圆锥曲线：外接圆问题、内切圆问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线：外接圆问题、内切圆问题专项训练 圆锥曲线：外接圆问题、内切圆问题专项训练 考点目录 外接圆问题 内切圆问题 考点一 外接圆问题 例1．（25-26高二上·广东广州·月考）已知抛物线的焦点为，过轴上一点作的切线(在上，且异于原点)，与交于，两点． (1)证明：. (2)若的外接圆圆心在轴上，求直线的方程． 例2．（25-26高二上·福建厦门·月考）双曲线经过点且渐近线方程为 (1)求，的值 (2)点A，B，D是双曲线上不同的三个点，且B，D两点关于轴对称，的外接圆经过原点，求证：直线与圆相切 例3．（25-26高三上·天津·月考）已知和为椭圆上两点． (1)求C的标准方程； (2)若过点A的直线l交C于另一点B，的面积为24，且的外接圆圆心在y轴上，求直线l的方程； 例4．（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)，是椭圆上异于点的两动点，直线､的斜率互为相反数. （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求外接圆在点处的切线的方程. 变式1．（25-26高三上·贵州·月考）设抛物线，直线，直线.已知与的四个交点组成的四边形面积为12. (1)求的方程； (2)记四边形外接圆圆心为，以为圆心作圆，已知圆与有4个交点. （i）求圆半径的取值范围； （ii）求圆与的4个交点组成的四边形面积的最大值. 变式2．（25-26高二上·湖南株洲·月考）点A为直线上的动点，O为坐标原点，过点A作直线l垂直于y轴，过点O作直线OA的垂线交直线l于点P． (1)求点P的轨迹方程； (2)记P点轨迹为曲线C，C上一定点B，过B作两不同直线分别交C于M，N两点， ①直线BM、BN的斜率满足，且直线MN过点，求定点B坐标； ②若点，且直线BM、BN的斜率满足，设的外接圆为圆E，过点B作曲线C的切线m，判断直线m与圆E位置关系，并说明理由． 变式3．（2025·江苏宿迁·二模）已知双曲线的实轴长为4，一条渐近线的方程为，过点的直线与C的右支交于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)P是x轴上的定点，且． （i）求P的坐标： （ii）若的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积． 变式4．（2025·浙江杭州·一模）已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 考点二 内切圆问题 例1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）已知抛物线C：，O为坐标原点，若直线与C交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆过点O． (1)求抛物线C的方程； (2)若M，N是C上与O不重合的两点，且的内切圆的圆心为，求内切圆D的半径r． 例2．（24-25高二下·广东湛江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，动直线过点与椭圆相交于两点． (1)当轴时，求的外接圆的方程； (2)求内切圆半径的最大值． 例3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的动直线 l与C 交于P，Q两点.当轴时，，且直线的斜率之积为. (1)求C的方程; (2)求的内切圆半径r的取值范围. 例4．（2025·山西晋城·模拟预测）已知抛物线C：（）的准线与圆O：相切． (1)求C的方程； (2)设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是的内切圆． ①若，求点P的横坐标； ②求面积的最小值． 变式1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过的动直线与交于两点，当轴时，且直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆方程； (2)若的内切圆半径为，求直线的方程． 变式2．（25-26高二上·山东青岛·月考）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 变式3．（25-26高二上·湖北武汉·月考）如图，动直线与抛物线：交于A，B两点，点C是以AB为直径的圆与的一个交点（不同于A，B），点C在AB上的投影为点M，直线为的一条切线.      (1)证明：为定值； (2)求与的内切圆半径之和的取值范围. 变式4．（24-25高二上·河南·期中）已知椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：外接圆问题、内切圆问题专项训练 圆锥曲线：外接圆问题、内切圆问题专项训练 考点目录 外接圆问题 内切圆问题 考点一 外接圆问题 例1．（25-26高二上·广东广州·月考）已知抛物线的焦点为，过轴上一点作的切线(在上，且异于原点)，与交于，两点． (1)证明：. (2)若的外接圆圆心在轴上，求直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）解法一：易知，由题可设直线，令得. 设直线，与抛物线联立可得， 由解得,代入中得， 解得，则，即. 则有，， 所以，即. 解法二：设直线斜率为，设，则直线， 与抛物线联立可得，而， 则，由整理得，即. 所以，即，令，得，即. 所以，而， 所以，即. （2）解法一：由（1）知，与抛物线联立可得， 则有，设中点,由题意和抛物线对称性可知， 与同侧和与同侧的解法完全一致，不妨可设与同侧，如图所示， 则，代入直线中可得， 即. 设的外接圆圆心为，则垂直平分，则直线斜率为， 所以，令得，即． 而由（1）知，则， .又因为， 所以. 由弦长公式可得， 由得， 则，化简得， 则，，则直线方程为或． 解法二：由的外接圆圆心在轴上，抛物线和圆关于轴对称，不妨可设与 同侧，如图所示， 则可知的外接圆经过抛物线上的另外一点，且与关于轴对称，与关于轴对称， 由则得，由（1）知，可设直线， 此时. 将代入直线方程可得，则， 所以，则直线方程为或． 例2．（25-26高二上·福建厦门·月考）双曲线经过点且渐近线方程为 (1)求，的值 (2)点A，B，D是双曲线上不同的三个点，且B，D两点关于轴对称，的外接圆经过原点，求证：直线与圆相切 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题可知，解得. （2）由（1）知，双曲线的方程为：. 设，，. 所以的外接圆圆心在的垂直平分线，即轴上，设圆心为. 因为的外接圆经过原点，所以其半径为. 所以，整理得 所以和是关于的方程，即的两根. 所以①. 易知直线的斜率不为零，设直线的方程为，即. 由，得. 所以②， 所以，所以 所以原点到直线的距离为， 所以， 所以直线与圆相切. 例3．（25-26高三上·天津·月考）已知和为椭圆上两点． (1)求C的标准方程； (2)若过点A的直线l交C于另一点B，的面积为24，且的外接圆圆心在y轴上，求直线l的方程； 【答案】(1) (2)直线l的方程为 【详解】（1）将和代入椭圆方程可得，解， 所以C的标准方程为. （2）由题意，则AP的垂直平分线的斜率， 由的中点坐标为，即为， 所以AP的垂直平分线方程为，即， 令，可得，即的外接圆圆心为， 所以的外接圆的半径， 设点B坐标为，由题意得， 所以，解得或4， 当时，代入可得或6（舍，与P点重合），则， 当时，代入可得或2（舍，与A点重合），则， 当时，的面积，不符合题意，故舍去； 当时，的面积，符合题意， 所以，所以直线l的方程为，即. 例4．（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)，是椭圆上异于点的两动点，直线､的斜率互为相反数. （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求外接圆在点处的切线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由点在上，得，解得， 所以椭圆的方程是. （2）（i）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得：， ，即，， 直线､的斜率分别为， 则， 即 ，整理得， 即，解得或， 当时，直线，即，过点，不符合题意， 因此，直线，其斜率为， 所以直线的斜率为定值. （ii）设外接圆方程为， 由点在该圆上，得， 圆方程化为：， 将直线方程代入得：， 整理得：， 则， 由（i）得：，由，得， 由，得， 联立消去得：， 整理得，即，解得或， 当时，，此时直线，过点不符合题意； 当时，外接圆圆心与点确定直线的斜率， 所以外接圆的切线方程为，即. 变式1．（25-26高三上·贵州·月考）设抛物线，直线，直线.已知与的四个交点组成的四边形面积为12. (1)求的方程； (2)记四边形外接圆圆心为，以为圆心作圆，已知圆与有4个交点. （i）求圆半径的取值范围； （ii）求圆与的4个交点组成的四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）设与抛物线交于两点， 联立与，解得，即， 则， 所以 则与相交弦的弦长， 与相交弦的弦长， 注意到，则四边形面积为    设，且， ，故单调递增， 故有且仅有一个解， 故. （2）（i）由（1），， 由两条直线的倾斜角对称性易知在轴上， 将代入得到PQ中点坐标为， 则过该中点且垂直于直线PQ的直线方程为， 令解得，故.       由于在轴上，由对称性知圆与在第一象限内必存在两个交点， 设交点坐标为，则， 当方程有两解时， 等价于直线与在上有两解， 故，则.       （ii）由对称性易知圆与的4个交点组成的四边形为梯形，且上底与下底均与轴垂直， 故不妨设圆与在第一象限内交于，两点，且设. 其中由（2）（i），为的解，则， 则， 其中将代入得.       设，且， 则，       设，， 则， ，则在上单调递减， 又，故，使得. 所以，即单调递增； ，即单调递减；故的最大值为.          令，即，解得， 则， 故，则， 即四边形面积的最大值为. 变式2．（25-26高二上·湖南株洲·月考）点A为直线上的动点，O为坐标原点，过点A作直线l垂直于y轴，过点O作直线OA的垂线交直线l于点P． (1)求点P的轨迹方程； (2)记P点轨迹为曲线C，C上一定点B，过B作两不同直线分别交C于M，N两点， ①直线BM、BN的斜率满足，且直线MN过点，求定点B坐标； ②若点，且直线BM、BN的斜率满足，设的外接圆为圆E，过点B作曲线C的切线m，判断直线m与圆E位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②直线m与圆E相切，理由见解析. 【详解】（1）设，那么，， 当时，， 当时，直线，则，点P的轨迹为， 综上所述，点P的轨迹方程； （2）①设， 如图，，即， 同理，， ，代入点，所以， 所以①，又，故②， 由①②得：，因此； ②解法一：如图，当时，根据，可得，导函数， 当时，，因此切线的斜率为1，因此直线， 设直线，联立抛物线方程可得， 设，，， ， 所以，因此， BM中垂线：， 同理，BN中垂线：， 联立可得， ，，即直线m与圆E相切． 解法二：根据，可得，导函数， 当时，，因此切线的斜率为1， 因此直线，又， 所以，所以， 假设BMN外接圆与抛物线第四个交点为H点， 由（1）知，， 设过M、N、B、H四点的曲线系方程为： ， 由于无xy项，故， 故曲线系方程变为：， 所以，与直线重合， 即B与H重合于一点，B为抛物线和圆的公切点，直线m与圆E相切． 变式3．（2025·江苏宿迁·二模）已知双曲线的实轴长为4，一条渐近线的方程为，过点的直线与C的右支交于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)P是x轴上的定点，且． （i）求P的坐标： （ii）若的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为C的实轴长为，渐近线方程为， 所以，，解得，， 所以C的标准方程为． （2）（i）设直线的方程为，，，， 联立化简得，． 因为直线与双曲线的右支交于两点， 由，整理得 则或或， 解得. 由，可得，即， 将代入上式得， 将，代入上式并化简得 ， 整理得， 因为上式对任意都成立，所以， 解得，所以. （ii） 因为， 所以外接圆是以为直径的圆，记为圆T， 因为圆心，即， 所以半径． 因为外接圆被x轴截得的弦长为16， 所以（*），即，解得或． 因为直线与C的右支交于A，B两点，所以， 所以，（舍去），代入（*）可得． 所以外接圆的面积为． 变式4．（2025·浙江杭州·一模）已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. （2）（i）记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 考点二 内切圆问题 例1．（25-26高三上·云南曲靖·期中）已知抛物线C：，O为坐标原点，若直线与C交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆过点O． (1)求抛物线C的方程； (2)若M，N是C上与O不重合的两点，且的内切圆的圆心为，求内切圆D的半径r． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， 与联立得， 方程的判别式， 所以，， 因为以线段为直径的圆过点， 所以 ， 所以，故的方程为； （2）设，， 则线段的斜率为，直线的斜率为， 由内切圆性质可得，点在的平分线上，所以，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 由点到直线，距离相等得， 设，则，， 所以，化简得， 即， 因为，故， 所以，解得（不符合题意舍去）或， 所以，所以. 故内切圆的半径. 例2．（24-25高二下·广东湛江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，动直线过点与椭圆相交于两点． (1)当轴时，求的外接圆的方程； (2)求内切圆半径的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）由椭圆，可得，， ，，由已知直线， ，不妨设，， 设经过三点的外接圆的半径为，则由勾股定理可得， 解得，故圆心的坐标为， 所求圆方程为. （2） 设内切圆半径为，面积为，，， 则，又， 所以， 设直线的方程为， 与椭圆联立整理得， 则，， 由，得， 所以， 令，则，， 当且仅当，即时取等号， 故内切圆半径的最大值为. 例3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的动直线 l与C 交于P，Q两点.当轴时，，且直线的斜率之积为. (1)求C的方程; (2)求的内切圆半径r的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，则， 令代入，可得， 则当轴时，，此时不妨设， 则由直线的斜率之积为，得， 即，结合，即，解得， 故C的方程为； （2）设，则的周长为， 故，则， 当轴时，； 当l不与x轴垂直时，设， 联立，得， ，， ， 故，令，则， 则，由于，故， 令，则在上单调递减， 则， 则， 综合上述，的内切圆半径r的取值范围为. 例4．（2025·山西晋城·模拟预测）已知抛物线C：（）的准线与圆O：相切． (1)求C的方程； (2)设点P是C上的一点，点A，B是C的准线上两个不同的点，且圆O是的内切圆． ①若，求点P的横坐标； ②求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①3；② 【详解】（1）因为圆O：的圆心为，半径， 由题意可知：抛物线C的准线为，可得， 所以抛物线C的方程为. （2）设， 可知直线，即， 因为直线与圆O相切， 则，整理得， 且，化简可得：， 同理可得：， 同构可知：是关于x的方程的两根， 则， 可得， 注意到点在抛物线C：上，则， 则. ①若，整理得， 解得或（舍去），即点P的横坐标为3； ②因为点到准线的距离， 则面积， 设，则， 可得， 且，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以面积的最小值为. 变式1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，过的动直线与交于两点，当轴时，且直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆方程； (2)若的内切圆半径为，求直线的方程． 【答案】(1)椭圆C方程 (2)直线l的方程为或. 【详解】（1）由题可知当轴时,联立,解得, 则,设,则 ,解得, 所以椭圆C方程 （2）因为的周长为4a, 故, 由题意可知,该直线l斜率存在且不为0, 设直线l为联立 则 设,, 所以解得m2=2， 则直线l的方程为或,即或. 变式2．（25-26高二上·山东青岛·月考）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）双曲线方程为， 由椭圆和双曲线定义可得，， 又，故，， 又因为，所以， 则椭圆的标准方程为 （2）设，，，显然，，，， 由椭圆定义知：，的周长均为，    所以，同理， 所以， 设直线，， 将直线方程代入椭圆的方程得：， 所以，即，同理， 所以，当且仅当，时等号成立． 所以的最大值为． 变式3．（25-26高二上·湖北武汉·月考）如图，动直线与抛物线：交于A，B两点，点C是以AB为直径的圆与的一个交点（不同于A，B），点C在AB上的投影为点M，直线为的一条切线.      (1)证明：为定值； (2)求与的内切圆半径之和的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，消去y得. 由，，得. 所以的方程为，所以，. 设，则由，得， 结合，求得，所以点C的横坐标为， 所以，为定值. （2）先证明直角三角形内切圆半径公式： 对于，，其内切圆半径为r，则， 从而， 设，内切圆的半径分别为，， 则，同理. 设的内切圆半径为R，则. 所以， 因为 ， 因为是关于a的单调递增函数，所以是关于a的单调递减函数， 所以函数在上单调递增，所以，所以. 故与内切圆的半径之和的取值范围是. 变式4．（24-25高二上·河南·期中）已知椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、，设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）椭圆的左右焦点分别为，， 而双曲线的顶点分别为，，所以． 又椭圆上顶点为，而双曲线的一条渐近线为， 则有，解得：． 故，所以椭圆的方程为． （2）设，，， 直线的方程为：， 将其代入椭圆的方程可得， 整理可得，则， 得，，故． 当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得 ，同理，可得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，时，等号成立 若轴时，易知，，， 此时， 综上，的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $