2026年中考数学一轮复习必备讲义(核心考点+8大题型突破) 专题03分式（全国通用版）

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式”专题，覆盖概念与性质、运算、化简求值（中考高频）等核心考点，按“目标-知识-题型”架构梳理，通过考点清单、易错点剖析、真题精讲等环节突破难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“易错点精准突破”和“分层题型训练”，如针对分式值为0的条件，强调“分子为0且分母不为0”的双重验证，培养学生的推理意识和运算能力。设计“概念辨析-运算强化-综合应用”三级训练，配合5分钟微专题限时练，确保高效复习，助力学生提升应考技能，为教师提供清晰的复习节奏指导。

专题03分式中考一轮复习核心讲义 1.概念与性质目标 能准确判断分式有意义、无意义、值为 0 的条件（避免漏解、忽略分母的错误）； 熟练运用分式基本性质进行约分、通分（掌握符号法则，能正确找最简公分母）； 能区分 “整式” 与 “分式”，识别 “最简分式”。 2.运算能力目标 熟练完成分式的加减、乘除、乘方运算（掌握运算顺序，避免符号、法则错误）； 能规范完成分式混合运算（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）； 运算结果能化为最简分式（避免化简不彻底）。 3.化简求值目标 掌握 “因式分解→通分 / 变乘→约分→代值” 的化简求值流程； 代值时能主动验证：代入的数需使原分式（含所有分母）有意义； 能处理含 “整式项（看作分母为 1 的分式）”“二次根式” 的化简求值题。 核心知识 点梳理 1.分式的概念 2.分式的基本性质 3.分式的运算 4.分式的化简求值(中考高频题型) 5.易错点清单 常考题型 精讲精炼 1.分式的基本概念与性质题 2.分式的加减运算题 3.分式的乘除运算题 4.分式的混合运算与化简求值 5.分式与不等式(组)综合题 6.分式的新定义与规律探究题 7.分式的实际应用与跨学科综合题 8.分式与其他知识综合题 【知识点01.分式的概念】 1.定义 若、是整式，且B中含有字母，则式子叫做分式（B≠0）。 2.分式有意义 / 无意义的条件 有意义：分母B≠0； 无意义：分母B=0。 3.分式值为 0 的条件 分子A=0且分母B≠0（需同时满足）。 4.最简分式 分子与分母没有公因式的分式。 【知识点02.分式的基本性质】 1.基本性质 分式的分子、分母同乘（或除以）不为 0 的整式，yi'cuo分式的值不变：==(C≠0) 2.符号法则 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变任意两个，分式的值不变；改变 1 个或 3 个，分式变为原分式的相反数。 3.约分与通分 约分：约去分子、分母的公因式，化为最简分式（关键：先因式分解）。 通分：将异分母分式化为同分母分式（关键：找最简公分母）。 *最简公分母：各分母系数的最小公倍数 + 所有字母因式的最高次幂（分母为多项式时，先因式分解）。 【知识点03.分式的运算】 1. 四则运算 (1)加减法 同分母：±=； 异分母：先通分，再按同分母法则计算：±= (2)乘除法 乘法：=； 除法：==。 乘方分式的乘方：()n=（n为正整数，b≠0）。 2. 混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的；同级运算从左到右。 【知识点04.分式的化简求值（中考高频题型）】 1. 步骤： ① 括号内通分 / 因式分解； ② 除法变乘法（颠倒除式分子分母）； ③ 约分，化为最简分式； ④ 代入数值计算（注意：代入的数需使原分式有意义）。 2.注意事项： 化简结果必须是最简分式； 代值后分母不能为 0，二次根式需化为最简。 【知识点05.易错点清单】 一、概念类易错 1.分式有意义漏解 如判断有意义的条件，易只写x≠2，实际需分母x2−4≠0，即x≠±2（需分解分母找所有零点）。 2.分式值为 0 忽略分母 如值为 0 的条件，易认为x=±3，实际需分子x2−9=0且分母x−3≠0， 故x=−3（分子为 0 且分母不为 0 需同时满足）。 二、基本性质类易错 1.符号法则混淆 如化简，易错误改变1个符号得，实际=− (改变分子、分式本身 2 个符号，值不变）。 2.通分 / 约分漏项 通分与，易漏分母的因式(x−2)，最简公分母应为2x(x−2)； 约分，易漏约(x+1)，实际需约分为。 三、运算类易错 1.分式加减错误 同分母加减：如+易算成，正确应为（分母不变，分子相加）； 异分母加减：如+易直接分子分母相加得，正确应通分后得。 2.乘除运算顺序 / 法则错误 顺序错：如÷易先算=1，正确应从左到右计算，结果为； 法则错：如÷易算成，正确应为​（除法变乘法需颠倒除式）。 3.乘方运算漏符号 / 次数 符号错：如()3易算成，正确应为−（奇次幂符号为负）； 次数错：如()2易算成，正确应为（系数也要乘方）。 四、化简求值类易错 1.代值使分式无意义 如化简得x−2后，易代入x=−2计算，实际原分式分母x+2≠0，x不能取 - 2。 2.化简不彻底 如化简，易停留在，正确需继续分解约分为（必须化为最简分式）。 【题型01.分式的基本概念与性质题】 1．（2025·重庆合川·一模）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，分式的定义：分母中含有字母的式子是分式．根据分式的定义，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、是整式，故此选项不符合题意； B、是整式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·四川南充·一模）若分式有意义，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分母不能等于0，即可求解． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴ ， 解得：， 故答案为：. 3．（2025·河南南阳·二模）当实数 时分式无意义． 【答案】5 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件：分母为0解答即可． 【详解】解：因为分式无意义， 所以， 解得； 故答案为：5． 4．（2025·广东汕头·一模）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，列式求解即可．分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 5．（2025·辽宁丹东·二模）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式，掌握相关的概念和性质是解题的关键．根据分式的概念、分式有意义的条件、分式的基本性质、最简分式判断． 【详解】解：①代数式是整式，是分式，本小题判断正确，分； ②当时，，则分式有意义，本小题判断正确，分； ③若分式的值为，则，故本小题判断错误，不得分； ④式子从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式，本小题判断正确，分； 则他的得分应是分， 故选：B． 6．（2025·吉林长春·一模）分式和的最简公分母为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为． 故答案为：． 7．（2025·浙江台州·二模）已知分式（，为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（   ） 3 无意义 0 2 A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查分式综合问题，涉及分式无意义条件、解一元一次方程、解分式方程等知识，读懂题意，由的部分取值及对应分式的值表，代值列方程求解即可得到答案，熟练掌握分式求值及解方程是解决问题的关键． 【详解】解：由表可知， 当时，，分式无意义，则，解得； 当、时，，则，即，解得； 当、、时，，则，解得； 故选：B． 8．（2025·广东广州·模拟预测）已知 (1)化简； (2)若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，反比例函数的性质等知识，解题的关键是： （1）根据同分母相加减的运算法则计算即可； （2）根据反比例函数的性质求出，根据两点间距离公式求出，然后根据完全平方公式求解即可。 【详解】（1）解： ； （2）解：∵点为反比例函数上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即. 【题型02.分式的加减运算题】 9．（2025·山东济南·二模）化简：结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 10．（2025·上海普陀·三模）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式 先化简，再求值：，其中 解：原式  ①   ② 当时，原式  ③ 【答案】①；，0 【分析】此题考查了同分母分式的加减运算以及代数求值，根据同分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：这个解答从第①步开始出现错误； 原式 当时，原式． 11．（2025·天津和平·三模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查通分母的分式加法．先整理，再根据同分母的分式加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 12．（2025·广东深圳·一模）计算： (1)计算：． (2)下面是某同学计算的解题过程： 解：……① ……② ……③ 上述解题过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】(1) (2)从第②步开始出现错误，正确的解题过程见解析 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和分式的加减运算． （1）先计算零指数幂，化简绝对值和二次根式，特殊角的三角形函数值，然后再计算加减即可； （2）先观察已知条件中的解题过程，根据同分母分式相加减法则判断错误的步骤，然后写出正确的解题过程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：从第②步开始出现错误，∵同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可. 正确的解题过程如下： ． 13．（2025·江苏无锡·一模）（1）因式分解：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先提取公因式2，再运用平方差公式分解即可； （2）以为最简公分母，通分化简即可． 本题考查了因式分解，通分，熟练掌握通分和因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（2025·江苏宿迁·三模）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了异分母分式加法运算，约分，因式分解，根据异分母分式加法运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（2025·湖北随州·二模）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式通分，熟练掌握在一元二次方程中、是解题关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系求出、，将通分变形为，再代入计算即可求解． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ，， ． 故答案为：． 16.（25-26八年级上·山东聊城·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)a+1 (3)x (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解； （2）根据分式乘除法运算法则计算即可； （3）根据分式加减法运算法则计算即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 17．（2025·甘肃嘉峪关·一模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式……， ……， ……． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】(1)，见解析； (2)2． 【分析】题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可； （2）令，然后解分式方程即可求解． 【详解】（1）解：， 正确的化简过程如下： 原式， ， ， ； （2）解：原式的计算结果为， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， 题目中被墨水遮住的的值为． 18．（2025·广东深圳·二模）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则 (2)；0 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则． （1）按照混合运算的运算顺序进行判断即可； （2）先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加减，最后代数求值即可． 【详解】（1）解：从第①步开始出现错误， 未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则； 故答案为：①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则； （2）解：原式， ， 当时，原式． 【题型03.分式的乘除运算题】 19．（2025·湖北襄阳·一模）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将除法化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 20．（2025·上海·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先算分式的乘方，再算乘法即可． 【详解】解：， 故答案为： 21．（2025·辽宁本溪·二模）分式的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的除法，根据分式的除法运算进行计算，即可求解，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： 故选：D ． 22．（2025·湖北随州·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 首先将运用平方差公式进行分解，然后约分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 23．（2025·江苏无锡·二模）（1）计算：      （2）化简： 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及分式的除法运算． （1）先计算负整数指数幂，求一个数的算术平方根，求一个数的绝对值，再进行二次根式的混合运算． （2）把除法转化成乘法，然后利用平方差公式展开，约分计算即可． 【详解】解：（1） （2） 24．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．运用分式的乘除法法则、分式的加减法法则逐个运算，得出正确结论，即可判断． 【详解】解：解：①，嘉淇同学解法错误； ②，嘉淇同学解法错误； ③ ，嘉淇同学解法正确； 则嘉淇同学做对的有1个， 故选：B． 25．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 26．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 , ,解得， ． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，试确定A，B的值 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法、二元一次方程组的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先把等式的右边通分，计算分式的加法，再利用等式两边的分母相同，则分子相同可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， 解得． 28．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． （1）从第①步开始出现错误，错误的原因是除法不能直接约分． （2）根据分式的运算，正确计算即可， 【详解】（1）解：上面的运算过程中第①步开始出现了错误， 故答案为：①； （2）原式                                                                     ． 【题型04.分式的混合运算与化简求值】 29．（2025·陕西汉中·二模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内的减法，再利用除法的性质转换为乘法，约分后化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 30．（2025·河北承德·一模）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 31．（2025·全国·一模）请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成下面的问题． 先化简，再求值：，其中． 解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 当时，原式． (1)以上解题过程中，第　　步是约分，其变形依据是 　　； (2)请你用更简便的方法，完成化简求值． 【答案】(1)五，分式的基本性质 (2)见解析 【分析】（1）根据分式的基本性质判断即可； （2）根据乘法分配律、分式的约分法则计算． 【详解】（1）第五步是约分，其变形依据是分式的基本性质， 故答案为：五，分式的基本性质； （2）原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值、分式的基本性质，掌握分式的运算法则是解题的关键． 32．（2025·江西宜春·二模）下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二、三 (2)； 时，值为7，时，值为6． 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，他在分式的减法出现了错误，根据分式的约分方法可得涉及约分的步骤； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第三步， 故答案为：二、三； （2）解：原式= = = = ∵，， ∴，2，3 ∴可取4，5 当时，原式（或当时，原式） 33．（2025·江西宜春·一模）先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，正确运算是解题的关键．括号内先通分，然后进行同分母分式运算，再进行分式的除法运算即可，根据分式有意义的条件，选取适当的a的值求解． 【详解】解：原式 ， 且为整数， ，0，1，2， ∵，，， ，0，1， ， 当时，原式． 34．（2025·广东深圳·一模）先化简：，再从中选择一个合适的数代入求值． 【答案】；当时，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握相关运算法则是解题关键．先对分子分母因式分解，然后约分化简，再化为同分母分式计算，最后根据分式有意义的条件选取合适的数代入计算求值即可． 【详解】解： ， 观察上式，时都使分式无意义， 当时，原式． 35．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，值为0 【分析】题目主要考查分式和整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据整式的乘法运算及分式的混合运算法则计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴取，原式． 36．（25-26八年级上·北京·期中）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个使分式有意义的x的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原分式有意义，则原式． 37．（2025·河南信阳·三模）若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的约分，的化简结果为整数，那么约分后的结果不含x和其他字母，那么M一定只含有字母x，且x的指数为2，据此可得答案． 【详解】解：∵M是一个式子，且的化简结果为整数， ∴M中一定只含有字母x，且x的指数为2， ∴符合题意的M可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 38．（2025·全国·一模）已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 【答案】(1) (2) (3)，思路见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可； （2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可； （3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以，即可． 【详解】（1）解：； （2）由（1）可知：， ∵该分式的值为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以，得， 即：分式可以化简为． 39．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若x的值刚好使分式的值为0，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的值为零，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先算分式的加法，再算除法即可； （2）根据分式的值为零，可得分式的分子为零，分母不为零，求得x的值，代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 解得：， ∴． 40．（2025·江西·二模）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 下面是某同学的部分解答过程． 解：原式    第一步     第二步 …… (1)该同学的解答过程中的第一步运算，依据是 ； (2)请你帮这位同学写出完整的解答过程． 【答案】(1)分式的基本性质 (2)，当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据分式的基本性质解答即可； （2）根据分式的混合运算法则将所求式子进行化简，再根据分式有意义的条件得出，代入化简后的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，该同学的解答过程中的第一步运算，依据是分式的基本性质； （2）解：原式      ∵，，，且为整数， ∴，     ∴当时，原式． 41．（2025·重庆綦江·一模）计算： (1) (2)先化简：，其中a为整数且，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 【答案】(1) (2)，当时，原式，当时，原式 【分析】本题考查了平方差公式，立方根，零指数幂，特殊三角函数值，负指数幂，绝对值以及分式运算的运算法则．熟练掌握立方根，零指数幂，特殊三角函数值，负指数幂，绝对值以及分式运算的运算法则是解题的关键． （1）先利用立方根，零指数幂，特殊三角函数值，负指数幂，绝对值的运算法则算出各项的值，再进行加减运算即可； （2）先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法进行化简，其中有涉及到平方差公式，最后根据给定的取值范围代入合适的值求解求值即可． 【详解】（1）解：原式= = ． （2）原式= = = =               由题意， ∴或， 当时，原式，当时，原式． 42．（2025·重庆·模拟预测）计算． (1)； (2)先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分式的化简求值，解一元一次不等式，熟练计算是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂，三角函数，绝对值，再加减即可； （2）先化简，再解不等式，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意得，原式， ， ， ， 为正整数且， 当时，原式 综上，原式的值为． 43．（2025·重庆璧山·三模）计算： (1)解不等式组：，并把解集表示在数轴上； (2)化简求值：，其中， 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，3 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为该不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可； （2）先根据分式混合运算法则和运算顺序化简原式，再利用特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂运算法则求得x、y值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图所示： （2）解： ， ∵，， ∴原式． 44．（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）②；（2），当时，该式的值为整数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：（1）为整式，， 是“和谐分式”， 故答案为：②； （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 【题型05.分式与不等式.不等式(组)综合题】 45．（2025·四川达州·二模）不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的解集．由题意得到或，再分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 对于，解得； 对于，解得，无解； 故选：B． 46．（2025·四川成都·二模）计算与解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值、实数的混合运算、解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先根据求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值计算，再结合实数的混合运算法则即可得解； （2）分别解出不等式①、②后，找出共同解集即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：解不等式①，， ， 得， 解不等式②，， 得， 不等式组的解集为． 47．（2025·河北邯郸·三模）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡． (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由； ①你知道小王为什么这样判断吗？ ②小王的说法全面吗？ 【答案】(1) (2)①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0；见解析；②小王的说法不全面，见解析 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 【详解】（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小王认为“该分式的值不可能为6”； ②小王的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为8． 48．（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 【答案】或或 【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值． 【详解】原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 49．（2025·河北张家口·二模）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 【答案】(1)的最小值是． (2)整数的值为或． 【分析】本题主要考查了整式的加减、配方法的应用、分式的化简以及分式值为正整数的条件．熟练掌握整式的运算法则、配方法、分式的化简方法是解题的关键． （1）先求出的表达式，再将其化为顶点式，根据二次函数的性质求出最小值． （2）先求出的表达式，再根据其为正整数以及为整数来确定的值． 【详解】（1）解： ∴当且仅当，即时取等号，的最小值是． （2）解： ∵分式有意义时，分母不为，即，解得． 当时，． ∵的值为正整数，为整数． 当，即时，； 当，即时，． ∴整数的值为或． 50．（2025·重庆·一模）方程，其中，对的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行一次“偏移变化”，再对方程中的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记为偏移距离（为正整数），，则以下说法中，正确的个数是（    ） ①当时，是对方程进行三次“偏移变化”后得到方程的一组解； ②存在一个值，使得对方程进行偏移变化，偏移距离为； ③满足使为整数的的最小值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值．①当时，先求得，，的值，得到，将代入求解即可判断；②当时，推出，解得，据此可判断；③先求得，，的值，得到规律，求得，再求得，，的值，得到规律求得，求得，据此计算即可判断． 【详解】解：①当时，， ， ， ∴， 将代入，有， 解得， 故是方程的一组解；故①正确； ②当时， ， 令， 解得，故②正确； ③， ， ， ， ， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 当时，，解得(舍去)； 当时，，解得(舍去)； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴的最小值为，故③正确； 综上，①②③都是正确的， 故选：D． 【题型06.分式的新定义与规律探究题】 51．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，观察可得相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数，据此可根据同底数幂乘法计算打得到． 【详解】解：由题意得，相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数， 不妨设x、y、z的指数分别为a、b、c， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 52．（2025·重庆·二模）若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为 ．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的2倍与百位数字的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 1002 【分析】本题考查了整式加减的应用，分式的化简求值，新定义，正确理解定义是解题的关键． 根据和数”的定义确定即可；根据题意得出自然数B的千位数字为a，百位数字是b，十位数字是，个位数字是，，再根据“和数”的定义以及该“和数”能被6整除得出或，再分类讨论解答即可． 【详解】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍， 百位、十位、个位上的数字之和为2，该自然数千位上的数字为1， 最小的“和数”为1002， 根据题意可得自然数B的千位数字为a，百位数字是b， ∵， ∴， ∴， ∴十位数字是，个位数字是， 为，为， ， 根据“和数”定义得， 该“和数”能被6整除， ∴该“和数”为偶数且各位上的数字之和为3的倍数， ，为偶数， 或6， ①当时，，即， ， 令，则，原式， 当时，原式取到最大值为； ②当时，，， 令，则， 原式， 当时，原式取到最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：1002；． 53．（2025·湖南永州·一模）已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式中的规律类题型，解题的关键是发现规律，进行简便求解．根据函数的特点写出所求的式子，根据规律进行化简求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 54．（2025·河南·二模）一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．求出前几个数值，找到规律，进行判断即可． 【详解】解：，则： ， ， ， ∴的值，以，，，三个为一组，进行循环， ∵， ∴的值为，即：； 故选：A． 55．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2）解：第n个等式： ； ． 56．（2025·安徽芜湖·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的规律变化，分式的加减运算；通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． （1）依次观察每个等式，可以发现规律：等式左边为从3开始的连续的奇数减去一个分子为序号、分母比分子大1的数，等号的右边为1加上分子为等式左边的奇数乘以序号的数；按照此规律即可求解； （2）把上面发现的规律用字母表示出来，并运用分式的加减运算法则计算等式左右两边，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：第6个等式：， 故答案为：． （2）解：猜想第n个等式： 证明：∵左边 右边 右边， ∴． 故答案为：． 57．（2025·安徽芜湖·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的加法运算，从给定的等式中抽象出相应的规律，是解题的关键： （1）根据给定的等式，进行作答即可； （2）根据给出的等式，猜想出第个等式，根据分式的加法运算，进行证明即可． 【详解】（1）解：第5个等式为． （2）第n个等式为：． 证明：左式右式， 猜想成立． 58．（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查分式的混合运算和分式的规律探究问题，熟练的根据题意找出规律是解题的关键， （1）根据前4个等式找出规律即可得到第5个等式； （2）根据（1）中的等式猜想第个等式，等式两边分别进行通分化简，即可得证． 【详解】（1）解：由前4个等式可得规律：左边第一个分数：分子为，分母为，即； 左边第二个分数：分母为，即； 右边第一个分数：分子为，分母为，即； 右边第二个分数：分母为，即； ∴第5个等式为：； （2）解：第个等式为，证明如下： 等式左边：， 等式右边：， ∴左边右边， ∴原等式成立． 59．（2025·安徽·一模）观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 根据前个等式的规律可知，第个等式应是，可得等式：； 由中的规律可知，第个等式应是，分别把等式左边、右边的分式化简，可得结果都为，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 根据规律可得，第6个等式：； 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：左边， ， 左边右边， 故猜想成立． 60．（2025·重庆江津·一模）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据，，得到，，，，，，发现是6个数为一个周期，循环出现，依次规律，计算解答即可． 本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴发现是6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴, 故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 又，，即，，， 故则满足条件的整数共有6个． 故④正确， 故选：B． 61．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 【题型07.分式的实际应用与跨学科综合题】 62．（2025·山西晋城·一模）小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要 小时．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式，理解题意，根据题意列出分式，是解题的关键．根据时间总数工作效率，列出分式即可． 【详解】解：按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要的时间为： ． 故答案为：． 63．（2025·湖南湘潭·一模）一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列代数式以及分式的基本运算，能够读懂题意列出分式是解题关键； 设工作总量为1，根据甲、乙单独完成的天数表示各自的工作效率，合作效率为两者之和，再求合作所需天数． 【详解】解：设工作总量为1， ∵ 甲单独完成需天， ∴ 甲的工作效率为， ∵ 乙单独完成需天， ∴ 乙的工作效率为， ∴ 甲、乙合作的工作效率为， ∴ 合作所需天数为． 故选：A． 64．（2025·北京·一模）数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有趣的问题：盒子的体积与底面边长之间有某种函数关系． 他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)建立模型：设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：， ① 将①代入长方体的体积公式，得：_________② 可知，是的函数，自变量的取值范围是． (2)探究函数：根据函数解析式②，按照下表中自变量的值计算（精确到0.01），得到了与的几组对应值： … 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.04 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在下面的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： (3)解决问题：结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为_________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为_________（精确到0.01）． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①，②或. 【分析】本题考查了函数图象以及分式的乘法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）把代入计算即可得解； （2）用平滑的曲线连接即可得解； （3）①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当当时，此时处于最高点，即可判断求解，②由当时，，当时，，结合图形判断求解即可. ②根据函数图象求解即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：作图如下， （3）解：①∵当时，，此时处于最高点， ∴结合图像可得，底面边长为时，这个盒子的体积最大， 故答案为：， ②∵当时，，当时，， ∴结合图形得这个盒子的体积为2时，底面边长为或。 故答案为：或. 【点睛】此题考查函数的表示方法，函数自变量的取值范围，函数图像，解题关键在于看懂图中数据. 65．（2025·江西萍乡·二模）（1）计算：； （2）如图，在菱形中，，，对角线，交于点，过点的直线与，分别交于点，，求的最小值． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，菱形的性质，解直角三角形等知识点． （1）分别计算零指数幂，绝对值，立方根，再进行加减计算； （2）可知与，垂直时，长度最小，过点作于点，然后解求出，即为的最小值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴与，垂直时，长度最小，如图： 过点作于点， ∵， ， ∵，，， ∴， 的最小值为． 66．（25-26八年级上·上海·月考）阅读下面内容：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为________；当时，的最大值为________． (2)当时，求的最小值． (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的值、三角形的高与面积的关系及完全平方公式，熟练掌握分式的求值及完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给公式可直接进行求解； （2）由题意可把所求分式进行变形，然后再利用公式进行求解最值即可； （3）设，由题意易得，则有，然后根据题中所给公式可进行求解． 【详解】（1）解：当时，； ∴当且仅当时，即当时，有最小值2； 当时，， ∵， ∴，即． ∴当且仅当时，即当时，有最大值； 故答案为：2，； （2）解：当时， ， ∴当时，当且仅当时，即当时，y的最小值为11； （3）解：设， ∵， ∴由等高三角形可得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：，当且仅当，即时取等号， 即四边形面积的最小值为25． 67．（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和； ②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】 (1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 【答案】(1) (2)时，电流表读数的最小值为． 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用、二次函数的性质等知识点，根据题意列出正确的代数式计算并根据二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）由题意可得，然后求解即可解答；解得：； （2）由题意可得，则，当时，R有最大值4，再求出I的最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得：． ∴电路中的总电阻为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，R有最大值， ∴， ∴当时，电流表读数的最小值为． 【题型08.分式与其他知识综合题】 68．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 69．（2025·四川雅安·二模）若，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简求值等知识﹒把变形为，再依据整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵ ∴﹒ 故选：C 70．（2025·贵州黔东南·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，根据分式的加减乘除运算法则进行逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 71．（2025·安徽淮北·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、分式乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B符合题意； C. 与，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意． 故选：B． 72．（2025·云南·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方、负整数指数幂，以及合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 73．（2025·山东临沂·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 74．（2025·上海松江·一模）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了分数指数幂，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由分数指数幂得到，再求算术平方根即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 75．（2025·吉林长春·一模）计算： ． 【答案】2023 【分析】此题考查了负整数指数幂，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算负整数指数幂，有理数的乘方，然后计算加减． 【详解】解： ， 故答案为：2023． 76．（2025·内蒙古·一模）计算：； 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．首先计算负指数幂、二次根式和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：原式 ； 77．（2025·上海闵行·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分数指数幂、实数的运算和特殊角的三角函数值. 根据特殊角的三角函数值、分数指数幂和二次根式的分母有理化计算即可． 【详解】解：原式 ． 78．（2025·河北邯郸·二模）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 79．（25-26九年级上.·广东深圳·期中）（1）在实数范围内分解因式： （2）计算： （3）如图，正方形外作等腰直角，连接，则 （4）如图，在中，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是 （5）已知以点为圆心，半径为的圆的标准方程为例如：以为圆心，半径为的圆的标准方程为，则以原点为圆心，过点的圆的标准方程为 【答案】 【分析】（1）可两次利用平方差公式分解因式即可求解． （2）根据分式加减法的运算法则可先通分化为同分母的分式，再相加减． （3）作于，如图，设，根据等腰直角三角形的性质可得： ，；再利用正方形的性质得，，接着判断为等腰直角三角形得到，然后在中根据正切的定义求解即可． （4）延长交于，当时，点到的距离最小；先根据，，可得两个三角形相似，从而利用相似的性质可得比例，代入数据可得；最后结合折叠的性质和线段的和差关系可得的长． （5）根据以点为圆心，半径为的圆的标准方程为进行判断即可． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ； 故答案为：； （3）解：作于，如图所示，设． ，为等腰直角三角形， ，． 又四边形为正方形， ，， ， 为等腰直角三角形， ，， 在中， ， 即． 故答案为：； （4）解：如图，延长交于，当时，点到的距离最小， ，， ， ． ，，， ，， ， ， ， ， 点到边距离的最小值为． 故答案为：； （5）解： 以点 为圆心，半径为 的圆的标准方程为， 以原点为圆心，过点 的圆的标准方程为， 即 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查公式法分解因式，分式的加减，正方形和等腰三角形的性质，翻折变换折叠问题，相似三角形的性质与判定，圆的概念，坐标轴上点的坐标的特征，新定义等知识，灵活运用相关知识解题是解题的关键． 80．（25-26八年级上·全国·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标，有理数的乘方，代数式求值，解决本题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：1． 81．（25-26八年级上·广东广州·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的化简求值、完全平方公式，由已知方程变形得到 ，利用完全平方公式可得，最后代入化简后的表达式求解． 【详解】解：，且 ， 等式两边除以，可得：， ， ， ， ， 故选：C． 82．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数（c是常数）． (1)若二次函数的最大值为，求c的值； (2)在（1）的条件下，将二次函数向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，设m是的图象与x轴交点的横坐标，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，包括顶点式，二次函数的最大值，二次函数图象与几何变换（平移），二次函数图象与x轴的交点，代数式的求值，降次计算等，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键 ． （1）根据题意将函数化为顶点式，然后得出方程求解即可； （2）由平移方式确定函数解析式，然后得出，代入分式化简求值即可． 【详解】（1）解：二次函数， 当时，二次函数有最大值， 二次函数的最大值为， ， ； （2）由（1）知二次函数，将其向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，则， 是的图象与x轴交点的横坐标， ， ， ， ， ， ． 83．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的运算、因式分解、分式的性质等知识点，综合运用所学知识成为解题的关键． 根据题意得出，根据非负数的性质求解即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，． ， ∵， ， ∴． 故选A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03分式中考一轮复习核心讲义 1.概念与性质目标 能准确判断分式有意义、无意义、值为 0 的条件（避免漏解、忽略分母的错误）； 熟练运用分式基本性质进行约分、通分（掌握符号法则，能正确找最简公分母）； 能区分 “整式” 与 “分式”，识别 “最简分式”。 2.运算能力目标 熟练完成分式的加减、乘除、乘方运算（掌握运算顺序，避免符号、法则错误）； 能规范完成分式混合运算（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）； 运算结果能化为最简分式（避免化简不彻底）。 3.化简求值目标 掌握 “因式分解→通分 / 变乘→约分→代值” 的化简求值流程； 代值时能主动验证：代入的数需使原分式（含所有分母）有意义； 能处理含 “整式项（看作分母为 1 的分式）”“二次根式” 的化简求值题。 核心知识 点梳理 1.分式的概念 2.分式的基本性质 3.分式的运算 4.分式的化简求值(中考高频题型) 5.易错点清单 常考题型 精讲精炼 1.分式的基本概念与性质题 2.分式的加减运算题 3.分式的乘除运算题 4.分式的混合运算与化简求值 5.分式与不等式(组)综合题 6.分式的新定义与规律探究题 7.分式的实际应用与跨学科综合题 8.分式与其他知识综合题 【知识点01.分式的概念】 1.定义 若、是整式，且B中含有字母，则式子叫做分式（B≠0）。 2.分式有意义 / 无意义的条件 有意义：分母B≠0； 无意义：分母B=0。 3.分式值为 0 的条件 分子A=0且分母B≠0（需同时满足）。 4.最简分式 分子与分母没有公因式的分式。 【知识点02.分式的基本性质】 1.基本性质 分式的分子、分母同乘（或除以）不为 0 的整式，yi'cuo分式的值不变：==(C≠0) 2.符号法则 分式的分子、分母、分式本身的符号，改变任意两个，分式的值不变；改变 1 个或 3 个，分式变为原分式的相反数。 3.约分与通分 约分：约去分子、分母的公因式，化为最简分式（关键：先因式分解）。 通分：将异分母分式化为同分母分式（关键：找最简公分母）。 *最简公分母：各分母系数的最小公倍数 + 所有字母因式的最高次幂（分母为多项式时，先因式分解）。 【知识点03.分式的运算】 1. 四则运算 (1)加减法 同分母：±=； 异分母：先通分，再按同分母法则计算：±= (2)乘除法 乘法：=； 除法：==。 乘方分式的乘方：()n=（n为正整数，b≠0）。 2. 混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的；同级运算从左到右。 【知识点04.分式的化简求值（中考高频题型）】 1. 步骤： ① 括号内通分 / 因式分解； ② 除法变乘法（颠倒除式分子分母）； ③ 约分，化为最简分式； ④ 代入数值计算（注意：代入的数需使原分式有意义）。 2.注意事项： 【知识点05.易错点清单】 一、概念类易错 1.分式有意义漏解 如判断有意义的条件，易只写x≠2，实际需分母x2−4≠0，即x≠±2（需分解分母找所有零点）。 2.分式值为 0 忽略分母 如值为 0 的条件，易认为x=±3，实际需分子x2−9=0且分母x−3≠0， 故x=−3（分子为 0 且分母不为 0 需同时满足）。 二、基本性质类易错 1.符号法则混淆 如化简，易错误改变1个符号得，实际=− (改变分子、分式本身 2 个符号，值不变）。 2.通分 / 约分漏项 通分与，易漏分母的因式(x−2)，最简公分母应为2x(x−2)； 约分，易漏约(x+1)，实际需约分为。 三、运算类易错 1.分式加减错误 同分母加减：如+易算成，正确应为（分母不变，分子相加）； 异分母加减：如+易直接分子分母相加得，正确应通分后得。 2.乘除运算顺序 / 法则错误 顺序错：如÷易先算=1，正确应从左到右计算，结果为； 法则错：如÷易算成，正确应为​（除法变乘法需颠倒除式）。 3.乘方运算漏符号 / 次数 符号错：如()3易算成，正确应为−（奇次幂符号为负）； 次数错：如()2易算成，正确应为（系数也要乘方）。 四、化简求值类易错 1.代值使分式无意义 如化简得x−2后，易代入x=−2计算，实际原分式分母x+2≠0，x不能取 - 2。 2.化简不彻底 如化简，易停留在，正确需继续分解约分为（必须化为最简分式）。 【题型01.分式的基本概念与性质题】 1．（2025·重庆合川·一模）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·一模）若分式有意义，则的取值范围是 . 3．（2025·河南南阳·二模）当实数 时分式无意义． 4．（2025·广东汕头·一模）若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁丹东·二模）下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（   ） 姓名：李明班级：八班得分： 判断题（每小题分．共分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式，是分式 ②当时，分式有意义 ③若分式的值为，则 ④式子从左到右变形正确 ⑤分式是最简分式 A． B． C． D． 6．（2025·吉林长春·一模）分式和的最简公分母为 ． 7．（2025·浙江台州·二模）已知分式（，为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（   ） 3 无意义 0 2 A． B． C．3 D．4 8．（2025·广东广州·模拟预测）已知 (1)化简； (2)若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值． 【题型02.分式的加减运算题】 9．（2025·山东济南·二模）化简：结果为 ． 10．（2025·上海普陀·三模）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式 先化简，再求值：，其中 解：原式  ①   ② 当时，原式  ③ 11．（2025·天津和平·三模）计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D． 12．（2025·广东深圳·一模）计算： (1)计算：． (2)下面是某同学计算的解题过程： 解：……① ……② ……③ 上述解题过程从第 步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 13．（2025·江苏无锡·一模）（1）因式分解：； （2）化简：． 14．（2025·江苏宿迁·三模）化简： ． 15．（2025·湖北随州·二模）已知一元二次方程的两根为，，式子的值是 ． 16.（25-26八年级上·山东聊城·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 17．（2025·甘肃嘉峪关·一模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式……， ……， ……． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的的值． 18．（2025·广东深圳·二模）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式① ② ③ (1)化简过程中，从第______（填序号）步开始出现错误．错误的原因是______． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【题型03.分式的乘除运算题】 19．（2025·湖北襄阳·一模）计算 ． 20．（2025·上海·二模）化简： ． 21．（2025·辽宁本溪·二模）分式的化简结果为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·湖北随州·一模）计算： ． 23．（2025·江苏无锡·二模）（1）计算：      （2）化简： 24．（2025·河北唐山·二模）下面是嘉淇在学习了分式的运算后完成的作业：①；②；③；如果你作为老师对嘉淇的作业进行批改，那么他做对的题数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 25．（25-26七年级下·全国·单元测试）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 26．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，则 ． 27．（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，试确定A，B的值 28．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【题型04.分式的混合运算与化简求值】 29．（2025·陕西汉中·二模）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·河北承德·一模）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 31．（2025·全国·一模）请你阅读小明同学的解题过程，思考并完成下面的问题． 先化简，再求值：，其中． 解：原式 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 当时，原式． (1)以上解题过程中，第　　步是约分，其变形依据是 　　； (2)请你用更简便的方法，完成化简求值． 32．（2025·江西宜春·二模）下面是小华化简分式的过程： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 …… (1)小华的化简过程中，从第______步开始出现错误，涉及分式的约分的步骤是第______步； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 33．（2025·江西宜春·一模）先化简，再求值：，然后从中选一个合适的整数代入求值． 34．（2025·广东深圳·一模）先化简：，再从中选择一个合适的数代入求值． 35．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·月考）先化简，再求值：，然后从中选取的一个适当的数作为的值代入求值． 36．（25-26八年级上·北京·期中）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 37．（2025·河南信阳·三模）若M是一个式子，且的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所代表的式子： ． 38．（2025·全国·一模）已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 39．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)若x的值刚好使分式的值为0，求A的值． 40．（2025·江西·二模）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 下面是某同学的部分解答过程． 解：原式    第一步     第二步 …… (1)该同学的解答过程中的第一步运算，依据是 ； (2)请你帮这位同学写出完整的解答过程． 41．（2025·重庆綦江·一模）计算： (1) (2)先化简：，其中a为整数且，再选一个你喜欢的a的值代入求值． 42．（2025·重庆·模拟预测）计算． (1)； (2)先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 43．（2025·重庆璧山·三模）计算： (1)解不等式组：，并把解集表示在数轴上； (2)化简求值：，其中， 44．（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【题型05.分式与不等式.不等式(组)综合题】 45．（2025·四川达州·二模）不等式的解为（   ） A． B． C． D． 46．（2025·四川成都·二模）计算与解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组： 47．（2025·河北邯郸·三模）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡． (1)求被遮挡部分的代数式（化为最简）； (2)小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由； ①你知道小王为什么这样判断吗？ ②小王的说法全面吗？ 48．（25-26七年级上·上海·月考）已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 49．（2025·河北张家口·二模）数学活动课上，老师在黑板上写了两个代数式，，请同学们利用两个代数式提出问题，并解决问题． (1)嘉嘉：求的最小值； (2)琪琪：若的值为正整数，求整数的值． 50．（2025·重庆·一模）方程，其中，对的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行一次“偏移变化”，再对方程中的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记为偏移距离（为正整数），，则以下说法中，正确的个数是（    ） ①当时，是对方程进行三次“偏移变化”后得到方程的一组解； ②存在一个值，使得对方程进行偏移变化，偏移距离为； ③满足使为整数的的最小值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【题型06.分式的新定义与规律探究题】 51．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是 ． 52．（2025·重庆·二模）若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为 ．已知一个四位自然数（其中a，b，c，d均为整数，，且，）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的2倍与百位数字的差记为，个位数字的2倍与十位数字的和记为，则满足条件的的最大值为 ． 53．（2025·湖南永州·一模）已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则 ． 54．（2025·河南·二模）一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为（　　） A． B． C． D． 55．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 56．（2025·安徽芜湖·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式： …． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_______； (2)写出你猜想的第n个等式：_______（用含n的等式表示），并证明． 57．（2025·安徽芜湖·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 58．（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 59．（2025·安徽·一模）观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 60．（2025·重庆江津·一模）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 61．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【题型07.分式的实际应用与跨学科综合题】 62．（2025·山西晋城·一模）小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为株/时，下午种植树苗时将效率提高了，则按照小康下午提高后的效率种完株树苗需要 小时．（用含的代数式表示） 63．（2025·湖南湘潭·一模）一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（   ） A． B． C． D． 64．（2025·北京·一模）数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有趣的问题：盒子的体积与底面边长之间有某种函数关系． 他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整： (1)建立模型：设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：， ① 将①代入长方体的体积公式，得：_________② 可知，是的函数，自变量的取值范围是． (2)探究函数：根据函数解析式②，按照下表中自变量的值计算（精确到0.01），得到了与的几组对应值： … 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 … … 0.74 1.44 2.04 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 … 在下面的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： (3)解决问题：结合表中数据，并利用所画的函数图象推断： ①当底面边长为_________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大； ②这个盒子的体积为2时，底面边长为_________（精确到0.01）． 65．（2025·江西萍乡·二模）（1）计算：； （2）如图，在菱形中，，，对角线，交于点，过点的直线与，分别交于点，，求的最小值． 66．（25-26八年级上·上海·月考）阅读下面内容：当，时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为________；当时，的最大值为________． (2)当时，求的最小值． (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值． 67．（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和； ②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】 (1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 【题型08.分式与其他知识综合题】 68．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 69．（2025·四川雅安·二模）若，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 70．（2025·贵州黔东南·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 71．（2025·安徽淮北·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 72．（2025·云南·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 73．（2025·山东临沂·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 74．（2025·上海松江·一模）计算： ． 75．（2025·吉林长春·一模）计算： ． 76．（2025·内蒙古·一模）计算：； 77．（2025·上海闵行·一模）计算：． 78．（2025·河北邯郸·二模）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 79．（25-26九年级上.·广东深圳·期中）（1）在实数范围内分解因式： （2）计算： （3）如图，正方形外作等腰直角，连接，则 （4）如图，在中，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是 （5）已知以点为圆心，半径为的圆的标准方程为例如：以为圆心，半径为的圆的标准方程为，则以原点为圆心，过点的圆的标准方程为 80．（25-26八年级上·全国·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 81．（25-26八年级上·广东广州·月考）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 82．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数（c是常数）． (1)若二次函数的最大值为，求c的值； (2)在（1）的条件下，将二次函数向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度后得到新的二次函数，设m是的图象与x轴交点的横坐标，求代数式的值． 83．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $