精品解析：江苏省无锡市江阴市云亭中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试题

2025-2026学年九年级（上）12月数学阶段性试卷 满分150分 一、选择题（共10小题30分） 1. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 2. 已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离，即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线l的距离为，， ∴直线与相离， 故选：． 3. 一个不透明的盒子中装有4个形状、大小、质地完全相同的小球，这些小球上分别标有、0、2、3．从中随机摸取一个小球，则摸到所标数字是负数的小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 根据概率公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸到所标数字是负数的小球的概率为， 故选：C． 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则EC的长为（　 　） A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴ ， ∵AD∶DB=3∶2，AE=6cm， ∴ ，解得： ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例基本事实是解题的关键． 5. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 由两个相似三角形的周长之比为可知相似比为，再根据面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比为， ∴相似比为， ∴面积之比为． 故选：D． 6. 某农家前年水蜜桃亩产量为900千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设从前年到今年平均增长率都为x，则去年的产量为千克，则今年的产量为千克，据此列出方程即可． 【详解】解：设从前年到今年平均增长率都为x， 由题意得，， 故选：C． 7. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 8. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接EA、EC，先证明∠AEC=90°，E、C、B共线，再根据tan∠ABC=，求出AE、EB即可解决问题． 【详解】解：如图，连接EA，EC， 设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，AE=a，EB=2a， ∴∠AEC=90°， ∵∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°， ∴∠ECB=180°， ∴E、C、B共线， 在Rt△AEB中，tan∠ABC===． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 9. 如图，平面直角坐标系中，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似比可得，则，据此可得到答案． 【详解】解：∵以A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的坐标为， 故选：D． 10. 规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论 ①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； ②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3； ③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m； ④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断； ②设x2=2x1，得到x1•x2=2x12=2，得到当x1=1时，x2=2，当x1=-1时，x2=-2，于是得到结论； ③根据“倍根方程”的定义即可得到结论； ④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，得到mn=2，然后解方程mx2-3x+n=0即可得到正确的结论； 【详解】解：①∵方程x2+2x-8=0的两个根是x1=-4，x2=2，则2×2≠-4， ∴方程x2+2x-8=0不是倍根方程，故①错误； ②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则2x1=x2， ∵x1+x2=-a，x1•x2=2， ∴2x12=2，解得x1=±1， ∴x2=±2， ∴a=±3，故②正确； ③解方程（x-3）（mx-n）=0得，， 若（x-3）（mx-n）=0是倍根方程，则或， ∴n=6m或3m=2n，故③错误； ④∵点（m，n）在反比例函数y＝的图象上， ∴mn=2，即， ∴关于x的方程为， 解方程得， ∴x2=2x1， ∴关于x的方程mx2-3x+n=0是倍根方程，故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，正确的理解倍根方程的定义是解题的关键． 二、填空题（共8小题24分） 11. 若，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知条件求出与的比值，设（），则， 再代入所求分式计算即可得出结果，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设（），则， ∴， 故答案为：． 12. 在比例尺为的地图上， A、B两地的图上距离，则A、B两地的实际距离为___ 【答案】1.25 【解析】 【分析】本题考查了比例尺，根据比例尺的定义，实际距离等于图上距离乘以比例尺的分母，然后进行单位换算即可得出结果，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵比例尺表示图上距离对应实际距离，且图上距离， ∴实际距离为， 故答案为：1.25． 13. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进所上升的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 【详解】设上升的高度为米， ∵上山直道的坡度为， ∴水平距离为米， 由勾股定理得：，解得：或（舍去）， 故答案为：． 14. 评定学生的学科期末成绩由期考分数，作业分数，课堂参与分数三部分组成，并按3：2：5的比例确定．已知小明的数学期考80分，作业90分，课堂参与85分，则他的数学期末成绩为_____． 【答案】84.5分． 【解析】 【分析】因为数学期末总评成绩由期考分数，作业分数，课堂参与分数三部分组成，并按3：2：5的比例确定，所以利用加权平均数的公式即可求出答案． 【详解】由题意知，小明的总评成绩=（80×3+90×2+85×5）÷（3+2+5）=84.5（分）． 故答案为84.5分． 15. 已知圆锥的底面半径是，母线是，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是，母线是， ∴圆锥的侧面积为 故答案为：． 16. 点C是线段的黄金分割点，若，则______（结果用含a的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割点的定义并列出关于的方程是解题的关键．用表示出，然后根据黄金分割点的定义列方程求解即可． 【详解】解：，， ， 点是线段的黄金分割点， ， ， 整理得，， 解得，（舍去）． 故答案为：． 17. 如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为______（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A作于E，则四边形是矩形，，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于E，则四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴铁塔的高度为 故答案为： 18. 已知点、，以为斜边按如图所示作（B、P、C三点按顺时针方向排列），使，连接，当线段的长最短时，点P的坐标为_______，此时_____． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质、坐标与图形、矩形的判定与性质等，求出点P的横坐标是解题的关键． 根据题意可得，设（由题意知，），如图：过点P作轴于E，轴于F，则四边形是矩形，易证可得，即，从而得到、，再根据两点间距离公式可得，根据二次函数的性质易得当时，AP最短；从而确定，即点P在第二象限；据此画出图形，并运用矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及坐标与图形求解即可． 【详解】解：如图，在中，， ∴， 设（由题意知，）， 如图：过点P作轴于E，轴于F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，AP最短， ∴， ∴， ∴点P在第二象限， 如图：过点P作轴于E，轴于F，则四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴ ∵， ∴ ∴，即． 故答案为：，4． 三、解答题（共10题，共96分） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的运算，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质等，熟记各运算法则是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，根据二次根式的运算法则，结合负整数指数幂、零指数幂进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或， ， 【小问2详解】 解： 或 ， 21. 如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）2 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定解答即可； （2）根据相似三角形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 22. 在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下： 9.6 8.8 8.8 8.9 8.6 8.7 对打分数据有以下两种处理方式： 方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计： 平均分 中位数 方差 8.9 a 0.107 方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计： 平均分 中位数 方差 b 8.8 c （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由． 【答案】（1）8.8，8.8，0.005 （2） 解：答案不唯一， 参考答案一：方式二更合理． 理由：方式二去掉了最高分和最低分，减少了极端分值对平均分的影响，比方式一更合理． 参考答案二：方式一更合理． 理由：方式一没有去掉任何数据，用6个原始数据计算平均分，能全面反映所有评委的打分结果，比方式二更合理． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、平均数、方差的数据特征进行求解即可． （2）根据方式一、二对应的数据特征进行合理分析即可． 【小问1详解】 解：将数据排序得：8.6 8.7 8.8 8.8 8.9 9.6 则位于中间的数为：8.8 ，8.8， 中位数 平均数 方差 故答案为：8.8，8.8；0.005； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了统计初步中的数据特征，涉及到平均数、中位数、方差等数据特征，熟知每个数据的特征是解决本题的关键． 23. 从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9．将这四张牌背面朝上，洗匀． （1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是奇数的概率为 ； （2）先从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回，背面朝上，洗匀，再从中随机抽出一张牌，记下牌面数字．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽出的牌上的牌面数字之和是3的倍数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率． （1）直接计算奇数牌的比例即可． （2）通过列表法求两次抽牌和是3的倍数的概率即可． 【小问1详解】 解：总共有4张牌，牌面数字分别为3，6，7，9， 其中奇数有3张（3，7，9）， ∴随机抽出一张牌是奇数的概率为． 【小问2详解】 解：列表如下： 3 6 7 9 3 6 7 9 共有16种等可能的情况，其中两次抽出的排上的牌面数字之和是3的倍数的有9种， ∴两次抽出的牌上的牌面数字之和是3的倍数的概率为：． 24. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1） ①如图，中线即为所求； ②如图，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）①尺规作边的垂直平分线，得出中点，连接即可； ②尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①略 ②理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形． 25. 如图，在中，，是的角平分线，点在边上．过点、的圆的圆心在边上，它与边交于另一点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 与圆相切， 理由如下： 如图，连接， ， ， 平分， ， ， ∴， ， ，且在圆上， 与圆相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可得，继而证明，可得，再根据切线的判断方法解答； （2）由三角函数的定义，可求得，再结合，可求出，据此求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在中， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及切线的判定与性质、平行线的判定与性质、正弦函数定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 26. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】（1）64；53； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； 【小问2详解】 解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）试探究t为何值时，△BPQ的面积是cm2； （3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形； （4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，直接写出t的值． 【答案】（1）t=1，t＝；（2）t1＝或t2＝；（3） 当t＝或或时，△BPQ是等腰三角形；（4）t＝ 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可求AB的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （2）过点P作PE⊥BC于E，由平行线分线段成比例可得PE=3t，由三角形的面积公式列出方程可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解； （4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可． 【详解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB＝＝＝10cm， ∵△BPQ与△ABC相似，且∠B＝∠B， ∴或， 当时， ∴， ∴t＝1， 当， ∴， ∴t＝； （2）如图1，过点P作PE⊥BC于E， ∴PE∥AC， ∴， ∴PE＝＝3t，. ∴S△BPQ＝×（8﹣4t）×3t＝， ∴t1＝或t2＝； （3）①当PB＝PQ时，如图1，过P作PE⊥BQ， 则BE＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t， 由（2）可知PE＝3t， ∴BE＝＝＝4t， ∴4t＝4﹣2t， ∴t＝ ②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t， 解得：t＝， ③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G， 则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t， ∵△BGQ∽△ACB， ∴， ∴ 解得：t＝． 综上所述：当t＝或或时，△BPQ是等腰三角形； （4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB＝5t， ∵AC⊥BC ∴△PMB∽△ACB， ∴＝ ∴BM＝4t，PM＝3t，且BQ＝8﹣4t，BC＝8， ∴MC＝8﹣4t，CQ＝4t， ∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP， ∴， ∴ ∴t＝ 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 28. 探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴． ① 在中，∵，∴ ． ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 【答案】（1），，，（2）（3）（4） 【解析】 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）利用（1）中结论得到，进而求出，即可得出结果； （3）延长交于点，连接，利用（1）中结论得到，证明，得到，推出，代入中，进行求解即可； （4）设，根据三角形的外角结合三角形的内角和定理推出，作，垂足分别为，则：，根据，设，则，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，分别求出的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）如图（1），过点A作于点D， 在中， ∵， ∴．① 在中， ∵， ∴．② 由①－②得：． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∵， ∴； 由（1）中结论可知：，即：， ∴， ∴正方形的面积； （3）延长交于点，连接，则：， 由（1）中结论可知：，即：， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （4）∵， ∴， 设， 则：， ∵， ∴， ∴， 作，垂足分别为，则：， ∵， ∴设，则， 在中，， ∴，， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，熟练掌握（1）中得到的结论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）12月数学阶段性试卷 满分150分 一、选择题（共10小题30分） 1. 的值等于（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 3. 一个不透明的盒子中装有4个形状、大小、质地完全相同的小球，这些小球上分别标有、0、2、3．从中随机摸取一个小球，则摸到所标数字是负数的小球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则EC的长为（　 　） A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 3cm 5. 如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们的面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 某农家前年水蜜桃亩产量为900千克，今年的亩产量为1200千克．设从前年到今年平均增长率都为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论 ①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程； ②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3； ③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m； ④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程． 上述结论中正确的有（　　） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（共8小题24分） 11. 若，则的值是__________ 12. 在比例尺为的地图上， A、B两地的图上距离，则A、B两地的实际距离为___ 13. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进所上升的高度为_____． 14. 评定学生的学科期末成绩由期考分数，作业分数，课堂参与分数三部分组成，并按3：2：5的比例确定．已知小明的数学期考80分，作业90分，课堂参与85分，则他的数学期末成绩为_____． 15. 已知圆锥的底面半径是，母线是，则圆锥的侧面积是______． 16. 点C是线段的黄金分割点，若，则______（结果用含a的代数式表示） 17. 如图，平地上一幢建筑物与铁塔都垂直于地面，，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为．则铁塔的高度为______（结果保留根号）． 18. 已知点、，以为斜边按如图所示作（B、P、C三点按顺时针方向排列），使，连接，当线段的长最短时，点P的坐标为_______，此时_____． 三、解答题（共10题，共96分） 19. 计算： （1）． （2）． 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，点D、E、F分别在等边的三边、、上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下： 9.6 8.8 8.8 8.9 8.6 8.7 对打分数据有以下两种处理方式： 方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计： 平均分 中位数 方差 8.9 a 0.107 方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计： 平均分 中位数 方差 b 8.8 c （1）a＝ ，b＝ ，c＝ ； （2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由． 23. 从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为3，6，7，9．将这四张牌背面朝上，洗匀． （1）从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是奇数的概率为 ； （2）先从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回，背面朝上，洗匀，再从中随机抽出一张牌，记下牌面数字．请利用画树状图或列表的方法，求两次抽出的牌上的牌面数字之和是3的倍数的概率． 24. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 25. 如图，在中，，是的角平分线，点在边上．过点、的圆的圆心在边上，它与边交于另一点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 26. 现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空： ， ； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 27. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）试探究t为何值时，△BPQ的面积是cm2； （3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形； （4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，直接写出t的值． 28. 探究与应用 【问题初探】（1）在等腰三角形的底边上任取一点P（不与端点重合），连接，线段有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点A作于点D， 在中，∵，∴． ① 在中，∵，∴ ． ② 由①－②得：． ∵，， ∴ ． ∴． …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是 ． 【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形中，，点D在边上，，以为边构造正方形，利用（1）中的结论求正方形的面积． 【灵活应用】（3）如图（3），是的外接圆，的平分线交于点D，连接，若，，，求的长． 【深度思考】（4）如图（4），在中，，点D、E分别在边上，且满足，交于点P，若，则的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $