专题01认识三角形讲义 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

专题01 认识三角形 [讲义] 【知识点01】三角形的定义与基本元素 （1）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.如图： （2）三角形的基本元素： （1）核心构成元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）定义的三大关键条件（缺一不可） ①不在同一条直线上：若三条线段共线，则只能构成一条线段，无法形成三角形； ②三条线段：数量为3，少于则无法封闭，多于则不属于三角形范畴； ③首尾顺次相接：确保线段依次连接形成封闭图形（如线段AB的末端与BC的始端相接，BC的末端与AC的始端相接）. （3）表示方法 符号：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义； 边的表示：△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示（即 “边对顶点，小写对大写”）． （3）三角形具有稳定性. 【知识点02】三角形的内角和 熟记：三角形的内角和为180°． （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法不唯一，但其思路都是通过剪拼（将三个内角拼合成平角）或平行线辅助线（过一顶点作对边平行线，利用内错角相等转化角的关系）可证明内角和为180°，体现“转化思想”，即设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系； ④在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 如：已知两角求第三角：如△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°。 已知角的关系求度数：如△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A=x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故三角分别为30°、60°、90°。 【知识点03】三角形的分类 分类标准：以三角形中最大内角的度数为依据，分为三类： 锐角三角形：三个内角均为锐角（即每个角<90°）； 直角三角形：有一个内角是直角（90°），记作Rt△ABC（“Rt”表示直角），其中直角所对的边称为“斜边”，另外两条边称为“直角边”； 钝角三角形：有一个内角是钝角（即该角>90°且<180°）. 按角的大小分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形； ③三角形中最多有一个直角或钝角（因内角和为180°）. 【知识点04】三角形的三边关系 熟记：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 示例：线段3、4、5：3+4>5→能组成；线段2、3、6：2+3<6→不能组成. （3）证明线段之间的不等关系：通过转化线段为三角形的边，利用三边关系推导（如证明AB+AC>BD+DC，可连接AD转化为三角形边的关系）. （4）求第三边的取值范围： 已知三角形两边长为a、b（a>b），则第三边c满足：a-b<c<a+b. 示例：两边为5和3，则第三边c需满足5-3<c<5+3→2<c<8. 易错点：在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【知识点05】三角形的三条重要线段 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．如图： 过点A作AD⊥BC于点D．则①AD是△ABC的高；②AD是△ABC中BC边上的高；③AD⊥BC于点D；④∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 用途：线段垂直；角度相等． 示例：因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 重要性质：三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．锐角三角形三条高均在内部；直角三角形两条高为直角边，一条在内部；钝角三角形两条高在外部，一条在内部. （2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．如图： 取BC边的中点D，连接AD．则①AD是△ABC的中线；②AD是△ABC中BC边上的中线；③3．BD＝DC＝BC；④点D是BC边的中点． 用途：线段相等；面积相等． 示例：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC，△ABD与△ACD面积相等. 重要性质：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．无论三角形类型，三条中线均在内部. （3）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．如图： 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．则①AD是△ABC的角平分线；②AD平分∠BAC，交BC于点D；③∠1＝∠2＝∠BAC． 用途：角度相等 示例：因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 重要性质：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．无论三角形类型，三条角平分线均在内部. 考点1三角形的稳定性 【典例1】下列生活中的实例利用到三角形的稳定性的是（　　） A．自行车的三角车架 B．用两颗钉子把木条固定在墙上 C．学校大门口的伸缩门 D．四条腿的方桌 【变式1】下列图形中，具有稳定性的是(     ) A． B． C． D． 考点2三角形的认识 【典例1】三角形是指(　　) A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【典例2】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(     ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C． D． 【变式2】若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【变式3】如图，图中共有_____个三角形，∠B是_________________的内角． 【变式4】如图，在直角中，边上有，，三点，，，，垂足为．以为中线的三角形是 ；以为角平分线的三角形是 ；以为高线的三角形有 个． 考点3三角形的三边关系 【典例1】下列线段能组成三角形的是（　　） A．1、2、3 B．4、5、6 C．6、8、14 D．5、6、13 【典例2】已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中能作为第三边长的是（　　） A．13 B．6 C．5 D．4 【变式1】如图，用四条线段首尾相接连成一个框架，其中，，，，则，，，任意两点之间的最长距离为（       ） A． B． C． D． 【变式2】已知的三边长分别为，，，化简. 【变式3】如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证：． 【变式4】如果一个三角形的一边长为9cm、另一边长为1cm，求： (1)这个三角形的第三边的范围； (2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长． 考点4三角形的中线 【典例1】如图，，，为中线，则与的周长之差为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，△ABE的面积为12cm2，AD＝4.8cm，∠CAB＝90°，AB＝6cm．求： (1)BC的长； (2)△ABC的周长． 【变式1】如图，已知在中，，于点D，是的中线，，，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 考点5三角形的高 【典例1】已知，图中的虚线部分是小玉作的辅助线，则下列结论正确的是（　　） A．BD是边CB上的高 B．BD是边AC上的高 C．CD是边AB上的高 D．CD是边AC上的高 【典例2】下列判断错误的是（       ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【变式1】已知，如图 ，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数. 【变式2】在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 考点6三角形的角平分线 【典例1】如图，在中，，，是△ABC的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在△ABC中，与的平分线相交于点O，则 ． 【变式1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 考点7三角形的面积 【典例1】如图，在△ABC中，AD为中线，E为AD中点，连结BE，CE，CF＝2EF，△ABC的面积为12，则三角形BEF的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【变式2】如图，在中，D是上的一点，且，E是的中点，、相交于点F．若的面积为28，则的面积为（       ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 考点8三角形的中线、高线、角平分线的综合应用 【典例1】如图，已知△ABC中，于D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE=_________度． 【典例2】如图，在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长； （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小． 【变式1】如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小． (2)若的面积为，，求的长． 【变式2】如图，在△ABC中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点9三角形的内角和 【典例1】将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【典例2】已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．50° C．70° D．90° 【变式1】如图，在△ABC中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【变式3】已知△ABC中，∠A=x°，如图1，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点，则用x表示______°，如图2，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点，则用x表示______° 考点10作图问题 【典例1】用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 【变式1】（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中， (1)在中，作BC边上的高AD． (2)作AC边上的中线BE． (3)求的面积． 【变式2】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【变式3】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线． （1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由； （2）在△BED中作BD边上的高； （3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？ 1．（2024秋•义乌市校级月考）下列四个图中，正确画出中边上的高是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•鄞州区期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•鹿城区校级月考）小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是　　 A． B． C． D． 4．（2025春•衡南县期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025•柯城区校级三模）已知三角形的一个内角是，另两个内角的度数比为，则最大内角的度数是　　 A． B． C． D． 6．（2025春•龙湾区校级期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则　　 A． B． C． D． 7．（2025•衢州三模）若、、是的三边长，则代数式的值　　0（填“”、“ ”或“” ． 8．一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是 三角形． 9．（2024秋•杭州期中）如图，在△中，是斜边上的高线． （1） 　　．（填“”或“” （2） 　　．（填“”或“” （3）若点是线段上的一个动点，连结，则 　　．（填“”或“” 10．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 11．（2024秋•武宣县期中）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线． 12．观察以下图形，回答问题： （1）图②有　　个三角形；图③有　　个三角形；图④有　　个三角形；猜测第七个图形中共有　　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有　　个三角形（用含的代数式表示结论）． 13．如图，在中，是边上的高线． (1)若是边上的中线，．求的长． (2)若是的平分线，，求的大小． 14．（2025春•诸暨市期中）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，，且，△是直角三角形，，，操作发现： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若的度数不确定，同学们把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． （3）如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $` 专题01 认识三角形 [讲义] 【知识点01】三角形的定义与基本元素 （1）定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.如图： （2）三角形的基本元素： （1）核心构成元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）定义的三大关键条件（缺一不可） ①不在同一条直线上：若三条线段共线，则只能构成一条线段，无法形成三角形； ②三条线段：数量为3，少于则无法封闭，多于则不属于三角形范畴； ③首尾顺次相接：确保线段依次连接形成封闭图形（如线段AB的末端与BC的始端相接，BC的末端与AC的始端相接）. （3）表示方法 符号：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义； 边的表示：△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示（即 “边对顶点，小写对大写”）． （3）三角形具有稳定性. 【知识点02】三角形的内角和 熟记：三角形的内角和为180°． （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法不唯一，但其思路都是通过剪拼（将三个内角拼合成平角）或平行线辅助线（过一顶点作对边平行线，利用内错角相等转化角的关系）可证明内角和为180°，体现“转化思想”，即设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系； ④在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 如：已知两角求第三角：如△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°-30°-60°=90°。 已知角的关系求度数：如△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，设∠A=x，则x+2x+3x=180°，解得x=30°，故三角分别为30°、60°、90°。 【知识点03】三角形的分类 分类标准：以三角形中最大内角的度数为依据，分为三类： 锐角三角形：三个内角均为锐角（即每个角<90°）； 直角三角形：有一个内角是直角（90°），记作Rt△ABC（“Rt”表示直角），其中直角所对的边称为“斜边”，另外两条边称为“直角边”； 钝角三角形：有一个内角是钝角（即该角>90°且<180°）. 按角的大小分类： 注意： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形； ③三角形中最多有一个直角或钝角（因内角和为180°）. 【知识点04】三角形的三边关系 熟记：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． 示例：线段3、4、5：3+4>5→能组成；线段2、3、6：2+3<6→不能组成. （3）证明线段之间的不等关系：通过转化线段为三角形的边，利用三边关系推导（如证明AB+AC>BD+DC，可连接AD转化为三角形边的关系）. （4）求第三边的取值范围： 已知三角形两边长为a、b（a>b），则第三边c满足：a-b<c<a+b. 示例：两边为5和3，则第三边c需满足5-3<c<5+3→2<c<8. 易错点：在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【知识点05】三角形的三条重要线段 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．如图： 过点A作AD⊥BC于点D．则①AD是△ABC的高；②AD是△ABC中BC边上的高；③AD⊥BC于点D；④∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 用途：线段垂直；角度相等． 示例：因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 重要性质：三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．锐角三角形三条高均在内部；直角三角形两条高为直角边，一条在内部；钝角三角形两条高在外部，一条在内部. （2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．如图： 取BC边的中点D，连接AD．则①AD是△ABC的中线；②AD是△ABC中BC边上的中线；③3．BD＝DC＝BC；④点D是BC边的中点． 用途：线段相等；面积相等． 示例：因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC，△ABD与△ACD面积相等. 重要性质：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．无论三角形类型，三条中线均在内部. （3）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．如图： 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．则①AD是△ABC的角平分线；②AD平分∠BAC，交BC于点D；③∠1＝∠2＝∠BAC． 用途：角度相等 示例：因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 重要性质：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．无论三角形类型，三条角平分线均在内部. 考点1三角形的稳定性 【典例1】下列生活中的实例利用到三角形的稳定性的是（　　） A．自行车的三角车架 B．用两颗钉子把木条固定在墙上 C．学校大门口的伸缩门 D．四条腿的方桌 【答案】A 【分析】分别利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性等知识进行判断即可． 【详解】A、自行车的三角车架是利用了三角形的稳定性，符合题意； B、用两颗钉子把木条固定在墙上是利用了两点确定一条直线，不符合题意； C、学校大门口的伸缩门利用了四边形的不稳定性，不符合题意； D、四条腿的方桌不是利用了三角形的稳定性，不符合题意． 故选：A． 【点睛】考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性和四边形具有不稳定性，难度不大． 【变式1】下列图形中，具有稳定性的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可． 【详解】解：A．图中没有三角形，不具有稳定性，故此选项不符合题意； B．图中均是三角形，具有稳定性，故此选项符合题意； C．图中含有四边形，不具有稳定性，故此选项不符合题意； D．图中含有四边形，不具有稳定性，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 考点2三角形的认识 【典例1】三角形是指(　　) A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 【答案】C 【详解】因为三角形的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 【典例2】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(     ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【详解】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角， 故选D． 【变式1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式2】若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解答本题的关键． 根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部进行求解即可． 【详解】解：若一个三角形三条高所在直线的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【变式3】如图，图中共有_____个三角形，∠B是_________________的内角． 【答案】 3; △ABC或△ABD. 【详解】图中的三角形有：△ABC、△ACD、△ABD共3个． ∠B是△ABC和△ABD的内角． 【变式4】如图，在直角中，边上有，，三点，，，，垂足为．以为中线的三角形是 ；以为角平分线的三角形是 ；以为高线的三角形有 个． 【答案】 【详解】解：， 以为中线的三角形是； ， 以为角平分线的三角形是； ， 以为高线的三角形有、、、、、、、、、，共个. 考点3三角形的三边关系 【典例1】下列线段能组成三角形的是（　　） A．1、2、3 B．4、5、6 C．6、8、14 D．5、6、13 【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可． 【解析】A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、5+4＞6，能组成三角形，故此选项符合题意； C、6+8＝14，不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、5+6＜13，不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【典例2】已知三角形的两边长分别为4和9，则下列数据中能作为第三边长的是（　　） A．13 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：设这个三角形的第三边为x， 根据三角形的三边关系定理，得：9−4＜x＜9＋4，即5＜x＜13，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，是解决问题的关键． 【变式1】如图，用四条线段首尾相接连成一个框架，其中，，，，则，，，任意两点之间的最长距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若两个端点的距离最大，则此时这个框架的形状为三角形，根据三条线段的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】已知，，，， ①选12+14、18、24作为三角形，则三边长26、18、24；26-24＜18＜26+24，能构成三角形，此时两个端点间的最长距离为26； ②选12、14+18、24作为三角形，则三边长为12、32、24；32-24＜12＜32+24，能构成三角形，此时两个端点间的最大距离为32； ③选12、14、18+24作为三角形，则三边长为12、14、42；12＜42-14，不能构成三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键． 【变式2】已知的三边长分别为，，，化简. 【答案】2a. 【分析】通过三角形的三边关系可得a+b-c和b-a-c的符号，再去绝对值解题即可. 【详解】由三角形三边关系知，，， ∴. 【变式3】如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证：． 【详解】证明：在中， ， ， ， 在中，， ， ， ． 【变式4】如果一个三角形的一边长为9cm、另一边长为1cm，求： (1)这个三角形的第三边的范围； (2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长． 【答案】(1)8＜x＜10；(2)19cm． 【详解】（1）设第三边的长为x cm， ∵三角形的一边长为9cm，另一边长为1cm， ∴9-1＜x＜9+1， 即8＜x＜10； （2）∵第三边的长为奇数， ∴第三边的长为9cm， ∴三角形的周长为19cm． 考点4三角形的中线 【典例1】如图，，，为中线，则与的周长之差为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差． 【详解】解：∵AD为中线， ∴BD＝CD， 又，， ∴ ＝（AB＋AD＋BD）−（AC＋AD＋CD） ＝AB＋AD＋BD−AC−AD−CD ＝AB−AC ＝8−5 ＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法． 【典例2】如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，△ABE的面积为12cm2，AD＝4.8cm，∠CAB＝90°，AB＝6cm．求： (1)BC的长； (2)△ABC的周长． 【答案】(1)10cm(2)24cm 【分析】（1）根据等面积法求得BE，进而根据AE是三角形的中线，即可求解； （2）根据等面积法求得AC=8cm，进而根据三角形的周长公式计算即可求解． （1）∵△ABE的面积为12cm2，AD是△ABC的高，AD＝4.8cm，∴＝5cm，∵AE是△ABC的中线，∴BC＝2BE＝10cm； （2）∵AD是△ABC的高，AD＝4.8cm，BC＝10cm∴△ABC的面积：＝24cm2，∵在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝6cm，∴△ABC的面积：＝24cm2∴AC＝8cm，∴△ABC的周长：AC＋BC＋AB＝24cm． 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的高线的相关计算，等面积法计算求得三角形的高是解题的关键． 【变式1】如图，已知在中，，于点D，是的中线，，，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1)4.8cm(2)12cm2(3)2cm 【分析】（1）运用等积法求解即可； （2）先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出，再根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分别列出和的周长，再求解即可． （1）∵，是边上的高， ∴， ∴ （2）∵是直角三角形，，，， ∴． 又∵是边的中线 ∴ ∴，即． ∴． ∴的面积是． （3） ∵为边上的中线， ∴， ∴的周长的周长， 即和的周长的差是． 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 考点5三角形的高 【典例1】已知，图中的虚线部分是小玉作的辅助线，则下列结论正确的是（　　） A．BD是边CB上的高 B．BD是边AC上的高 C．CD是边AB上的高 D．CD是边AC上的高 【分析】根据三角形高的定义即可得到结论． 【解答】解：CD是边AB上的高， 故选：C． 【典例2】下列判断错误的是（       ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【答案】A 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意； B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意； C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意； D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义． 【变式1】已知，如图 ，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数. 【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A 设∠A=x 则∠C=∠ABC=2x x+2x+2x=180° 解得：x=36° ∴∠C=2x=72° 在△BDC中， BD是AC边上的高， ∴∠BDC=90° ∴∠DBC=180°－90°-72°=18° 【变式2】在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少? 【答案与解析】解：分两种情况讨论： （1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中， ∵BD是AC边上的高(已知)， ∴∠ADB＝90°(垂直定义)． 又∵∠ABD＝30°(已知)， ∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°． 又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠ABC+∠C＝120°， 又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°． (2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中， ∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°． ∴∠BAC＝120°． 又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)， ∴∠ABC+∠C＝60°． ∴∠C＝30°． 综上，∠C的度数为60°或30°． 考点6三角形的角平分线 【典例1】如图，在中，，，是△ABC的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是△ABC的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【典例2】如图，在△ABC中，与的平分线相交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解，再结合角平分线可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点O， ∴， ∴， 故答案为： 【变式1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴ ． 考点7三角形的面积 【典例1】如图，在△ABC中，AD为中线，E为AD中点，连结BE，CE，CF＝2EF，△ABC的面积为12，则三角形BEF的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由点D是BC的中点，可得△ABD的面积＝△ACD的面积△ABC，由E是AD的中点，得出△ABE的面积＝△DBE的面积△ABC的面积，进而得出△BCE的面积△ABC的面积，再利用CF＝2EF，求出△BEF的面积． 【解析】∵点D是BC的中点， ∴△ABD的面积＝△ACD的面积△ABC＝6， ∵E是AD的中点， ∴△ABE的面积＝△DBE的面积△ABC的面积＝3， △ACE的面积＝△DCE的面积△ABC的面积＝3， ∴△BCE的面积△ABC的面积＝6， ∵CF＝2EF， ∴△BEF的面积6＝2， 故选：B． 【变式1】如图，在7×7的方格纸中，每个小方格都是边长为1的小正方形，网格线的交点称格点，点A，点B是方格纸中的两个格点，找出格点C，使△ABC的面积为3，则满足条件的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【分析】首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是3个平方单位的点，再分别过这两点作AB的平行线．找到所有的格点即可．即有6个． 【解析】满足条件的C点有6个，平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是． 故选：C． 【变式2】如图，在中，D是上的一点，且，E是的中点，、相交于点F．若的面积为28，则的面积为（       ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接BF，设△EFC的面积为x，用x表示出△BEF、△BDF、△ADF的面积，再由△ABE的面积列出x的方程便可求得结果． 【详解】解：连接BF，设△EFC的面积为x， ∵E是BC的中点， ∴△BEF的面积为x， ∵△ABC的面积为28，且AD=3BD， ∴△BCD的面积为7， ∴△BDF的面积为（7-2x）， ∵AD=3BD， ∴△ADF的面积为3（7-2x）， ∴△ABE的面积为3（7-2x）+（7-2x）+x， ∵E是BC的中点，△ABC的面积为28， ∴△ABE的面积为14， 即3（7-2x）+（7-2x）+x=14， 解得x=2， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积，作出辅助线，运用三角形的面积和差关系列出方程是解题的关键． 考点8三角形的中线、高线、角平分线的综合应用 【典例1】如图，已知△ABC中，于D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE=_________度． 【答案】20 【分析】根据题意可以求得∠BAC的度数，进而求得∠BAE的度数，再根据AD⊥BC于D，∠B=80°，可以求得∠BAD的度数，从而可以求得∠DAE的度数． 【详解】解：∵∠B=80°，∠C=40°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-80°-40°=60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=30°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∴∠BAD=10°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-10°=20°， 故答案为：20． 【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线、三角形的高，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【典例2】如图，在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）若AD是BC边上的中线，AE＝3cm，S△ABC＝12cm2，求DC的长； （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小． 【解答】解：（1）∵AE＝3cm，S△ABC＝12cm2， ∴BC＝12×2÷3＝8（cm）， ∵AD是BC边上的中线， ∴DC＝BC＝4cm； （2）∵∠B＝40°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝90°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝45°， ∠ADE是△ABD的一个外角， ∠ADE＝∠B+∠BAD＝40°+45°＝85°， 在直角三角形ADE中∠DAE＝90°﹣85°＝5°． 【变式1】如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小． (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)(2)8 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）为中线， ， ， ． 【变式2】如图，在△ABC中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案． 【详解】解： 是△ABC的中线， ， 的面积等于的面积， 故正确； ，是△ABC的高， ∴ ，， 是△ABC的角平分线， ∴ ， ， 又 ， ， 故正确；   ， ， ， 故正确； ∵， ， 故错误； 故选：C 考点9三角形的内角和 【典例1】将一个含的三角尺和一根直尺按如图所示的方式叠合在一起，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角板中角度的求解，根据题意得：，，，根据平行线的性质和邻补角可得，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：，，， ， ， 故选：B． 【典例2】已知，在△ABC中，∠B是∠A的3倍，∠C比∠A大30°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．50° C．70° D．90° 【分析】构建方程组求解即可． 【解析】由题意， 解得， 故选：A． 【变式1】如图，在△ABC中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【变式2】如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【变式3】已知△ABC中，∠A=x°，如图1，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点，则用x表示______°，如图2，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点，则用x表示______° 【答案】     【分析】根据角的n等分线的定义和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图1所示，在△ABC中∠A=x°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°， ∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，同理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°， ∵∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角n等分线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 考点10作图问题 【典例1】用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【解析】B，C，D都不是△ABC的边BC上的高， 故选：A． 【典例2】如图，已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 【详解】（1）解：即为所求作的中线，为所求作的角平分线，如图所示： （2）解：、为所求作的高线，如图所示： 【变式1】（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）在如图所示的方格纸中， (1)在中，作BC边上的高AD． (2)作AC边上的中线BE． (3)求的面积． 【详解】（1）如图所示AD即为所求． （2）如图所示BE即为所求． （3），， , 为边上中线， ， 即面积为4． 【变式2】(1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部． 【点睛】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键． 【变式3】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线． （1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由； （2）在△BED中作BD边上的高； （3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？ 【答案】 解：（1）△ABD与△ADC的面积相等，理由如下： 作AF⊥BC，如图1： 因为BD=DC，AF=AF， 所以△ABD与△ADC的面积相等； （2）作图，如图2： （3）因为△ABC的面积为40，BD=5， 所以△ABD的面积为20， 因为BE为△ABD的中线， 所以△BDE的面积为10， 所以△BDE中BD边上的高为4． 1．（2024秋•义乌市校级月考）下列四个图中，正确画出中边上的高是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可． 【解答】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线垂足为， 纵观各图形，选项都不符合题意，选项符合题意． 故选：． 2．（2024秋•鄞州区期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【解答】解：、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； 、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； 、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：． 3．（2024秋•鹿城区校级月考）小强周末骑自行车出行，他的骑行轨迹恰好是一个三角形．若其中两条边的长度分别为和，则另一条边的长度可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，进而逐项判断即可． 【解答】解：其中两条边的长度分别为和， 设三角形的另一条边的长度为 ， ，则， 故选项符合题意，选项、、不符合题意． 故选：． 4．（2025春•衡南县期末）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】利用中线定义可得，再表示两个三角形周长，进而可得答案． 【解答】解：为中线， ， 与的周长之差为： ， 故选：． 5．（2025•柯城区校级三模）已知三角形的一个内角是，另两个内角的度数比为，则最大内角的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设另两个内角的度数分别为，，根据三角形内角和是，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入，中，可求出另两个内角的度数，再比较后，即可找出最大内角的度数． 【解答】解：设另两个内角的度数分别为，， 根据题意得：， 解得：， ，， ， 最大内角的度数是． 故选：． 6．（2025春•龙湾区校级期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过作，则，由得；由平行线的性质得，则由即可求解． 【解答】解：如图，过作， ，， ， ， ； ， ， ， ， ， 故选：． 7．（2025•衢州三模）若、、是的三边长，则代数式的值　　0（填“”、“ ”或“” ． 【分析】利用平方差公式和三角形三边关系进行解答． 【解答】解：、、是的三边长， ， 则． ． 故答案为：． 8．一个三角形的两个内角的度数分别为和，按角分类它是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求得第三个内角的度数，从而即可判断． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 9．（2024秋•杭州期中）如图，在△中，是斜边上的高线． （1） 　　．（填“”或“” （2） 　　．（填“”或“” （3）若点是线段上的一个动点，连结，则 　　．（填“”或“” 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用垂线段最短进行分析作答； （2）利用三角形的三边关系进行分析作答； （3）利用垂线段最短进行分析作答． 【解答】解：（1）是斜边上的高线， ， ． 故答案为：； （2）由三角形的三边关系得：． 故答案为：； （3）由（1）知，， 点是线段上的一个动点， ． 故答案为：． 10．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，以及折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，再根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：， ， 三角形纸片折叠，使得点、都与点A重合， ， ， ， 故答案为：． 11．（2024秋•武宣县期中）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线． 【分析】（1）根据角平分线的作法作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可． 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图所示． 12．观察以下图形，回答问题： （1）图②有　　个三角形；图③有　　个三角形；图④有　　个三角形；猜测第七个图形中共有　　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有　　个三角形（用含的代数式表示结论）． 【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形 （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第个图形中的三角形的个数． 【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； 第个图形中有个三角形． 故答案为3，5，7，13，． 13．如图，在中，是边上的高线． (1)若是边上的中线，．求的长． (2)若是的平分线，，求的大小． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形中线的定义，三角形的角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式得出，进而根据三角形的中线的定义，即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，进而根据三角形的角平分线的定义可得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解： 是边上的高，， ． ， 解得． 又是边上的中线， ． （2）解：∵ ． 又为角平分线， ． 又， ， ∴． 14．（2025春•诸暨市期中）综合与实践课上，同学们以“一个直角三角形和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，，且，△是直角三角形，，，操作发现： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若的度数不确定，同学们把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． （3）如图3，此时发现与又存在新的数量关系，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）详见解答；（3）． 【分析】（1）根据平角的定义，平行线的性质进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，平行线的性质以及对顶角相等进行计算即可； （3）根据三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：（1）如图1，，， ， 又， ； （2）如图2，过点作，则， ， ，， 又， ， 即； （3），理由如下： 如图3，由三角形内角和定理可得，，而， ． 学科网（北京）股份有限公司 $