精品解析：山东省济南市稼轩学校2025-2026学年上学期八年级12月月考数学试卷

49级初二12月份学科素养展示 数学学科 一、选择题（共10小题，每题4分，共计40分） 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”.下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式的变形正确的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 3. 已知两点，且直线轴，则（ ） A. 可取任意实数， B. ，可取任意实数 C. ， D. ， 4. 如图，是的平分线，垂直平分交的延长线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 C. 墨水污染的数据有一个是15 D. 这组数据的平均数是10 7. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 9. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，b的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A. 40 B. 28 C. 20 D. 10 二、填空题（共5小题，每题4分，共计20分） 11. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 12. 如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 13. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为_______． 14. 七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知，则图中阴影部分的面积为_________ 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为_______． 三、解答题 16. 计算 （1）； （2）． 17. 解方程组 （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，点在边上，延长交的延长线于点，已知，，求证 ：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标； （4）作出关于原点的中心对称图形． 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩： 　4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=_____，b=____，c=____． （2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异． 21. 为美化校园环境，石室联中计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，每次购进的单价相同． （1）求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？ （2）若计划购买杜鹃花、四季海棠共500盆，根据实际摆放，要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求方案所需费用． 22. 在一条笔直的城市绿道上有，两地．甲、乙二人同时出发，甲从地步行匀速前往地，到达地后立刻以原速度原路返回地，乙从地步行匀速前往地(甲、乙二人到达地后均停止运动)．甲、乙二人之间的距离(米)与出发时间(分钟)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1），两地相距________米，甲的速度为________米/分，乙的速度为________米/分； （2）求线段的函数解析式； （3）在运动过程中，当两人相距米时，请直接写出的值． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点．其中，点横坐标为6． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点是线段上的一动点（不与端点重合），过点作轴交于点，过点向轴作垂线，垂足为，连接，若四边形的面积为9，求此时点的坐标； （3）点为直线上的一点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 24. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 49级初二12月份学科素养展示 数学学科 一、选择题（共10小题，每题4分，共计40分） 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”.下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列不等式的变形正确的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐一判断四个选项，即可得到结论． 【详解】解：A. 当，，，故选项错误，不符合题意； B. 当，，，故选项错误，不符合题意； C. 由，得，故选项正确，符合题意； D. 由，得，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 3. 已知两点，且直线轴，则（ ） A. 可取任意实数， B. ，可取任意实数 C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等即可作答． 【详解】∵，且直线轴， ∴， 故选：D． 4. 如图，是的平分线，垂直平分交的延长线于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线性质可得AF=FD，根据等边对等角得到∠FAD=∠FDA，由角平分线的性质和外角性质可得结论． 【详解】∵EF垂直平分AD， ∴AF=FD， ∴∠FAD=∠FDA， ∴∠FAC+∠CAD=∠B+∠DAB． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD=∠DAB， ∴∠FAC=∠B=65°． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形外角性质，灵活运用这些性质是解答本题的关键． 5. 如图，已知直线与相交于点（2，），若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：根据题意当x＞2时，若y1＞y2． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 6. 有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 C. 墨水污染的数据有一个是15 D. 这组数据的平均数是10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，上四分位数，下四分位数，平均数，根据箱线图的定义可直接判断选项A和B，再根据上四分位数是15可判断选项C，再利用平均数的定义判断选项D． 【详解】解：A．由图可知这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B．由箱线图可知最小值是3，最大值是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项不符合题意； C．由B可知其中两个★分别为3和18，将最后一个未知的★外的数据进行排列，得3，4，4，4，7，10，11，14，15，17，18， 由上四分位数是15，共12个数据，则从小到大排列后的第9和第10个数据的平均数为15，只有当最后个未知的★时，从小到大排列后的第9和第10个数据的平均数为15，则被墨水污染的数据有一个是15，说法正确，故该选项不符合题意； D．这组数据的平均数是，说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先利用一次函数的性质确定k，b的取值是关键．根据一次函数的性质确定k，b的符号，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：C． 8. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D， 由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A， ∴△ABB′为等边三角形， ∴∠ABB′=60°，AB=B′B； 在△ABC′与△B′BC′中， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠DBB′=∠DBA=30°， ∴BD⊥AB′，且AD=B′D， ∵AC＝BC＝， ∴， ∴，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 9. 如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，b的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将，，的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得； 直线经过点A时：将代入直线中，可得，解得； 直线经过点C时：将代入直线中，可得，解得． 故b的取值范围是． + 故选：B． 【点睛】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键． 10. 如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为　　 A. 40 B. 28 C. 20 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】延长，交于点，可证，得出，，则，当时，最大为20，即最大为10． 本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键． 【详解】解：如图：延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即； ， ， 当时，最大， 即最大． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每题4分，共计20分） 11. 如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为______． 【答案】##132度 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和问题，求出正五边形和正六边形每个内角的度数，即可求解． 【详解】解：正五边形内角和为：，每个内角为：， 正六边形内角和为：，每个内角为：， 因此， 故答案为：． 12. 如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【解析】 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 13. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出二次一次方程组，求出的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：点关于轴对称， 解得 ． 14. 七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知，则图中阴影部分的面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，设，可得，解方程即可解决问题． 【详解】解：如图：设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴由题意得， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】如图：过点C作使，连接；证可得，；将最小值可转化成最小值，则当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度；；再根据求得、，即；再运用待定系数法求得直线表达式，最后将代入表达式求得x的值即可解答． 【详解】解：如图：过点C作使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴最小值可转化成最小值， 当A、D、B在同一直线上时，最小，即长度； ∵， ∴， ∴ 设表达式为:，由题意可得： ， 解得：， ∴表达式为:， 将代入得: ， 解得：， ∴D点坐标为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、两点间的距离公式等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键． 三、解答题 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可； （）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：方程组化简得，， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 18. 如图，在四边形中，点在边上，延长交的延长线于点，已知，，求证 ：． 【答案】 证明：（内错角相等，两直线平行）， ， （两直线平行，内错角相等）， 又， ， （同位角相等，两直线平行）． 【解析】 【分析】根据，可得，进而得到，结合已知条件，通过等量代换，得到，即可求解，本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质与判定定理． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出； （2）将绕点按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标； （4）作出关于原点的中心对称图形． 【答案】（1） 如图，即为所求作三角形； （2） 如图，即为所求作三角形； （3） （4） 即为所求作三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可； （3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心； （4）先得出关于原点的中心对称图形的对应点坐标分别为，，，再作图即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、， 分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心点P， 则旋转中心为； 【小问4详解】 解：略． 20. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩： 　4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=_____，b=____，c=____． （2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异． 【答案】（1）7.5，8，8；（2）200人；（3）八年级的学生成绩更优异． 【解析】 【分析】（1）由图表可求解； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异． 【详解】解：（1）由图表可得：，，， 故答案为：7.5，8，8； （2）该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为：（人， 答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人； （3）八年级的合格率高于七年级的合格率， 八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键． 21. 为美化校园环境，石室联中计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，每次购进的单价相同． （1）求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？ （2）若计划购买杜鹃花、四季海棠共500盆，根据实际摆放，要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求方案所需费用． 【答案】（1）杜鹃花每盆的价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元 （2）购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，费用最省，最省费用为6670元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设杜鹃花每盆的价格是元，四季海棠每盆的价格是元，根据两次花费建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买杜鹃花盆，所需费用为元，则购买四季海棠盆，先求出关于的一次函数关系式，再求出的取值范围，利用一次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设杜鹃花每盆的价格是元，四季海棠每盆的价格是元， 由题意得：， 解得， 答：杜鹃花每盆的价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元． 【小问2详解】 解：设购买杜鹃花盆，所需费用为元，则购买四季海棠盆， 由题意得：， ∵要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍， ， 解得， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 又是正整数， 当时，取最小值，最小值为， 此时， 答：购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，费用最省，最省费用为6670元． 22. 在一条笔直的城市绿道上有，两地．甲、乙二人同时出发，甲从地步行匀速前往地，到达地后立刻以原速度原路返回地，乙从地步行匀速前往地(甲、乙二人到达地后均停止运动)．甲、乙二人之间的距离(米)与出发时间(分钟)之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1），两地相距________米，甲的速度为________米/分，乙的速度为________米/分； （2）求线段的函数解析式； （3）在运动过程中，当两人相距米时，请直接写出的值． 【答案】（1），， （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据函数图象获取信息； （1）由知，，两地相距米，甲的速度为米分，乙的速度为米分； （2）求出，，再用待定系数法可得线段解析式为； （3）分三种情况：当两人相遇前，，当两人相遇后，，当乙到地，甲返回距地米时，，分别解方程可得答案． 【小问1详解】 解：由知，，两地相距米， 由图象可得，甲用分钟回到地， 甲的速度为米分， 乙用分钟到达地， 乙的速度为米分， 故答案为：，，； 【小问2详解】 表示甲到达地， 分， 此时乙所走路程是米， 米； ， 表示乙到达地， 此时甲返回所走路程为米， 两人相距米，即米， ， 设线段解析式为， 解得 线段解析式为； 【小问3详解】 当两人相遇前，， 解得； 当两人相遇后，， 解得：， 当乙到地，甲返回距地米时，， 解得； 综上所述，当两人相距米时，的值为或或． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点．其中，点横坐标为6． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点是线段上的一动点（不与端点重合），过点作轴交于点，过点向轴作垂线，垂足为，连接，若四边形的面积为9，求此时点的坐标； （3）点为直线上的一点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，根据三角形的面积公式求得，得到，据此求解即可； （3）先求得，过点作交直线于点，求得，推出，分两种情况讨论，在线段上截取，连接交直线于点，此时，利用待定系数法求解即可；分别过点、作坐标轴的平行线，相交于点，在线段上截取，连接交直线于点，此时，利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线相交于点，点横坐标为6， ∴， ∴， ∵直线经过，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为，则点的坐标为，再设点到的距离为，则，， ∵四边形的面积为9， ∴，即， 解得，即， 解得，则， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：令，则， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作交直线于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴，， 在线段上截取，连接交直线于点，此时， ∵，，， ∴， ∴， 此时，即， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴点的坐标为； 分别过点、作坐标轴的平行线，相交于点，交直线于点，在线段上截取，连接交直线于点， 由题意得四边形是正方形， ∴，此时即， 同理，， 同理， ∴， 此时，即， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了两条直线的交点问题，全等三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形与四边形的面积，正方形的判定和性质．作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2） 解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $