专题06 平面向量初步（期末复习讲义）高一数学上学期人教B版必修第二册

该高中数学平面向量初步期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点详解定义、易错点及示例，构建“概念-运算-应用”的知识脉络，突出向量线性运算、基本定理等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“题型分类+解题技巧”设计，如共线向量判断中“三点共线⇨有公共点的两向量共线”的推理方法，结合典例与变式培养数学思维。基础、重难、综合练习分层设置，助力不同学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题06 平面向量初步（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 向量的概念 掌握向量的表示方法，理解并掌握零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行向量）的定义及核心特征 基础考题，多为选择题、填空题. 向量的加法 熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，能根据向量的位置特点选择合适的法则进行运算；掌握向量加法的交换律和结合律，并能运用运算律简化向量加法运算. 基础考题，多为选择题、填空题，常常与其它知识综合考查. 向量的减法 理解向量减法的定义，明确向量减法是向量加法的逆运算，掌握其几何意义；熟练掌握向量减法的三角形法则，能准确作出两个向量的差向量；能运用向量减法的法则解决向量的化简、求值 基础考题，多为选择题、填空题，常常与其它知识综合考查. 数乘向量 理解数乘向量的定义及几何意义，熟练掌握数乘向量的运算律，能运用运算律化简向量表达式； 基础考题，多为选择题、填空题，常常与其它知识综合考查. 向量的线性运算 明确其是向量加法、减法、数乘运算的统称，熟练掌握向量线性运算的运算法则和运算律，能准确进行向量的加减、数乘混合运算及化简. 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题. 向量基本定理 理解并掌握向量共线定理，能运用定理判断两个向量是否共线.理解内涵与意义，明确定理的前提条件和核心结论；掌握基底的概念；能运用平面向量基本定理，将平面内任意一个向量表示为两个不共线向量的线性组合，并解决向量分解与表示的相关问题. 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题. 直线上向量的坐标及其运算 理解定义、熟练掌握直线上向量的坐标运算公式（加法、减法、数乘），能准确进行直线上向量的坐标运算；会用直线上向量的坐标解决向量相等、共线以及数轴上两点间距离、中点坐标等问题 基础考点，题型多为客观题 平面向量的坐标及其运算 理解定义，掌握平面向量的坐标与平面直角坐标系内点的坐标、有向线段的关系；熟练掌握平面向量的坐标运算公式（加法、减法、数乘），能准确进行平面向量的坐标运算；理解平面向量平行（共线）的坐标表示，能运用坐标条件判断两个向量是否共线，解决相关几何问题 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题. 平面向量线性运算的应用 能熟练运用平面向量的线性运算（加、减、数乘）表示平面内的目标向量，掌握向量线性表示的方法与技巧；理解向量线性运算的几何意义，能运用向量方法解决平面几何中的三点共线、线线平行、线段比例等问题 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题 知识点01 向量的概念 1.向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的表示方法 （1）几何表示：用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向. 记法：以A为起点、B为终点的向量记作 （2）字母表示. 3.向量的模：向量的大小（长度）叫做向量的模，记作或.模是一个数量，非负. 4.特殊向量：（1）零向量：长度为0的向量； （2）单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 5.向量间的关系 （1）相等向量：长度相等且方向相同的向量.记法：a=b；任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示. （2）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量.记法：a∥b；规定：零向量与任意向量共线. ·易错点：将向量的 “共线” 等同于几何图形中线段的 “共线” 示例：（24-25高一下·江西上饶·月考）下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 知识点02 向量的加法 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.规定：对于零向量与任意向量a，有a+0=0+a=a. 两个向量的和仍然是一个向量. 2、向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加. 3、向量加法的平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ·易错点：用三角形法则时，误将两个向量的起点放在一起直接相加；或拼接时顺序错误. 示例：（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 知识点03 向量的减法 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量（共起点，连终点，指向被减）”即可． ·易错点：混淆向量减法与加法的作图方向. 示例：（24-25高一下·河南周口·期中）若，则的取值范围是 . 知识点04 数乘向量 1、向量数乘的定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下： （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； （3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量数乘的几何意义 当时，把向量沿的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿的相反方向放大或缩小。 3、向量数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. ·易错点：忽略向量共线定理的前提条件. 示例：（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 知识点05 向量的线性运算 1.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2.向量的线性组合对于任意实数λ,μ以及向量a,b，向量c=λa+μb叫做向量a,b的线性组合. ·易错点：线性运算化简时的符号与分配律错误； 示例：（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 知识点06 向量基本定理 1.共线向量基本定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． A,B,C三点共线的充要条件是存在实数λ，使得 2.平面向量基本定理：（1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （ 2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. ·易错点：向量分解时的方向与系数符号错误 示例：（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，为中点，在上，且，与交于点O (1)用表示. (2)过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 知识点07 直线上向量的坐标及其运算 1.数轴的基向量：给定一条数轴，设e是单位向量（模为1），方向与数轴正方向相同，称e为数轴的基向量. 2.定义：对于数轴上任意一个向量a，存在唯一的实数x，使得a=xe，则实数x叫做向量a在数轴上的坐标，记作a=(x) 3.数轴上点的坐标与向量坐标的关系： ·易错点：误将任意向量的坐标等同于B点的坐标x2 ​示例：（20-21高一·全国·课后作业）已知是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量，的坐标分别是 . 知识点08 平面向量的坐标及其运算 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2、向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则 3、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 4、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 5.重要公式：（1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）中点坐标公式：，，则A，B的中点坐标 6.向量平行的坐标表示： ·易错点：向量共线的坐标条件应用错误 示例：（2024高一下·全国·专题练习）已知点、，，若，试求为何值时， (1)点在第一、三象限的角平分线上； (2)点在第三象限内． 知识点09 平面向量线性运算的应用 1.向量在平面几何中的应用 （1） 基本思路：利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，减法的三角形法则，以及数乘向量的几何意义，将未知向量用已知向量（或基底向量）进行线性表示，表达式为a=λb+μc（λ,μ为实数）； 2.解决平面几何问题 3.向量在物理中的应用 （1）位移的合成 物体做连续两次位移s1和s2，合位移s就是两个位移向量的和. ①三角形法则：两次位移首尾相接，合位移是从初位置指向末位置的向量. ②平行四边形法则：以两个分位移为邻边作平行四边形，对角线为合位移. （2） 位移的分解：已知合位移s，根据实际需求将其分解为两个分位移s1和s2，满足s=s1 +s2，本质是平面向量基本定理的应用. （3） 力的合成与分解 （4） 速度的合成与分解 ·易错点：证明线线平行时忽略 “无公共点” 条件、三点共线证明时遗漏 “有公共点” 条件. 示例：（2025高一·全国·专题练习）已知分别为的垂心、重心、外心，求证：三点共线（，，三点连线称为“欧拉线”）． 题型一 向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 1. 向量加减运算 ——三角形法则 / 平行四边形法则，优先用 “首尾相接”，加看首尾，减看共起点； 2.向量数乘运算 ——先定方向，再算模长，系数优先代数化简. 易｜错｜点｜拨 1. 混淆向量运算与数的运算，忽略向量方向； 2. 数乘分配律应用错误，忽略系数对向量的整体作用； 3. 忽略零向量的特殊性. 【典例1】（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·甘肃·期中）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 【变式1】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 共线向量的判断与应用 解｜题｜技｜巧 1.纯向量式 —— 判断两个向量是否共线：消零向量、化最简式、验共线条件. 2.三点共线 ⇨ 有公共点的两个向量共线：（1）向量定理法；（2）系数和为1 法：若 O 为平面内任意点， OC =x OA +yOB，则A、B、C 共线 ⇨ x+y=1. 3.共线求参数：（1）由a =λb列等式→对应基底系数相等，解方程组求参数；（2）先表示出共线向量→用交叉相乘相等列方程→求解参数. 4.共线向量的综合应用：共线搭桥，基底化归. （1）遇 “任意向量” 优先选一组不共线基底，将所有向量用基底表示； （2）利用共线条件列出等式，消去基底向量（系数为 0）； （3）结合重心、中点、分点结论，简化计算. 易｜错｜点｜拨 1.忽略共线向量定理的核心前提b≠0； 2. 混淆“向量共线” 与 “点共线”的关系； 3. 坐标法共线时，误用“比例式” 代替 “交叉相乘”，忽略分母为 0； 4.基底法共线时，忽略基底向量不共线的条件； 5.“系数和为1”法的反向应用错误. 【典例1】（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 【变式1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 题型三 平面向量基本定理的应用 解｜题｜技｜巧 1.基底的选择与判定：优选基底的 3 个技巧：图形优先选边、已知优先选给定向、特殊点优先选原点 / 重心； 2.向量的基底分解：（1）定基底：根据题型选好一组不共线的基底；拆向量：利用向量加减 / 数乘法则，将未知向量拆分为图形中易表示的向量组合；代基底：将拆分后的所有向量，全部用选定的基底向量替换； 化简合并.（2）3个分解提速技巧：首尾相接法、中点转化法、整体代入法：先表示出相关向量，再整体代入目标向量； 3. 平面向量基本定理的综合应用：（1）选基底（2）全分解：将题目中所有向量用基底表示；（3）用条件：结合共线定理、重心结论、中点公式，列出向量等式；（4）用唯一性：将等式整理为；（5）解参数：解方程组得参数，结合题意得出最终结论. 4. 解题自查3要点：（1）查基底：基底是否非零且不共线，无问题再进行后续验证； （2）查分解：向量分解是否符合加减法则，方向、系数是否正确； （3）查唯一性：参数是否由 “系数对应相等” 求出，综合题是否用 “系数为 0” 推论. 易｜错｜点｜拨 1.基底选择错误，用共线向量 / 零向量作基底； 2.忽略分解的唯一性，漏用 “系数对应相等”； 3.混淆 “基底向量” 与 “坐标向量”，盲目坐标化. 【典例1】（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，点P，Q满足，.若，则 . 【典例2】（24-25高一下·云南楚雄·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【变式1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2025·四川德阳·模拟预测）在中，已知，P在线段（不包含端点）上，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 题型四 向量的坐标运算问题 解｜题｜技｜巧 1.向量坐标运算：（1）分开算：横坐标、纵坐标独立运算，避免 “横纵混算” 出错；（2）先数乘后加减：有系数先算数乘，再算加减（类比代数：先乘除后加减）；（3）凑整算：系数为分数 / 负数时，先凑整化简，再计算； 2.一般步骤： （1）建系设点：根据图形建立直角坐标系，设未知点 / 参数坐标； （2）写向量坐标：由点坐标求所有相关向量的坐标； （3）翻译条件：将 “共线、模长、中点、重心” 等条件→坐标方程 / 不等式； （4）求解代数问题：解方程 / 方程组 / 二次函数最值； （5）还原向量结论：将代数结果转化为向量结论，检验合理性 易｜错｜点｜拨 1.混混淆向量坐标与点坐标，搞错 “起点 - 终点” 顺序； 2.共线坐标判定时，误用比例式，忽略分母为 0； 3.模长计算忘记开方； 4.数乘 / 加减运算时，系数未遍乘 / 横纵混算. 【典例1】（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上的点，，. （1）若点A是线段的一个三等分点，求x的值； （2）求的最小值. 【典例2】（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是平面内两个不共线的向量，. (1)若三点共线，求实数的值； (2)若四边形为平行四边形，点，且，求点的坐标. 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）已知，，是直线l上的向量，向量，的坐标分别为1，-3，且，求，，的坐标. 【变式2】（25-26高一上·山东日照·月考）平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 题型五 平面向量线性运算的应用 解｜题｜技｜巧 一、利用线性运算解决平面几何证明题（如平行 / 相等 ）：. 1.建向量：将几何图形中的线段转化为同向向量； 2.线性运算：用加减 / 数乘化简待证向量； 3.证关系：（1）证线段平行：证明两向量共线且无公共点； （2）证线段相等：证明两向量相等； （3）证中位线； 4.转几何：将向量关系转化为几何结论； 5.下结论：规范书写证明结果. 二、线性运算应用的 5 个应试核心技巧： 1.基底优先：所有应用题型，优先选基底，将未知向量转化为基底线性组合，化繁为简； 2.数形结合：画简易几何图形，标注向量方向、特殊点，直观判断向量拆分方向，避免运算错误； 3.结论秒杀：熟记重心 / 中点 / 三点共线的线性运算结论，填空选择直接写结果，节省计算时间； 4.消元化简：线性运算中，优先消去「反向向量」「共线向量」，快速合并同类项； 5.验证闭环：解完后反向代入，验证向量关系是否符合几何图形，避免逻辑错误. 易｜错｜点｜拨 1.几何图形中向量拆分方向错误，法则应用混淆； 2.几何图形中向量拆分方向错误，法则应用混淆； 3.求参数时，忽略基底不共线 / 零向量前提，导致参数解错； 4.线性运算化简时，混淆「向量运算」与「数的运算」，忽略方向导致模长错算； 5.重心 / 中点 / 分点应用时，记错线性运算结论，系数错误； 6.忽略零向量的特殊性，导致漏解 / 错解. 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高三上·广东·期中）已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 3．（24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 4．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）已知，与同向且，则（   ） A． B．或 C．或 D． 5．（多选）（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）平面直角坐标系中，点M从原点O出发，每步只能按向量，，运动.若M要走遍以O，，，为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走 步. 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量初步（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 向量的概念 掌握向量的表示方法，理解并掌握零向量、单位向量、相等向量、共线向量（平行向量）的定义及核心特征 基础考题，多为选择题、填空题. 向量的加法 熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，能根据向量的位置特点选择合适的法则进行运算；掌握向量加法的交换律和结合律，并能运用运算律简化向量加法运算. 基础考题，多为选择题、填空题，常常与其它知识综合考查. 向量的减法 理解向量减法的定义，明确向量减法是向量加法的逆运算，掌握其几何意义；熟练掌握向量减法的三角形法则，能准确作出两个向量的差向量；能运用向量减法的法则解决向量的化简、求值 基础考题，多为选择题、填空题，常常与其它知识综合考查. 数乘向量 理解数乘向量的定义及几何意义，熟练掌握数乘向量的运算律，能运用运算律化简向量表达式； 基础考题，多为选择题、填空题，常常与其它知识综合考查. 向量的线性运算 明确其是向量加法、减法、数乘运算的统称，熟练掌握向量线性运算的运算法则和运算律，能准确进行向量的加减、数乘混合运算及化简. 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题. 向量基本定理 理解并掌握向量共线定理，能运用定理判断两个向量是否共线.理解内涵与意义，明确定理的前提条件和核心结论；掌握基底的概念；能运用平面向量基本定理，将平面内任意一个向量表示为两个不共线向量的线性组合，并解决向量分解与表示的相关问题. 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题. 直线上向量的坐标及其运算 理解定义、熟练掌握直线上向量的坐标运算公式（加法、减法、数乘），能准确进行直线上向量的坐标运算；会用直线上向量的坐标解决向量相等、共线以及数轴上两点间距离、中点坐标等问题 基础考点，题型多为客观题 平面向量的坐标及其运算 理解定义，掌握平面向量的坐标与平面直角坐标系内点的坐标、有向线段的关系；熟练掌握平面向量的坐标运算公式（加法、减法、数乘），能准确进行平面向量的坐标运算；理解平面向量平行（共线）的坐标表示，能运用坐标条件判断两个向量是否共线，解决相关几何问题 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题. 平面向量线性运算的应用 能熟练运用平面向量的线性运算（加、减、数乘）表示平面内的目标向量，掌握向量线性表示的方法与技巧；理解向量线性运算的几何意义，能运用向量方法解决平面几何中的三点共线、线线平行、线段比例等问题 高频考点，题型覆盖选择题、填空题、解答题 知识点01 向量的概念 1.向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 2.向量的表示方法 （1）几何表示：用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向. 记法：以A为起点、B为终点的向量记作 （2）字母表示. 3.向量的模：向量的大小（长度）叫做向量的模，记作或.模是一个数量，非负. 4.特殊向量：（1）零向量：长度为0的向量； （2）单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 5.向量间的关系 （1）相等向量：长度相等且方向相同的向量.记法：a=b；任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示. （2）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量.记法：a∥b；规定：零向量与任意向量共线. ·易错点：将向量的 “共线” 等同于几何图形中线段的 “共线” 示例：（24-25高一下·江西上饶·月考）下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量 【分析】利用向量的相关意义，逐项判断即可. 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 知识点02 向量的加法 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.规定：对于零向量与任意向量a，有a+0=0+a=a. 两个向量的和仍然是一个向量. 2、向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加. 3、向量加法的平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ·易错点：用三角形法则时，误将两个向量的起点放在一起直接相加；或拼接时顺序错误. 示例：（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 知识点03 向量的减法 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量（共起点，连终点，指向被减）”即可． ·易错点：混淆向量减法与加法的作图方向. 示例：（24-25高一下·河南周口·期中）若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量的模、向量减法法则的几何应用 【分析】由，对是否共线进行分类讨论即可求解. 【详解】， 当同向共线时，； 当反向共线时，； 当不共线时，由，可得. 综上可得. 故答案为：. 知识点04 数乘向量 1、向量数乘的定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa， 它的长度与方向规定如下： （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； （3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量数乘的几何意义 当时，把向量沿的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿的相反方向放大或缩小。 3、向量数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. ·易错点：忽略向量共线定理的前提条件. 示例：（24-25高一下·内蒙古·期末）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C 知识点05 向量的线性运算 1.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2.向量的线性组合对于任意实数λ,μ以及向量a,b，向量c=λa+μb叫做向量a,b的线性组合. ·易错点：线性运算化简时的符号与分配律错误； 示例：（24-25高一下·广东东莞·月考）（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 知识点06 向量基本定理 1.共线向量基本定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． A,B,C三点共线的充要条件是存在实数λ，使得 2.平面向量基本定理：（1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （ 2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. ·易错点：向量分解时的方向与系数符号错误 示例：（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，为中点，在上，且，与交于点O (1)用表示. (2)过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 【答案】(1)，； (2) 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、线段的定比分点、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）根据线段比例关系以及平面向量基本定理可表示出； （2）利用平面向量共线定理列方程组计算可求得的值. 【详解】（1）由为的中点可知，由可知，如下图：    因此可得， 因为三点共线，所以可设， 且三点共线，所以存在实数，使得， 因此可得， 即，解得， 因此； （2）如下图所示：    因为三点共线，所以存在实数使得， 其中由可得，又， 所以， 结合（1）中结论可知，解得；因此. 知识点07 直线上向量的坐标及其运算 1.数轴的基向量：给定一条数轴，设e是单位向量（模为1），方向与数轴正方向相同，称e为数轴的基向量. 2.定义：对于数轴上任意一个向量a，存在唯一的实数x，使得a=xe，则实数x叫做向量a在数轴上的坐标，记作a=(x) 3.数轴上点的坐标与向量坐标的关系： ·易错点：误将任意向量的坐标等同于B点的坐标x2 ​示例：（20-21高一·全国·课后作业）已知是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量，的坐标分别是 . 【答案】，/， 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】由直线上线向量的坐标的定义可得答案. 【详解】由直线上线向量的坐标的定义知，，的坐标分别是，. 故答案为：，. 知识点08 平面向量的坐标及其运算 1、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2、向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则 3、向量加减法的坐标运算：已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 4、向量数乘的坐标运算：若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 5.重要公式：（1）向量的模公式：若，则 （2）两点间的距离公式：若，，则 （3）中点坐标公式：，，则A，B的中点坐标 6.向量平行的坐标表示： ·易错点：向量共线的坐标条件应用错误 示例：（2024高一下·全国·专题练习）已知点、，，若，试求为何值时， (1)点在第一、三象限的角平分线上； (2)点在第三象限内． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标运算可得出点的坐标，根据点在第一、三象限的角平分线上可得出关于的等式，可解得实数的值； （2）根据点在第三象限内，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）设点，由已知可得， 又因为，则， 所以，，可得， 若点在第一、三象限的角平分线上，则，解得. （2）解：因为点在第三象限内，则， 所以. 知识点09 平面向量线性运算的应用 1.向量在平面几何中的应用 （1） 基本思路：利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，减法的三角形法则，以及数乘向量的几何意义，将未知向量用已知向量（或基底向量）进行线性表示，表达式为a=λb+μc（λ,μ为实数）； 2.解决平面几何问题 3.向量在物理中的应用 （1）位移的合成 物体做连续两次位移s1和s2，合位移s就是两个位移向量的和. ①三角形法则：两次位移首尾相接，合位移是从初位置指向末位置的向量. ②平行四边形法则：以两个分位移为邻边作平行四边形，对角线为合位移. （2） 位移的分解：已知合位移s，根据实际需求将其分解为两个分位移s1和s2，满足s=s1 +s2，本质是平面向量基本定理的应用. （3） 力的合成与分解 （4） 速度的合成与分解 ·易错点：证明线线平行时忽略 “无公共点” 条件、三点共线证明时遗漏 “有公共点” 条件. 示例：（2025高一·全国·专题练习）已知分别为的垂心、重心、外心，求证：三点共线（，，三点连线称为“欧拉线”）． 【答案】证明见解析 【知识点】根据向量关系判断三角形的心 【分析】抓住各心的几何特征，在图形上进行合理的构造，利用证明三点共线． 【详解】如图，作直径，连结，有，，，，， 故，，即四边形是平行四边形， 故． 由是的重心得， 所以，即三点共线． 题型一 向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 1. 向量加减运算 ——三角形法则 / 平行四边形法则，优先用 “首尾相接”，加看首尾，减看共起点； 2.向量数乘运算 ——先定方向，再算模长，系数优先代数化简. 易｜错｜点｜拨 1. 混淆向量运算与数的运算，忽略向量方向； 2. 数乘分配律应用错误，忽略系数对向量的整体作用； 3. 忽略零向量的特殊性. 【典例1】（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 【典例2】（23-24高一下·甘肃·期中）已知向量，满足，，则的最大值为 ，最小值为 【答案】 / / 【知识点】向量的模、平面向量的混合运算 【分析】根据已知可得出，然后结合向量加法的三角形法则即可得出答案. 【详解】易知， 所以有. 所以，， 当且仅当同向时，等号成立， 此时取最大值3，取最大值为； 所以，， 当且仅当反向时，等号成立， 此时取最小值1，取最小值为. 故答案为：；. 【变式1】（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 【变式2】（24-25高一下·安徽马鞍山·期中）等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量、向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】结合图形和题设条件，逐一判断各选项即可. 【详解】 对于A，如图，与方向不同，故A错误； 对于B，与方向相反，故B错误； 对于C，因在边上，满足， 则，，由A项知与不相等，故C错误； 对于D，由图知，， 因，故有，即D正确. 故选：D. 题型二 共线向量的判断与应用 解｜题｜技｜巧 1.纯向量式 —— 判断两个向量是否共线：消零向量、化最简式、验共线条件. 2.三点共线 ⇨ 有公共点的两个向量共线：（1）向量定理法；（2）系数和为1 法：若 O 为平面内任意点， OC =x OA +yOB，则A、B、C 共线 ⇨ x+y=1. 3.共线求参数：（1）由a =λb列等式→对应基底系数相等，解方程组求参数；（2）先表示出共线向量→用交叉相乘相等列方程→求解参数. 4.共线向量的综合应用：共线搭桥，基底化归. （1）遇 “任意向量” 优先选一组不共线基底，将所有向量用基底表示； （2）利用共线条件列出等式，消去基底向量（系数为 0）； （3）结合重心、中点、分点结论，简化计算. 易｜错｜点｜拨 1.忽略共线向量定理的核心前提b≠0； 2. 混淆“向量共线” 与 “点共线”的关系； 3. 坐标法共线时，误用“比例式” 代替 “交叉相乘”，忽略分母为 0； 4.基底法共线时，忽略基底向量不共线的条件； 5.“系数和为1”法的反向应用错误. 【典例1】（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量数乘的有关计算、向量加法法则的几何应用、向量加法的法则 【分析】（1）根据给定条件，利用同一向量的不同回路中的相反向量关系计算得证. （2）作出图形，可得中线向量公式. （3）利用向量共线，即可得中位线向量公式. 【详解】（1）由，得， 由和分别是和的中点，得， 所以. （2）当三点重合，记为点，如图，    在中，是的中点，得，这是中线向量公式. （3）当两点重合，记为点， 在中，分别是和的中点，得，这是中位线性质. 【变式1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由平面向量减法运算得出，再由三点共线得，列出方程组求解即可． 【详解】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线. 【答案】证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】证法1：利用三点共线判定定理，列出的关系式，判断其系数之和是否为1； 证法2：连结且与相交于点，利用几何关系可证明和为同一点. 【详解】证法1：因为，所以三点共线． 证法2：连结且与相交于点， 因为，所以． 又因为是的中点且， 所以，即， 又因为， 所以和为同一点，所以三点共线． 题型三 平面向量基本定理的应用 解｜题｜技｜巧 1.基底的选择与判定：优选基底的 3 个技巧：图形优先选边、已知优先选给定向、特殊点优先选原点 / 重心； 2.向量的基底分解：（1）定基底：根据题型选好一组不共线的基底；拆向量：利用向量加减 / 数乘法则，将未知向量拆分为图形中易表示的向量组合；代基底：将拆分后的所有向量，全部用选定的基底向量替换； 化简合并.（2）3个分解提速技巧：首尾相接法、中点转化法、整体代入法：先表示出相关向量，再整体代入目标向量； 3. 平面向量基本定理的综合应用：（1）选基底（2）全分解：将题目中所有向量用基底表示；（3）用条件：结合共线定理、重心结论、中点公式，列出向量等式；（4）用唯一性：将等式整理为；（5）解参数：解方程组得参数，结合题意得出最终结论. 4. 解题自查3要点：（1）查基底：基底是否非零且不共线，无问题再进行后续验证； （2）查分解：向量分解是否符合加减法则，方向、系数是否正确； （3）查唯一性：参数是否由 “系数对应相等” 求出，综合题是否用 “系数为 0” 推论. 易｜错｜点｜拨 1.基底选择错误，用共线向量 / 零向量作基底； 2.忽略分解的唯一性，漏用 “系数对应相等”； 3.混淆 “基底向量” 与 “坐标向量”，盲目坐标化. 【典例1】（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，点P，Q满足，.若，则 . 【答案】 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】由进行求解． 【详解】由，得， 由，得， 则 ， 得， 则， 故答案为： 【典例2】（24-25高一下·云南楚雄·月考）如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，是线段上一点，过点的直线与边分别交于点，设. (1)以为基底表示. (2)若，求的值； (3)若点为线段的中点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式求和的最小值、用基底表示向量 【分析】（1）结合图形，利用向量的线性运算用基底表示即可； （2）利用平面向量基本定理，由三点共线得到，再由是线段上一点，得到，与（1）的结论对照即可求得的值； （3）由三点共线得到，结合点为线段的中点可得，与（1）的结论对照，列出方程组，消去，得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值. 【详解】（1）由图，. （2）因三点共线，则存在，使得， 又是线段上一点，则存在，使得， 由（1）已得，故有，解得：，即. （3）因，且三点共线， 则存在，使得， 又因点为线段的中点，则有， 与对照可得：，消去即得，即， 故， 当且仅当时，即当时，取得最小值为. 【变式1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 【变式2】（2025·四川德阳·模拟预测）在中，已知，P在线段（不包含端点）上，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量基本定理的应用 【分析】设，通过向量的线性运算结合题目中的条件把用表示，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】设， 则， 又因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：A 题型四 向量的坐标运算问题 解｜题｜技｜巧 1.向量坐标运算：（1）分开算：横坐标、纵坐标独立运算，避免 “横纵混算” 出错；（2）先数乘后加减：有系数先算数乘，再算加减（类比代数：先乘除后加减）；（3）凑整算：系数为分数 / 负数时，先凑整化简，再计算； 2.一般步骤： （1）建系设点：根据图形建立直角坐标系，设未知点 / 参数坐标； （2）写向量坐标：由点坐标求所有相关向量的坐标； （3）翻译条件：将 “共线、模长、中点、重心” 等条件→坐标方程 / 不等式； （4）求解代数问题：解方程 / 方程组 / 二次函数最值； （5）还原向量结论：将代数结果转化为向量结论，检验合理性 易｜错｜点｜拨 1.混混淆向量坐标与点坐标，搞错 “起点 - 终点” 顺序； 2.共线坐标判定时，误用比例式，忽略分母为 0； 3.模长计算忘记开方； 4.数乘 / 加减运算时，系数未遍乘 / 横纵混算. 【典例1】（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上的点，，. （1）若点A是线段的一个三等分点，求x的值； （2）求的最小值. 【答案】（1）或；（2）5. 【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量的混合运算 【分析】（1）先把A是线段的一个三等分点转化为或，直接列方程即可求出x； （2）利用向量模的三角形不等式即可求出最小值. 【详解】解：（1）因为点A是线段的一个三等分点， 所以或. 因为，，， 所以或. 所以或. （2）因为，当且仅当与同向时取等号， 所以当时，取得最小值5. 【典例2】（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知是平面内两个不共线的向量，. (1)若三点共线，求实数的值； (2)若四边形为平行四边形，点，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用共线定理得，建立方程组即可求解； （2）利用相等向量即可. 【详解】（1）. 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即，得. 因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. （2）设，则； 因为，则， 因为四边形为平行四边形，所以. 所以，解得， 即点的坐标为. 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）已知，，是直线l上的向量，向量，的坐标分别为1，-3，且，求，，的坐标. 【答案】，，的坐标分别是-2，-3，3或-1，，0. 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】由已知可得，计算即可得出结果. 【详解】解：设，，的坐标分别是x，y，z. 因为向量，的坐标分别为1，-3，且， 所以， 解得，或. 所以，，的坐标分别是-2，-3，3或-1，，0. 【变式2】（25-26高一上·山东日照·月考）平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 题型五 平面向量线性运算的应用 解｜题｜技｜巧 一、利用线性运算解决平面几何证明题（如平行 / 相等 ）：. 1.建向量：将几何图形中的线段转化为同向向量； 2.线性运算：用加减 / 数乘化简待证向量； 3.证关系：（1）证线段平行：证明两向量共线且无公共点； （2）证线段相等：证明两向量相等； （3）证中位线； 4.转几何：将向量关系转化为几何结论； 5.下结论：规范书写证明结果. 二、线性运算应用的 5 个应试核心技巧： 1.基底优先：所有应用题型，优先选基底，将未知向量转化为基底线性组合，化繁为简； 2.数形结合：画简易几何图形，标注向量方向、特殊点，直观判断向量拆分方向，避免运算错误； 3.结论秒杀：熟记重心 / 中点 / 三点共线的线性运算结论，填空选择直接写结果，节省计算时间； 4.消元化简：线性运算中，优先消去「反向向量」「共线向量」，快速合并同类项； 5.验证闭环：解完后反向代入，验证向量关系是否符合几何图形，避免逻辑错误. 易｜错｜点｜拨 1.几何图形中向量拆分方向错误，法则应用混淆； 2.几何图形中向量拆分方向错误，法则应用混淆； 3.求参数时，忽略基底不共线 / 零向量前提，导致参数解错； 4.线性运算化简时，混淆「向量运算」与「数的运算」，忽略方向导致模长错算； 5.重心 / 中点 / 分点应用时，记错线性运算结论，系数错误； 6.忽略零向量的特殊性，导致漏解 / 错解. 【典例1】（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、三角形的心的向量表示 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 【典例2】（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【答案】(1)梯形 (2)平行四边形 (3)四边形是夹角为的菱形 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】（1）利用向量线性运算的几何意义及梯形的概念求解即可； （2）利用向量线性运算的几何意义及平行四边形的概念求解即可； （3）解法1：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，再根据向量的加法运算得，即可判断四边形是夹角为的菱形； 解法2：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，根据向量的几何意义得是的角平分线且，即可判断． 【详解】（1）因为，所以且， 即四边形是梯形． （2）因为，即，所以， 所以四边形是平行四边形． （3）解法1：因为，根据平行四边形法则，四边形首先是平行四边形． 又因为，所以， 即，所以， 即，所以四边形是夹角为的菱形，如图． 解法2：因为，根据平行四边形法则，四边形是平行四边形． ，分别为与和同向的单位向量， 它们的和在的角平分线上． 又因为的几何意义是与同向的单位向量为与和同向的单位向量之和， 所以是的角平分线且，即四边形是夹角为的菱形． 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）若为内一点，且，则的形状为（    ）． A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性运算得，再利用向量的平行四边形法则及矩形的概念判断即可. 【详解】由化简得， 而，所以可得， 即以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，所以这个平行四边形是矩形， 即是直角三角形. 故选：C． 【变式2】（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、三角形的心的向量表示 【分析】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【详解】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高三上·广东·期中）已知向量不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量共线定理，先转化平行关系为等式，再整理等式分离向量系数，最后利用“不共线向量的系数对应相等”列方程求解即可. 【详解】因为向量，不平行，， 所以存在实数，使得：， 即，解得. 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）已知是空间内两个方向相反的向量，则下列结论一定成立的是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、向量的模、平面向量的概念与表示 【分析】根据方向相反的向量模长未必相等可知ABC错误；根据单位向量的方向与定义可知D正确. 【详解】对于A，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，A错误； 对于B，方向相反，，但模长未必相等，B错误； 对于C，方向相反，但模长未必相等，则未必成立，C错误； 对于D，表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 方向相反，，则，D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·广西柳州·期中）四边形中，O为任意一点，若，则四边形一定是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【知识点】相等向量、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 4．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）已知，与同向且，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据题意，，利用模长可得，从而得解. 【详解】与同向， ，又， ，解得， . 故选：D. 5．（多选）（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】结合图形，利用共线向量表示及平面向量线性运算即得. 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量共线定理的推论 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 3．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】结合平面向量共线定理求出两个三角形的高的比值，即可求得面积比值. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    易知，所以， 因此可得三点共线， 易知与的公共边为，设点到边的距离为， 可知到边的距离为，到边的距离为， 所以. 故答案为： 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）平面直角坐标系中，点M从原点O出发，每步只能按向量，，运动.若M要走遍以O，，，为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走 步. 【答案】28 【知识点】向量新定义、向量加法法则的几何应用 【分析】作出图象，结合相关点的分布情况，即可得出答案. 【详解】 如图， ， 共需28步. 故答案为：28. 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知，分别是，上的动点，且满足，求证：在三点运动过程中，的重心不动． 【答案】证明见解析 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、三角形的心的向量表示、平面向量的混合运算 【分析】证法1：由条件与向量的线性运算证明的重心同时也是的重心； 证法2：设是的重心，利用向量的线性运算把用表示出来，可得到，可以证明是的重心. 【详解】证法1：因为， 所以． 又因为，所以． 设是的重心，可得， 两式相减可得，所以也是的重心． 证法2：因为， 设是的重心，且，所以， 同理可得，， 所以， 即也是的重心． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $