6.1.1&6.1.2任意角及其度量（第1课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

该高中数学课件聚焦锐角三角函数、任意角（正角、负角、零角）、象限角、轴线角及终边相同角的表示，通过复习初中锐角三角函数定义、公式和特殊角值，结合时钟校准、体操转体等情境引出角的推广，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以现实情境引导学生用数学眼光观察角的方向性和旋转量，通过画终边相同角、归纳集合表示等探究活动培养数学思维，用集合符号、表格规范表达体现数学语言。如探究时钟校准问题助理解角的方向，典例分析终边相同角的集合培养符号表达，既帮学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学资源。

第六章 三角 6.1正弦、余弦、正切、余切 6.1.1&6.1.2任意角及其度量 第一课时 学 习 目 标 1 2 3 理解锐角的正弦、余弦、正切、余切及其任意角的概念． 掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点) 掌握轴线角、象限角及区域角的表示方法．(难点、易混点) 学习过程 01 02 目录 1 锐角的正弦、余弦、正切、余切 2 任意角及其度量 问题1：如图6.1.1，将直角三角形中（其中∠＝９０°）∠、 ∠、∠的对边边长分别记作、、．在初中我们已经知道， 锐角的正弦、余弦、正切、余切的定义分别为多少？ 复习导入 由简单的比值关系以及勾股定理，还有如下结论： 复习导入 我们还知道如下一些特殊角的正弦、余弦、正切、余切值 除了锐角，小学初中我们是如何来定义角的呢？                         复习导入 学习过程 01 02 目录 1 锐角的正弦、余弦、正切、余切 2 任意角及其度量 初中角的定义：角是具有公共端点的两条射线所组成的图形.是平面上由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形(如图). 顶点 边 边 思考：在体操、跳水等体育运动中，会听到转体 °、转体1080°等术语；那么初中学的角够用吗？ 问题：我们以前学习过的锐角、直角、钝角、平角和周角都在什么范围内？ 复习导入 探究1：假如时钟慢了120分钟，如何校准？请描述校准后分针所转的角度， 若时钟快了120分钟呢？请描述校准后分针所转的角度。这两个角一样吗？ 若时间快了120分钟，则可以把分针按 旋转 度 若时间慢了15分钟，则可以把分针按 旋转 度 720 720 逆时针 顺时针 两个角度不一样，这里把720°叫做旋转量，逆时针，顺时针叫做旋转方向，说明角具有任意性和方向性 因此，需要对角的概念进行推广. 探究新知 任意角的分类 O A B 顶点 始边 终边 α 2、高中角的定义：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的. 特别地，当一条射线没有旋转时，称为零角．零角的始边与终边重合． 记法： 记作角α或 ∠α，可简记为α. 探究新知 任意角的定义 不做旋转 逆时针 始边 顺时针 始边 正角：按逆时针方向旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角.　 零角：一条射线没有作任何旋转形成的角. 通过上述旋转，把角的大小推广到实数范围，我们称为任意角. 确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，角的正负由旋转方向决定. 思考：实数有运算，那么角能运算吗？ 探究新知 任意角的分类 1.相等角：两个角的旋转方向与旋转量相等，则两个角相等. 2.相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的 两个角叫做互为相反角；角的相反角记为. 3.角相加：把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是 4.角相减：. 探究新知 任意角的加减 练习： 1.若 ，则角 的终边在( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.射线绕端点逆时针旋转 到达的位置，再顺时针 旋转 到达的位置，则 ______． 解：逆时针旋转形成的角是正角，顺时针旋转形成的角是负角， 所以 ． 跟踪训练 为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 轴线角：如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称为轴线角． 象限角：角的终边在第几象限，那么这个角是第几象限角． x y o 始边 终边 终边 终边 终边 探究新知 象限角 例：试判断下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角？ -50° x y o x y o 210° x y o 405° 第四象限角 第一象限角 第三象限角 x y o -200° -450° x y o 第二象限角 轴线角 典例分析 活动：在直角坐标系中画出60°，420°，-300°,780°角，你能发现什么？ 420°=60°+1×360° -300°=60°+（-1）×360° 他们相差360°的整数倍 780°=60°+2×360° 根据以上发现写出与60°角终边相同的角的集合A A={β | β= 30° +k360°，k∈Z} 探究新知 终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内， 可构成一个集合 即任一与终边相同的角，都可以表示成角α与360°的整数倍的和.. { β | β = α + k · 360°, k∈Z } 思考：在直角坐标系中，给定一个角，这个角的终边是否唯一确定？若给一条射线作终边，这个角唯一吗? 一个角，对应一条终边；一条终边，对应无数个角：终边相同的角 探究新知 终边相同的角的表示 教材例1.判断下列各角分别属于哪个象限 ： （ １ ） －２４０° ； 　　　　　　　 （ ２ ） ２１００°． （ ２ ） 因为２１００°＝５×３６０°＋３００ ，而３００°的角属于第四象限 ，所以 ２１００°的角属于第四象限 ． 解 （１）因为－２４０°＝－３６０°＋１２０°，而１２０°的角属于第二象限 ，所以－２４０°的角属于第二象限 ． 典例分析 象限角的判断 教材例2.写出与－２００°的终边重合的所有角组成的集合S，并列举S中满足不等式－３６０°≤β＜７２０°的所有元素β． 解：因为S ＝｛β｜β ＝ K·３６０°－２００°，K ∈Z｝， 所以当－３６０°≤β＜７２０°时 ，β＝－２００°或１６０°或５２０°． 典例分析 终边相同的角 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 活动：请根据以上所学知识，写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合 探究新知 象限角的表示 角终边的位置 角的集合表示 在轴的非负半轴上 在轴的非正半轴上 在轴的非负半轴上 在轴的非正半轴上 在轴上 在轴上 在坐标轴上 活动：请根据以上所学知识，写出终边在坐标轴的角的集合. 探究新知 轴线角的表示 例：写出终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）的角 的集合？ 解：在 范围内，终边落在题图中阴影内的 角 满足 或 ， 所以所有满足题意的角 的集合为： ， ． 典例分析 区域角的表示 训练： 写出终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合？ 解：在 范围内，题图中终边落在 阴影部分（包括边界）的角的范围是： ，则满足条件的角 的集合为： ， }. 跟踪训练 区域角的表示 例：若角 是第二象限角，则角 的终边所在的象限是( ) 解：角 是第二象限角，则 , , 故角 的终边在第一象限. C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 典例分析 象限角的判断 变式：若 是第一象限角，则角 是第几象限角？ 解： 是第一象限角 ， . 是第一或第二象限角或是终边在 轴的非负半轴上的角. 象限角的判断 典例分析 变式：若 是第一象限角，则角 分别是第几象限角？ 方法一：解： 是第一象限角 ， . 是第一或第三象限角 方法二：如图，将各象限分成两等份，再从 轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域（阴影部分）即为的终边所在的区域，故 是第一或第三象限角. 典例分析 象限角的判断 训练： 若 是第一象限角，则 是第几象限角？ 解：如图，将各象限分成三等份，再从 轴正方向的上方起， 按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ， 标有Ⅰ的区域（阴影部分）即为 的 终边所在的区域，故 是第一、第二或第三象限角． 跟踪训练 象限角的判断 今天我们学习了哪些内容？ 1.锐角的正弦、余弦、正切、余切 2.正角、负角，零角的定义 3.象限角与轴线角的定义及其表示 4.终边相同的角的表示 课堂总结 1.整理本节课的概念及其题型 2.课本第4页练习6.1（1）第3题 课后作业 感谢聆听! $