精品解析：山东省威海临港经济技术开发区蔄山中学2025-2026学年上学期九年级数学12月质量检测模拟试题

2025-2026学年度第一学期12月质量检测模拟 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 下列几何体的主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别得出三棱柱、圆柱、圆锥、球体的主视图、左视图，然后进行判断即可． 【详解】解：三棱柱的主视图为长方形，左视图是三角形，因此选项A符合题意； 圆柱体的主视图、左视图都是长方形，因此选项B不符合题意； 圆锥体的主视图、左视图都是三角形，因此选项C不符合题意； 球体的主视图、左视图包括俯视图都是圆形的，因此选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】考查简单几何体的三视图，主视图、左视图、俯视图就是从正面、左面、上面三个方向看所得到的图形． 2. 小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面.已知扇形的半径为5cm,弧长是8cm，那么这个圆锥的高是（ ） A. 8cm B. 6cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】结合圆锥的性质和勾股定理即可计算出圆锥的高. 【详解】设圆锥底面半径为，由题可知圆锥底面周长为，即，解得，圆锥的母线长，由勾股定理得. 故选C. 【点睛】本题主要考查圆锥的性质和勾股定理. 3. 如图，将等腰绕点B顺时针旋转得到，使得点、C、在一条直线上，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据旋转的性质和等量代换求出，再根据三角函数求出，最后计算即可． 【详解】如图，过点C作于点D ∵将等腰绕点B顺时针旋转得到， 设为x， 在中， 在中， 即 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M（6，），N（，6），∴BN=6﹣，BM=6﹣．∵△OMN的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×=10，∴k=24，∴M（6，4），N（4，6）．作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值．∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′= = =．故选C． 5. 如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数k的几何意义等知识点，由反比例函数k的几何意义得到与面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比的平方得到与面积之比，设面积为x，列出关于x的方程，进而即可得解，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 【详解】如图，连接，过点C作轴，     ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 设面积为，根据反比例函数k的意义得到面积为， ∵， ∴与面积之比为， ∵的面积为，， ∴的面积为， ∴面积为，即的面积为， 解得， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】解：①中由即可得到，再由正切等于对边比邻边即可求解； ②中先证明得到EM=EC，DM=FC，再证明即可求解； ③中先证明GECM，得到即可求解； ④中由得到，再由即可求解． 【详解】解：①∵， ∴∠DMF=90°=∠NCF，且对顶角∠MND=∠CNF， ∴∠GFB=∠EDC， ∵ABCD为正方形，E是BC的中点， ∴BC=CD， ∴，①正确； ②由①知， 又，已知， ∴()， ∴， ∴， ∵，，， ∴()， ∴，故②正确； ③∵，， ∴BE=ME， 且∠B=∠GME=90°，GE为和的公共边， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 由三角形外角定理可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③错误； ④由上述可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7. 如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得，设，则有，则有，，然后可得，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则有， ∵， ∴由勾股定理可得， ∵的面积为5， ∴， ∵， ∴，即，化简得：， 解得：或， 当时，则AC=2，与题意矛盾，舍去； ∴当时，即，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 8. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①b2＞4ac；②ax2＋bx＋c≥﹣6；③9a﹣3b＋c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y＝ax2＋bx＋c上的点（﹣1，﹣4）的对称点为（﹣5，﹣4），则可对④进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，则根据二次函数的性质可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac，所以①正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），开口向上， ∴当x＝﹣3时，函数有最小值， ∴ax2＋bx＋c≥﹣6，所以②正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6）， ∴9a﹣3b＋c＝﹣6，所以③正确； ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（﹣1，﹣4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3， ∴点（﹣1，﹣4）关于直线x＝﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上， ∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3， 而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上， ∵﹣3﹣（﹣5）＞﹣2﹣（﹣3）， ∴m＜n，所以⑤错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 9. 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线上的一点，过点P作的一条切线为切点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定点和点坐标，再计算出，则，再利用切线性质得到，根据勾股定理得到，于是可判断最小时，最小，的值最小，然后求出此时的长，再计算的最小值． 【详解】解：作于，连接、， 如图， 当时，，则， 当时，，解得，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵最小时，的值最小， ∵最小时，最小， ∴当，即点运动到点时，最小，的值最小， 此时， ∴的最小值． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定垂直时的值最小． 10. 如图（1），在中，，动点P从点C出发，以的速度沿折线匀速运动，点P出发一段时间后，动点Q从点B出发，以相同的速度沿匀速运动．当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，此时点P，Q停止运动．设点P的运动时间为，的面积为，S关于t的函数图象如图（2）所示（当点P与点B，C重合时，不妨设，其中当时，函数图象为线段，当，时，函数图象均为抛物线的一部分）．若的面积为2，则t的值为（　　） A. B. 或6 C. 或10 D. ，6或10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 当时，点还未出发，点在上运动；当时，点在上运动，点在上运动；当时，点在上运动，点在上运动，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，函数图象为线段， ∴当时点还未出发，当时, 点开始出发，此时， ∵当时，函数图象均为抛物线的一部分， ∴点在上运动，点在上运动，当时，点P到达点A， ∴， 当点在上时，且时，， ∵当时，函数图象均为抛物线的一部分， ∴点在上运动，点在上运动， ∵当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，又两点运动速度相同， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得，（负值不合题意，舍去）， ，， ， ， 当时，， 令，得； 当时，， 此时随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为； 当时，， 令，得，（不合题意，舍去）． 综上所述若的面积为2，则的值为或6． 故选：B． 二、填空题(共5题) 11. 桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由_____个这样的正方体组成． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是要有空间想象能力． 由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行，可得最底层几何体最多正方体的个数；由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体，相加可得所求． 【详解】解：∵由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行， ∴最底层几何体最多正方体的个数为：， ∵由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体， ∴第二层共有2个正方体， ∴该组合几何体最多共有个正方体． 故答案为：8 12. 从数﹣3，，0，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b．若k＝a+b，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数 的图象经过第一、三象限，得k＞0，然后分别取a=-3，a=-，a=0，a=2几种情况列举出所有等可能结果及满足条件结果，进行计算. 【详解】解：反比例函数 的图象进过第一、三象限，得k＞0， （1）a=-3时，b取-、0、2时，k+b均小于0； （2）a=-时，b取-3、0、2时，只有当b=2时，k+b＞0， （3）a=0时，b取-3、-、2时，只有当b=2时，k+b＞0， （4）a=2时，b取-3、-、0时，当b取0和-时，k+b＞0， 故一共有12种等可能的结果，满足条件的占4种， 概率为 ； 故答案为. 【点睛】本题考查反比例函数的性质及利用列举法求概率，注意分类讨论思想的应用. 13. 如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，以正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积为______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：如图，设点O为弧的一个交点．连接OA、OB，则△OAB为等边三角形，∴∠OBC=30°，过点O作EF⊥CD，分别交AB、CD于点E、F，则OE为等边△OAB的高，∴OE=AB=，∴OF=．过点O作PQ⊥BC，分别交AD、BC于点P、Q，则OQ=1， S弓形OmC=S扇形OBC﹣S△OBC==， ∴S阴影=4（S△OCD﹣2S弓形OmC）==． 故答案为． 考点：1．扇形面积的计算；2．正方形的性质；3．几何图形问题；4．综合题． 14. 如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，，．出纸盘EP下方为一段以O为圆心的圆弧，与上部面板线段AE相接于点E，与CD相切于点D．测得，．进纸盘CH可以随调节扣HF向右平移，，．当HF向右移动6cm至时，点A，D，在同一直线上，则AB的长度为______ cm．若点E到AB的距离为16cm，，连接PO，线段OP恰好过的中点．若点P到直线BC的距离为32cm，则______cm． 【答案】 ①. 34 ②. 【解析】 【分析】过F′作FG⊥AB于G交CD于M，由，，可证四边形BGF′H′是矩形，由DM∥AG，可证△DMF′∽△AGF′，可得，可求cm，连接OD，PD，ED交OP于N，过E作EJ⊥AB于J，EK⊥OD于K， 过P作PR⊥BH于R，交OD延长线于L，OD⊥CD，AB∥CD，可得EJ∥OD，EK⊥JE，由tanA=4，JE=16cm，可求可求EK=12cm，KD =8cm，由PO过中点，利用垂径定理，PE=PD，由勾股定理ED，可得ND=EN=2，可证△EKD∽△OND，可求OD=13，由tan∠POL=tan∠DEK=，设PL=2m，OL=3m，求出m的值，利用勾股定理解之即可． 【详解】解：过F′作FG⊥AB于G交CD于M， ∵，， ∴∠GBH′=∠BH′F′=∠F′GB=90°， ∴四边形BGF′H′是矩形， ∴GF′=BH′，F′H′=FH=MC=GB=2cm， ∵DM∥AG， ∴∠F′DM=∠F′AG，∠F′GA=∠F′MD， ∴△DMF′∽△AGF′， ∴， ∵cm， ，cm，DM=DC-CM=18-2=16cm， ∴， ∴cm， ∴AB=AG+BG=32+2=34cm， 连接OD，OE，PD，ED交OP于N，过E作EJ⊥AB于J，EK⊥OD于K， 过P作PR⊥BH于R，交OD延长线于L， ∵OD⊥CD，AB∥CD， ∴EJ∥OD，EK⊥JE， ∵tanA=4，JE=16cm， ∴，， ∵EK=AB-AJ-CD=34-4-18=12cm，KD=BC-JE=24-16=8cm， 在Rt△EKD中，由勾股定理ED=， ∴ND=EN=2， ∵EK⊥OD，ON⊥ED， ∴∠EKD=∠OND=90°， ∴∠EDK=∠ODN， ∴△EKD∽△OND， ∴即， ∴OD=13， ∵tan∠POL=tan∠DEK=， ∴设PL=2m，OL=3m， ∴DL=OL-OD=3m-13， 又∵DK=BC-JE=24-16=8, ∴OK=OD-DK=13-8=5, 在直角△OEK中， EK= , ∴PL=EK+(AB-PR)=14, 即2m=14， ∴OL=3m=21， ∴DL=OL-OD=21-13=8， 在Rt△PDL中， PD= 故答案为：34， ． 【点睛】本题考查矩形判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，一元二次方程解法，掌握以上知识、灵活应用数形结合的思想是解题关键． 15. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 【答案】的值为8或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 三、解答题(共8题) 16. 如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图. （1）写出这个几何体的名称； （2）画出它的一种表面展开图； （3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积. 【答案】（1）正三棱柱； （2）表面展开图为：（答案不唯一，画出其中正确的一种即可） （3）． 【解析】 【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可以得到此几何体为正三棱柱； （2）表面展开图应会出现三个长方形，两个三角形； （3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为3cm和2cm，求出一个长方形的面积，再乘以3即可解答． 【详解】解：（1）这个几何体的名称是正三棱柱； （2）略 （3）（）， ∴这个几何体的侧面积为． 【点睛】此题主要考查从三个方向看几何体和利用展开图求几何体侧面积等的相关知识，考查学生的空间想象能力；注意棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱． 17. 如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝图象相交于点A(﹣1，2)与点B(﹣4，n)． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在第二象限内，观察函数图像，直接写出不等式ax+b＜的解集． 【答案】（1）y＝﹣，y=（2）（3）﹣5＜x＜﹣4或﹣1＜x＜0 【解析】 【分析】（1）将点A（-1，2）代入反比例函数解析式即可求得反比例函数解析式，将两点代入一次函数即可求得一次函数解析式. （2）求得C点的坐标后利用求面积即可. （3）根据图像即可得到结论. 【详解】（1）将点A（﹣1，2）代入函数y＝， 解得：m＝﹣2， ∴反比例函数解析式为y＝﹣， 将点A（﹣1，2）与点B（﹣4，）代入一次函数y＝ax+b， 解得：a＝，b＝ ∴一次函数的解析式为y＝+； （2）C点坐标（﹣5，0） ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝5﹣＝； （3）由图象知，不等式ax+b＜的解集为：﹣5＜x＜﹣4或﹣1＜x＜0． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键． 18. 日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m． （1）求山坡EF的水平宽度FH； （2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？ 【答案】（1）9m （2）29m 【解析】 【分析】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH=i=1：0.75=，设EH=4xm，则FH=3xm，由勾股定理求出EF=5xm，那么5x=15m，求出x=3m，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m； （2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式≥1.25，解不等式即可． 【小问1详解】 在Rt△EFH中，∵∠H＝90°， ∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝， 设EH＝4xm，则FH＝3xm， ∴EF＝＝5xm， ∵EF＝15m， ∴5x＝15m，x＝3m， ∴FH＝3x＝9m． 即山坡EF的水平宽度FH为9m； 【小问2详解】 ∵l＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13， h＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，h1＝0.9， ∴日照间距系数＝l：（h﹣h1）＝， ∵该楼的日照间距系数不低于1.25， ∴≥1.25， ∴CF≥29． 答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少29m远． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． 19. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，，的延长线交于点G，，于点E，交于点F，于点H． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在圆内接四边形中，， ， ， ，， ， ， ∴是等腰三角形； （2） 证明：，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 连接、， ，，， ∴， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出，再结合题意得出，即可得证； （2）先证明得出，连接、，再证明即可得证； （3）由勾股定理可得，证明，求出，，从而可得，再证明，设，，则，求出，证明是的中位线，得出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ， ，， ∴， ∴，即， 解得， ， ∴， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则， 解得， ∵于点H， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 在中，由得，， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数过点，两点，确定，待定系数法计算即可． （2）根据平移思想，设解析式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ∴， 故反比例函数的解析式为， ∴， 故， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 ∵，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位， 故， ∵在上， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设与x轴交于点C，连接，如图所示： 把代入，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴当时，符合题意． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 21. 某工厂制作A、B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等． （1）制作一件A和一件B分别获利多少元？ （2）工厂安排65人制作A、B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A、C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式． （3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值． 【答案】（1）制作一件获利15元，制作一件获利120元 （2） （3）制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为3198元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用．根据题意列出方程，把实际问题转化为函数问题是解题的关键． （1）设制作一件获利元，则制作一件获利元，根据题意，列出分式方程进行求解即可； （2）设每天安排人制作，人制作，根据要求每天制作A、C两种手工艺品的数量相等，得到人制作，根据总人数为65人，列出函数关系式即可； （3）根据总利润等于三种手工艺品的利润之和，列出二次函数，再根据二次的性质，求函数最值即可． 【小问1详解】 解：设制作一件获利元，则制作一件获利元， 由题意得：，解得， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：制作一件获利15元，制作一件获利120元． 【小问2详解】 设每天安排人制作，人制作，由题意，得：制作的有人， 则：， ∴ 答：与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 由题意得： ， 又∵， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵当时，的值不是整数， ∴当时，元． 此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为3198元． 22. 已知与相交于A，B两点，点在上，C为上一点（不与点A，B，重合），直线与交于另一点D． （1）如图1，若是的直径，是的直径，求证：； （2）如图2，若C是外一点，求证：； （3）如图3，若C是内的一点，判断（2）中的结论是否仍然成立． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵是的直径， ∴，即， 又∵是的直径， ∴， ∴垂直平分， ∴． （2） 证明：如图2，连接，延长交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴． （3）仍然成立 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． （1）连接，先根据圆周角定理可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质即可得证； （2）连接，延长交于点，连接，先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据平行线的性质即可得证； （3）仍然成立，理由是：连接，延长交于点，连接，先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据平行线的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：仍然成立，理由如下： 如图3，连接，延长交于点，连接， 由圆内接四边形的性质得：， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∴． 23. 如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． （1）写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； （2）若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； （3）为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可； （2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解； （3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由翻折可知：. 令，解得：，， ∴，， 设图象的解析式为，代入，解得， ∴对应函数关系式为=． 【小问2详解】 解：联立方程组， 整理，得：， 由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根， 由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点； 【小问3详解】 解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x= 对称， ∴点N的横坐标为1，∴； 如图2，当时，，此时，点纵坐标为2， 由，解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以； 如图3，当时，，此时，直线的解析式为， 联立方程组：，解得，（舍）， ∴N的横坐标为， 所以， 因此，综上所述：点坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期12月质量检测模拟 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 下列几何体的主视图与左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面.已知扇形的半径为5cm,弧长是8cm，那么这个圆锥的高是（ ） A. 8cm B. 6cm C. 3cm D. 4cm 3. 如图，将等腰绕点B顺时针旋转得到，使得点、C、在一条直线上，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=(x＞0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是( ) A. B. 10 C. D. 5. 如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于C、D两点，，的面积为，则k等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 在正方形中，，点E是边的中点，连接，延长至点F，使得，过点F作，分别交、于N、G两点，连接、、，下列正确的是：①；②；③；④（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①b2＞4ac；②ax2＋bx＋c≥﹣6；③9a﹣3b＋c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点P是直线上的一点，过点P作的一条切线为切点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图（1），在中，，动点P从点C出发，以的速度沿折线匀速运动，点P出发一段时间后，动点Q从点B出发，以相同的速度沿匀速运动．当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，此时点P，Q停止运动．设点P的运动时间为，的面积为，S关于t的函数图象如图（2）所示（当点P与点B，C重合时，不妨设，其中当时，函数图象为线段，当，时，函数图象均为抛物线的一部分）．若的面积为2，则t的值为（　　） A. B. 或6 C. 或10 D. ，6或10 二、填空题(共5题) 11. 桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由_____个这样的正方体组成． 12. 从数﹣3，，0，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b．若k＝a+b，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限的概率是_______． 13. 如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，以正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积为______. 14. 如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，，．出纸盘EP下方为一段以O为圆心的圆弧，与上部面板线段AE相接于点E，与CD相切于点D．测得，．进纸盘CH可以随调节扣HF向右平移，，．当HF向右移动6cm至时，点A，D，在同一直线上，则AB的长度为______ cm．若点E到AB的距离为16cm，，连接PO，线段OP恰好过的中点．若点P到直线BC的距离为32cm，则______cm． 15. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 三、解答题(共8题) 16. 如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图. （1）写出这个几何体的名称； （2）画出它的一种表面展开图； （3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积. 17. 如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝图象相交于点A(﹣1，2)与点B(﹣4，n)． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）在第二象限内，观察函数图像，直接写出不等式ax+b＜的解集． 18. 日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m． （1）求山坡EF的水平宽度FH； （2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？ 19. 如图，四边形内接于，对角线是的直径，，的延长线交于点G，，于点E，交于点F，于点H． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：； （3）若，，求的长． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值． 21. 某工厂制作A、B两种手工艺品，B每天每件获利比A多105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等． （1）制作一件A和一件B分别获利多少元？ （2）工厂安排65人制作A、B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．在不增加工人的情况下，增加制作C．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A、C两种手工艺品的数量相等．设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数关系式． （3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值． 22. 已知与相交于A，B两点，点在上，C为上一点（不与点A，B，重合），直线与交于另一点D． （1）如图1，若是的直径，是的直径，求证：； （2）如图2，若C是外一点，求证：； （3）如图3，若C是内的一点，判断（2）中的结论是否仍然成立． 23. 如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点． （1）写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式； （2）若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值； （3）为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $