高二数学上学期期中分层模拟·巩固培优卷（人教A版选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线与圆+椭圆）

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D D C C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 1或2 13．3 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）依题意，，，（2分） 由图知，，（4分） 则 ， 故线段的长为.（6分） （2）由（1），，又， 则，（8分） 且，（10分） 设直线和所成角为， 则， 即直线和所成角的余弦值为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，所以直线AN的方程是，（2分） 设点，且点P到直线AM的距离为3，故．（4分） 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点．（7分） （2）显然，直线BC的斜率存在．（8分） 设直线BC的方程为， 令，得．（10分） 由，解得， 故，解得，（13分） 故公路BC所在直线的方程为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）∵圆的圆心在直线上， 且圆与直线相切于点， ∴设圆心坐标为， 则，解得， ∴圆心，（3分） 半径， 故圆的方程为.（6分） （2）由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、， 则、是以为直径的圆与圆的交点， 则经过、两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程．（9分） 由于，以为直径的圆的方程为：，整理得：．（12分） 联立，则， 所以经过、两切点的直线方程为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1），是的中点，， 平面，平面，， 又，又，平面，平面， 平面， 又平面，， 又，平面，平面， 平面；（5分） （2）①以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点到平面的距离为；（11分） ②， 设， 则，， 设平面的法向量为 则，即， 令，可得， 设平面与平面夹角， 所以， 又平面与平面夹角的正弦值为，所以，又， 所以，所以， 化简得，解得或， 所以或，所以或.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为．（4分） （2）联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 又点到直线的距离，所以.（9分） （3）由已知得直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为， 此时两点坐标为，又， 则.（12分） 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且， 则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且．（17分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第1章~第3章3.1。 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，给出下列四个结论中，所有正确结论的序号为（    ） ①所有满足条件的点组成的区域面积为1； ②当时，三棱锥的体积为定值： ③当时，点到距离的最小值为1： ④当时，有且仅有一个点，使得平面． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 10．下列四个命题中正确的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 B．若直线：与：平行，则与的距离为 C．向量是直线的一个方向向量 D．圆：与圆：有两条公切线 11．已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆：上任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为 B．存在点使得 C．的最大值为5 D．的最小值为5 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 13．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，设，，， (1)用、、表示，并求线段的长； (2)求直线和所成角的余弦值. 16．（15分） 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 17．（15分） 已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． (1)求圆的方程； (2)过圆外一点向圆引两条切线，切点为、，求经过两切点的直线方程． 18．（17分） 如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知. (1)证明：平面； (2)若，. ①求点到平面的距离； ②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据空间直角坐标系的定义，结合关于坐标平面的对称点的特点， 可得点关于平面对称的点的坐标是.故选：B. 3．在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为2， 以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，， 即和所成角的余弦值为. 4．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程表示的曲线是椭圆， 则且，故选：D 5．若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为与平行，所以，得， 所以：， 所以与间的距离为．故选：C． 6．已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为.故选：C. 7．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 8．在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，给出下列四个结论中，所有正确结论的序号为（    ） ①所有满足条件的点组成的区域面积为1； ②当时，三棱锥的体积为定值： ③当时，点到距离的最小值为1： ④当时，有且仅有一个点，使得平面． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】如图所示， 对于①，因为，，， 所以点在正方形内（包括正方形），而正方形的面积为1，故①正确； 对于②，时，， 所以, 故点在线段上， 由于平面,所以上的点到平面的距离都相等， 又，所以三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③，时，， 所以, 所以点在线段上，连接, 由题意可得，平面,平面,, 当点与重合时，即为到距离的最小值为1,故③正确； 对于④，当时，， 取的中点,的中点,则点在线段上， 若平面，则平面,必有, 因为平面，平面， 所以,, 所以平面，则有, 又,所以,与矛盾， 故不存在满足题意的点，④错误，故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】对于A：由模长公式得，，A正确； 对于B：由题意得， 因为，则存在实数，使得， 即，，B正确； 对于C：由题知，C错误； 对于D：向量在向量上的投影向量为，D正确.故选：ABD 10．下列四个命题中正确的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 B．若直线：与：平行，则与的距离为 C．向量是直线的一个方向向量 D．圆：与圆：有两条公切线 【答案】BD 【解析】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令解得，令解得， 因为该直线在轴上的截距是在轴上的截距的2倍， 所以，解得或， 所以直线方程为或，A错误； 选项B：因为直线与平行，所以， 由得， 则直线与直线之间的距离， B正确； 选项C：直线的斜率为，方向向量为， 令，无解，C错误； 选项D：由题意圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为，， 所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D正确.故选：BD 11．已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆：上任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为 B．存在点使得 C．的最大值为5 D．的最小值为5 【答案】ACD 【解析】由题易知,因为 ， 当且仅当、、、四点共线（且、在之间）时取等号，故A正确， 对于B：∵，∴以为圆心为半径的圆在椭圆内，所以不存在点使得，故B不正确； ， 又，所以，所以， 即的最大值为，当且仅当在上、下顶点时取最大值，故C正确； 对于D：∵， 设则，， 所以，当1或5时，取得最小值5，所以D正确；故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 【答案】1或2 【解析】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 因此，解得或，所以的值为1或2. 故答案为：1或2 13．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 【答案】3 【解析】由题意得，则， 因为A，B，C，D四点共面，所以，解得. 故答案为：3 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 【答案】 【解析】设，， ，，解得， 又，，即， 把代入，得，化简得， 点在上，把代入，得，得， 又，，化简得，即， 等式两边同时除以，得，即， 令，得，解得或， ，，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，设，，， (1)用、、表示，并求线段的长； (2)求直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)；；(2) 【解析】（1）依题意，，， 由图知，， 则 ， 故线段的长为. （2）由（1），，又， 则， 且， 设直线和所成角为， 则， 即直线和所成角的余弦值为. 16．（15分） 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 17．（15分） 已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． (1)求圆的方程； (2)过圆外一点向圆引两条切线，切点为、，求经过两切点的直线方程． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）∵圆的圆心在直线上， 且圆与直线相切于点， ∴设圆心坐标为，则，解得，∴圆心， 半径， 故圆的方程为. （2）由于过圆外一点向圆引两条切线切点为、， 则、是以为直径的圆与圆的交点， 则经过、两切点的直线方程即为这两个圆的公共弦方程． 由于，以为直径的圆的方程为：，整理得：． 联立，则， 所以经过、两切点的直线方程为. 18．（17分） 如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知. (1)证明：平面； (2)若，. ①求点到平面的距离； ②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)①点到平面的距离为；②存在，或. 【解析】（1），是的中点，， 平面，平面，， 又，又，平面，平面， 平面， 又平面，， 又，平面，平面， 平面； （2）①以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点到平面的距离为； ②， 设， 则，， 设平面的法向量为 则，即， 令，可得， 设平面与平面夹角， 所以， 又平面与平面夹角的正弦值为，所以，又， 所以，所以， 化简得，解得或， 所以或，所以或. 19．（17分） 已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【解析】（1）由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. 又点到直线的距离，所以. （3）由已知得直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为， 此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且， 则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第1章~第3章3.1。 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若直线：与：（）平行，则与间的距离是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．在棱长为1的正方体中，点满足，其中，，给出下列四个结论中，所有正确结论的序号为（    ） ①所有满足条件的点组成的区域面积为1； ②当时，三棱锥的体积为定值： ③当时，点到距离的最小值为1： ④当时，有且仅有一个点，使得平面． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．向量在向量上的投影向量为 10．下列四个命题中正确的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 B．若直线：与：平行，则与的距离为 C．向量是直线的一个方向向量 D．圆：与圆：有两条公切线 11．已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆：上任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为 B．存在点使得 C．的最大值为5 D．的最小值为5 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为__________. 13．已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，设，，， (1)用、、表示，并求线段的长； (2)求直线和所成角的余弦值. 16．（15分） 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 17．（15分） 已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点． (1)求圆的方程； (2)过圆外一点向圆引两条切线，切点为、，求经过两切点的直线方程． 18．（17分） 如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知. (1)证明：平面； (2)若，. ①求点到平面的距离； ②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 已知椭圆C：的离心率为，长轴为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线与椭圆交于A，B两点，求的面积； (3)点在C上，过点的直线交椭圆C于P，Q两点（异于点H），设直线HP，HQ的斜率分别为，，证明：为定值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $