专题06 抛物线方程及其性质（6大考点51题）（期中真题汇编，江苏专用）高二数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06抛物线方程及其性质 ☆6大高频烤点概览 考点01求抛物线方程 考点02轨迹方程抛物线 考点03抛物线中的基本性质综合 考点04抛物线中的焦半径及焦点高弦问题 考点05抛物线中的最值问题 考点06抛物线的应用 目目 考点01 求抛物线方程 一、单选题 1.(24-25高二上江苏淮安高中校协作体·期中)过点(1，-2)且焦点在y轴上的抛物线方程为() 1 A.y2=4x或x2=5y B.y2=4x 2 C.y2=4x或x2=-2) 1 D.-2y 1 二、多选题 2.(24-25高二上江苏常州高级中学期中)顶点在原点，且过点P(-3,4)的拋物线的标准方程是() A.y2=-16 RP台 C.x-9y 41 n 3.(24-25高二上江苏盐城东台第一中学期中)已知直线1：√3x-y-√5=0过抛物线C:y2=2pxp>0)的焦点 F,且与抛物线C交于AB两点，过A,B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M,N,则下列结论正 确的是（) A.抛物线的方程为y2=4x B.线段AF的长度为4 C.∠MFN=90 D,线段AB的中点到y轴的距离为。 三、填空题 4.(24-25高二上·江苏准安高中校协作体·期中)准线为x=-1的抛物线的标准方程是」 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2425高二上江苏常州田家炳高级中学期中)以双曲线父-上=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程 63 为】 四、解答题 6.(24-25高二上江苏盐城七校联考期中)已知顶点在原点0，焦点在坐标轴上的抛物线过点(3,2√3) (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上且与直线y=x+m交于A、B两点(A、B两点异于原点)，以AB为直径的圆 经过原点，求m的值 7.(24-25高二上江苏南京·期中)已知点A(4,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，直线1经过点A,且在y轴上 的截距为-2. (1)求p的值和直线1的方程； (2)记1与C的另一个交点为B,求经过O,A,B三点的圆的方程 8.(24-25高二上江苏扬州中学期中)己知A6,m+2),B24,m+8)是抛物线C:y2=2pxp>1)上的两点. (1)求抛物线C的方程； (2)若斜率为k(k≠0)的直线1经过C的焦点，且与C交于P,Q两点，求PQ+k2的最小值. 9.(24-25高二上江苏连云港东海县·期中)设抛物线E:y2=2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为4，点 M到x轴的距离为V3p (1)求抛物线E的方程； (2)经过焦点F的直线交抛物线E于A,B两点，直线A0(O为坐标原点)交抛物线E的准线于点D,求 证：直线DB的斜率为定值 10.(24-25高二上·江苏锡山高级中学期中如图，已知直线1与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点，且 OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为44 11 】 B 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求P的值 (2)已知点E(0,3),Q、G为抛物线C上位于第二象限的两点，且G在0下方，已知直线0G的斜率为-7， 直线EQ与直线EG的倾斜角互补，求三角形EQG的面积. 11.(24-25高二上江苏扬州第一中学期中)已知抛物线E:y2=2px(p>0经过点P(1,2) (1)求抛物线E的方程； (2)设直线y=kx+m与E的交点为AB,直线PA与PB倾斜角互补 (i)求k的值； (ii)若m<3,求△PAB面积的最大值 12.(24-25高二上江苏常州田家炳高级中学期中已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上 的点P(2,)到F的距离为3. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线1交抛物线C于A,B两点，分别以AF,BF为直径作圆O,O, ①证明：圆O与y轴相切： ②若直线1的斜率为1，求与圆O,O,都相切的直线方程 13.(24-25高二上江苏淮阴中学，期中)己知抛物线C:y2=2px过点1,2)，直线1与抛物线C相交于A,B两 点，若直线1过点M(4,0). (1)求抛物线C的方程； (②)证明：以AB为直径的圆经过坐标原点； (3)若AM=2MB,求直线I的方程， 14.(24-25高二上江苏南通如皋部分学校期中)已知点F为抛物线C:x2=2pyp>0)的焦点， P(4,y),Q1,y)为抛物线C上两点，且直线PF与直线QF斜率之和为0. (1)求抛物线C的方程； ②若A为抛物线C上一动点，直线1：y=红-多，且1PF,求A到直线距腐的最小氧。 15.(24-25高二上江苏扬州新华中学.期中)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线与y轴的交点为A(0,-1), (1)求抛物线C的方程； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若经过点(-1,0)的直线1与抛物线C相切，求直线1的方程； (⊙)若过点M(0,2)的直线与抛物线C交于BD两点，证明：PM+OM为定值. 16.(24-25高二上江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是圆x2+y2=1与 x轴的一个交点。 (1)求抛物线C的方程； (2)若过点(4,0)的直线1与抛物线C交于不同的两点A,B,O为坐标原点，证明：0A10B. 17.(2425高二上江苏扬州高邮期申)已知抛物线G的顶点在坐标原点，其焦点F与双曲线C,:y_ 31 的上焦点重合，A,B为拋物线C上两点 (1)求拋物线C的标准方程及其准线方程； (2)若AF+BF=8,求线段AB的中点到x轴的距离 18.(24-25高二上江苏邗江中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点A(3,6),焦点为F,过F作两 条直线MW,PQ与抛物线C交于M,N,P,Q四点，其中M,P在第一象限，且P在M的左侧. (1)求C的方程； (2)若直线MP与x轴交于点G(-2,0),求直线NQ与x轴的交点坐标； (3)设直线NP与MQ的斜率分别为k,k2,若k,=3k2,试问：直线MQ是否过定点，若过请求出定点坐标； 若不过，请说明理由。 目目 考点02 轨迹方程抛物线 19.(24-25高二上江苏徐州铜山区·期中)已知直线1：x=-1和圆C:(x-2)2+y2=1,若圆M与直线1相切， 与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为() A.(x-12+y2=1 B.y2=8x C.x2-y2=8 D写r-1 20.(24-25高二上·江苏南京外国语学校期中)设过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 且这两交点纵坐标分别为，，A,B在抛物线准线上的射影分别为A,B. (1)求yy2值； (2)求证：∠A,FB,是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程 21.(24-25高二上江苏宿迁期中)已知动点P(x,y)到点F(1,0)的距离比到直线x+3=0的距离小2，过P作 圆A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作直线1：x+1=0的垂线，垂足为B. (1)求点P的轨迹方程； (2)当P、A、B三点共线时，求线段PQ的长； (3)判断满足PA=PB的点P有几个，并说明理由. 22.(24-25高二上江苏连云港灌南县期中)已知动点M与点F(2,0)的距离比其到直线x=-3的距离小1. (1)求动点M的轨迹方程； (②)求点M与点A(6,0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标 23.(24-25高二上江苏常州联盟学校期中)已知抛物线y2=4x的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A ,B两点 (1)求线段AB的中点的轨迹方程； (2)经过点F的另一条直线交抛物线于C,D两点，连接BC,设经过F且平行于BC的直线I交y轴于点E, 求证：E,A,D在同一条直线上 24.(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)若动点P到点F(0,1)的距离比它到直线y=-2的距离 小1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过轨迹C上一点A作直线I交y轴正半轴于点D,且|FA曰FD|若直线l/I,直线4与轨迹C有且仅有一 个公共点E,证明直线AE过定点，并求出定点坐标 目目 考点03 抛物线中的基本性质综合 一、单选题 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知抛物线C:x2=4y上一点P(m,1),则m=() A.m=±2 B.m=-2 C.m=2 D.m=2 26.(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校期中已知P(2,2)为抛物线C:y2=2pxp>0)上一点，则抛物线 C的准线方程为() A.x=-1 B.y=-1 C.x=-1 D=月 27.(24-25高二上江苏常州联盟学校·期中)己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点A到y轴的 距离为6，且AF=8,则p=() A.4 B.8 C.16 D.12 28.(Q223高二上江苏泰州兴化期内地物线-的焦点到准线的距离是（) B.4 C.1 D.2 29.(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学期中)若抛物线y2=4x上的一点M到坐标原点O的距离 为√5，则点M到该抛物线焦点的距离为() A.5 B.3 C.2 D.1 二、填空题 30.(24-25高二上江苏海门中学期中)若抛物线x2=2y上一点M到坐标原点0的距离为√3，则点M到该 抛物线焦点的距离为」 31.(24-25高二上·江苏泰州期中)已知抛物线x2=4y的焦点为F,则抛物线的准线方程是，点A是抛 物线上的动点，设点80-1，当 AB 取得最小值时，AF= 目目 考点04 抛物线中的焦半径及焦点弦问题 一、单选题 32.(24-25高二上江苏淮安高中校协作体·期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2， 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11 过焦点F且斜率为2的直线I与抛物线交于A,B两点，则十BF的值为(） A.1 B.2 C.3 D.4 33.(24-25高二上江苏泰州期中)已知F为抛物线C:y2=8x的焦点，点M在C上，且MF=7,则点M到 y轴的距离为() A.6 B.5 C.4 D.4W2 34.(24-25高二上·江苏淮阴中学期中已知点F是抛物线C:y2=8x的焦点，若抛物线C上的点A到F的距 离为4，则点A到y轴的距离为() A.2 B.3 C.4 D.5 35.(23-24高二上江苏常州高级中学期中已知抛物线y2=6x,弦AB过抛物线的焦点F且满足AF=3FB ，则弦AB的中点到y轴的距离为() B.3 D.4 二、多选题 36.(24-25高二上江苏南通海门)若直线x-y-1=0与抛物线y2=4x交于Ax,y),B(x2,y2)两点，则下列 说法正确的是() A.抛物线的准线方程为x=-2 B.yy2=-4 C.直线0A,0B斜率乘积为-4 D.AB=8 37.(24-25高二上江苏徐州铜山区·期中抛物线y2=4x焦点为F,顶点为O,过F的直线1交抛物线于 A(x,y),B(x2,》2两点分别过A,B作准线的垂线，垂足分别为A,B,下列说法正确的是() A.x·x2为定值 B.AFR>号 111 C.A,O,B三点共线 D.丽+B丽2 三、填空题 / 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 38.(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A、B两点， 且A、B中点的横坐标为5，则|AB= 目目 考点05 抛物线中的最值问题 一、 单选题 39.(24-25高二上江苏徐州期中)抛物线y2=16x的焦点到圆C:x2+(y-3)2=1上点的距离的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 40.(2425高二上江苏常州高级中学期中己知抛物线C:y2=16x的焦点为F,定点Q(4,3),P为抛物线C上 一动点，则PF+PQ的最小值为() A.8 B.9 C.10 D.11 41.(24-25高二上江苏南京·期中)抛物线C:x2=4y的准线为1，M为C上的动点，则点M到1与到直线 2x-y-5=0的距离之和的最小值为() A.35 B. 4v5 C.5 D. 6V5 5 42.(24-25高二上江苏海门中学.期中)在平面直角坐标系x0y中，已知直线l:x-my+4m-2=0与 1:mx+y-4m-2=0交于点P,点Q(x,y)是抛物线y2=-4x上一动点，则PQ-x的最小值为() A.4-√2 B.4+V2 C.5-√2 D.5+√2 43.(24-25高二上江苏连云港东海县·期中)已知抛物线x2=4y的焦点为F,点P为该抛物线上的动点，点 E(0,-1,则 PE 的最大值为() A.2V5 B.2 C.5 D.2 3 二、多选题 44.(24-25高二上江苏海门中学·期中)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线交x轴于点A,抛 物线E上一点T(4,y)到点F的距离为6，点M,N是抛物线C上的两点，点P是MN的中点，则下列说法 正确的是（) 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 A.p=4 B.若MF+NF=20,则点P到y轴的距离为10 C.若FM延长线交y轴于Q,且M是FQ的中点，则FQ=6 MF D.当 MA 取最小值时，∠MAF= 4 45.(24-25高二上江苏泰州民兴实验中学期中已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A、B、P为抛物线C 上的点，cos FA,FB=-1,若抛物线C在点A、B处的切线的斜率分别为k、飞3，且两切线交于点M、N为 抛物线C的准线与y轴的交点，则以下结论正确的是() A.若AF+BF=4,则AF.BF=-1 B.直线PN的倾斜角a≥ C.若k+k2=2,则直线AB的方程为x+y+1=0 D.MF的最小值为2 46.(24-25高二上江苏徐州·期中)抛物线C:y2=4x的准线为1，P为C上的动点，过P作圆 A:x2+(y-4)2=1的一条切线，切点为Q,过P作1的垂线，垂足为B,则下列结论正确的是() A.1与圆A相切 B.当PB=2时，PQ=2 C.PA+PB的最小值为5 D.满足PA=PB的点P有且仅有2个 47.(24-25高二上江苏宿迁·期中)在平面直角坐标系x0y中，过抛物线y2=2pxp>0)的焦点F的直线与 抛物线交于A,B两点，直线A0,BO分别交抛物线准线于C,D两点，则下列说法正确的有() A.BC∥x轴 B.CF⊥DF C.以B为直径的圆与抛物线准线恒相交D.△01B面积的最小值为2P 三、填空题 48.(24-25高二上·江苏南通海安高级中学期中)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,Q为圆 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M:x+y-52-4上的动点，点0，)，则OF 24 -:若P为C上的动点，则PF+PO+QF的 最小值为 四、解答题 49.(24-25高二上江苏常州高级中学.期中)已知抛物线：y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),直线1：y=x+4, (1)设直线1与x轴交于B点，直线x=4与抛物线交于A,C两点，其中A在第一象限，求出所有满足 △EOC~△AOB的点E的坐标.（其中点E与点A对应，点C与点B对应）； (2)过直线1上的点P作抛物线t的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,求|FM|FN|的最小值 目目 考点06 抛物线的应用 一、单选题 50.(24-25高二上江苏扬州高邮·期中)如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面 4m,当水面下降1m后，桥洞内水面宽为() 4m 16m A.4v3m B.4v5m C.8√3m D.85m 二、填空题 51.(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个 车道)，每个车道宽为3m,此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行 驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为二m,靠近中轴线的车道为快车 道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为m.（精确到0.lm) 8m A 剂盆，中 16m 专题06 抛物线方程及其性质 6大高频考点概览 考点01 求抛物线方程 考点02 轨迹方程-抛物线 考点03 抛物线中的基本性质综合 考点04 抛物线中的焦半径及焦点弦问题 考点05 抛物线中的最值问题 考点06 抛物线的应用 地 城 考点01 求抛物线方程 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)过点且焦点在y轴上的抛物线方程为（  ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为，结合所过点求方程. 【详解】由题意，可设抛物线为，又点在抛物线上， 所以，故所求抛物线为. 故选：D 二、多选题 2．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据点的位置，确定拋物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，代入点坐标计算即可. 【详解】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或. 故选：AC. 3．(24-25高二上·江苏盐城东台第一中学·期中)已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的方程为 B．线段的长度为 C． D．线段的中点到轴的距离为 【答案】AC 【分析】求出抛物线的焦点坐标得，即可判断A；联立方程求出坐标得，判断B；确定坐标计算，判断C；求出线段的中点坐标，即可判断D. 【详解】由题意，不妨设点A在B点上方，直线与x轴交点， 又经过的焦点，可得，即抛物线方程为，A正确． 由，可得，解得或， 可得交点分别为，所以或4，B错误． 由上，若，可知， 可得，则，即，C正确． 由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误. 故选：AC 三、填空题 4．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)准线为的抛物线的标准方程是 【答案】 【分析】根据准线方程写出抛物线方程即可. 【详解】由抛物线的准线为，故，则抛物线方程为. 所以抛物线标准方程为. 故答案为： 5．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 【答案】 【分析】根据双曲线可得抛物线的焦点为，即可得方程. 【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 可知双曲线的右焦点为，即抛物线的焦点为， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为：. 四、解答题 6．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程； （2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值. 【详解】（1）当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； （2） 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为， 设，， 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 且，，， 又以为直径的圆经过原点， 即，， 解得. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 7．(24-25高二上·江苏南京·期中)已知点在抛物线上，直线经过点，且在轴上的截距为. (1)求的值和直线的方程； (2)记与的另一个交点为，求经过，，三点的圆的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用抛物线上的点即可求得，并根据点斜式求直线方程； （2）联立直线方程和抛物线方程求解得到，再设圆的一般方程为，待定系数法求解. 【详解】（1）因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以； 因为直线在轴上的截距为， 所以设， 又因为直线经过点，所以，解得， 所以直线的方程为. （2）设， 联立，消去可得，， 解得，，则， 所以， 设经过，，三点的圆的方程为， 则有，解得，， 所以圆方程为. 8．(24-25高二上·江苏扬州中学·期中)已知，是抛物线：上的两点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）由点在曲线上，建立方程组解出对应参数值，得到抛物线方程； （2）由（1）写出直线方程，联立方程组，用韦达定理建立关系式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）∵，是抛物线C：上的两点， ∴，则，整理得，解得，    当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，故抛物线C方程为； （2）由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为， 联立，得，必有， 设，，则， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为．    9．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，由已知，可得，，代入抛物线的方程，解得，即可得到抛物线的方程； （2）设点的坐标为，当时，得到直线的方程，联立抛物线的方程，消去，可得点的纵坐标，进而得直线的斜率为0，讨论当和时，可得直线的斜率均为0，即直线的斜率为定值. 【详解】（1）设点，由已知，所以， 又点到轴的距离为，即，即， 由点在抛物线上， 所以，解得或（舍去）， 故抛物线的方程为； （2）设点的坐标为，    则直线的方程为，① 抛物线的准线方程为，② 联立①②，可解得点的纵坐标为， 由（1）知焦点， 当，即时，直线的方程为， 联立消去，可得， 即，可得点的纵坐标为， 与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为0， 当时，点的纵坐标为， 直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为， 此时直线的斜率为0， 当时，同理可得直线的斜率为0， 综上，直线的斜率为定值0. 10．(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系以及点的坐标可求得直线的方程，与抛物线联立由向量数量积为0计算可得； （2）设出直线的方程为，与抛物线联立并根据直线与直线的倾斜角互补可求得，再利用点到直线距离公式计算可得三角形面积. 【详解】（1）由可得，由可得； 所以直线的方程为； 设， 联立，整理可得， 可得， 又可得，即； 所以， 解得； （2）如下图所示： 由（1）可知抛物线方程为， 由直线的斜率为可设直线的方程为，， 联立，整理可得； 所以； 由可知直线的斜率为，直线的斜率为； 又因为直线与直线的斜倾斜角互补，所以， 整理可得； 即，也即，解得； 方程即为，解得； 可得，可得； 点到直线的距离为， 所以三角形的面积为． 11．(24-25高二上·江苏扬州第一中学·期中)已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值. （2）（i）把直线方程代入抛物线方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到和，把直线与倾斜角互补，转化成，可求的值；（ii）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出的面积，再结合基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，所以 ， 所以抛物线的方程为. （2）（i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 12．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为3． (1)求抛物线的方程； (2)过点F的直线l交抛物线于两点，分别以为直径作圆 ①证明：圆与轴相切； ②若直线的斜率为1，求与圆都相切的直线方程. 【答案】(1) (2)①证明见解析； ②或或 【分析】（1）利用焦半径公式可得，求解即可； （2）①利用焦半径公式可求得线段中点到轴的距离可得结论；②由平面几何知识可得所求切线可能是内公切线与也可能是外公切线，分情况讨论可求与圆相切的直线方程. 【详解】（1）由抛物线的方程得焦点， 又抛物线上的点到的距离为3，所以，解得， 所以抛物线的方程为 （2）①设，由焦半径公式可得， 所以的中点，点到轴的距离为， 所以以为直径作圆与轴相切； ②由①可知圆与轴也相切，且两圆的圆心在同一直线上， 又，可得圆相外切于点， 所以与圆相切的直线有三条，一条内公切线，两条外公切线， 因为两圆与轴相切，故直线与两圆相切， 因圆相外切于点，故过点与垂直的直线与两圆相切， 又直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 两外公切线关于直线对称，直线的斜率为1，又直线是一条外公切线， 故另一条外公切线的斜率为0，又的方程为，即， 与直线交于点，故所求的另一条外公切线方程为， 所以所求切线方程为或或. 13．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知抛物线C：过点，直线与抛物线相交于两点，若直线过点． (1)求抛物线C的方程； (2)证明：以为直径的圆经过坐标原点； (3)若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）将点代入方程求出，即可求得抛物线C的方程； （2）直线l过点，所以设直线的方程为：，联立方程组，要证以为直径的圆经过坐标原点只需证明即可； （3）由（2）可知，，由，所以，然后求解即可. 【详解】（1）抛物线C：过点，所以，， 故抛物线C的方程为：. （2） 直线l过点，所以设直线的方程为：， 联立方程组得：，所以， ，设，， 所以，， ，， 所以， 所以，故以AB为直径的圆经过坐标原点. （3）由（2）可知，， 因为，所以， 所以，所以解得， 所以直线的方程为或. 14．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）关于轴的对称点与三点在同一直线上，设直线的方程为，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系可求，进而求得抛物线的方程； （2）求得直线的方程，设，利用点到直线的距离公式可求到直线距离的最小值. 【详解】（1）抛物线的焦点 因为直线与直线斜率之和为0， 所以点关于轴的对称点与三点在同一直线上，    设直线的方程为， 与抛物线联立可得，消去得， 由是方程的两根， 所以，解得，所以抛物线的方程为； （2）因为在抛物线上，所以，所以， 所以，又，所以，又且直线， 所以的方程为， 设，所以点到直线距离； 当时，到直线距离取最小值，最小值为. 15．(24-25高二上·江苏扬州新华中学·期中)已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设有，即可得抛物线方程； （2）讨论斜率存在性，并设联立抛物线，利用求参数，即可得直线方程； （3）令为，，联立抛物线并应用韦达定理化简，即可证. 【详解】（1）由题设知， 则； （2）由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切， 令，联立抛物线得， 所以，则或， 所以直线为或. （3）由题意，斜率一定存在，令为，， 联立抛物线得，显然，所以，， 而，， 所以， 所以为定值． 16．(24-25高二上·江苏连云港灌云县第一中学·期中)已知抛物线的焦点是圆与x轴的一个交点． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据圆的方程求出与轴交点，该交点为抛物线焦点，再根据抛物线焦点坐标公式求出的值，从而得到抛物线方程. （2）设出直线的方程（因为直线过点，可设为点斜式），与抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再通过向量垂直的条件来证明. 【详解】（1）圆与轴的交点，令，则，解得. 因为抛物线的焦点，且焦点是圆与轴的一个交点， 所以，解得. 所以抛物线的方程为. （2）设直线的方程为（存在，当时直线与抛物线也有两个交点）. 将代入，得，即. 设，，由韦达定理得，. 因为，，，. 则. 所以，即.    17．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点与双曲线的上焦点重合，A，B为拋物线上两点. (1)求拋物线的标准方程及其准线方程； (2)若，求线段AB的中点到轴的距离. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程； （2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为，即可求解问题. 【详解】（1）由题知双曲线, 所以，所以，即双曲线的上焦点为， 由抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为：， 则，， 所以抛物线的标准方程为：， 其准线方程为：； （2）设，，线段AB的中点记为， 由，结合抛物线的焦半径公式得：， 即，所以， 即线段AB的中点到轴的距离为2. 18．(24-25高二上·江苏邗江中学·期中)已知抛物线经过点，焦点为，过作两条直线与抛物线交于四点，其中在第一象限，且在的左侧． (1)求的方程； (2)若直线与轴交于点，求直线与轴的交点坐标； (3)设直线与的斜率分别为，若，试问：直线是否过定点，若过请求出定点坐标；若不过，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)直线过定点，且定点为 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据点斜式求解直线方程，令，求解直线与轴交点，，,即可代入化简求解， （3）根据两点斜率公式可得，即可根据点斜式求解直线方程，进而代入化简即可得直线方程为，进而可求解定点. 【详解】（1）将代入可得，解得， 故 （2）设直线， 联立与可得， 设,， 故，同理可得， 故直线，令可得， 同理可得与轴的交点横坐标, 由于， 故，同理可得， 由于，故，所以， 故直线与轴的交点坐标为 （3）由题意可得， 由于， 故故，进而， 直线，即， 由于， 故直线， 故直线恒过点    【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 地 城 考点02 轨迹方程-抛物线 19．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设M的坐标，利用直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义计算即可. 【详解】设，圆M的半径为r，易知则由题意可知， 即圆心M到定直线的距离比到定点的距离少1， 则圆心M到定直线的距离与到定点的距离相等， 所以M的轨迹为抛物线，以为准线，即. 故选：B 20．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)设过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且这两交点纵坐标分别为，，A，B在抛物线准线上的射影分别为，． (1)求值； (2)求证：是直角； (3)M是线段AB中点，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设直线为，联立抛物线并应用韦达定理即可求结果； （2）由题设有，且，进而得到，即可证结论； （3）根据题设有，结合（1）有，即可得轨迹方程. 【详解】（1）由题设，焦点，直线可设为，联立抛物线有， 所以，由直线与抛物线有两个交点，即，则. （2）如下图示，由题意易知，则，， 又，则，， 综上，，，即， 而，即， 所以，得证. （3）由题意，由（1）知：，， 所以，故， 所以轨迹为. 21．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)已知动点到点的距离比到直线的距离小，过作圆的一条切线，为切点，过作直线的垂线，垂足为． (1)求点的轨迹方程； (2)当、、三点共线时，求线段的长； (3)判断满足的点有几个，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)个，；理由见解析 【分析】（1）分析可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的方程，即可得出点的轨迹方程； （2）当、、三点共线时，求出点的坐标，并求出，再利用勾股定理可求得的值； （3）由题意可得出，由两点间的距离公式化简得出的中垂线方程，判断该直线与抛物线的位置关系，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，点到点的距离等于点到直线的距离， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的方程， 设其方程为，则，可得，所以，点的轨迹方程为. （2）由题意可知，当、、三点共线时，因为点，直线的方程为， 联立，解得，此时，点，则， 因为，由勾股定理可得. （3）因为，由题意可得， 化简可得， 联立，可得，， 故满足条件的点有两个. 22．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 23．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点. (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）令，联立抛物线并应用韦达定理求得、，写出线段的中点坐标，即可得轨迹方程； （2）令，，同（1）求得，，根据点在抛物线上、点差法求得， 写出直线并求坐标，应用两点式并假设推出矛盾，即可证结论. 【详解】（1）由题意，令，联立抛物线得， 若，则，， 所以， 而线段的中点坐标为， 所以中点的轨迹方程. （2）令，，同（1）可得，， 由且，则，即， 可设，令，则，即， 所以，， 若，即， 所以 所以， ， ，显然与矛盾， 综上，不成立，故，即，，在同一条直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法求得，进而求得，再应用两点式并假设推出矛盾为关键. 24．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)若动点到点的距离比它到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过轨迹上一点作直线交轴正半轴于点，且.若直线，直线与轨迹有且仅有一个公共点，证明直线AE过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案. （2）先求得点坐标，然后根据直线平行求得点坐标，再根据直线的方程求得定点坐标. 【详解】（1）依题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离， 所以的轨迹是抛物线，且，所以轨迹的方程为. （2）设，则，由于在轴的正半轴， 所以，则，， 设，的方程为， 由，消去得， ，由， ，解得，则， 所以直线的方程为， 整理得，所以直线过定点. 【点睛】思路点睛：通过抛物线定义求轨迹：首先利用动点的轨迹符合抛物线的定义，结合焦点和准线，求解轨迹的方程,这是确保解题正确的基础. 利用直线相交条件确定定点：通过设定直线与轨迹有且仅有一个公共点的条件，结合消去法，确定直线过定点并求定点坐标. 地 城 考点03 抛物线中的基本性质综合 一、单选题 25．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点坐标代入抛物线的方程，从而求得的值. 【详解】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A 26．(24-25高二上·江苏南通如皋部分学校·期中)已知为抛物线上一点，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可求抛物线的方程，从而可求准线方程. 【详解】因为为抛物线上一点，所以，解得， 所抛物线的方程为，所以准线方程为. 故选：C. 27．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据抛物线定义列方程求参数即可. 【详解】由题设及抛物线的定义，有. 故选：A 28．(22-23高二上·江苏泰州兴化·期中)抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据抛物线方程确定焦准距p的值，即得答案. 【详解】因为抛物线方程为，故焦准距， 即焦点到准线的距离是， 故选：A. 29．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】设点，再由距离公式可得，即可得，利用抛物线定义可得结果. 【详解】设点，由得， 可得或（舍去），即， 所以M到抛物线的准线的距离， 根据抛物线定义得选项C正确． 故选：C 二、填空题 30．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)若抛物线上一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可． 【详解】由抛物线可设点，焦点为， 因为点到坐标原点的距离为， 所以，解得， 即或， 根据抛物线定义知：点到焦点的距离等于点到准线的距离， 即， 故答案为： 31．(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程是 ，点是抛物线上的动点，设点，当取得最小值时， . 【答案】 2 【分析】根据给定的抛物线方程求出求出准线方程；设，利用抛物线定义建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为； 设，则， 当且仅当时取等号，此时. 故答案为：；2 地 城 考点04 抛物线中的焦半径及焦点弦问题 一、单选题 32．(24-25高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 33．(24-25高二上·江苏泰州·期中)已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦半径公式求点的坐标，即可求解. 【详解】设，，，得， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 34．(24-25高二上·江苏淮阴中学·期中)已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】设，因为点到的距离为， 则，得到， 故选：A. 35．(23-24高二上·江苏常州高级中学·期中)已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 二、多选题 36．(24-25高二上·江苏南通海门·)若直线与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B． C．直线斜率乘积为 D． 【答案】BCD 【分析】由抛物线的性质、联立直线l和抛物线方程，利用韦达定理，以及斜率公式逐项判断即可. 【详解】由抛物线知，，焦点，易知直线过抛物线焦点， 准线方程为，所以A错误， 由，消去得：，所以，， 消去得：，所以，， 直线斜率乘积为，BC正确， ，所以D正确. 故选：BCD 37．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)抛物线焦点为F，顶点为O，过F的直线l交抛物线于，两点分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为，，下列说法正确的是（    ） A．为定值 B． C．A，O，三点共线 D． 【答案】AC 【分析】先确定F坐标，设l方程，联立方程利用韦达定理可判定A，利用平面向量的数量积可判定B，利用两点斜率公式可判定C，利用抛物线的定义结合A的结论可判定D. 【详解】易知，准线方程，不妨设， 与抛物线方程联立有，所以， 而，故A正确； 易知，则， 显然，即，故B错误； 易知，显然，即A，O，三点共线，故C正确； 由抛物线定义可知， 由上知，所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题 38．(24-25高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 【答案】12 【分析】设，根据A、B中点的横坐标为5得到，由焦点弦长公式得到答案. 【详解】由题意得， 设， 因为A、B中点的横坐标为5，所以， 由焦点弦长公式得 故答案为：12 地 城 考点05 抛物线中的最值问题 一、单选题 39．(24-25高二上·江苏徐州·期中)抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求出抛物线焦点坐标后，计算焦点到圆上点的距离最小值，需要求出焦点到圆心的距离，再减去圆的半径就是最小值. 【详解】对于抛物线，则，根据焦点坐标公式，可得焦点坐标为. 则焦点到圆心的距离. 因为圆的半径，焦点到圆上点的距离的最小值为焦点到圆心的距离减去圆的半径，即. 故选：B. 40．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义，结合图形求解即可． 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 41．(24-25高二上·江苏南京·期中)抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求， 故选: D. 42．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知点在以为直径的圆上（不含），根据抛物线的定义可得，结合圆下性质可得，再根据几何性质即可得结果. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上（不含），此时圆心为，半径. 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线小题，常常利用定义转化，并结合图形解决问题. 43．(24-25高二上·江苏连云港东海县·期中)已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意作图，利用抛物线定义，结合三角函数的单调性，取得切线，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，准线，作图如下： 由，垂足为，则， 在中，，则， 由图可知当与抛物线相切时，最小， 设过与抛物线切线的切点为，则，即， 由抛物线方程，可得，求导可得， 切线斜率，可得切线方程为， 将代入上式，可得，解得， 由图可知切线的方程为，则， 此时取得最小值，则取得最大值. 故选：B. 【点睛】 二、多选题 44．(24-25高二上·江苏海门中学·期中)已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则点到轴的距离为 C．若延长线交轴于，且是的中点，则 D．当取最小值时， 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义可求出的值可判断A；利用抛物线的定义转化为梯形中边之间的关系可判断B；根据是的中点求出的横坐标，结合抛物线的定义可判断C；利用抛物线的定义将取最小值转化为最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，令，求解即可判断D. 【详解】过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 连接，如图： 对于A，由题知，，所以，，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以是梯形的中位线， 所以， 所以点到轴的距离为，故B错误； 对于C， ，设，， 因为是的中点，则， 所以，故C正确； 对于D，， 所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值， 易知直线的斜率不为0，， 设直线：， 则，消去得， 则，解得，， 所以当直线为或时，取最小值， 此时，故D正确. 故选：ACD. 45．(24-25高二上·江苏泰州民兴实验中学·期中)已知抛物线的焦点为，、、为抛物线上的点，，若抛物线在点、处的切线的斜率分别为、，且两切线交于点、为抛物线的准线与轴的交点，则以下结论正确的是（   ） A．若，则 B．直线的倾斜角 C．若，则直线的方程为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点，分两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出，结合焦半径公式计算最小值判断D. 【详解】由题，则向量、的夹角为，故、、三点共线， 设直线的方程为，与的方程联立得， 设、，， 则，， 故，， 由抛物线的定义得，， 故，，所以A错误； 设，， 当时，直线倾斜角大于等于， 当时，， 所以直线的倾斜角，B正确； 记直线的斜率为，令，则， 则，， 又， 所以，所以， 又直线过点，故直线的方程为，C错误； 因为直线的方程为，又， 所以直线的方程为， 同理可得直线的方程为， 联立直线、的方程得，即， 又，所以， 当时，等号成立，所以的最小值为，D正确； 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程，再分别得出直线方程及焦半径的最小值. 46．(24-25高二上·江苏徐州·期中)抛物线的准线为l，P为上的动点，过作圆的一条切线，切点为，过作的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（    ） A．与圆相切 B．当时， C．的最小值为 D．满足的点有且仅有2个 【答案】AD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，根据先算出的坐标，再借助切线的性质计算即可得；C选项，结合抛物线定义可得三点共线时，最小，计算即可得；D选项，直接设点坐标进行求解即可得. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 圆的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和圆相切，A选项正确； B选项，当时，，此时，故或， 当时，，则； 当时，，； 故或，B选项错误； C选项，， 当且仅当三点共线时，等号成立，故 的最小值为，C选项错误； D选项， 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：AD. 47．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线，分别交抛物线准线于，两点，则下列说法正确的有（    ） A．轴 B． C．以为直径的圆与抛物线准线恒相交 D．面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】设直线，联立方程可得韦达定理.对于A：求点C的坐标，结合韦达定理分析判断；对于B：：求点D的坐标，结合数量积分析判断；对于C：根据抛物线的定义分析判断；对于D：结合韦达定理就面积，即可判断. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线， 显然直线的斜率可以不存在，但不为0，此时直线与抛物线必相交， 设直线， 联立方程，消去x可得， 可得. 对于选项A：可知直线， 令，可得，即， 所以轴，故A正确； 对于选项B：同理可得：，轴， 则，可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 由梯形中位线可知：以为直径的圆的圆心到准线的距离为， 即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与抛物线准线恒相切，故C错误； 对于选项D：因为， 可得面积， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法 （1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解． （2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）. 三、填空题 48．(24-25高二上·江苏南通海安高级中学·期中)已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则 ；若为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 /0.5 5 【分析】根据题意可得圆的方程为，结合两点间距离公式运算求解即可得；由结合几何性质可得，再结合抛物线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，圆，即为， 则； 因为，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 设点到准线的距离为， 则，当且仅当为坐标原点时，等号成立， 综上所述：， 当且仅当为坐标原点，为时，等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：；5. 四、解答题 49．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)已知拋物线的焦点，直线， (1)设直线与x轴交于点，直线与抛物线交于两点，其中在第一象限，求出所有满足的点的坐标.（其中点与点对应，点与点对应）； (2)过直线上的点作抛物线的两条切线，切点分别为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，从而有，再利用，得到点在轴正半轴或轴负半轴上，再利用相似比，即可求解； （2）设切线的方程为，联立抛物线方程求得，得到直线和的方程为，进而得到的方程为，再联立抛物线方程，得到，进而求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为拋物线的焦点为，则，得到，所以拋物线， 由题知，由，得到，所以， 在中，，， 则，又，所以， 因为，且点与点对应，点与点对应，所以， 如图，易知，所以点在轴正半轴或轴负半轴上， 又因为，，得到， 所以点的坐标为或. （2）设，则，， 再设切线的方程为， 联立方程组，整理得， 由，且，可得， 则切线的方程为，即. 由切线过点，可得. 同理，切线的方程为， 由切线过点，可得， 则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得， 则 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤平面向量；⑥导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 地 城 考点06 抛物线的应用 一、单选题 50．(24-25高二上·江苏扬州高邮·期中)如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 二、填空题 51．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m） 【答案】4.3 【分析】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，求出慢车道时，最右侧的高，用该值减去即为限制高度. 【详解】以抛物线的对称轴为轴，路面为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 将点代入得， 故， 今，得， 故限高为， 故答案为：4.3. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $