安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年高二上学期期中考试 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑.如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无 效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合要求的， 1.圆C:x2+y2-4x+6y+5=0与圆C2:x2+y2-6x+4y+11=0的位置关系为（) A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 2.已知离心率为2的双曲线x2- m1与椭圆x2 京+121有相同的焦点，则㎡2+2- () A.21 B.19 C.13 D.11 3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=i,OC=c,点M在OA上，且 0 OM=2O1,点N为BC中点，则m等于() 3 A1a+6B.-2a++ M 2"22 3”22 B 3 3 4.已知动点P到定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为4，直线1：y=k(x+1)-2与动点P的 轨迹有交点，则实数k的取值范围为（) 1 A.[2引8.[2c.(2u+D.（引2+) 5已知椭圆E: F+=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆E于 A,B两点，若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的方程为() A+上 限Bc+D路 204 248 259 6.若直线：-y-3=0与曲线x=1+√1-0y-2沙有两个不同的交点，则k的取值范围是 () A.[长可 D-（6号o 7.已知点A(-1,1),B(3,3),线段AB为圆M的一条直径，设过点C(2,-1)且与圆M相切的 两条直线的斜率分别为k,k2,则k+k2=（) A月 c.j 8.椭圆E的中心在原点。焦点在x轴上，离心率为 2,F为E的左焦点，A是E的上顶 点，B是E的右顶点，C是E的下顶点记直线AB与直线FC的交点为D,则∠BDC的余弦 值是（) A. 2w15+V5 B.2w5-V5 c.5 D.3V5 10 10 10 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分. 9.下列命题中，正确的有() A.若向量a、6与空间任意向量都不能构成一组基，则a/b B.若非零向量a,i,c满足a⊥b,b⊥c,则有allc C.“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D.若{a+b,b+c,c+a是空间的一组基，则a,五，c也是空间的一组基 2 10.已知双曲线E:x2-上=1的左右焦点分别为F,E,点A在渐近线上，且在第一象限， 3 满足AF⊥AF,,则下列说法正确的是( A.双曲线E的渐近线方程为y=±√3x B.△AEF的面积为4√5 C.双曲线E的离心率为e=2 D,△AFF的内切圆的半径r=√5-1 11.已知曲线C:xx+yy=1,则下列说法正确的有（) A.曲线C与曲线xx-yy=1关于x轴对称B.曲线C是轴对称图形 C.曲线C是中心对称图形D.存在两条直线，使得曲线C在两条直线之间 第Ⅱ卷（非选择题) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.直线1过点(1,1)且在两坐标轴上的截距相等，则直线1的方程为 13.已知三棱锥S-ABC中，点DE平面ABC,若10SD=7SA+1SB+6DC,则 九= P知点4B为椭圆土P1上两点，且点A在第一象限，点B在第己 5w六 ,射线OA,OB的斜率分别为k,k2,则k-k2的最小值为 2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程 及验算步骤 15.己知△ABC的顶点A(6,I),AB边上的中线CM所在直线方程2x-y-5=0,AC边上 的高BH所在直线方程为x-2y-5=0 (1)求顶点C的坐标： (2)求直线BC的斜率. 16.已知点M(3,5),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)若过点M的直线/与圆C相切，求直线1的方程， (2)若直线ax-y+4=0与圆C相交于A,B两点，弦AB的长为2√5，求a的值， 3 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,且ABCD是矩形，PD=CD=2.E是 PC的中点，过E作EF⊥PB交PB于点F, (1)证明：PB⊥平面DEF; (2)若PC与平面DEF所成角的正弦值为2V2 求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值· 3 B 1成已知0为坐标鼠点，桶圆C三+片=1a>b>0)的左有袋点分别为，月 a2 FF=2,P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F,F的圆与直线x=-√2相切. (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知直线I交椭圆C于M,N两点.若直线I的斜率等于1，求△OMN面积的最大值. 19.已蜘双自线r号若=a>06>0的焦距为25，其中一条渐近线方程为厅- =0,P,Q为双曲线Γ的左、右顶点. (1)求双曲线Γ的方程. (2)过点P作动圆D(以(0，a)为圆心)的两条切线分别交双曲线Γ于异于点P的B,C两 点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 42025-2026学年高二上学期期中考试 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑，如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无 效： 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的. 1.圆C:x2+y2-4x+6y+5=0与圆C2:x2+y2-6x+4y+11=0的位置关系为() A.内含 B.内切 C,相交 D.外切 1.B 【分析】根据圆心距与半径和、差的关系判断即可得解 【详解】圆G:x2+y2-4x+6y+5=0,即(x-2)+(y+3)=8,故C(23),半径 5=22, 圆C2:x2+y2-6x+4y+11=0,即(x-3+(0y+2)}=2,故C(3,2),半径5=2， 由CC2=V(2-3)2+(-3+2)2=2=h-5,故两圆内切， 故选：B 2已知离心率为2的双曲线x2-上 1与椭圆上+少 -=1有相同的焦点，则m2+n2= n2 12 () A.21 B.19 C.13 D.11 【答案】B 1 【解析】 【分析】根据离心率公式，以及椭圆和双曲线的焦点公式，即可求解 【详解】由条件可知， =V1+m2=2, Q [V1+m2=2 m2=3 解得 1+m2=n2-12 m=16所以m2+n2-19. 故选：B. 3如图，空间四边形o45c中，8A=a,6苏-i,0C-c,点M在04上，且0册-2贵. 3 点N为BC中点，则四等于() B 、夏。方夏 2r Ir 1r B.- a+-b+二c 2 3 22 2r2r 1r c 2r2r 1r 32 -6- D. 3a+5 302c 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果 【详解】点N为BC中点， ÷贾品+"-器+器+0咒.8108+咒-15+， r 2 2 2 2 2 :w.8w贾.2-5+.2-.2+5418 3 223322 故选：B. 2 4.已知动点P到定点A(-2,0),B(2,0)的距离之和为4，直线1：y=k(x+1)-2与动点P的 轨迹有交点，则实数k的取值范围为() A[到 c.(m2m D. (w-3lvI21) 4.C 【分析】由题意直线与线段AB相交，求出直线过线段端点时的斜率即可得解 【详解】由题意，P点的轨迹为线段AB 又直线1：y=k(x+)-2过定点M(-1,-2) 所以u子2w号 2 -1 由题意，直线与线段AB相交， 所以k≤2或k2 故选：C 已知椭圆E名+片1@>h>0的右焦点为PF4,0),过点F的直线交椭圆2 A,B两点，若AB的中点坐标为M(L,-),则椭圆E的方程为() A B x2.y2 -+=1 182 204 +-1 D. x2,y2 =1 248 259 【答案】C 【解析】 【分析】点差法得到无ka一 。,从而得到及1 33动2=a,结合d2=+c2,c=16, 3 求出a2=24,b2=8,得到椭圆方程. 【详解】由题意，设A5,B(5,4小，代入椭圆方程+广 6京1， + 62 =1 可得 两式相减可-戈+片上=0， += 2 62 变形可得无kow= Q3, 又过点F的直线交椭圆E于A,B两点，且AB的中点M为(L,-), 所以B=kw=二1-0=1及 1436w=-1, 代入上式可得， =1,3h=d,又a2=B+c2,2=16, a2-31 解得a=24,bB2=8,所以椭圆E的方程为兰+上 24+8-1 -+ 故选：C 6.若直线c-y-3=0与曲线x=1+1-y-2)2有两个不同的交点，则k的取值范围是 A.B.4 c.( D.（6 6.B 【分析】易得直线：-y-3=0为过点P(0,-3)的动直线，曲线x=1+1-0y-2)2为以 (1,2)为圆心，1为半径的半圆，进而结合图象求解即可， 【详解】直线x-y-3=0为过点P(0,-3)的动直线， 曲线x=1+V1-y-2)2,即为半圆(x-1)2+y-2)=1(x≥1)， 圆心为(1,2)，半径为1，设半圆最下方的点为M(1,),如图， 4 3 2 当直线c-y-3=0与半圆相切时，有 k-5 =1,解得k2 V1+k2 当直线c-y-3=0过点M(1,)时，有k-1-3=0,即k=4; 因为直线：-y-3=0与半圆有两个不同的交点，所以2<k≤4， 5 则k的取值范围是 故选：B 7.已知点A(-1,1),B(3,3),线段AB为圆M的一条直径.设过点C(2,-1)且与圆M相切的 两条直线的斜率分别为k,无2，则k+k2=() A B.3 2 C·3 D. 2 7.D 【分析】根据A(-1,1),B(3,3)可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切 即可求解 【详解】由于点A(-1,1),B(3,3),线段AB为eM的-条直径，故圆心M M2),图的￥径为r号=(1-3旷+0-3可=5， 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为y=(x-2)-1, 由相切可得 k-1-2=r=5,化简可得2k2-3张-2=0 V1+k2 故，k是方程22-3张-2=0的两个根，故k+k,=3 2 5 故选：D 8.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为V ,F为E的左焦点，A是E的上顶 点，B是E的右顶点，C是E的下顶点记直线AB与直线FC的交点为D,则∠BDC的余 弦值是(） A.25+5 B.25-5 C. 15 D. V5 10 10 10 10 8.A 【分析】由椭圆的离心率和已知条件表示出直线AB,CF的斜率，即可求出 am∠DFH=V5 3，ta☑DF二。，再由同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式即可得 出答案， 详解】由离心率为，可得=，又因为2b2+c3 a 2 所以a=2b,c=V36,所以A(0,b),F36,0,B(2b,0),C(0,b) 所以直线的斜率为知=，直线心的斜率为。=。 3 所以an∠DFB=-V5 x，又国为>，x= 设椭圆的左端点为H, 所以m∠DI-号，D}所以DI,D8r引 2 所以sin∠DFH=1,。 F2cos∠DFH=V3。 2,si∠DBH= 5,cos∠DBH=2V5 5 因为∠BDC=∠DFH-∠DBH, 所以cos∠BDC=cos(∠DFH-∠DBO)=cos∠DFHcos∠DBH+sin∠DFHsin∠DBH =5x25,lx5_2+5 Γ2×525-10 故选：A. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分. 9.下列命题中，正确的有() A若向量a、名与空间任意向量都不能构成一组基，则a/店 B.若非零向量a,方，c满足a⊥方，方⊥c,则有ac C.“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件 D.若{a+i,b+c,c+a是空间的一组基，则{位，C (IIIIII 也是空间的一组基 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面、倾斜角和斜率的关系、充要条件等知识对 选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】A选项，：a,)与任何向量都不构成空间向量的基底， a,b只能为共线向量，ah,A对： B选项，取a=(L,0,1),b=(-11,1),=(L,2,-1),显然满足a1b,a1c, 但b与c不平行，B不对： C选项，倾斜角相等时，可能倾斜角都是90°，此时直线没有斜率，所以C选项错误 D选项，：a+方，b+c,c+a为一组基底， 7 ∴对于空间任意向量d,存在实数m,n,t, 使d=m(a+b)+n6+)+i(+a)=(m+)a+(m+m)i+(n+)E, a,方，c也是一组基底，D对： 故选：AD 10,已知双曲线E:子-_”=1的左右焦点分别为R,R,点A在渐近线上，且在第一象限， 3 满足A织上AF2,则下列说法正确的是( A.双曲线E的渐近线方程为y=士v3x B.△AF2的面积为4V5 C,双曲线E的离心率为e=2 D.△AFF的内切圆的半径 r=V3-1 10.ACD 【分析】根据双曲线的性质，可求双曲线的渐近线和离心率，可判断AB的真假；确定A 点坐标，根据直角三角形的面积公式求△AFF2面积，判断C的真假；利用面积法求三角 形内切圆半径，判断D的真假. 【详解】如图 送项A:对双曲线E:2-号1，a1,=5,c=N+你=3=2 所以双曲线E的渐近线方程为y=士x=士3x,故A正确； 选项B:因为AR⊥AF,,且O为FF的中点， 8 所以OA=2,又A在y=V5x,x>0上， 所以点，3，得AE=2,A=25, 又64=25：故B错误： 选项C:双曲线E的离心率为e=C=2,故C正确： 选项D:因为△AE为直角三角形，所以内切圆半径 2SVAFF 4V3 r=4+A+RB23+2+4 5-1,故D正确. 故选：ABD 11.已知曲线C:xx+yy=1,则下列说法正确的有() A,曲线C与曲线xx-yy=1关于x轴对称 B.曲线C是轴对称图形 C,曲线C是中心对称图形 D,存在两条直线，使得曲线C在两条直线之间 11.ABD 【分析】先去绝对值符号，再画出图形，再结合双曲线和圆的知识，根据曲线对称性含 义，逐个检验判定， 【详解】当x≥0，y20时，曲线C的方程为x2+y2=1(x≥0，y≥0)， 这是单位圆在第一象限的部分（包括边界）· 当x≥0，y<0时，曲线C的方程为x2-y2=1(x≥0)，这是双曲线x2-y2=1在x≥0的部分 当x<0,y≥0时，曲线C的方程为-x2+y2=1y≥0)， 这是双曲线-x2+y2=1在y≥0的部分 当x<0,~0时，曲线C的方程为-x2-y2=1,无实数解 9 画出图形，如图所示， 当点(x,y)在曲线C上，则(x,一y)在曲线xx-yy=1上，点(y,x)还在曲线C上， 而当点(x,y)在曲线xx-yy=1时，(（x,-y)在曲线xx+yy=1, 故选项AB正确； 对于曲线C,当x,y≥0时，x2+y2=1; 当x≥0y≤0时，x2-y2=1; 当x≤0，y20时，y2-x2=1; 双曲线有共同的渐近线y=x,而圆与y=-x+V2相切， 故存在两条直线，使得曲线C在两条直线之间，曲线C明显不是中心对称图形， 故选：ABD 【点睛】结论点睛：曲线的对称性有如下常见结论： ()将方程中的x换成-x,若方程不变，则曲线关于y轴对称； (2)将方程中的y换成-y,若方程不变，则曲线关于x轴对称； (3)将方程中的的x换成-x,y换成-y,若方程不变，则曲线关于原点对称； (4)将方程中的的x换成y,y换成x,若方程不变，则曲线关于yx对称； (⑤)将方程中的的x换成-y,y换成-x,若方程不变，则曲线关于y=-x对称. 10