可知，抛物线的焦点为，准线方程为， 因为为该抛物线上一点，由抛物线的定义可得. 故选：A. 4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【解答过程】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 5．（25-26高三上·福建漳州·开学考试）已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【解题思路】根据焦点可得抛物线方程，进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解. 【解答过程】由，得，即，故抛物线的方程为. 设，则的面积为，得， 将代入，得， 由焦半径公式. 故选：D. 6．（25-26高二上·安徽安庆·月考）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，根据题意得到线段长求得点坐标，代入抛物线方程求得参数，即可求得结果. 【解答过程】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点A的坐标代入抛物线的方程 可得解得，∴抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即，∴抛物线焦点到顶点的距离为1m． 故选：A． 7．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【解答过程】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则 ， 则的最小值为6． 故选：C. 8．（25-26高二上·江苏·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程，直线方程与曲线方程联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【解答过程】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程，将代入， 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得. 则. 将代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得. 当时，；当时， 所以. . 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高三上·福建三明·月考）已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A．的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 【答案】BC 【解题思路】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程即可判断AB，然后再由抛物线的焦半径公式求解判断CD. 【解答过程】由抛物线，则，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，由于点在上，则， 而，则，即，所以，故C正确； 对于D，，当且仅当，即在原点时，等号成立，故D错误. 故选：BC. 10．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知抛物线的焦点为F，过F作一条倾斜角为的直线交C于A，B两点(在第一象限)，与准线垂直，垂足为.则（    ） A．为等边三角形 B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据抛物线的定义，可判断A的真假；写出直线的方程，与抛物线方程联立，求出点的横坐标，结合抛物线的定义，可判断BCD的真假. 【解答过程】对A：根据抛物线的定义可得，又轴，，所以，所以为等边三角形，故A正确； 对B：因为，直线方程为：，代入抛物线方程得：， 整理得： ， 所以，. 根据抛物线的定义：，. 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：由AB可知，，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·江苏·模拟预测）设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【解题思路】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【解答过程】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以 . 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高三上·上海松江·期末）抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 【答案】4 【解题思路】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【解答过程】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4. 13．（2026高三·全国·专题练习）抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【解题思路】根据抛物线的定义得到点的纵坐标，根据点到轴的距离为得到点的横坐标，将点的坐标代入抛物线方程即可求出答案. 【解答过程】根据抛物线定义，点与焦点的距离等于点到准线的距离，又点与焦点的距离为，则点的纵坐标， 又点到轴的距离为，则点的横坐标， 代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线的方程为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·山西太原·期末）已知过抛物线C：（）的焦点F且斜率为的直线与C相交于A，B两个不同点，若，则（O是坐标原点）的面积为 . 【答案】1 【解题思路】设直线方程为，设，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理结合弦长公式求得，再求出到直线的距离后，由面积公式计算． 【解答过程】由题意，直线方程为，设， 由得， 所以， 又， 所以，解得（负值舍去），即直线方程为， 所以到直线的距离为， ， 故答案为：1. 四、解答题 15．（25-26高二上·安徽·月考）已知抛物线的焦点在直线上． (1)求的方程； (2)为坐标原点，过点作直线交于，两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)8 【解题思路】（1）根据直线方程可得焦点，即可得和抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，可得，即可得面积，进而分析最值. 【解答过程】（1）因为抛物线的焦点在轴正半轴上， 对于直线，令，可得， 可知焦点，即，可得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，且不为0， 设直线的方程为，， 联立方程，消去y可得， 则，可得，， 则， 可得的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为8. 16．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. 【解答过程】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 17．（25-26高二上·海南儋州·月考）某特色景区入口处，建有一座抛物线形拱门以提升景观.已知拱门底部宽度为12米，拱门最高点距地面6米.为确保车辆安全通行，需对通过车辆的高度进行限制.请同学按照以下要求建立平面直角坐标系：以拱门最高点为原点，平行于地面的方向为轴，竖直向下为轴正方向. (1)求该抛物线形拱门的方程； (2)一辆载货后总宽度为3.8米（即车厢左右两侧距中心线各1.9米）的货车需要安全通过此拱门.若货车车厢顶部为水平平面，请计算并说明，为了保证车厢顶部任何一点都不触及拱门，货车车厢的最大允许高度是多少米？（精确到0.1米） 【答案】(1)； (2)米. 【解题思路】（1）按照题目要求建立平面直角坐标系，分析抛物线所过点的坐标即可代入求解； （2）过点作轴的垂线，与和抛物线分别交于点，求出点的纵坐标，然后可得，结合实际意义可得. 【解答过程】（1）按照题目要求建立平面直角坐标系，如图： 由题意可知，抛物线的标准方程为，且过点， 则，解得，由实际意义可知，， 所以该抛物线形拱门的方程为. （2）由对称性可知，当货车的左右两侧的车厢距离抛物线的对称轴米时，可通过的车辆高度最大. 过点作轴的垂线，与和抛物线分别交于点， 令，代入得， 所以，由实际意义可知货车车厢的最大允许高度为米. 18．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据已知条件先找出直线的方程，联立直线和抛物线方程解出，从而得出的值建立方程求出的值即可； （2）由抛物线的对称性进行分析后，设直线，联立直线和抛物线方程，分析写出韦达定理，分别求出直线的方程，联立两直线方程分析即可得出结论. 【解答过程】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 19．（2025·全国·模拟预测）已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【解题思路】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【解答过程】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $