浙江宁波市慈溪中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

慈溪中学高二上10月月考（参考答案） 一、选择题 1．B 2．C 3．B 4．D 5．D 6．B 7．A 8．B 二、多选题 9．BCD 10．AC 11．ABC 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．（1）；（2）或． 解析：（1）设，，，联立直线和抛物线消去得：，，，得；设直线，与抛物线联立得，令，得，直线即，同理，直线，解得，，即，故点横坐标为． （2），令得，同理，，设中点为点，，将带入得，，，已知且，解得或． 16．（1）；（2）证明见解析 解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，左焦点，所以，则，又，所以，得．故双曲线的标准方程为． （2）由题意知，，设，，则，得，，，所以，又是的中点，所以，，则，同理．若，即，即，即，又，则，此时，此时．由图形的对称性，猜测直线过轴上一定点．下面，验证一般性：，，则，所以，，三点共线．综上，直线过定点．所以存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为． 17．（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 解析：（1）设，由，得．将代入，得，即，由，解得，所以椭圆的标准方程为； （2）设，，则，．（ⅰ）为的中点，轴，则，所以为的中位线，所以，所以．又满足，由基本不等式可得，，故，当且仅当，即，时取等号，所以面积最大值为； （ⅱ）直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，，、两点都在椭圆上，则，两式作差得，，即，、、三点共线，则，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 慈溪中学高二上10月月考 班级：___________ 姓名：___________ 学号：___________ 一、选择题 1．直线经过点，，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在正四棱锥中，为棱的中点，设，，，则用，，表示为（ ） A． B． C． D． 3．若双曲线的渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 4．已知直线被圆截得的弦长为，则实数（ ） A． B． C． D． 5．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ） A． B． C． D． 7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．在棱长为的正方体中，在棱上，，均在棱上，，，底面内有一动点满足，侧面内有一动点满足，点是棱上一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A．，的夹角为钝角 B．与向量同向的单位向量为 C．在上的投影向量的长度为 D．存在实数，使得 10．（多选）已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（ ） A．双曲线的焦距为 B．点到渐近线的距离为 C．的最小值为 D．若，则的面积为 11．（多选）已知曲线，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A．对任意，曲线关于轴、轴、原点对称； B．当时，曲线是由两条直线和一个正方形组成的图形； C．当时，曲线上任意两点距离的最大值为； D．当时，曲线围成的区域面积最小值为． 三、填空题 12．椭圆的焦距为______． 13．已知圆与圆没有公共点，则的取值范围是______． 14．如图，抛物线的焦点为，过点的直线，与分别相交于，和，，直线过点，设直线，的倾斜角分别为，，则的最大值为______． 四、解答题 15．已知直线（其中为非零常数）与曲线交于，两点，在点，处的切线分别为和，已知和分别与轴交于点，，与的交点为． （1）求点的横坐标； （2）已知与面积之比为，求实数的值． 16．已知双曲线的离心率为，且左焦点到渐近线的距离为．过作直线，分别交双曲线于，（两点均在左支）和，（在左支，在右支），且线段，的中点分别为，． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线，斜率的乘积为，试探究：是否存在定圆，使得直线被圆截得的弦长恒为？若存在，请求出圆的标准方程；若不存在，请说明理由． 17．已知椭圆的短轴长为，左、右焦点分别为、，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点． （ⅰ）求面积最大值； （ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $