专题 4.4 图形与坐标（全章复习讲义 ）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 4.4 图形与坐标（全章复习讲义 ） 目录 一、专题核心定位 2 【核心目标】 2 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 3 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 2. 方法梳理 4 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 5 题型 1：有序数对与点的坐标（基础必练） 5 题型 2：点的位置与符号判断（同步必练） 6 题型 3：点坐标与参数求解（同步必练） 6 题型 4：点坐标与坐标轴距离（同步必练） 6 题型 5：点的平移（同步必练） 7 题型 6：对称变换（同步必练） 7 题型 7：轴对称与点的平移作图题（同步必练） 8 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 9 模块 3：高频模型与方法精讲 9 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 10 易错类型 1：混淆象限与坐标轴的定义（忽略 “坐标轴上的点不属于任何象限”） 10 题型 8：点的位置（同步必练） 10 易错类型 2：混淆 “点到坐标轴距离”（横、纵坐标颠倒） 10 题型 9：点的坐标（同步必练） 10 易错类型 3：平移规律符号错误（“左减右加、上加下减” 记反） 11 题型 10：点的平移与对称变换（同步必练） 11 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 11 模块 5：中考高频题型分类突破 11 题型 11：已知象限求参数（★中考必考题） 12 题型 12：利用距离公式求坐标（★常考题） 12 题型 13：中点坐标（★常考题） 12 题型 14：平移与轴对称综合问题 （★中考应用性考点） 13 题型 15：平面直角坐标系中面积问题（★中考提升题） 14 题型 16：平面直角坐标系与几何变换——折叠问题（★中考冲刺题） 15 题型 17：平面直角坐标系与几何综合——将军饮马问题（★中考冲刺题） 16 题型 18：平面直角坐标系与几何综合——动点问题（★中考冲刺题） 17 四、专题配套资源 18 分层作业设计： 18 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 18 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 21 反思：错题归因手册： 26 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实图形与坐标的核心概念本质，掌握平面直角坐标系的建立、平面内点的坐标表示及读写规则、点与有序实数对的一一对应关系、坐标平面内点的位置特征、图形平移与轴对称及旋转的坐标变化规律等核心知识，能熟练运用图形与坐标知识解决位置确定、图形变换、几何计算等实际问题与代数几何综合问题，深化“数形结合”与“转化”的数学思想，为后续一次函数、反比例函数的图像分析、几何图形的坐标论证及综合应用等学习筑牢基础。 【适用场景】 浙教版八上同步培优、单元复习、期中/期末复习、中考一轮基础巩固；也可用于新授课后拓展提升及薄弱环节专项突破。 【学情适配】 基础薄弱生：精准掌握平面直角坐标系建立、点的坐标读写、象限及坐标轴上点的基本特征等核心概念，能解决简单的点的定位与坐标表示问题，实现“会建系、能定位、懂表示”。 中等生：熟练运用点的位置特征、图形变换的坐标规律解决问题，突破图形与坐标的综合关联题型及易错题型，提升综合应用能力。 优等生：深入掌握坐标变换的综合技巧，能灵活运用建系思想解决无坐标系的几何问题，突破跨知识点融合问题及压轴创新题型，培养创新思维与综合解题能力。 【中考对接】 平面直角坐标系是中考数学的“基础性工具”，贯穿几何与函数两大模块，相关考点覆盖选择、填空、解答全题型，具体对接如下： ★ 高频考点：平面内点的坐标特征（象限、坐标轴、角平分线、平行于坐标轴的直线上点的特征）、图形平移的坐标变化规律、图形轴对称的坐标变化规律、根据坐标求图形面积。 ▲ 核心题型：坐标与几何图形综合计算（求边长、周长、面积）、坐标与图形变换（平移、轴对称、旋转）综合题、建立坐标系解决几何问题（无坐标系背景下的几何计算与证明）、坐标与动点问题初步。 △ 易错点：坐标读写时横纵坐标顺序混淆、象限划分时忽略坐标轴上的点、图形旋转（尤其是非90°旋转）后坐标计算错误、无坐标系建系时原点与坐标轴选择不当导致计算复杂。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）有序数对：用含有两个数的有序数对 表示位置，其中两个数的顺序不同，所表示的位置也不同。 （2）平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形叫作平面直角坐标系，其中水平数轴：轴（横轴）正方向向右；竖直数轴：轴（纵轴）正方向向上；两轴交点为坐标原点，其坐标为（0，0）。 （3）象限与坐标轴：坐标平面被轴、轴分成四个象限（逆时针依次为第一至第四象限），坐标轴上的点不属于任何象限： 区域类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴正 半轴 轴 负半轴 轴正半轴 轴负半轴 坐标符号 【要点提示】象限与坐标轴坐标平面被轴、轴分成四个象限（逆时针依次为第一至第四象限），坐标轴上的点不属于任何象限： 2. 方法梳理 （1）坐标的书写与象限的判定（★中考基础考点）： ①点的坐标：过平面内一点作轴、轴的垂线，垂足在两轴上对应的数分别为该点的横坐标（先写）和纵坐标（后写），记作，是点与数的对应关系核心。 ②由点的坐标求参数：已知点的坐标，由点的坐标符号求参数，或已知点在坐标轴上点的坐标特征求参数。 （2）两点间的距离公式与中点坐标（★中考基础考点）： 水平距离（纵坐标相同）：若，，则 ； 垂直距离（横坐标相同）：若，，则 ； 平面上任意两点，，则 平面上任意两点，，则线段中点坐标为： （2）坐标平移规律（★中考基础考点）： ①已知点的坐标和平移方向，求平移后点的坐标； ②已知平移前后点的坐标，求平移规律； ③解决图形平移后的顶点坐标、面积等问题。 解题步骤： 牢记平移规律：上加下减，左减右加 ①若点 向右平移个单位：得；向左平移个单位：； ②若点 向上平移个单位：得；向下平移个单位：. 图形平移本质：所有顶点坐标遵循相同平移规律，图形的形状、大小不变，仅位置改变。 （3） 坐标轴对称（★中考基础考点）： ①求点关于轴、轴、原点对称点的坐标； ②利用对称性质解决对称问题； ③利用结合距离公式解决对称相关的最值问题（如 "将军饮马" 模型）。 牢记轴对称规律： 如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：有序数对与点的坐标（基础必练） 【例题1】（25-26八年级上·重庆·期中）如果图书上的标签表示图书馆书架上的“2层5格”，那么“5层2格”应该表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如果电影院中“5排7号”记作，那么表示的意义是 ． 【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）将，，，，…，按如图方式排列．若规定表示第排从左往右数第个数．若在，则的值为 ． 题型 2：点的位置与符号判断（同步必练） 【例题2】（25-26八年级上·山西太原·期中）已知正方形的边长为5，建立如图的平面直角坐标系，使该正方形的顶点A的坐标为，则该正方形顶点B的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是 ． 题型 3：点坐标与参数求解（同步必练） 【例题3】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知点是第四象限的点，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）若点在第三象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点在第一、三象限的角平分线上，则a的值 ． 题型 4：点坐标与坐标轴距离（同步必练） 【例题5】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）点在第二象限，点到轴距离为2，到轴的距离为5，则点的坐标是 ． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知点在第四象限，且到x，y轴的距离分别为5，3，则P点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型 5：点的平移（同步必练） 【例题5】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）将点先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿 y 轴向下平移2个单位长度后得到点 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）在同一平面直角坐标系内点通过平移得到，则点通过平移所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 题型 6：对称变换（同步必练） 【例题6】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知点关于轴的对称点为，则的值为（　　） A．5 B．1 C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广西防城港·期中）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为 ． 题型 7：轴对称与点的平移作图题（同步必练） 【例题7】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）已知：如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上画出点，使最小，保留作图痕迹，不写出作法． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； （2）在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； （3）在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 【变式2】（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 模块 3：高频模型与方法精讲 模型 适用场景 解题方法 已知象限求参数 点的位置与坐标符号 利用点的位置得出坐标符号，建立不等式组求参数取值范围 利用距离公式求坐标 能过平行于坐标轴两点距离和任意两点距离公式求点的坐标 通过点到坐标轴距离及两点之间距离公式直接求点的坐标或通过距离建立方程求出参数或点的坐标 平移+对称问题 通过点的平移、对称后的坐标求解； 已知变换前后坐标求变换规律、图形变换后的顶点坐标。 多次变换：按顺序分步操作（如先平移再对称），每步仅关注当前变换规则； 图形变换：所有顶点遵循同一规则，面积、形状不变，仅位置改变。 面积计算 网格中不规则图形面积；已知顶点坐标的三角形、四边形面积。 通过“割补法”将不规则图形转化为“水平”或“垂直”的规则图形（长方形、直角三角形），通过坐标差求边长，避免复杂高的计算。 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：混淆象限与坐标轴的定义（忽略 “坐标轴上的点不属于任何象限”） 题型 8：点的位置（同步必练） 【例题8】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列说法中错误的是（   ） A．原点的坐标是 B．点在第四象限 C．x轴上的所有点的纵坐标都相等 D．y轴上的所有点的横坐标都相等 【变式1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）下列关于平面直角坐标系的说法正确的是（   ） A．轴上的点的纵坐标等于0 B．坐标轴上的点不属于任何象限 C．象限角平分线上的点的横坐标等于纵坐标 D．若某点的横坐标与纵坐标的乘积为正数，则该点在第一象限 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）下列说法不正确的是（    ） A．点在第二象限 B．点到y轴的距离为2 C．若点中，则点P在x轴上 D．若点在x轴上，则 易错类型 2：混淆 “点到坐标轴距离”（横、纵坐标颠倒） 题型 9：点的坐标（同步必练） 【例题9】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是第四象限内一点，且点B到轴的距离是3，到轴的距离是1，则下列说法错误的是（   ） A．轴 B．点B的坐标是 C．点A到轴的距离是2 D．点B到原点的距离大于3 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知点和点，下列结论正确的是（    ） A．点A和点B横坐标相同 B．点A和点B纵坐标相同 C．点A和点B所在象限相同 D．点A和点B到y轴距离相等 【变式2】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）已知平面直角坐标系中点A的坐标为，则下列结论正确的是（   ） A．点A到x轴的距离为5 B．点A到y轴的距离为6 C．点A在第一象限 D．点A在第二象限 易错类型 3：平移规律符号错误（“左减右加、上加下减” 记反） 题型 10：点的平移与对称变换（同步必练） 【例题10】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）对于点与点，下列说法错误的是（   ） A．将点A向左平移6个单位长度可以得到点B B．线段的长度为6 C．点A与点B关于y轴对称 D．点A与点B关于x轴对称 【变式1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）平面直角坐标系也叫笛卡尔直角坐标系，它是以法国数学家笛卡尔的名字命名的．在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（   ） A．横坐标相同 B．关于轴对称 C．关于y轴对称 D．到原点的距离相同 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期末）下列说法不正确的是（   ） A．点在第一象限 B．点到y轴的距离为2 C．若点中，则点P在x轴上 D．点关于x轴的对称点为 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 模块 5：中考高频题型分类突破 题型 11：已知象限求参数（★中考必考题） 【例题11】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）已知点在第三象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则 ． 题型 12：利用距离公式求坐标（★常考题） 【例题12】（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 【变式1】（23-24七年级下·四川南充·期中）已知轴，且到轴距离为2，则点的坐标是 ． 【变式2】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）若点，则A，B两点间的距离为 ． 【变式3】（21-22八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，有两点和，则A，B两点间的距离为 ． 题型 13：中点坐标（★常考题） 【例题13】（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）平面直角坐标系中，若点，，则线段的长度为 ，当A，B关于C点对称时，C点的坐标为 ． 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）已知点与点关于点对称，则 ． 【变式3】（23-24八年级上·广东茂名·期末）点和点的中点坐标为 ． 题型 14：平移与轴对称综合问题 （★中考应用性考点） 【例题14】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图所示的点、、、、． （1）点___________和点___________关于轴对称，点___________和点___________关于轴对称； （2）点和点关于直线成轴对称，请画出直线（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （3）在轴上画出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． （1）请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； （2）若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 题型 15：平面直角坐标系中面积问题（★中考提升题） 【例题15】25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）写出点和的坐标； （3）求的面积． 【变式1】（2023八年级上·全国·竞赛）已知的面积是 ． 【变式2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． （1）求三点的坐标； （2）若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型 16：平面直角坐标系与几何变换——折叠问题（★中考冲刺题） 【例题16】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，边与轴交于点G，点在边上.将沿折叠，点落在点处.若点的坐标为，求点的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，直角坐标系中，长方形纸片的边在y轴上，边在x轴上，B与坐标原点重合，折叠长方形的一边，使点D落在边的F处，折痕为，若A点坐标为，C点坐标为．求：E点坐标． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在一次折叠比赛中，某同学将直角三角形对折，如图所示，他联想到最近学习的平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，点，点关于直线的对称点在轴的负半轴上， （1）点C的坐标是___________； （2）求长度； （3）若点P在y轴上，且，试求点P的坐标． 【变式3】（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）如图， 在平面直角坐标系中， 直线与x轴，y轴分别交于点， 点．点C在y轴的负半轴上，若将 沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）求线段的长度； （2）求点D 和点C的坐标． 题型 17：平面直角坐标系与几何综合——将军饮马问题（★中考冲刺题） 【例题17】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，为轴上任意一点，则的最小值为 ． 【变式1】（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上．顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）如图，在中,，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 题型 18：平面直角坐标系与几何综合——动点问题（★中考冲刺题） 【例题18】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·月考）如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）揭阳古城历史悠久，文化底蕴深厚．以下能够准确表示揭阳古城地理位置的是（   ） A．离汕头市50千米 B．在广东省 C．在潮州市西方 D．东经116.35°，北纬23.55° 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若点在第四象限，且点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列各点中，位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，过，两点作直线，下列说法正确的是（    ） A．轴 B．轴 C．轴 D．AB经过原点 5．（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知过，两点的直线平行于y轴，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 6．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·重庆·期中）若点在x轴上，则实数a的值为 ． 8．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为3，则点的坐标为 ． 9．（25-26九年级上·吉林长春·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝．如图，棋盘放在平面直角坐标系中，若“炮”所在位置的坐标为，“帅”所在位置的坐标为，则“相”所在位置的坐标为 ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 11．（22-23七年级下·山东滨州·期中）将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是 ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，线段平移后得到线段，点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，已知长方形的长为3，宽为2，建立适当的平面直角坐标系，使得点的坐标为，并写出点的坐标． 14．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图：在平面直角坐标系中，点，过点作直线轴，将点沿向右水平平移2个单位后，得到点，过点作直线交轴于点． （1）根据题意补充图形，并写出点的坐标______________． （2）求证：． 15．（25-26八年级上·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限内两坐标轴夹角的平分线． 【问题背景】 （1）由图可知点与点关于直线l对称，请你在图中标明点关于直线l对称的点的位置，并写出它们的坐标； 【探索归纳】 （2）结合图形并观察以上五组点的坐标，你会发现：坐标平面内任意一点关于直线l对称的点的坐标为________； 【拓展应用】 （3）若点与点关于直线l对称，求点的坐标． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点不经过第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（    ） A．1 B．0 C． D． 6．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为 ． 8．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点定义变换P，满足，例如：． （1） ． （2）若在第二象限，则所有整数m的和为 ． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，有一动点A，先关于x轴对称到点，然后关于y轴对称到点，再关于x轴对称到点，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到……，每次点A回到第一象限总会往右平移一个单位长度得到点后再进行重复运动．已知，则点的坐标是 ． 10．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点与点对应，若点，点，则 ． 11．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在边上的点处，则的长为 ． 12．（24-25七年级下·北京·期中）已知整点在平面直角坐标系内做“跳马运动”即中国象棋“日”字型跳跃例如，如图，从点A做一次跳马运动可以到点B，但是到不了点设做一次跳马运动到，再做一次跳马运动到点，再做一次跳马运动到点…，如此继续下去． 已知的坐标是． （1）若，则点的坐标为 ； （2）规定每一次只向y轴的正方向跳跃即纵坐标始终增大，若，则点，…的横坐标最大值为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点，根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上． （2）点到轴与轴的距离相等，且在第四象限． 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图1，且，轴于点B，轴于点D． （1）若A点的坐标是，则C点的坐标是______； （2）如图2，连接交于点P，求证：P为中点； （3）在（2）的条件下，若M、N分别是上的动点，已知，求的最小值． 15．（25-26八年级上·天津·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，．求点C的坐标． （2）如图2．点M，E分别在轴，轴正半轴上，，点A在轴负半轴上，作且，连接交轴于N．求证：； 16．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． （1）直接写出点、点的坐标． （2）点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.4 图形与坐标（全章复习讲义 ） 目录 一、专题核心定位 2 【核心目标】 2 【学情适配】 2 【中考对接】 2 二、 知识体系图谱 3 三、 专题核心内容 3 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 3 【模块1】知识精讲 3 2. 方法梳理 4 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 5 题型 1：有序数对与点的坐标（基础必练） 5 题型 2：点的位置与符号判断（同步必练） 6 题型 3：点坐标与参数求解（同步必练） 8 题型 4：点坐标与坐标轴距离（同步必练） 10 题型 5：点的平移（同步必练） 11 题型 6：对称变换（同步必练） 12 题型 7：轴对称与点的平移作图题（同步必练） 14 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 18 模块 3：高频模型与方法精讲 18 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 19 易错类型 1：混淆象限与坐标轴的定义（忽略 “坐标轴上的点不属于任何象限”） 19 题型 8：点的位置（同步必练） 19 易错类型 2：混淆 “点到坐标轴距离”（横、纵坐标颠倒） 20 题型 9：点的坐标（同步必练） 21 易错类型 3：平移规律符号错误（“左减右加、上加下减” 记反） 22 题型 10：点的平移与对称变换（同步必练） 22 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 24 模块 5：中考高频题型分类突破 24 题型 11：已知象限求参数（★中考必考题） 24 题型 12：利用距离公式求坐标（★常考题） 25 题型 13：中点坐标（★常考题） 27 题型 14：平移与轴对称综合问题 （★中考应用性考点） 29 题型 15：平面直角坐标系中面积问题（★中考提升题） 33 题型 16：平面直角坐标系与几何变换——折叠问题（★中考冲刺题） 37 题型 17：平面直角坐标系与几何综合——将军饮马问题（★中考冲刺题） 42 题型 18：平面直角坐标系与几何综合——动点问题（★中考冲刺题） 47 四、专题配套资源 50 分层作业设计： 50 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 50 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 60 反思：错题归因手册： 77 一、专题核心定位 【核心目标】 夯实图形与坐标的核心概念本质，掌握平面直角坐标系的建立、平面内点的坐标表示及读写规则、点与有序实数对的一一对应关系、坐标平面内点的位置特征、图形平移与轴对称及旋转的坐标变化规律等核心知识，能熟练运用图形与坐标知识解决位置确定、图形变换、几何计算等实际问题与代数几何综合问题，深化“数形结合”与“转化”的数学思想，为后续一次函数、反比例函数的图像分析、几何图形的坐标论证及综合应用等学习筑牢基础。 【适用场景】 浙教版八上同步培优、单元复习、期中/期末复习、中考一轮基础巩固；也可用于新授课后拓展提升及薄弱环节专项突破。 【学情适配】 基础薄弱生：精准掌握平面直角坐标系建立、点的坐标读写、象限及坐标轴上点的基本特征等核心概念，能解决简单的点的定位与坐标表示问题，实现“会建系、能定位、懂表示”。 中等生：熟练运用点的位置特征、图形变换的坐标规律解决问题，突破图形与坐标的综合关联题型及易错题型，提升综合应用能力。 优等生：深入掌握坐标变换的综合技巧，能灵活运用建系思想解决无坐标系的几何问题，突破跨知识点融合问题及压轴创新题型，培养创新思维与综合解题能力。 【中考对接】 平面直角坐标系是中考数学的“基础性工具”，贯穿几何与函数两大模块，相关考点覆盖选择、填空、解答全题型，具体对接如下： ★ 高频考点：平面内点的坐标特征（象限、坐标轴、角平分线、平行于坐标轴的直线上点的特征）、图形平移的坐标变化规律、图形轴对称的坐标变化规律、根据坐标求图形面积。 ▲ 核心题型：坐标与几何图形综合计算（求边长、周长、面积）、坐标与图形变换（平移、轴对称、旋转）综合题、建立坐标系解决几何问题（无坐标系背景下的几何计算与证明）、坐标与动点问题初步。 △ 易错点：坐标读写时横纵坐标顺序混淆、象限划分时忽略坐标轴上的点、图形旋转（尤其是非90°旋转）后坐标计算错误、无坐标系建系时原点与坐标轴选择不当导致计算复杂。 2、 知识体系图谱 3、 专题核心内容 第一部分：基础筑牢篇 —— 核心知识通关 【模块1】知识精讲 1. 概念辨析（△重点突破） （1）有序数对：用含有两个数的有序数对 表示位置，其中两个数的顺序不同，所表示的位置也不同。 （2）平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形叫作平面直角坐标系，其中水平数轴：轴（横轴）正方向向右；竖直数轴：轴（纵轴）正方向向上；两轴交点为坐标原点，其坐标为（0，0）。 （3）象限与坐标轴：坐标平面被轴、轴分成四个象限（逆时针依次为第一至第四象限），坐标轴上的点不属于任何象限： 区域类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 轴正 半轴 轴 负半轴 轴正半轴 轴负半轴 坐标符号 【要点提示】象限与坐标轴坐标平面被轴、轴分成四个象限（逆时针依次为第一至第四象限），坐标轴上的点不属于任何象限： 2. 方法梳理 （1）坐标的书写与象限的判定（★中考基础考点）： ①点的坐标：过平面内一点作轴、轴的垂线，垂足在两轴上对应的数分别为该点的横坐标（先写）和纵坐标（后写），记作，是点与数的对应关系核心。 ②由点的坐标求参数：已知点的坐标，由点的坐标符号求参数，或已知点在坐标轴上点的坐标特征求参数。 （2）两点间的距离公式与中点坐标（★中考基础考点）： 水平距离（纵坐标相同）：若，，则 ； 垂直距离（横坐标相同）：若，，则 ； 平面上任意两点，，则 平面上任意两点，，则线段中点坐标为： （2）坐标平移规律（★中考基础考点）： ①已知点的坐标和平移方向，求平移后点的坐标； ②已知平移前后点的坐标，求平移规律； ③解决图形平移后的顶点坐标、面积等问题。 解题步骤： 牢记平移规律：上加下减，左减右加 ①若点 向右平移个单位：得；向左平移个单位：； ②若点 向上平移个单位：得；向下平移个单位：. 图形平移本质：所有顶点坐标遵循相同平移规律，图形的形状、大小不变，仅位置改变。 （3） 坐标轴对称（★中考基础考点）： ①求点关于轴、轴、原点对称点的坐标； ②利用对称性质解决对称问题； ③利用结合距离公式解决对称相关的最值问题（如 "将军饮马" 模型）。 牢记轴对称规律： 如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为 【模块2】基础题型通关（▲核心题型） 题型 1：有序数对与点的坐标（基础必练） 【例题1】（25-26八年级上·重庆·期中）如果图书上的标签表示图书馆书架上的“2层5格”，那么“5层2格”应该表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了用有序数对表示位置，根据题意，标签中的第一个数表示层，第二个数表示格，因此“5层2格”对应． 解：∵标签表示“2层5格”，即第一个数表示层，第二个数表示格． ∴“5层2格”应表示为． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如果电影院中“5排7号”记作，那么表示的意义是 ． 【答案】6排4号 【分析】此题考查有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．根据前一个数字表示排数，后一个数字表示号数，据此可得答案． 解：电影院中“5排7号”记作， 前一个数字表示排数，后一个数字表示号数， 表示的意义是6排4号， 故答案为：6排4号． 【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·月考）将，，，，…，按如图方式排列．若规定表示第排从左往右数第个数．若在，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查找规律，由题中规定，找出规律求解是解决问题的关键． 由排列规律可知，奇数排是顺序、偶数排位倒序，且第排有个数，从而对于第排，若为奇数排从左到右最后一个数为；若为偶数排从左到右第一个数为；再由确定，代值求解即可得到答案． 解：由排列规律可知，奇数排是顺序、偶数排位倒序，且第排有个数， 对于第排，若为奇数排从左到右最后一个数为；若为偶数排从左到右第一个数为； ，且为奇数， 是第排从左往右数第个数，即， 则， 故答案为：． 题型 2：点的位置与符号判断（同步必练） 【例题2】（25-26八年级上·山西太原·期中）已知正方形的边长为5，建立如图的平面直角坐标系，使该正方形的顶点A的坐标为，则该正方形顶点B的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，连接，由勾股定理求出，根据正方形的边长为5可判断点为正方形的顶点，即可得出答案． 解：连接，如图， ∵正方形的顶点A的坐标为， ∴, 又∵正方形的边长为5， ∴可以为正方形的边， ∴该正方形顶点B的坐标可能为， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·重庆·期中）若点在第一象限，则点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点所在的象限求参数．先根据第一象限内的点横纵坐标都为正得到，，进而得到，据此可得答案． 解：∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∴点在第二象限． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标特征，掌握轴上的点的纵坐标为0是解题的关键．根据轴上的点的纵坐标等于零可得，即可求得的坐标． 解：∵点在x轴上， ∴， ， 即， 故答案为：． 题型 3：点坐标与参数求解（同步必练） 【例题3】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知点是第四象限的点，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，掌握各象限中点的符号是关键． 第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，点P的纵坐标已为负，故只需横坐标． 解：∵点在第四象限， ∴横坐标， ∴， ∴a的取值范围是， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）若点在第三象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，解题的关键是掌握象限内点的坐标特征． 根据点A在第三象限，确定a和b的符号，再分析点B的坐标符号，从而判断所在象限． 解：∵ 点在第三象限， ∴， 对于点， ∵ ， ∴， 又∵, ∴ 点B的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴ 点B在第四象限． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点在第一、三象限的角平分线上，则a的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点所在象限求参数，根据第一、三象限的角平分线上点的特征，横坐标与纵坐标相等，列出方程求解。 解：因为点在第一、三象限的角平分线上，所以横坐标等于纵坐标，即 . 解方程：， 移项得 ， 即 ， 所以 ， 故答案为：. 题型 4：点坐标与坐标轴距离（同步必练） 【例题5】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，点位于第一象限，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键． 根据点在第一象限，可知横纵坐标均大于零；由点到两坐标轴的距离相等，可得横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，从而建立方程求解值，再代入求坐标． 解：∵点在第一象限， ∴且． ∵点到两坐标轴的距离相等， ． 由于点在第一象限，且， 故． 解方程：，得． 代入得横坐标，纵坐标 ∴点的坐标为． 故答案为． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）点在第二象限，点到轴距离为2，到轴的距离为5，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 解：点在第二象限，且点到轴的距离是2，到轴的距离是5， 点的横坐标是，纵坐标是2， 点的坐标是． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知点在第四象限，且到x，y轴的距离分别为5，3，则P点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据第四象限的点的坐标特征，以及点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，求出点P的横坐标与纵坐标即可得解． 解：∵点在第四象限， ∴，， ∵点到x，y轴的距离分别为5，3， ∴，， ∴点的坐标为 ， 故选：C． 题型 5：点的平移（同步必练） 【例题5】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）将点先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿 y 轴向下平移2个单位长度后得到点 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点坐标的平移，根据坐标平移规则，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减小． 解：∵点沿x轴向右平移3个单位， ∴横坐标变为，纵坐标不变，得点； ∵再沿y轴向下平移2个单位， ∴纵坐标变为，横坐标不变，得点． ∴点的坐标为． 故选：A． 【变式1】（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）在同一平面直角坐标系内点通过平移得到，则点通过平移所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平移的性质求点的坐标；根据已知可得平移方向为向左平移1个单位，向上平移1个单位，即可求解． 解：∵点通过平移得到， ∴平移方向为向左平移1个单位，向上平移1个单位． ∴点通过平移所得到的点的坐标为即． 故选：A． 【变式2】（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的变化—平移，已知新点的坐标，求原来点的坐标，根据平移的逆过程，将平移后的点反向平移即可得到原坐标即可．解题的关键是掌握点坐标平移的坐标特征：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，上加下减． 解：∵将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为， ∴将坐标为的点先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得到点， ∴点坐标为，即． 故选：A． 题型 6：对称变换（同步必练） 【例题6】（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知点关于轴的对称点为，则的值为（　　） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标规律，解题的关键是掌握该规律求解． 利用点关于x轴对称的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 解：∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·广西防城港·期中）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点在平面直角坐标系中的对称问题，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标规律． 点关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此作答即可． 解：因为点关于轴对称， 所以它的对称点的坐标为． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，关于轴对称的点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，关于轴对称的两点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可求解． 解：由题意得：， ∴， 故答案为： 题型 7：轴对称与点的平移作图题（同步必练） 【例题7】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）已知：如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上画出点，使最小，保留作图痕迹，不写出作法． 【答案】（1）见分析，、、；（2）见分析 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质． （1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接，即可得出答案； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交轴于点，即为所求． 解：（1）解：如图所示，即为所求， 、、； （2）解：①作点关于轴的对称点；②连接交轴于点， 如图，点即为所求点． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： （1）将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； （2）在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； （3）在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征． （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可； （2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可． 解：（1）解：为所求作的三角形，如图所示： ； （2）解：如图，为所求作的三角形； ； （3）解：∵与关于y轴对称， ∴点在线段上的对应点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）点E的坐标为或或 【分析】本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）结合全等三角形的判定确定点E的位置，即可得出答案． 解：（1）解：点C与点关于y轴对称， 点C的坐标为； （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，点，，均满足题意， 点E的坐标为或或． 第二部分：方法突破篇 —— 核心技巧攻坚 模块 3：高频模型与方法精讲 模型 适用场景 解题方法 已知象限求参数 点的位置与坐标符号 利用点的位置得出坐标符号，建立不等式组求参数取值范围 利用距离公式求坐标 能过平行于坐标轴两点距离和任意两点距离公式求点的坐标 通过点到坐标轴距离及两点之间距离公式直接求点的坐标或通过距离建立方程求出参数或点的坐标 平移+对称问题 通过点的平移、对称后的坐标求解； 已知变换前后坐标求变换规律、图形变换后的顶点坐标。 多次变换：按顺序分步操作（如先平移再对称），每步仅关注当前变换规则； 图形变换：所有顶点遵循同一规则，面积、形状不变，仅位置改变。 面积计算 网格中不规则图形面积；已知顶点坐标的三角形、四边形面积。 通过“割补法”将不规则图形转化为“水平”或“垂直”的规则图形（长方形、直角三角形），通过坐标差求边长，避免复杂高的计算。 模块 4：易错题型专项突破（△重点警示） 易错类型 1：混淆象限与坐标轴的定义（忽略 “坐标轴上的点不属于任何象限”） 题型 8：点的位置（同步必练） 【例题8】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）下列说法中错误的是（   ） A．原点的坐标是 B．点在第四象限 C．x轴上的所有点的纵坐标都相等 D．y轴上的所有点的横坐标都相等 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限及坐标轴点的坐标特征；根据各个象限及坐标轴上点的坐标特征逐项分析即可． 解：选项A：原点的坐标为，正确； 选项B：点的横坐标为，属于轴上的点，而坐标轴上的点不属于任何象限，因此该点不在第四象限，错误； 选项C：轴上的点纵坐标均为，因此纵坐标相等，正确； 选项D：轴上的点横坐标均为，因此横坐标相等，正确； 综上，错误的选项是B． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）下列关于平面直角坐标系的说法正确的是（   ） A．轴上的点的纵坐标等于0 B．坐标轴上的点不属于任何象限 C．象限角平分线上的点的横坐标等于纵坐标 D．若某点的横坐标与纵坐标的乘积为正数，则该点在第一象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征.逐一分析各选项，结合平面直角坐标系的基本概念进行判断． 解：A．y轴上的点横坐标为0，纵坐标可为任意实数，故A错误． B．坐标轴（x轴和y轴）上的点不属于任何象限，因为象限是坐标轴划分的四个区域，坐标轴本身不包含在象限内，故B正确． C．仅第一、三象限的角平分线满足横坐标等于纵坐标（），而第二、四象限的角平分线满足，故C错误． D．横纵坐标乘积为正时，点可能在第一象限（）或第三象限（），故D错误． 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期中）下列说法不正确的是（    ） A．点在第二象限 B．点到y轴的距离为2 C．若点中，则点P在x轴上 D．若点在x轴上，则 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的位置特征及点到坐标轴的距离．需根据各选项的条件逐一判断其正确性，即可解答． 解：A． 点的横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限，正确； B． 点到轴的距离为横坐标的绝对值，正确； C． 若，则或，此时点可能在轴或轴上，选项中仅说明在轴上，不全面，错误； D． 若点在轴上，则其纵坐标，正确． 故选C． 易错类型 2：混淆 “点到坐标轴距离”（横、纵坐标颠倒） 题型 9：点的坐标（同步必练） 【例题9】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是第四象限内一点，且点B到轴的距离是3，到轴的距离是1，则下列说法错误的是（   ） A．轴 B．点B的坐标是 C．点A到轴的距离是2 D．点B到原点的距离大于3 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离及点到原点的距离，正确理解点的坐标特征是解题的关键．根据点的坐标特征，可逐步求得点B的坐标，点A到坐标轴的距离，与y轴的位置关系，点B到原点的距离，即可判断答案． 解：A、根据点B到轴的距离是3，到轴的距离是1，可得，所以轴，选项A正确，不符合题意； B、根据点B到轴的距离是3，到轴的距离是1，可得，所以选项B错误，符合题意； C、根据点A的坐标是，所以点A到轴的距离是2，选项C正确，不符合题意； D、点B到原点的距离为，所以选项C正确，不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知点和点，下列结论正确的是（    ） A．点A和点B横坐标相同 B．点A和点B纵坐标相同 C．点A和点B所在象限相同 D．点A和点B到y轴距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标、点所在的象限、点到坐标轴的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题关键．根据点的坐标、点所在的象限特征、点到坐标轴的距离逐项判断即可得． 解：A、点的横坐标为，点的横坐标为2，不相同，则此项错误，不符合题意； B、点的纵坐标为4，点的,纵坐标为，不相同，则此项错误，不符合题意； C、点位于第二象限，点位于第四象限，不相同，则此项错误，不符合题意； D、点到轴的距离为，点到轴的距离为，距离相等，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期末）已知平面直角坐标系中点A的坐标为，则下列结论正确的是（   ） A．点A到x轴的距离为5 B．点A到y轴的距离为6 C．点A在第一象限 D．点A在第二象限 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，根据点到坐标轴的距离及象限的判定，逐项判断即可求解． 解：A．点A到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即，而非5，故A错误； B．点A到y轴的距离为横坐标的绝对值，即，而非6，故B错误； C．第一象限的坐标特征为且，而点A的坐标为，x为负，故C错误； D．第二象限的坐标特征为且，点A的坐标满足此条件，故D正确； 故选：D． 易错类型 3：平移规律符号错误（“左减右加、上加下减” 记反） 题型 10：点的平移与对称变换（同步必练） 【例题10】（24-25八年级下·湖南株洲·期末）对于点与点，下列说法错误的是（   ） A．将点A向左平移6个单位长度可以得到点B B．线段的长度为6 C．点A与点B关于y轴对称 D．点A与点B关于x轴对称 【答案】D 【分析】本题考查了平移，轴对称，熟练掌握平移规律，轴对称的坐标特征是解题的关键．根据平移，对称的思想解答即可． 解：由点与点， 得轴，且，横坐标互为相反数， A. 将点A向左平移6个单位长度可以得到点B，说法正确，不符合题意； B. 线段的长度为6，说法正确，不符合题意； C. 点A与点B关于y轴对称，说法正确，不符合题意； D. 点A与点B关于x轴对称，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25八年级下·河南南阳·期末）平面直角坐标系也叫笛卡尔直角坐标系，它是以法国数学家笛卡尔的名字命名的．在平面直角坐标系中，关于点和，下列结论正确的是（   ） A．横坐标相同 B．关于轴对称 C．关于y轴对称 D．到原点的距离相同 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系及位置的确定的基本概念，准确理解相关知识点是解题的关键． 根据点的横纵坐标和点到坐标轴的距离求解即可． 解：A．坐标的横坐标为，的横坐标为2，故选项错误； B．点和的横坐标不一样，不关于轴对称，故选项错误； C．点和的纵坐标不一样，不关于y轴对称，故选项错误； D．坐标和到原点的距离相同，故选项正确． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·河北沧州·期末）下列说法不正确的是（   ） A．点在第一象限 B．点到y轴的距离为2 C．若点中，则点P在x轴上 D．点关于x轴的对称点为 【答案】C 【分析】本题考查点的象限位置、到坐标轴的距离、坐标满足的条件及对称点坐标的确定．需逐一分析各选项的正确性． 解：A． 点的横、纵坐标均为正，位于第一象限，正确． B． 点到轴的距离为横坐标绝对值，正确． C． 若，则或．当时，点在轴上；当时，点在轴上．因此点可能在轴或轴上，选项C仅说明在轴上，不全面，错误． D． 点关于轴对称点的坐标为，正确． 故选：C． 第三部分：综合提能篇 —— 中考对接与压轴突破 模块 5：中考高频题型分类突破 题型 11：已知象限求参数（★中考必考题） 【例题11】（24-25八年级下·甘肃白银·期中）已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、不等式组等知识点，根据各象限点的坐标特征列出不等式组是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第二象限为得到不等式组，求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，再结合选项即可解答． 解：∵点在第二象限， ∴得到不等式组， 解①得：， 解②得：， 在数轴上表示它们的解集如下： ． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）已知点在第三象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第三象限内点的坐标特征，横坐标和纵坐标均小于0，建立不等式组求解． 本题考查了坐标与象限，解不等式组，熟练掌握坐标与象限的关系，建立正确的 解：点A在第三象限，则其横坐标，纵坐标， 解得，， 故不等式组的解集为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）若点在第四象限，且到x轴和y轴距离相等，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平面直角坐标系中象限点的特点，点到坐标轴的距离，解一元一次不等式，掌握象限中点的符号，点到坐标轴的距离的计算方法是解题的关键．根据第四象限点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）可得，．由点到坐标轴的距离相等（到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，且两者相等），列出方程，求解即可． 解：∵点在第四象限， ∴，． ∵点A到x轴和y轴的距离相等， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：1． 题型 12：利用距离公式求坐标（★常考题） 【例题12】（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，且轴，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标系中与y轴平行的直线上点的坐标特点：根据轴，可知点M与点N的横坐标相等，从而建立方程求解． 解：因为轴，点N的横坐标为， 所以点M的横坐标， 解得， 代入点M的纵坐标， 故点M的坐标为， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·四川南充·期中）已知轴，且到轴距离为2，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离，根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，以及点到轴的距离为纵坐标的绝对值，进行求解即可． 解：∵， ∴， ∵到轴距离为2， ∴， ∴， ∴点的坐标是或； 故答案为：或 【变式2】（23-24七年级下·福建龙岩·期中）若点，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查求平面直角坐标系内两点间距离，由横坐标相同知与y轴平行，两点纵坐标之差即为两点间的距离． 解：∵点的横坐标相同， ∴轴， A，B两点间的距离为， 故答案为：． 【变式3】（21-22八年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，有两点和，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】13 【分析】先画出图形，由和，可得再利用勾股定理可得答案． 解：如图， ∵和， ∴ ∴ 故答案为：13 【点拨】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，熟练的利用勾股定理求解平面直角坐标系内两点之间的距离是解本题的关键． 题型 13：中点坐标（★常考题） 【例题13】（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式． 根据中点坐标公式，直接计算两点横纵坐标的平均值． 解：点和点的中点坐标公式为，即． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）平面直角坐标系中，若点，，则线段的长度为 ，当A，B关于C点对称时，C点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中点坐标公式及平面上两点间的距离公式，根据平面上两点间的距离公式求出线段的长度，根据题意得出点C是点A，B的中点，根据中点坐标公式即可求解． 解：∵，， ， ∵点A，B关于点C对称， ∴点C是点A，B的中点， ∴， 故答案为：，． 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）已知点与点关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·广东茂名·期末）点和点的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查中点坐标公式．若，，则中点坐标为，熟练掌握公式是解题的关键． 根据中点坐标公式运算即可． 解：∵点和点 ∴，， ∴点和点的中点坐标为． 故答案为：． 题型 14：平移与轴对称综合问题 （★中考应用性考点） 【例题14】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见分析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；（2）． 【分析】本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、点的坐标． 分别作出点、、关于轴的对称点，，，连接点，，得到即为所求，根据关于轴对称的点的坐标的关系写出点，，的坐标； 根据将军饮马原理，连接交轴于点，此时最小，根据点、关于轴对称，所以，借助网格写出点的坐标． 解：（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点，，， 连接点，，得到， 即为所求， ，，与点，，关于轴对称， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：如下图所示，连接交轴于点，此时最小， 点、关于轴对称， ， ， 由网格可知点的坐标是． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图所示的点、、、、． （1）点___________和点___________关于轴对称，点___________和点___________关于轴对称； （2）点和点关于直线成轴对称，请画出直线（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （3）在轴上画出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）A，E；B，C；；（2）见详解；（3）见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，作已知线段的垂直平分线等知识． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；直接利用关于y轴对称点的性质得出答案； （2）直接利用线段垂直平分线的作法作出线段的垂直平分线即可． （3）找到点A关于y轴对称的点，连接交y轴与点P，点P即为所求． 解：（1）解：由图形可知，点A和点E关于x轴对称；点B和点C关于y轴对称； （2）解：如图所示：直线即为所求． （3）解：如下图点P即为所求： 【变式2】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． （1）请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； （2）若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 【答案】（1）作图见分析，；（2） 【分析】本题考查坐标系中图形的平移与坐标变化，熟练掌握坐标系中图形的平移规律是解题的关键， （1）根据点移到点，得到平移规律，从而得到答案； （2）根据（1）中的平移规律即可得到答案． 解：（1）解：由图可得：，，， ∵点移到点， ∴平移规律为：横坐标向左平移5个单位，纵坐标向下平移2个单位， ∴，， 依次连接，即可得到，如图所示： 故答案为： （2）解：∵点为内部的点， ∴根据（1）中的平移规律可得：， 故答案为：． 题型 15：平面直角坐标系中面积问题（★中考提升题） 【例题15】25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）写出点和的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）作图见分析；（2）点的坐标为，点的坐标为；（3） 【分析】本题主要考查轴对称与坐标，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）先得出点关于轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据（1）坐标系可进行求解； （3）根据割补法可进行求解． 解：（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由图可知：点的坐标为，点的坐标为； （3）解：． 【变式1】（2023八年级上·全国·竞赛）已知的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形面积的求解及坐标系里线段长度的计算，求出底边长度及边上的高，边上的高为C到x轴的距离，再利用三角形面积公式即可求解． 解：， ∵， ∴C到x轴的距离为， ∴， 故答案为：12． 【变式2】（24-25七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． （1）求三点的坐标； （2）若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；（2）；（3）存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2）解： ； （3）解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 题型 16：平面直角坐标系与几何变换——折叠问题（★中考冲刺题） 【例题16】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，边与轴交于点G，点在边上.将沿折叠，点落在点处.若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设， ∴，，， 即， ∴，同理可得， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）如图，直角坐标系中，长方形纸片的边在y轴上，边在x轴上，B与坐标原点重合，折叠长方形的一边，使点D落在边的F处，折痕为，若A点坐标为，C点坐标为．求：E点坐标． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图象，勾股定理，折叠等知识，先根据A、C的坐标和长方形的特征求出，，根据折叠的性质得出，，在中，根据勾股定理求出和，则，设，则，在中，根据勾股定理构建关于x的方程，解方程即可求解． 解：∵A点坐标为，C点坐标为， ∴，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴点E的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在一次折叠比赛中，某同学将直角三角形对折，如图所示，他联想到最近学习的平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，点，点关于直线的对称点在轴的负半轴上， （1）点C的坐标是___________； （2）求长度； （3）若点P在y轴上，且，试求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点P的坐标为或 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握折叠的性质、角平分线的性质、勾股定理及图形与坐标是解题的关键； （1）过点D作于点H，由折叠的性质可知：，然后可得，，则根据等积法可得，最后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可进行求解； （3）由（1）可知：，，设点，则有，由题意易得，进而求解即可． 解：（1）解：过点D作于点H，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∴； 故答案为； （2）解：由（1）可得：； （3）解：由（1）可知：，， ∴， 设点，则有， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【变式3】（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）如图， 在平面直角坐标系中， 直线与x轴，y轴分别交于点， 点．点C在y轴的负半轴上，若将 沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处． （1）求线段的长度； （2）求点D 和点C的坐标． 【答案】（1）5；（2）， 【分析】本题主要考查了勾股定理，轴对称的性质，列方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）由折叠的性质可求，假设，则，利用勾股定理和折叠的性质列出方程，求解方程即可． 解：（1）解：∵，， ∴， 由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得，， ∴，即， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ， ∴，． 题型 17：平面直角坐标系与几何综合——将军饮马问题（★中考冲刺题） 【例题17】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，，为轴上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与轴对称，作点关于轴的对称点，连接，得到的最小值为，进行求解即可． 解：作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式1】（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上．顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据点B的坐标以及等边对等角等知识可求出，在轴上取点，使，连接，，根据证明，得出，则，故当、P、C三点共线时，的值最小，最小值为，然后勾股定理解答即可． 解：∵B的坐标为， ∴， ∴， 在轴上取点，使，连接，， 则， 又， ∴， ∴， ∴， 当、P、C三点共线时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解答本题的关键是确定动点的准确位置． 【变式2】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）如图，在中,，点D为中点，连接，点E、点F分别为、上两动点，过点F作于点H，当取最小值时，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（三线合一）、轴对称的性质、等边三角形的判定（有一个角为的等腰三角形是等边三角形）、全等三角形的判定与性质、垂线段最短定理及三角形面积公式，解题的关键是通过轴对称转化折线为垂线段，利用全等和等边三角形性质求出等腰三角形的边长与高，进而计算面积． 由、为中点，得垂直平分，故；作关于的对称点，得、，且由、得，将转化为；根据垂线段最短，当、、、共线且垂直时和最小，由得；因、，故为等边三角形，得，即；由对称得且，最后用面积公式计算． 解：连接，过点C作的对称点O，连接，过点F作 ⊥ 于点N，作 于点P， ∴， ∵，点D为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点，P共线时，取得最小值，如图： 记交于点Q， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴此时， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵关于对称， ∴， 故选：C． 题型 18：平面直角坐标系与几何综合——动点问题（★中考冲刺题） 【例题18】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理．分三种情况讨论：当点在轴上，在原点，在轴上，根据勾股定理列出式计算即可求解． 解：①当点在轴上运动，时，连接． ∵，， ∴，，， 设点的坐标是， ∵， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是； ②当点在原点时，， ∴点的坐标为； ③当点在轴上运动，时，连接， 设点的坐标是， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是． 故答案为：或或． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·月考）如图，点A的坐标为，点B为y轴的负半轴上的一个动点，分别以，为直角边分别在第三、第四象限内作等腰、等腰，连接交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的定义、坐标与图形性质等知识点的应用，关键是根据全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等解答． 作轴于N，求出，证，求出，证，推出，即可得出答案． 解：作轴于N，如图所示： 由等腰三角形的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵点A的坐标为， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）新考法  如图，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点为第一象限的一点，且，的延长线交轴于点，当点运动时，点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 【答案】点E的坐标不变，点E的坐标为 【分析】本题主要考查坐标与图形及全等三角形的性质与判定，熟练掌握图形与坐标及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而可得，则有，最后问题可求解． 解：点E的坐标不变．理由如下： ， ． ， ， ． 又， ， ， ， ． 又， ， ， ∴点E的坐标为． 四、专题配套资源 分层作业设计： 基本夯实题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）揭阳古城历史悠久，文化底蕴深厚．以下能够准确表示揭阳古城地理位置的是（   ） A．离汕头市50千米 B．在广东省 C．在潮州市西方 D．东经116.35°，北纬23.55° 【答案】D 解：本题考查了坐标确定位置，是基础题，理解利用有序实数对表示位置是解题的关键． 根据确定一个位置需要两个数据解答即可． 【分析】解：A、只提供了距离，没有提供方位，无法确定位置，故此选项不符合题意； B、只提供了一个范围，无法确定位置，故此选项不符合题意； C、只提供了方向，没有提供距离，无法确定位置，故此选项不符合题意； D、提供精确的经纬度坐标，能准确表示位置，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若点在第四象限，且点到轴的距离为2，到轴的距离为1，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，写出直角坐标系中点的坐标．因为点P在第四象限，所以横坐标为正数，纵坐标为负数，又结合点P到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此进行分析，即可作答． 解：∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∵点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点的坐标为， 故选：C 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）下列各点中，位于第四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断点所在的象限．根据平面直角坐标系中象限的定义，第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负，因此，只需检查各选项点的坐标符号，即可判断． 解：依题意，位于第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负， 观察四个选项，唯有符合横坐标为正，纵坐标为负， 故选：D 4．（24-25八年级下·河南周口·期中）在平面直角坐标系中，过，两点作直线，下列说法正确的是（    ） A．轴 B．轴 C．轴 D．AB经过原点 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，垂直于轴的直线上点的横坐标相同是解题的关键． 根据两点的横坐标相等，纵坐标不等，即可得出过两点的直线垂直于轴． 解：， 轴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知过，两点的直线平行于y轴，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平行于坐标轴的直线的性质，掌握“平行于 y 轴的直线上的点横坐标相同”是关键． 根据平行于 y 轴的直线上点的横坐标相等，即可求解． 解：∵ 过，两点的直线平行于 y 轴， ∴ A、B两点的横坐标相等，即． 故选B． 6．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一质点自处向上运动1个单位长度至，然后向左运动2个单位长度至处，再向下运动3个单位长度至处，再向右运动4个单位长度至处，再向上运动5个单位长度至处，…，按此规律继续运动，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，规律型问题，解题的关键是根据第四象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 解：由题意可知， ∴第四象限中的点为， ∵， ∴的坐标是，即． 故选：D 二、填空题 7．（25-26八年级上·重庆·期中）若点在x轴上，则实数a的值为 ． 【答案】3 【分析】该题考查了x轴上点的特征，根据x轴上点的纵坐标为零的特征，列方程求解． 解：因为点A在x轴上， 所以其纵坐标， 解得：． 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为3，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，根据平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，再结合点到坐标轴的距离与坐标的关系进行求解即可． 解：∵点在第四象限， ∴其横坐标为正，纵坐标为负； 又∵点到轴的距离为4，到轴的距离为3， ∴，． ∴点的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·吉林长春·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝．如图，棋盘放在平面直角坐标系中，若“炮”所在位置的坐标为，“帅”所在位置的坐标为，则“相”所在位置的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据给出的坐标确定原点的位置，建立直角坐标系，进而写出“相”所在位置的坐标即可． 解：由题意，建立直角坐标系如图： 由图可知：“相”所在位置的坐标为； 故答案为：． 10．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点坐标与轴对称变换规律可得，，则可得的值，代入计算即可得． 解：∵平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 11．（22-23七年级下·山东滨州·期中）将点向左平移个单位得到，且在轴上，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标平移的规律，在轴上点的坐标特征，熟知点坐标的平移规律是解题的关键．先根据点坐标平移的规律得到点的坐标，再由轴上点的横坐标为求解即可． 解：将点向左平移个单位得到， ， 在轴上， ，解得， ， 的坐标是． 故答案为： ． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，线段平移后得到线段，点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标平面内点的平移，熟记点的平移法则是解决问题的关键．先由点的对应点为，得到平移方式是向左平移4个单位长度、向下平移4个单位长度，点按照反方向平移即可得到对应点的坐标． 解：在平面直角坐标系中，线段平移后得到线段，点的对应点为，则平移方式是向左平移4个单位长度、向下平移4个单位长度， 点按照反方向：向右平移4个单位长度、向上平移4个单位长度得到对应点， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，已知长方形的长为3，宽为2，建立适当的平面直角坐标系，使得点的坐标为，并写出点的坐标． 【答案】图见分析，点B的坐标为 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据点的坐标为，宽为2，可知点C为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，即可求解． 解：以点C为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如下图，点B的坐标为． 14．（24-25七年级下·广东广州·期中）如图：在平面直角坐标系中，点，过点作直线轴，将点沿向右水平平移2个单位后，得到点，过点作直线交轴于点． （1）根据题意补充图形，并写出点的坐标______________． （2）求证：． 【答案】（1）图见分析；；（2）详见分析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，点的平移等知识点． （1）根据题意即可作图，由过点作直线轴，将点沿向右水平平移2个单位后，根据平移的方式以及平行于轴上点的坐标特征即可求解点； （2）根据平行线的判定与性质即可求证． 解：（1）解：如图为所求， ∵过点作直线轴，将点沿向右水平平移2个单位后，得到点， ∴点； （2）证明：依题意得， 轴 ． 15．（25-26八年级上·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出关于y轴对称的，并写出的坐标； （2）在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置． 【答案】（1）画图见分析；，；（2）见分析 【分析】本题主要考查的是画轴对称图形，坐标与图形，利用轴对称的性质确定线段之和最小时点的位置，熟练的作图是解本题的关键． （1）根据轴对称的定义分别关于轴对称的点，再顺次连接，最后确定的坐标即可； （2）取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点． 解：（1）解：如图所示：即为所求；    ∴， ； （2）解：如图所示：取关于轴的对称点，连接交轴于，则点P即为所求点．    连接， 根据轴对称可知， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限内两坐标轴夹角的平分线． 【问题背景】 （1）由图可知点与点关于直线l对称，请你在图中标明点关于直线l对称的点的位置，并写出它们的坐标； 【探索归纳】 （2）结合图形并观察以上五组点的坐标，你会发现：坐标平面内任意一点关于直线l对称的点的坐标为________； 【拓展应用】 （3）若点与点关于直线l对称，求点的坐标． 【答案】（1）图见分析，；（2）；（3）点的坐标为 【分析】本题主要考查平面直角坐标系及轴对称的性质，熟练掌握平面直角坐标系及轴对称的性质是解题的关键； （1）根据平面直角坐标系先标出点关于直线l对称的点的位置，然后根据坐标系可得点的坐标； （2）由（1）可直接进行求解； （3）由（2）可知，然后问题可求解． 解：（1）点关于直线l对称的点的位置如答图． ∴． （2）由（1）可知：坐标平面内任意一点关于直线l对称的点的坐标为； 故答案为； （3）由（2）可知：因为点与点关于直线l对称，所以， ∴， ∴点的坐标为． 能力提升题【选择题6题、填空题6题、解答题4题】 一、单选题 1．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点不经过第几象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，掌握直角坐标系中点的特征是解题的关键．由于为任意实数，故将分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得，的取值范围，再根据直角坐标系中点的特征判断即可得到答案． 解：根据题意可知，当时，，则点在第一象限， 当时，，则点在第四象限， 当时，，则点在第三象限， 点不可能在第二象限， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期中）如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）定义：横、纵坐标都是整数的点，称为格点；若一个三角形的顶点全是格点，则这个三角形称为格点三角形．格点三角形的面积可以用皮克定理来计算：．（其中是三角形内部格点数目，是三角形边上格点数目）．平面直角坐标系中，已知点，，，三角形的内部比边上多个格点，求三角形内部格点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，先由，，，在平面直角坐标系描点，求出面积，然后列出方程组，再解方程组即可，熟练掌握格点三角形的面积公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 解：由，，，在平面直角坐标系描点， ∴ ， ∴， 解得， ∴三角形内部格点的个数为， 故选：． 5．（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面镜成像原理中坐标的轴对称．根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出的数值，代入计算即可求解． 解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 6．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形变换规律问题，解题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特征． 先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解． 解：∵中，点是对角线交点，且，， ∴，即 经过1次变换后M点的坐标为， 经过2次变换后M点的坐标为， 经过3次变换后M点的坐标为， …， 经过n次变换后M点的坐标为， 则时，M点的坐标为，即． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，设运动时间为秒，由题意得，，则，然后分当时， 当时，然后根据全等三角形的性质即可求解，掌握全等三角形的性质及分类讨论是解题的关键． 解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可知：或4． 故答案为：或4． 8．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点定义变换P，满足，例如：． （1） ． （2）若在第二象限，则所有整数m的和为 ． 【答案】 【分析】直接根据定义得解； 根据定义得到，进而根据象限建立不等式组求解即可． 本题主要考查了点的坐标特征、解一元一次不等式组等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 解：根据题意可得； 故答案为：； ， ， 其在第二象限， ，解得， m的整数解为：、、、、、， 它们的和为：； 故答案为：． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，有一动点A，先关于x轴对称到点，然后关于y轴对称到点，再关于x轴对称到点，再关于y轴对称并且往右平移一个单位长度得到……，每次点A回到第一象限总会往右平移一个单位长度得到点后再进行重复运动．已知，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了动点坐标规律的探索，轴对称的性质，解题的关键是掌握动点的规律． 动点的初始坐标为 ，操作序列具有周期性：每4次操作构成一个循环，每个循环后点的横坐标增加1，纵坐标不变，点是第507个循环的第一个点，其坐标可通过循环公式计算． 解：∵动点的初始坐标为 ， ∴ 根据题意得，，，，，……， ∴纵坐标以、、、每次一个循环，每个循环最后一个点的横坐标增加， ∴点的周期数为：， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同为，横坐标为， ∴点的坐标为 ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移后，得到线段，点与点对应，若点，点，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了点的坐标的平移，代数式求值，由对应点的坐标可得线段向右平移个单位，向下平移个单位得到线段，据此求出的值，再代入计算即可求解，由对应点的坐标变化得出平移方式是解题的关键． 解：∵点的对应点是点，点的对应点是点， ∴线段向右平移个单位，向下平移个单位得到线段， ∴，， ∴， 故答案为：7． 11．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在边上的点处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，平面直角坐标系以及中点坐标公式等知识，建立平面直角坐标系，由勾股定理求出，由折叠得，，得垂直平分，求得，运用待定系数法求出的解析式，联立方程组并求解得出，从而可求出的长． 解：以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点建立平面直角坐标系，设交于点，如图， 在中，，，， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴，垂直平分， ∴， 设所在直线解析式为， 把代入得：， ∴， ∴所在直线解析式为； 设所在直线解析式为， 把，代入得：， ∴， ∴所在直线解析式为； 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·北京·期中）已知整点在平面直角坐标系内做“跳马运动”即中国象棋“日”字型跳跃例如，如图，从点A做一次跳马运动可以到点B，但是到不了点设做一次跳马运动到，再做一次跳马运动到点，再做一次跳马运动到点…，如此继续下去． 已知的坐标是． （1）若，则点的坐标为 ； （2）规定每一次只向y轴的正方向跳跃即纵坐标始终增大，若，则点，…的横坐标最大值为 ． 【答案】 或 【分析】（1）根据“跳马运动”的规则可知的坐标．（2）根据的纵坐标求出两种跳马类型出现的次数，然后再依据点的横坐标结合两种跳马类型出现的次数，即可确定出答案， 本题考查了点在平面直角坐标系中的位置，涉及到一元二次方程组及一元一次方程的知识，熟练应用方程（组）解决有关点的坐标问题是解答本题的关键． 解：（1）如图，根据跳马运动规则，可以先跳到或，然后再跳到，   ∴的坐标为或； 故答案为：或 （2）如图，点P沿着y轴正半轴每向上作一次跳马运动，分为两种情况∶ 第一种是A型：跳到A点，纵坐标增加1；另一种是B型：跳到点B，纵坐标增加2．设点跳到，这21次跳马运动包含第一种x次，第二种y次，根据题意列方程组， 解得：， 为了使点，…的横坐标有最大值， 可假定从开始跳到到时横坐标最大，期间横坐标始终增大；然后从跳到期间，横坐标始终减小．根据题意，， 解得∶．的横坐标为∶．故答案为：22． 三、解答题 13．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点，根据下列条件求出点的坐标． （1）点在轴上． （2）点到轴与轴的距离相等，且在第四象限． 【答案】（1）点的坐标为；（2）点的坐标为 【分析】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到两坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质． （1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值； （2）利用点A到x轴、y轴的距离相等且在第四象限，得出横纵坐标互为相反数进而得出答案． 解：（1）解：因为点在轴上， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． （2）因为点到轴与轴的距离相等，且在第四象限， 所以， 解得， 所以，， 所以点的坐标为． 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图1，且，轴于点B，轴于点D． （1）若A点的坐标是，则C点的坐标是______； （2）如图2，连接交于点P，求证：P为中点； （3）在（2）的条件下，若M、N分别是上的动点，已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）作交于H．证明，可得，即可求解； （3）作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接，根据题意可得E、O、F共线，从而得到，进而得到当E、M、N、F共线时，有最小值为，即可求解． 解：（1）解：∵轴，轴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A点的坐标是， ∴， ∴C点的坐标是； 故答案为： （2）解：证明：如图2中，作交于H．    ∵轴，轴，，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴点P为中点； （3）解：作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接，    ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴E、O、F共线， ∴， ∵ ∴当E、M、N、F共线时，有最小值为， ∵，P为中点， ∴，，， ∴， ∴最小值． 15．（25-26八年级上·天津·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，．求点C的坐标． （2）如图2．点M，E分别在轴，轴正半轴上，，点A在轴负半轴上，作且，连接交轴于N．求证：； 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】主要考查全等三角形的判定和性质，具备一定的数形结合思想，运用全等三角形求证线段相等是解题的关键． （1）过点作轴于点，求证，得，于是； （2）过点作于点，可证，得．可证，得，可得． 解：（1）∵，， ∴， 如图1，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点作于点， 同（1）可得， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、分别在轴、轴上，点在第一象限，点的坐标是，． （1）直接写出点、点的坐标． （2）点从原点出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向点运动，同时点从点出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为秒，探究下列问题： ①当为多少时，直线轴？ ②在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形的面积的？若能，请直接写出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由 【答案】（1），；（2）①；②， 【分析】此题主要考查了长方形的性质，长方形的面积公式，梯形的面积公式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出点C的坐标，再利用矩形的性质求出点B的坐标； （2）①利用轴得出建立方程求解即可；②先求出长方形的面积，再表示出梯形的面积，进而建立方程求出时间t即可得出结论． 解：（1）解：， ， 四边形是长方形，点的坐标是， ， （2）解：①由题意得，， ， ，， 轴， ， 四边形是长方形， ， ， 当值为秒时，直线轴； ②，， ， 由运动知，，， ， ∴梯形的面积 ， 四边形的面积是长方形的面积的， ， ， ， ，． 反思：错题归因手册： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $