精品解析：江苏省南通市崇川区2025-2026学年九年级上学期数学模拟试卷

江苏省南通市崇川区2025-2026学年度九年级上学期 数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各点中，不在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 正方体 D. 圆锥 3. 一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（ ） A. y＝－2(x－1)2＋3 B. y＝－2(x＋1)2＋3 C. y＝－(2x＋1)2＋3 D. y＝－(2x－1)2＋3 4. 如图，在8×4矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（　　） A. 125° B. 115° C. 100° D. 130° 8. 固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 题目：“已知函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，求a的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 10. 如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为（　　） A 6 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题：本题共6小题，共30分． 11. 若反比例函数的图象经过点，则的值为__________． 12. 已知中，，，，则____________________． 13. 如图，一块砖的A、B、C三个面的面积比是，如果B面向下放在地上，地面所受压强为，那么A面向下放在地上时，地面所受压强为_____． 14. 如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ____________________． 15. 如图，是内部的一点，且，．若，，则的长为__________． 16. 如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．则的度数是________；若D为的中点，则线段的最小值为________． 三、解答题：本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 （1）计算：； （2）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，求树高． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数解析式； （2）若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且，求点B的坐标； （3）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 19. 学校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机的机翼图纸．已知图纸中，均与水平方向垂直，机翼前缘、机翼后缘与水平方向形成的夹角度数分别为，，，点到直线的距离为．求机翼外缘的长度（结果保留根号）． 20. 如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 如图，数学兴趣小组成员在热气球上看到正面为横跨河流两岸大桥，并测得两点的角分别为53°和45°，已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度． （参考数据：，，） 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，．对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与交于点． （1）若，求值； （2）若，求反比例函数关系式． 23. 如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 24. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 25. 如图，在矩形中，，，点P在边上，连接，以为边，作矩形（点A，P，M，N按顺时针排列），且矩形矩形． （1）如图1，，求的正弦； （2）在（1）的基础上，求点N到直线的距离； （3）当矩形的一个顶点落在射线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市崇川区2025-2026学年度九年级上学期 数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各点中，不在函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为进行判断即可． 【详解】解：A、，故不在函数图象上，符合题意； B、，故在函数图象上，不符合题意； C、，故在函数图象上，不符合题意； D、，故在函数图象上，不符合题意； 故选A． 2. 下列几何体的俯视图是三角形的是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 正方体 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的画法和形状是解题的关键． 根据圆柱、圆锥、三棱柱、正方体的俯视图的形状进行判断即可，理解视图的定义． 【详解】解：圆柱体的俯视图是圆形， 三棱柱的俯视图是三角形， 正方体的俯视图是正方形， 圆锥的俯视图是圆形， 所以俯视图是三角形几何体三棱柱． 故选：B． 3. 一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为（ ） A. y＝－2(x－1)2＋3 B. y＝－2(x＋1)2＋3 C. y＝－(2x＋1)2＋3 D. y＝－(2x－1)2＋3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k，然后将顶点坐标代入即可求出解析式． 【详解】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y=-2（x-h）2+k， 又∵顶点坐标（-1，3）， ∴y=-2（x+1）2+3， 故答案为y=-2（x+1）2+3． 故选B． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开口方向相同，则它们二次项系数必定相同． 4. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直角中利用正切函数的定义即可求解． 详解】解：过A作于D， 在直角中，，， 则． 故选：B． 【点睛】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键． 5. 如图所示，工程上常用钢珠来测量零件上槽孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个槽孔的宽的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、垂径定理，掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设点O为圆心，过点O作，垂径定理可得，再利用勾股定理可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图，设点O为圆心，过点O作于C，连接，， 根据垂径定理可得：， ∵直径是， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系． 【详解】解： 反比例函数， 反比例函数图像在第二、四象限， 观察图像：当时， 则． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 7. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝（　　） A. 125° B. 115° C. 100° D. 130° 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形内心性质得到∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝∠ACB，则根据三角形内角和得到∠OBC+∠OCB＝（180°﹣∠A），然后利用三角形内角和得到∠BOC＝90°+∠A，再把∠A＝70°代入计算即可． 【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝180°+×70°＝125°． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义：三角形的内心是角平分线的交点和内心的性质：三角形内角∠BOC＝90°+∠A. 8. 固体糖溶于水可得到糖水．现有甲、乙、丙、丁四瓶糖水，如图，轴表示糖水质量，轴表示含糖浓度（瓶中糖固体质量与糖水质量的比值），其中乙、丁两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四瓶糖水中含糖固体质量最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，发现的值即为糖水中含糖固体质量成为解题的关键． 根据题意可知，的值即为糖水中含糖固体质量，再根据图象即可确定甲瓶糖水中含糖固体质量最少，丙瓶糖水中含糖固体质量最多，乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同解题即可． 【详解】解：根据题意，可知的值即为糖水中含糖固体质量， ∵描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两瓶糖水中含糖固体质量相同， ∵点甲在反比例函数图象下面，点丙在反比例函数图象上面， ∴甲瓶的的值最小，即糖水中含糖固体质量最少，丙瓶的的值最大，即糖水中含糖固体质量最多． 故选∶C． 9. 题目：“已知函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，求a的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（） A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对 C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与坐标轴交点问题，一次函数的图象，运用分类讨论思想解答是解题的关键．分和两种情况解答即可求解． 【详解】解：当，即时，函数为一次函数，其图象与坐标轴有两个公共点； 当时，分两种情况解答： ①函数的图象经过原点，把代入得，， ， 此时函数与坐标轴有两个公共点； ②函数的图象分别与轴、轴各有一个交点， 把代入得，， 则， ， ， ， 解得； 综上，的值为2或0或． 故选：D． 10. 如图，四边形OABF中，∠OAB＝∠B＝90°，点A在x轴上，双曲线过点F，交AB于点E，连接EF．若，S△BEF＝4，则k的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由于，可以设F（m，n）则OA=3m，BF=2m，由于S△BEF=4，则BE=，然后即可求出E（3m，n-），依据mn=3m（n-）可求mn=6，即求出k的值． 【详解】如图，过F作FC⊥OA于C， ∵， ∴OA=3OC，BF=2OC ∴若设F（m，n） 则OA=3m，BF=2m ∵S△BEF=4 ∴BE= 则E（3m，n-） ∵E在双曲线y=上 ∴mn=3m（n-） ∴mn=6 即k=6． 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质、用坐标表示线段长和三角形面积，表示出E点坐标是解题关键． 二、填空题：本题共6小题，共30分． 11. 若反比例函数的图象经过点，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记双曲线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 由反比例函数的图象经过点，可得出，解之即可得出值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． 故答案为：12． 12. 已知中，，，，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，根据正切定义即可得出答案． 【详解】∵，，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，一块砖的A、B、C三个面的面积比是，如果B面向下放在地上，地面所受压强为，那么A面向下放在地上时，地面所受压强为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意：设该砖的质量为，其为定值，且有，即与成反比例关系，且面向下放在地上时地面所受压强为帕，则把砖的面向下放在地下上，地面所受压强是． 【详解】解：设该砖的质量为，则 面向下放在地上时地面所受压强为帕，，，三个面的面积之比是 把砖的面向下放在地下上，． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 14. 如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解：为劣弧的中点， ， ， ， ， 为的直径， ，则 在中，， ∴， ． 故答案为：． 15. 如图，是内部的一点，且，．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，延长交与点，同角的补角相等，得到，三角形的内角和定理推出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：延长交与点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，是的直径，，C为半圆O的三等分点（靠近点A），P为上一动点．则的度数是________；若D为的中点，则线段的最小值为________． 【答案】 ①. ##30度 ②. 【解析】 【分析】如图所示，连接，首先求出，然后利用圆周角定理即可求出的度数；连接，，先证明点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，，当点D在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】如图所示，连接， ∵C为半圆O的三等分点（靠近点A）， ∴ ∴； 连接， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹为以为直径的，连接，，， 当点D在上时，的值最小， ∵，， ∴等边三角形， ∵， ∴， 在中，， ，， ∴， ∵， ∴． ∴线段的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆上一点到圆外一点最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题． 三、解答题：本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，求树高． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值计算和相似三角形的应用等知识． （1）根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行计算即可求解； （2）先证明，得到，代入即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵和均为直角， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． （1）求反比例函数解析式； （2）若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且，求点B的坐标； （3）若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及一次函数图象上点的坐标特征，求反比例函数解析式，反比例函数图象的对称性质，结合图象求不等式的解集．掌握反比例函数图象的性质是关键． （1）由点A坐标在正比例函数图象上可求得点A的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）因正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称，则可求得点C的坐标为．设点B的坐标为，由面积关系建立关于t的方程，求解即可； （3）由点P到x轴距离小于3，即，所以点P在直线和之间的反比例函数的图象上，借助图形即可求得m的范围． 【小问1详解】 解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，， 解得， 所以点A的坐标为 将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图所示， 因为正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称， 所以点C的坐标为 令点B的坐标为， 由得，， 解得， 所以点B的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图所示， 因为，，且点P到x轴距离小于3， 即， 所以点P在直线和之间的反比例函数的图象上， 故m的取值范围是：或． 19. 学校航模小组打算制作模型飞机，设计了如图所示的模型飞机的机翼图纸．已知图纸中，均与水平方向垂直，机翼前缘、机翼后缘与水平方向形成的夹角度数分别为，，，点到直线的距离为．求机翼外缘的长度（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作，交的延长线于，过点作于，根据正切的定义求出，进而求出，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于，过点作于， 由题意可得，，，， 则四边形、四边形为矩形， ，． 在中，， 则， ， 在中，， 则， ， 答：机翼外缘的长度为． 20. 如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C 的直线互相垂直，垂足为D，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，由为的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）连接，由，，求得，，而，所以，则，即可根据弧长公式求得的长是． 【小问1详解】 证明：连接． 是的直径， ． ， ， ， ， 又， ，即， 为上一点， 是的切线． 【小问2详解】 解：如上图，连接． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为1， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 21. 如图，数学兴趣小组成员在热气球上看到正面为横跨河流两岸的大桥，并测得两点的角分别为53°和45°，已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6℃，试求此时热气球（体积忽略不计）附近的温度． （参考数据：，，） 【答案】18.2℃． 【解析】 【分析】过作，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，由求出的长在根据温度随海拔的变化规律求解即可． 【详解】解：过作， 在中，，即， 在中，，即， 由题意得：， 解得：， 则热气球离底面高度是． 此时热气球附近的温度=℃． 答：热气球附近的温度是18.2℃ 【点睛】此题考查了解直角三角形中的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，．对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与交于点． （1）若，求的值； （2）若，求反比例函数关系式． 【答案】（1）28 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到 ,然后把 点坐标代入 ,可求得 的值; （2）利用勾股定理计算出 ,则 5 ，所以 ， 设 ，则 , ，利用反比例函数图象上点的坐标得到 ，解得 ，从而得到反比例函数解析式为 ； 【小问1详解】 矩形的顶点在轴的正半轴上，， ， 对角线相交于点， 点为的中点， 如图，过作于点，则为的中点， 易得点的坐标为，把代人，得． 【小问2详解】 ， ， 设，则， 反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，也考查了反比例函数的性质 23. 如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可． 【详解】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠A+∠ABC＝90° ∵DO⊥AB， ∴∠A+∠D＝90° ∴∠D＝∠ABC； （2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α， ∵OE＝CE， ∴∠EOC＝∠BCO＝α， 在△BCO中，α+α+90°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠A＝60°， ， ∵OA＝AB＝3， ∴OC＝OA＝3， 又 OD＝3， ∴S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC＝3×3﹣﹣＝﹣π． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，求扇形面积公式，根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC求解是解题的关键． 24. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 25. 如图，在矩形中，，，点P在边上，连接，以为边，作矩形（点A，P，M，N按顺时针排列），且矩形矩形． （1）如图1，，求的正弦； （2）在（1）的基础上，求点N到直线的距离； （3）当矩形的一个顶点落在射线上时，求的长． 【答案】（1） （2）6 （3）为4或或8 【解析】 【分析】本题考查三角函数、相似多边形的性质及相似三角形的判定和性质，关键是熟练应用相似三角形的性质求线段的长． （1）由矩形的性质得，，求出，然后在中求解即可； （2）过点作交的延长线于点，由矩形矩形，求出，证明，利用相似性质即可求解； （3）分三种情况求解：当点落在射线上时，过点作交延长线于点，证明，求出，，再证明，利用相似三角形的性质即可求解；当点落在射线上时，过点作，，垂足分别为，延长交于点，证明，求出，，再证明，求解即可；当点落在射线上时，即点与点重合，此时 【小问1详解】 解：矩形中，，， ， ， 在中，，， ． 【小问2详解】 过点作交的延长线于点， 矩形矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点N到直线的距离为6． 【小问3详解】 当点落在射线上时， 过点作交延长线于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点落在射线上时， 过点作，，垂足分别为，延长交于点， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ； 当点落在射线上时，即点与点重合，此时． 综上所述，当矩形的一个顶点落在射线上时，为4或或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $