精品解析：江苏省无锡市宜兴市常青外国语学校2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷

初二年级数学学科小练习（2） 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方、算术平方根、立方根的运算． 直接根据运算法则判断即可． 【详解】解：A． ，原计算错误； B． ，原计算错误； C． ，原计算错误； D． ，原计算正确； 故选：D． 2. 下列关系式中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的定义，对于每个x的取值，y必须有唯一确定的值与之对应．逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】解：A． ：对于任意x，代入计算后y的值唯一，是函数． B． ：当x≠0时，每个x对应唯一的y值，是函数． C． ：当x>0时，y可解得或，即一个x对应两个y值，不满足函数定义． D． ：对于任意x，代入计算后y的值唯一，是函数． 故选：C． 3. 下列四个图形中，画出的边上的高正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．解决本题主的关键是根据要画出的边上的高，应过顶点向边所在的直线作垂线段． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，边上的高即过点过B作交与点D， 只有选项D符合题意， 故选D 4. 一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两直线交点的横纵坐标即为两直线解析式组成的二元一次方程组的解进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数和的图象交于点， ∴方程组的解是， 故选：B． 5. 如图，是的中线，是的中线，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中线与面积的关系，由是的中线可得出，由是的中线可得出． 【详解】解：∵是的中线，且， ∴， 又∵是的中线, ∴． 故选：B． 6. 如图是某市两个小区大致位置的示意图，图中点A表示的是茗茗家所居住的小区，点B表示的是茗茗奶奶家所居住的小区，则点A和点B所在的位置可以表示为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用坐标系得出各点坐标是解题关键．根据题意结合已知坐标系直接得出各点坐标． 【详解】解：如图所示：点A和点B所在的位置可以表示为和． 故选：D． 7. 如图，在中，，，将绕着点顺时针旋转到的位置，若点，C，在同一条直线上，则的度数为（ ） A. 106° B. 104° C. 102° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质；先根据等边对等角，得到的度数，再根据旋转的性质得到，进而得到答案即可； 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选D． 8. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象平移，一次函数的图象和性质，掌握图象平移与点坐标变化的关系是解题的关键．根据平移得到，又由即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到， ∴， ∵， ∴位于第一、三、四象限． 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，已知、，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的长度是确定的，得出的周长最小就是的值最小，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则有，利用勾股定理可以求出；作点关于轴的对称点，利用勾股定理可以求出；因为，所以当点在轴上时的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，然后求出点的坐标即可． 【详解】解：线段的长度是确定的， 的周长最小就是的值最小， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 根据轴对称可得：， ， 两点之间线段最短， 此时最小，即最小， 的长度为定值， 此时的周长最小， ， ， ； 如下图所示，作点关于轴的对称点， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ； ， 当点在轴上时的周长最小， 设直线的解析式为， 可得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ． 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可；根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 点在函数的图象上， ∴，解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得； ，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③对偶值为，则点Q在上，纵坐标为， ∴，点， 点P与Q关于y轴对称， ∴点在上， ∴ ，解得， 所以③正确，故符合题意； ④设点P在上，坐标为，其中， ∵点Q与P关于y轴对称， ∴，在上， ∴，即， ∵， ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 综上，正确结论为②③，共2个， 故选：B. 二、填空题 11. 16的平方根是____，的算术平方根是_____．绝对值最小的实数是________． 【答案】 ①. ②. ③. 0 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的定义以及实数的性质进行求解即可． 【详解】解：16的平方根是，的算术平方根是，绝对值最小的实数是0， 故答案为：，，0． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根和实数的性质，熟知相关知识是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中点在第_________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标所在的象限，根据点P的横纵坐标的符号和各个象限的符号特点判断其所在的象限． 【详解】解：点的横坐标为正，纵坐标为负，因此在第四象限． 故答案为：四． 13. 由科学记数法得到的近似数，精确到__________位． 【答案】千 【解析】 【分析】先把原数还原为560000，再看5.60中0所在的位数即可． 【详解】解：∵可化为560000，5.60中数字0在千位， ∴精确到千位． 故答案为：千． 【点睛】本题考查了科学记数法与有效数字，用科学记数法表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数． 14. 已知一次函数的图象经过点，，则的值为______． 【答案】25 【解析】 【分析】将，代入得到，，由代入即可求解， 本题考查了，一次函数图象上点的坐标特征，知道函数图象上点的坐标符合函数解析式以及因式分解是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：25． 15. 已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是_______． 【答案】28 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理，求出x的取值范围，再结合x为奇数的条件确定x的值，进而计算周长 【详解】解：根据三角形的三边关系，可得，即． 由于为奇数，因此． ∴三角形的周长为． 故答案为：28． 16. 小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是___________分． 【答案】42 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息．观察图象求出上下坡的速度以及上下坡的路程，即可求解． 【详解】解：观察图象得：上坡的速度为千米/分，下坡的速度为千米/分，上坡的路程为千米，下坡的路程为千米， ∴分， 即他从学校骑车回家用的时间是42分． 故答案为：42 17. 如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是_______米（墙面与地面垂直） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面展开--最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，正确利用立体图形中的最短距离、通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将墙面与地面展开到同一平面，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是3米， 米， （米）， （米）， （米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：米． 18. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查实数的运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）利用平方根，立方根进行化简，计算即可解答； （2）利用平方根，立方根、绝对值进行化简，计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 求下列各式中的． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）把方程化为，再根据平方根的定义，即可解答； （2）根据立方根的定义，两边同时开立方，即可解答． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：． 21. 图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 【答案】 （1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【解析】 【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形； （2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键． 22. 已知是上一点，，，．求证： 【答案】 证明：∵， ∴． 在和中， ∴． 【解析】 【分析】首先由得到，根据证明三角形全等即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 23. 已知一次函数． （1）若该函数图象经过原点，求该一次函数的表达式； （2）若该函数图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）把原点坐标代入中求出m的值，从而得到一次函数解析式； （2）根据一次函数的性质得到且，则可不等式组得到m的取值范围，然后确定整数m的值． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得且， 解得， ∴整数m的值为2． 24. 如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米． （1）求点C到AB的距离； （2）求线段AD的长度． 【答案】（1）15米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，根据含30度的直角三角形的性质即可求出CE的长度； （2）由角平分线的性质可求出CD，在Rt△ACD中，由含30度的直角三角形的性质可求出AC，再根据勾股定理即可求出AD. 【小问1详解】 解:（1）过点C作CE⊥AB于点E， ∴∠CEB＝90°， ∵∠B＝30°，BC＝30米， ∴CE＝BC＝15（米） ∴点C到AB的距离是15米； 【小问2详解】 解：∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ACD＝60°，∠B＝30°， ∴∠CAD＝90°－∠ACD＝30°，∠BAC＝∠ACD－∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC， ∵CE⊥AB， ∴CD＝CE＝15米， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝15米， ∴CD＝AC， ∴AC＝2CD＝2×15＝30（米）， 由勾股定理得：（米）， 答：线段AD的长度是米． 【点睛】本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，并求出CD的长度是解决问题的关键. 25. 某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数目的生产工人，该企业能天累计生产服装的数量为件，与之间的关系如图所示． （1）这批服装一共有_________件，写出点的实际意义_________； （2）求增加工人后与的函数表达式； （3）已知这批服装的出厂价为每件80元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件的成本比原先增加了10元，问前几天的总利润恰好为9600元（利润出厂价成本）？ 【答案】（1）800，该企业前5天累计生产服装200件 （2） （3）前8天的总利润恰好为9600元 【解析】 【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800件，点表示该企业前5天累计生产服装200件； （2）设增加工人后与的函数表达式为，把、代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可； （3）设前天的总利润恰好为9600元，根据题意列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据图象可知，这批服装一共有800件，点表示该企业前5天累计生产服装200件， 故答案为：800，该企业前5天累计生产服装200件； 【小问2详解】 解：设增加工人后与的函数表达式为， 将、代入，得， 解得， ． 【小问3详解】 解：设前天的总利润恰好为9600元． 当时，，不符合题意； 当时，． 解得． 答：前8天的总利润恰好为9600元， 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系是解题的关键． 26. 如图，一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在y轴上．已知点的坐标为，． （1）若点在y轴负半轴上，求直线的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标； （3）直线上是否存在点（异于点），使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点坐标为或 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，，由勾股定理得到，用待定系数法即可求的解析式； （2）分两种情况：当点与点关于直线对称时，；当轴，轴时，，再根据全等三角形的性质，找到等边，建立关系求解； （3）当点与点关于点对称时，，设，根据，即可求点坐标；当点在轴正半轴时，设，根据，求点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图1， ，， ， 由对称性可知，，， ∴， 在中，， 中，， 即， 解得， ， 设所在直线解析式为， 将，代入， ， 解得， 故所在直线解析式为； 【小问2详解】 解：①如图2， 当点与点关于直线对称时，， 点在直线上， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设， ， ， ； ②如图3， 当轴，轴时，， 此时，，，， ； 综上所述：点坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 如图4， 当点与点关于点对称时，， ， 点在直线上， 设， ， ， ， （舍）或； 故点坐标为； 如图5，当点在轴正半轴时， ，， ， ，， 由对称性可知，， ， 设， 根据折叠的性质，有， 即， 解得， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入，得 ， 解得：， 故直线的解析式为：， 点在直线上， 设， ， ， ， 解得(舍)或， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科小练习（2） 一、单选题 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系式中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个图形中，画出的边上的高正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的中线，是的中线，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图是某市两个小区大致位置的示意图，图中点A表示的是茗茗家所居住的小区，点B表示的是茗茗奶奶家所居住的小区，则点A和点B所在的位置可以表示为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7. 如图，在中，，，将绕着点顺时针旋转到的位置，若点，C，在同一条直线上，则的度数为（ ） A. 106° B. 104° C. 102° D. 100° 8. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移3个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 9. 在平面直角坐标系中，已知、，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 16的平方根是____，的算术平方根是_____．绝对值最小的实数是________． 12. 在平面直角坐标系中点在第_________象限． 13. 由科学记数法得到的近似数，精确到__________位． 14. 已知一次函数的图象经过点，，则的值为______． 15. 已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的周长是_______． 16. 小东早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行驶的路程（千米）与所用的时间（分）之间的函数关系如图所示，若小东返回时上、下坡的速度仍保持不变，则他从学校骑车回家用的时间是___________分． 17. 如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是_______米（墙面与地面垂直） 18. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为________． 三、解答题 19. 计算： （1） （2） 20. 求下列各式中的． （1）； （2）． 21. 图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图： （1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点； （2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点． 22. 已知是上一点，，，．求证： 23. 已知一次函数． （1）若该函数图象经过原点，求该一次函数的表达式； （2）若该函数图象与轴交点在轴的上方，且随的增大而减小，求整数的值． 24. 如图（1）是某施工现场图，据此构造出了如图（2）所示的数学模型，已知B，C，D三点在同一水平线上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米． （1）求点C到AB的距离； （2）求线段AD的长度． 25. 某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数目的生产工人，该企业能天累计生产服装的数量为件，与之间的关系如图所示． （1）这批服装一共有_________件，写出点的实际意义_________； （2）求增加工人后与的函数表达式； （3）已知这批服装的出厂价为每件80元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件50元，从第6天起每件的成本比原先增加了10元，问前几天的总利润恰好为9600元（利润出厂价成本）？ 26. 如图，一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，点在轴上．将直线沿直线翻折，使得点的对应点落在y轴上．已知点的坐标为，． （1）若点在y轴负半轴上，求直线的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点，使得与以、、为顶点的三角形全等，试求出点的坐标； （3）直线上是否存在点（异于点），使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $