专题01 三角形全章复习（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学三角形期末复习讲义以核心考点为纲，通过知识框架图系统梳理三角形的定义、三边关系、全等判定等9大知识点，用对比表格呈现高、中线、角平分线的性质差异，结合思维导图构建“概念-性质-判定-应用”的逻辑脉络，突出全等三角形、垂直平分线等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与解题方法指导，基础题型如“三角形三边关系应用”培养抽象能力，综合题型如“全等三角形判定与性质综合”强化推理意识，拓展题型融入“倍长中线法”等技巧。通过“解题模板+易错点拨”帮助不同层次学生提升，配套基础通关、重难突破练习，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题01 三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 认识三角形 掌握三角形的分类、三边关系、内角和定理，能判断三角形的形状。 以选择题、填空题为主： ① 直接考查三边关系（给定边长判断能否构成三角形）； ② 三角形内角和计算（已知两角求第三角）； 难度低，属于基础必考题。 定义与命题 理解定义、命题的概念，区分题设与结论，判断命题真假。 多为填空题或选择题： ① 改写命题的 “如果… 那么…” 形式； ② 识别真假命题（常结合三角形性质命题）； 分值占比小，难度低。 证明（三角形相关） 掌握证明步骤，规范书写三角形性质 / 判定的证明过程。 出现在解答题中： ① 证明三角形内角和、三边关系等基本性质； ② 结合简单图形（如三角形的角平分线）写证明过程； 侧重格式规范，难度中等。 全等三角形及判定 理解全等性质，熟练运用 SSS、SAS、ASA、AAS，及HL 判定（直角三角形专用） 期末核心考点，覆盖多种题型： ① 选择 / 填空：直接判定两个三角形是否全等； ② 解答题：给定条件证明三角形全等（常单独设题，或作为后续问题的铺垫）； 难度中等，是得分关键模块。 线段垂直平分线的性质 掌握线段垂直平分线的性质与判定，解决线段相等问题。 多结合全等三角形考查： ① 选择 / 填空：利用性质求线段长度； ② 解答题：作为证明线段相等的依据（常融入全等证明题中）； 难度中等。 角平分线的性质 掌握角平分线的性质与判定，解决角相等、距离相等问题。 常与三角形全等、面积计算结合： ① 选择 / 填空：利用性质求点到边的距离； ② 解答题：作为证明角相等的辅助条件； 难度中等。 知识点01 认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 知识点02 三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c；|a-c|＜b； |b-c|＜a 知识点03 三角形的相关线段 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 知识点04 与三角形有关的角 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 知识点05 定义与命题 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 知识点06 全等图形的相关概念 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等. 【解读】全等形只与它们的形状和大小有关，与它们的位置无关. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【易错点】注意记两个三角形全等时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，△ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD 是两种不同的对应关系. 知识点07 全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质： 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 2.全等三角形的判定： 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4.角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 备注：判定方法5）为第二章内容，为内容统一，放这里展示. 知识点08 线段垂直平分线的性质与判定 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 知识点09 角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 题型一 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 三角形的三边关系是不等关系，由此不等关系可以确定边长的范围，可以确定与边长有关的代数式的符号，解题关键在于利用两边之和大于第三边或两边之差小于第三边建立不等式. 易｜错｜点｜拨 1）已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 2）已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划在三角形区域内种植一片防护林．已知其中两边，，那么第三边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 利用三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定的取值范围，据此逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， 由得：，即， 由得：，即， 则的取值范围为， 选项A、B、C均满足，而D不满足， 因此的长度不可能是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了三角形三边的关系，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．分两种情况：当边长为的边为底边时；当边长为的边为腰长时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：当边长为的边为底边时，两腰长， 此时三角形另两边长分别为，，能组成三角形； 当边长为的边为腰长时，另一腰长， 则底边长 ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，三角形另边长分别为，． 故选D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．考查学生分类讨论思想以及验证能力．先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为4时，三角形的三边长为：， ∵， 所以不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为9时，三角形的三边长为：， 此时能构成三角形 此时这个等腰三角形的底边为4， 故答案为：4． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是 ． 【答案】 等腰三角形 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边之差，而小于两边之和． 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案，最后等腰三角形的定义判断三角形的形状． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∵x为奇数， ∴， ∴三角形的三边长为，，，即这个三角形的形状是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 题型二 等面积法的应用 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点D沿自B向C移动点D不与B、C重合．作于点E，于点F，则的值为（   ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 依据题意，由于E，于F，从而可得出，又一定，随着D的移动先减小再增大，则随着D的移动先增大后减小，即可得解． 【详解】解：于E，于F， 一定，随着D的移动先减小再增大， 随着D的移动先增大后减小． 故选：D． 7．（21-22七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积，连接，利用即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 根据三角形的中线求长度/面积 答｜题｜模｜板 1）周长差=中线两边的边长差= 长边-短边 2）三角形的一条中线把原来的三角形分成两个同地等高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题. 9．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长 的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 10．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，学校有一处三角形试验田，其中是边上的中线，是的中点，连接、，学校计划在图中阴影处栽种蔬菜．若三角形试验田的面积为，求栽种蔬菜的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键．根据三角形中线可知，，，，即可得解． 【详解】解：是边上的中线， ， 三角形试验田的面积为， ， 是的中点， ，， 栽种蔬菜的面积为． 11．（20-21七年级下·江苏扬州·期中）已知的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积________的面积（填“”“”或“”）； (2)如图2，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连结，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程组为：，解得________，通过解这个方程组可得四边形的面积为________； (3)如图3，，请你计算四边形的面积，并说明理由． 【答案】(1) (2)，20； (3)四边形的面积为，理由见解析 【分析】本题考查三角形的中线，解二元一次方程组，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）根据三角形的中线平分面积作答即可； （2）加减消元法求出的值，再根据得四边形的面积为，进行计算即可； （3）连接，设，仿照（2），进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的边上的中线， ∴的面积 的面积； 故答案为：； （2）解，得：； 由图可知：四边形的面积为； 故答案为：，20； （3）四边形的面积为，理由如下： 连接，设， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴，解得：； ∴四边形的面积为． 题型四 与三角形有关的角度计算问题 答｜题｜模｜板 三角形有关的角度问题，主要可以通过以下途径解决:(1)三角形的内角和为180°；(2)三角形的角平分线平分对应角；(3)三角形的高垂直于底边，从而得到90°的角. 12．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键； （1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【详解】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差为：， 故答案为：2； （2）解：， ， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：是高， ， ， ， 平分， ， 在中，． 13．（24-25七年级下·四川内江·月考）如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为； （2）解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （3）解：∵和的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，是角平分线，是高． (1)若，，，垂足为F，求的度数； (2)若，，求的度数（用含有α，β的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数，进而可求出的度数，根据垂直的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，根据三角形高的定义和三角形内角和定理求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵是角平分线， ∴； ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵是角平分线， ∴； ∵是高， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图（1），是的中线， 是的中线，是的中线，若 则等于 ； （2）如图（2），在 中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 【答案】（1）16；（2）． 【分析】本题考查了三角形中线与三角形的面积关系，角平分线的定义． （1）根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可； （2）先根据三角形内角和得到，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) ，； ； ，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （）①根据“字型”的定义判断即可； 由（）结论可得和中，，和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； 根据，，得，，，，然后可得，，最后进行等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：中，，中，， ∵， ∴； （2）解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个； 以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个； 故答案为：，； 和中，，和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ，理由如下： ∵，， ∴，，，， 在和中，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）依据题意，由是的一个外角，则，故，又是的一个外角，则，又，故，可得，结合，从而，最后可得，进而可以得解； （2）依据题意，类似（1），结合，，从而可以判断得解； （3）依据题意，结合（1）（2），设，类似（2）分析判断可以得解． 本题主要考查了三角形内角和定理、列代数式、三角形的外角性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【详解】（1）解：是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 由题意，设， 是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 题型五 命题 19．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列命题是假命题的是（） A．等腰三角形的两腰相等 B．全等三角形的周长相等 C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的真假判断，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，对顶角相等．选项A、B、D均为真命题；选项C中，等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，而非顶角平分线本身（线段或射线），因此该命题错误． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等（定义），∴A选项是真命题； ∵全等三角形的对应边相等，周长相等，∴B选项是真命题； ∵等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，顶角平分线是线段，两者不同，∴C选项是假命题； ∵对顶角相等（定理），∴D选项是真命题． 综上，假命题是C． 故选：C． 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．等边对等角 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假判断，结合全等三角形的判定，三角形的边角关系，等腰三角形的性质进行证明，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 根据三角形的边角关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B进行判断；根据等腰三角形的性质对C进行判断；线段垂直平分线的判定可对D进行判断． 【详解】解：A、在一个三角形中，等边对等角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题为假命题，故本选项不符合题意； C、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，原命题为假命题，故本选项不符合题意； D、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项符合题意； 故选：D 21．（2025八年级上·全国·专题练习）已知三条不同的直线在同一平面内，有下列四个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中真命题有 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行于同一条直线的两条直线平行，一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条，垂直于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 根据平行线的性质和判定，对每个命题进行分析，判断其真假． 【详解】解：命题①：如果，根据一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条，所以，是真命题； 命题②：如果，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以，不是，是假命题； 命题③：如果，根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以，不是，是假命题； 命题④：如果，根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以，是真命题． 故答案为：①④． 22．（25-26八年级上·浙江温州·月考）请将命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【答案】如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式是：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 故答案为：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 23．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命题，请举出反例加以说明． (1)若，，，，则是直角三角形； (2)若，则代数式是正数． 【答案】(1)假命题，反例见解析 (2)真命题，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，整式的混合运算，判断命题真假，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，，，，再结合勾股定理逆定理判断即可得解； （2）根据整式的混合运算去括号，再结合判断即可得解． 【详解】（1）解：假命题， 反例：当时，，，． 所以， 所以 所以不是直角三角形． （2）解：真命题 ， 因为， 所以， 即， 所以是正数． 题型六 全等图形的识别 答｜题｜模｜板 全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置，看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可. 24．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 25．（24-25八年级上·江西上饶·期中）巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等形的概念依次判断即可. 本题主要考查了全等形的概念：能够完全重合的两个图形成为全等形.掌握全等形的概念是解题的关键. 【详解】解：A.两个图形不相同，不是全等形，不符合题意； B. 两个图形不相同，不是全等形，不符合题意； C.两个图形完全相同，是全等形，符合题意； D.两个图形不相同，不是全等形，不符合题意； 故选：C. 26．（2022八年级上·全国·专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； B、两个图形属于全等图形， 故此选项符合题意； C、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； D、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意． 故选：B． 题型七 全等三角形的性质 答｜题｜模｜板 利用全等三角形的性质求线段的长和角的度数关键是找出对应边和对应角，根据全等三角形的对应边、对应角相等来求解，同时常常结合三角形的内角和或外角的性质进行计算. 27．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．先利用三角形的内角和定理可得，然后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 28．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 ABDE的方法证明了勾股定理，若的斜边，，则图中线段的长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理计算和证明，熟练掌握勾股定理和全等三角形的性质是解题的关键．根据勾股定理求得，再由，得到，，再次利用勾股定理求得的长． 【详解】解：如图所示： 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 29．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的运用，设运动时间为，根据题意得到，，则，分当时，当时两种情况，然后通过全等三角形的性质列方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动， ∴，，则， ∵， ∴如图，当时， ∴，， ∴，解得：， ∴； 如图，当时， ∴，， ∴，解得：， ∴； 综上可得：的长度为或， 故选：． 30．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C．180° D．540° 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，平角的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据全等三角形对应角相等，得到，再根据平角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， 三个三角形全等， ， ，，， ， 故选：C． 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解： ， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 题型八 选用合适的方法判定全等三角形 32．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 33．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和．且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？ (3)秋千静止时点离地面的高度是多少？ 【答案】(1)与全等，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再求出，然后根据定理即可得； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据求解即可得； （3）先利用勾股定理可得，则，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由题意得：，，， 由（1）已证：， ∴，， ∴， 答：小启爸爸是在距离地面的地方接住小启的． （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：秋千静止时点离地面的高度是． 34．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若与交于点，过点作．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据已知条件可得到，再利用证明即可； （2）由（1）可知，进而得到，利用证明，进而求解． 【详解】（1）证明： ， ，即， 在和中， ， ； （2）解： 与交于点，过点作，如下图所示， 由（1）可知：， ， ， ， ， 在和中， ， ； ． 35．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰直角中，，点是斜边上的动点（不与点重合），以为直角顶点、为直角边，在左侧作等腰直角，交于点． (1)求证：； (2)若，当为等腰三角形时，求所有符合条件的的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为或． 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，，推得，进而可依据“”判定和全等； （2）先由勾股定理求出，再分三种情况讨论如下：①当时，则，由三角形内角和定理求出，进而得；②当时，则，进而得，此时点是边的中点，由此得；③当时，则，进而得，此时点与点重合，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：在等腰直角中，，， ， 是等腰直角三角形，且点为直角顶点， ，，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：在等腰直角中，，， 由勾股定理得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ； ②当时， ， 在中，， ， ， 此时点是边的中点， ； ③当时， ， 在中，， 此时点与点重合，不合题意， 综上所述：符合条件的的长为或． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 36．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到．” 小助说：“我可以连结，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到． 请你判断两人的证法是否正确．若正确，选择其中一人的方法完成证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，再根据小协和小助所说的内容进行分析，分别证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质以及线段的和差即可证明结论． 【详解】解：都可行． 证明的小协说法： ∵，， ． 在和中 ， ， ， ， ∴． 证明小助的说法： 如图：连接． ∵，， ． 在和中 ． ∴． 题型九 全等三角形判定与性质综合 由于全等三角形具有对应边、对应角相等的特性，因此在证明线段、角相等时，可以找出边，角所在的三角形，然后寻找条件证明这两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边、对应角相等. 37．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，等腰直角三角形中，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形． (1)求证：； (2)当时，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理等知识． （1）通过等腰直角三角形的性质找出对应边和对应角的关系，利用全等三角形的判定定理(SAS)来证明两个三角形全等； （2）先根据等腰直角三角形的边长求出斜边长度，再通过角度关系推出边的关系，进而求出的长度． 【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，BC、DE为斜边， ， ， 在和中， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 38．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 【答案】(1)B； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，三角形的中线的性质，勾股定理． （1）根据题干证明即可； （2）延长至点，使得，连接，根据中线的性质，全等三角形的判定和性质，则，可得，根据三角形三边的关系，可，即可； （3）延长至点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，可得，根据等量代换，等角对等边，即可证明． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B； （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明，如图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用. （1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知和都是等腰直角三角形，，且A，D，E三点在同一条直线上． (1)当与在如图1所示位置时，连接，求证：； (2)在（1）的条件下，证明：； (3)当与在如图2所示的位置时，连接，若平分，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）过点C作于点F．证明，得，，得到．根据是等腰直角三角形，得到，从而根据线段的和差可得，在中，根据勾股定理即可证明． （3）过点C作交的延长线于点F．证明，得出，．进而证明．从而求得，，．最后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴． （2）解：过点C作于点F． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴， ∴，． ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． （3）解：过点C作交的延长线于点F，则， ∵， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在等腰中，， ∴． ∵在等腰直角中，，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，． ∴． 41．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）【情景感受】如图1，把一块三角板放入一个U形槽中，使三角形的三个顶点A、B．C分别在槽的两壁及底边上滑动． （1）已知，在滑动过程中，线段与有什么数量关系？并说明理由． 【变式探究】 （2）如图2，在中，点D，E，F分别在边上，若，那么与有何关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点D，F分别是边上的动点，且，以为腰向右作等腰，使得，若，点G是的中点，连接，请求出的最小值， 【答案】（1），理由见解析；（2）， 理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、轴对称求最短距离、三角形外角的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用判定三角形全等可得，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先利用三角形外角的性质以及等量代换即可解答； （3）如图， 在上截取，连接， 作点G关于的对称点N， 连接，再证明可得．然后根据对称性可得当A，E，N三点共线时，的值最小， 最小值为；再根据对称性和勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）， 理由如下： ∵，    ∴，   ∴， 又∵， ∴， ∴， （2）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， （3）如图， 在上截取，连接， 作点G关于的对称点N， 连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，   ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴E点在射线上运动． ∵ G点与N点关于对称， ∴， ∴， ∴当A，E，N三点共线时，的值最小， 最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴，   ∵点G是的中点，， ∴． ∴． 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为． 42．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知这些性质定理是解题的关键． （1）根据和均为等边三角形，得，，，进而证得即可得结果； （2）根据（1）的做题思想同理证得，再根据等腰三角形三线合一的性质证得，最后可证得； （3）根据点E在的内部和外部，分类讨论求得的度数． 【详解】解： （1）①∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴，． 如图1，设与交于点O， ∴． ∴． ②∵， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下， ∵与均为等腰三角形，， ∴，， ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵与均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，且， ∴． 即． （3）如图2，点E在的内部，由（1）知，同理可得． 如图3，点E在的外部， ∵与均为等边三角形， ∴，，． ∴，即， 在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵． ∴． ∴． 故答案为：的度数为或． 题型十 垂直平分线的判定与性质 答｜题｜模｜板 运用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质均能得到等线段，往往能推出其他结论，常结合全等三角形等知识解决问题. 43．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 44．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． （1）证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． （2）首先求出，再证明，，然后根据面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：∵的周长为18，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)11 (2) (3)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴． （3）解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 题型十一 角平分线的性质与判定 46．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质等知识．证明三角形全等是解题的关键． （1）根据可知，再根据E是的中点，可证明； （2）由（1）知，得到，，由于，等量代换得到，即，证得，即可得到结论； （3）在（2）的条件下由，得到，再证明，得为的平分线，由勾股定理求的长，根据角平分线性质定理即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵在与中， ， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴，， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过点E作于N，如图所示： 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为的平分线， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即点E到的距离为． 47．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】利用三角形内角和定理可证，根据等角对等边可证结论成立； 过点作，利用三角形内角和定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用可证，根据全等三角形的性质求知； 过点作，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立． 【详解】（1）证明： ， ， 交的延长线于点， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 由可知， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）证明：如下图所示，过点作， ， ， 由可知，， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． 48．（25-26八年级上·浙江金华·期中）聪明好学的亮亮看到一课外书上有个重要补充： 【角平分线定理】三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段的比值与这个角的两邻边的比值相等． 于是他就和其他同学研究了一番，写出了已知，求证如下： 已知：如图1，中，平分交于点D，求证： 可是他们依然找不到证明的方法，于是，老师提示如下： 过点D作， 因为平分，且， 所以________________ 所以_______ 又因为_______ 所以      (1)请你按老师的提示，填空补全证明过程； (2)如图2，在中，，是的角平分线，，，求的长； (3)如图3，在中，是的角平分线，是外角分线交延长线于点E，已知，，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3)8 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等面积法等知识，解题的关键是： （1）根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法求解即可； （2）先根据勾股定理求出，然后根据（1）中的结论可得出，即可求解； （3）类似（2）可求出，同（1）可证，则可求，即可求解． 【详解】（1）解：过点D作，， 因为平分，且，， 所以， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴ ∵是的角平分线， ∴由（1）知：， ∴； （3）解：∵是的角平分线， ∴由（1）知：， ∵，， ∴， ∴，， 过E作于点M，于点N， ∵是外角分线交延长线于点E， ∴， ∴ 又 ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 49．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得： ； 当点在点右侧时，， ，解得． （3），， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 50．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， (1)求证：射线是的平分线； (2)若点到射线的距离为，求的面积． 【答案】(1)见下方解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定以及点到直线的距离和三角形面积公式等知识点． （1）关键在于利用平行线的性质、等腰三角形的性质以及等量代换的思想来证明．利用三角形中等边对等角，再利用同位角相等，两直线平行，再利用平行证明内错角相等，等等量代换即可； （2）关键是理解角平分线的性质，将点到的距离转化为中边上的高． 【详解】（1）由题可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． （2）过点作于点，于点, 由题可知， 由（1）可知射线是的平分线， ∴， ∴， ， ． 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 当添加时，由两边及一边的对角无法判定，故选项符合题意； 当添加时，由“”可判定，故选项不合题意； 故选：． 2．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A．4，5，6 B．9，3，5 C．2，5，7 D．4，5，10 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系定理，需严格满足任意两边之和大于第三边，注意等于或小于均不能构成三角形． 根据三角形的三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可． 【详解】解：A、，能构成三角形，此项符合题意； B、，不能构成三角形，此项不符合题意； C、，不能构成三角形，此项不符合题意； D、，不能构成三角形，此项不符合题意； 故选：A． 3．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、是边上的高，故此选项符合题意； C、不是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线和面积的关系，解题的关键是：根据中线的性质逐步得出，，即可得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，利用全等三角形的性质、正方形的性质以及三角形面积公式，将阴影部分面积转化为只含一个未知数的表达式，从而确定所需条件． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴图中阴影部分的面积 ∴若想求出图中阴影部分的面积，只需知道的长， 故选B． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了命题，三角形内角和定理、等腰三角形的定义、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， 故不是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； B、∵，， ∴，则，角度不确定，则不一定是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； C、∵，令，，， ∴，故是直角三角形，说法正确，是真命题，符合题意； D、∵，令，， ∴， ∴，则故不是直角三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，对应边相等，得出和的值即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， 对应边相等， 由于两个三角形都有边长为的边， 可能对应，则对应，对应， ，， ． 其他对应关系均导致矛盾，只有这一种情况成立． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏常州·月考）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为 ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·江苏常州·月考）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度为，则，，，由于，则分两种情况：当时，则，；当时，则，，然后分别求解即可，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ∵， ∴当时， ∴，时， ∴，， 解得：，； 当时， ∴，， ∴，， 解得：，， 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，延长交于点，根据三角形内角和定理求出，得出，再由三角形外角性质可得 ． 【详解】解：延长交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴。 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知在中，平分交于点，过点作交于点，并延长到点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，得，运用证明，即可作答． （2）结合得，再运用勾股定理列式得，再把数值代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， 平分 ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 设，则， ，， 则， ， ， ． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由角的和差关系可得，进而可得，于是结论得证； （2）过点作于点，于点，由（1）可得是的平分线，同时是的平分线，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，然后由角平分线的判定定理即可得出结论； （3）设，由（2）可得，由已知条件可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的长，然后利用三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； （3）解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，三角形的面积公式，解一元一次方程等知识点，添加适当辅助线并熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______（用a表示）；判断：点C______函数的图象上（填“在”或“不在”）． (2)当时，如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，若点P在第二象限，且P，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；在 (2) (3)，， 【分析】（1）由，可得，，过点作轴于， 证明，再利用全等三角形的性质可得到点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，则，得到，则，即可得到求点的坐标； （3）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 【详解】（1）解： ，， ，， 如图1，过点作轴于点， 则， 等腰直角三角形中，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点, 在函数中，当时， 点C在函数的图象上， 故答案为：；在； （2）解： ，，， ，，， 如图2，过点作轴于点， 同（1）理可证：， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）可知，，， 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点， 同理可证， ，， ， 点； 如图，当，时，过点作轴于点，过点作于点， 同理可证， ，， ，， ，， 点， 综上所述：，，． 【点睛】此题属于三角形综合题，主要考查了坐标与图形、等腰三角形的定义、三角形的全等和判定及直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）【尝试探索】（1）如图1，中，，直线 经过点，过作于点，过作于点．求证：． 【拓展提升】（2）如图2，在中，是上一点，，，求点到边的距离． 【答案】（1）见解析；（2）点到的距离为 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，熟练掌握一线三垂直的全等模型是解题的关键： （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， 在BEC和中， ； （2）解：过点作于点，过点作于，交的延长线于点， 在和中， 即点到的距离为． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）①由可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，，由可证，可得，即可求解； （2）先证是等边三角形，可得，，由直角三角形的性质可得，可得，，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ． 在和中， ②， ． 由①得，， ． ， ． ． ， ； （2）解：延长，交于点，过点作于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 认识三角形 掌握三角形的分类、三边关系、内角和定理，能判断三角形的形状。 以选择题、填空题为主： ① 直接考查三边关系（给定边长判断能否构成三角形）； ② 三角形内角和计算（已知两角求第三角）； 难度低，属于基础必考题。 定义与命题 理解定义、命题的概念，区分题设与结论，判断命题真假。 多为填空题或选择题： ① 改写命题的 “如果… 那么…” 形式； ② 识别真假命题（常结合三角形性质命题）； 分值占比小，难度低。 证明（三角形相关） 掌握证明步骤，规范书写三角形性质 / 判定的证明过程。 出现在解答题中： ① 证明三角形内角和、三边关系等基本性质； ② 结合简单图形（如三角形的角平分线）写证明过程； 侧重格式规范，难度中等。 全等三角形及判定 理解全等性质，熟练运用 SSS、SAS、ASA、AAS，及HL 判定（直角三角形专用） 期末核心考点，覆盖多种题型： ① 选择 / 填空：直接判定两个三角形是否全等； ② 解答题：给定条件证明三角形全等（常单独设题，或作为后续问题的铺垫）； 难度中等，是得分关键模块。 线段垂直平分线的性质 掌握线段垂直平分线的性质与判定，解决线段相等问题。 多结合全等三角形考查： ① 选择 / 填空：利用性质求线段长度； ② 解答题：作为证明线段相等的依据（常融入全等证明题中）； 难度中等。 角平分线的性质 掌握角平分线的性质与判定，解决角相等、距离相等问题。 常与三角形全等、面积计算结合： ① 选择 / 填空：利用性质求点到边的距离； ② 解答题：作为证明角相等的辅助条件； 难度中等。 知识点01 认识三角形 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C 边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 三角形的表示：用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，字母的顺序可以自由安排，即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. 知识点02 三角形的三边关系 文字表述 数字语言 理论依据 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中，a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a 两点之间线段最短 三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中，|a-b|＜c；|a-c|＜b； |b-c|＜a 知识点03 三角形的相关线段 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 知识点04 与三角形有关的角 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 知识点05 定义与命题 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 知识点06 全等图形的相关概念 全等形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等形. 全等形的性质：全等形的形状相同、大小相等. 【解读】全等形只与它们的形状和大小有关，与它们的位置无关. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 全等三角形的对应元素：两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【易错点】注意记两个三角形全等时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例如，△ABC≌△DEF与△ABC≌△EFD 是两种不同的对应关系. 知识点07 全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质： 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（注意：周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 2.全等三角形的判定： 1.边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4.角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 备注：判定方法5）为第二章内容，为内容统一，放这里展示. 知识点08 线段垂直平分线的性质与判定 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）. 数学语言：如图，∵C为线段AB的中点，l⊥AB，∴直线l为线段AB的垂直平分线. 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 数学语言：∵l是线段AB的垂直平分线，P在l上，∴PA=PB 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 数学语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上. 知识点09 角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 用符号语言表示为：∵∠1=∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE 2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 用符号语言表示为：∵ PD⊥OA ，PE⊥OB， PD=PE ∴ ∠POD=∠POE 题型一 三角形三边关系的应用 解｜题｜技｜巧 三角形的三边关系是不等关系，由此不等关系可以确定边长的范围，可以确定与边长有关的代数式的符号，解题关键在于利用两边之和大于第三边或两边之差小于第三边建立不等式. 易｜错｜点｜拨 1）已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 2）已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划在三角形区域内种植一片防护林．已知其中两边，，那么第三边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是 ． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 题型二 等面积法的应用 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，点D沿自B向C移动点D不与B、C重合．作于点E，于点F，则的值为（   ） A．一直增大 B．一直减少 C．先减小后增大 D．先增大后减小 7．（21-22七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，在中，，，边上的高，点为上一点，且，．则的值为 ． 题型三 根据三角形的中线求长度/面积 答｜题｜模｜板 1）周长差=中线两边的边长差= 长边-短边 2）三角形的一条中线把原来的三角形分成两个同地等高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题. 9．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 10．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，学校有一处三角形试验田，其中是边上的中线，是的中点，连接、，学校计划在图中阴影处栽种蔬菜．若三角形试验田的面积为，求栽种蔬菜的面积． 11．（20-21七年级下·江苏扬州·期中）已知的面积是60，请完成下列问题： (1)如图1，若是的边上的中线，则的面积________的面积（填“”“”或“”）； (2)如图2，若分别是的边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：连结，由得：，同理：，设，则，由题意得：，可列方程组为：，解得________，通过解这个方程组可得四边形的面积为________； (3)如图3，，请你计算四边形的面积，并说明理由． 题型四 与三角形有关的角度计算问题 答｜题｜模｜板 三角形有关的角度问题，主要可以通过以下途径解决:(1)三角形的内角和为180°；(2)三角形的角平分线平分对应角；(3)三角形的高垂直于底边，从而得到90°的角. 12．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 13．（24-25七年级下·四川内江·月考）如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，是角平分线，是高． (1)若，，，垂足为F，求的度数； (2)若，，求的度数（用含有α，β的代数式表示）． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）（1）如图（1），是的中线， 是的中线，是的中线，若 则等于 ； （2）如图（2），在 中，是的高线，是的角平分线．已知，求的大小． 16．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 17．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，等腰中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接， (1)若，，求的度数； (2)若，，请用含x的代数式表示的度数； (3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 题型五 命题 19．（25-26八年级上·浙江金华·期中）下列命题是假命题的是（） A．等腰三角形的两腰相等 B．全等三角形的周长相等 C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D．对顶角相等 20．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．等边对等角 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 21．（2025八年级上·全国·专题练习）已知三条不同的直线在同一平面内，有下列四个命题：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中真命题有 （填序号）． 22．（25-26八年级上·浙江温州·月考）请将命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式： ． 23．（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于下列命题，若你认为是真命题，请给出证明；若你认为是假命题，请举出反例加以说明． (1)若，，，，则是直角三角形； (2)若，则代数式是正数． 题型六 全等图形的识别 答｜题｜模｜板 全等形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置，看两个图形是否为全等形，只要把它们叠合在一起，看是否能够完全重合即可. 24．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 25．（24-25八年级上·江西上饶·期中）巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（   ） A． B． C． D． 26．（2022八年级上·全国·专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型七 全等三角形的性质 答｜题｜模｜板 利用全等三角形的性质求线段的长和角的度数关键是找出对应边和对应角，根据全等三角形的对应边、对应角相等来求解，同时常常结合三角形的内角和或外角的性质进行计算. 27．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 ABDE的方法证明了勾股定理，若的斜边，，则图中线段的长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 29．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ） A． B．或 C． D．或 30．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C．180° D．540° 31．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 题型八 选用合适的方法判定全等三角形 32．（25-26八年级上·福建厦门·月考）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，．求证：． 33．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）一天周末，小启和爸爸妈妈在小区公园的秋千上玩耍，如图，秋千的顶端为O处，秋千静止时的起始位置为A处，所在直线与地面垂直于M点，当小启两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和．且，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)小启爸爸是在距离地面多高的地方接住小启的？ (3)秋千静止时点离地面的高度是多少？ 34．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若与交于点，过点作．求证：． 35．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰直角中，，点是斜边上的动点（不与点重合），以为直角顶点、为直角边，在左侧作等腰直角，交于点． (1)求证：； (2)若，当为等腰三角形时，求所有符合条件的的长． 36．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）数学兴趣小组在完成一道数学题： 如图，，，．求证：． 小协说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到．” 小助说：“我可以连结，根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到． 请你判断两人的证法是否正确．若正确，选择其中一人的方法完成证明． 题型九 全等三角形判定与性质综合 由于全等三角形具有对应边、对应角相等的特性，因此在证明线段、角相等时，可以找出边，角所在的三角形，然后寻找条件证明这两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边、对应角相等. 37．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）如图，等腰直角三角形中，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形． (1)求证：； (2)当时，求． 38．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【探究与发现】 数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图1，已知是的中点，点在上，且．求证：． 小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连结．易证，故对应角，所以，因此可得．以上解法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题： (1)【初步感知】请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到，依据是（    ） A．    B．    C．    D． (2)【灵活运用】如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是___________； (3)【拓展延伸】如图3，在中，平分，为的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．求证：． 39．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 40．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知和都是等腰直角三角形，，且A，D，E三点在同一条直线上． (1)当与在如图1所示位置时，连接，求证：； (2)在（1）的条件下，证明：； (3)当与在如图2所示的位置时，连接，若平分，，求的面积． 41．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）【情景感受】如图1，把一块三角板放入一个U形槽中，使三角形的三个顶点A、B．C分别在槽的两壁及底边上滑动． （1）已知，在滑动过程中，线段与有什么数量关系？并说明理由． 【变式探究】 （2）如图2，在中，点D，E，F分别在边上，若，那么与有何关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点D，F分别是边上的动点，且，以为腰向右作等腰，使得，若，点G是的中点，连接，请求出的最小值， 42．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）【发现问题】 （1）如图1，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一条直线上时，连接． 填空： ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系为__________________； 【拓展研究】 （2）如图2，和均为等腰三角形，，点，，在同一条直线上，为边上的高，连接．请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【探究发现】 （3）如图3，点，分别在边，上，和均为等边三角形，绕点顺时针旋转（），当点，，不在同一条直线上时，设直线与相交于点，探索的度数，请直接写出结果，不必说明理由． 题型十 垂直平分线的判定与性质 答｜题｜模｜板 运用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质均能得到等线段，往往能推出其他结论，常结合全等三角形等知识解决问题. 43．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 44．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 45．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． (1)若，的周长为19，则的长为______； (2)若，求的度数； (3)已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型十一 角平分线的性质与判定 46．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，，求点到的距离． 47．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 48．（25-26八年级上·浙江金华·期中）聪明好学的亮亮看到一课外书上有个重要补充： 【角平分线定理】三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段的比值与这个角的两邻边的比值相等． 于是他就和其他同学研究了一番，写出了已知，求证如下： 已知：如图1，中，平分交于点D，求证： 可是他们依然找不到证明的方法，于是，老师提示如下： 过点D作， 因为平分，且， 所以________________ 所以_______ 又因为_______ 所以 (1)请你按老师的提示，填空补全证明过程； (2)如图2，在中，，是的角平分线，，，求的长； (3)如图3，在中，是的角平分线，是外角分线交延长线于点E，已知，，求线段的长． 49．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)试求的度数； (2)若 ，试求动点，的运动时间的值； (3)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得 与 全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 50．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）下面是小帅“作已知角的平分线”的作图过程． 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在射线上取点，使； ②作； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交射线于点． 所以射线就是所求的角平分线． 根据小帅的作图过程， (1)求证：射线是的平分线； (2)若点到射线的距离为，求的面积． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A．4，5，6 B．9，3，5 C．2，5，7 D．4，5，10 3．（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（   ） A．B．C． D． 4．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，，，分别是，，的中线，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形拼成，连接，，若想求出图中阴影部分的面积，只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形D．若，则是直角三角形 7．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 8．（24-25八年级上·江苏常州·月考）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ． 9．（23-24八年级上·江苏常州·月考）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为 ． 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，已知在中，平分交于点，过点作交于点，并延长到点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． (2)求证：平分． (3)若，，，，求的面积． 3．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，平面直角坐标系中有点和y轴上一动点，其中，以点A为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形． (1)点C的坐标为______（用a表示）；判断：点C______函数的图象上（填“在”或“不在”）． (2)当时，如图2，点D的坐标为，作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标． (3)在（2）的条件下，若点P在第二象限，且P，D，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）【尝试探索】（1）如图1，中，，直线 经过点，过作于点，过作于点．求证：． 【拓展提升】（2）如图2，在中，是上一点，，，求点到边的距离． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】 （1）如图1，已知和均为等腰三角形且， ①连接，求证：． ②如图2，线段交线段于点E，交线段于点F，且．若，，求线段的长． 【学以致用】 （2）如图3，已知点C在的右侧，连接．若，，且，求线段的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $