安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二下学期2月练习（开学考）数学试题

马鞍山市第二中学2023级高二年级2月练习 数学试题 命题：刘向兵 审题：郭玲玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知等差数列{a,}中，4+a,=10,a,=3,则数列{a}的公差d=() A.1 B.-1 C.-2 D.2 2.若直线2x+y-1=0是圆x2+(y+a)2=1的一条对称轴，则圆心坐标为() A.@ B.(0,-1) C.(0,1 D.0,2 3.已知{，b,c是空间的一个单位正交基底，m=a-b+2c,则空间向量a在m方向上的投影 向量为() 1 A.-a B.√6m 1 m D.6 m 6 6 4.一条渐近线方程为2x+3y=0,且经过点(3W3,2V2)的双曲线的标准方程是() A.上-1 B.y -=1 D. 94 49 49 941 5.现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB是圆柱的 母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向 爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针 方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q点，则此时线段PQ长（单位： 厘米)为() A.6W5 B.6N2 C.6 D.12 6.将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等 无限次操作后 分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三 3 角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操 花5光气 第1次操作后 作。如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条 “雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积 为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是() 第1页共4页 1 8 10 A. 81 B.20 81 C.27 D. 27 7.已知点P在以R,R为左、右焦点的椭圆C:+上 =1(a>b>0)上，椭圆内存在一点Q 的延长线上，满足Q哑LQP,若sin∠F亚 则该椭圆离心率取值范围是() 3,3 3 3 8.A、B是圆C1:(x-2)2+(y-m)2=4上两点，AB=2V3,若在圆C2:(x-2)2+0y+1)2=9上 存在点P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为( A.[-5,3] B.[-4,-2U2,4 C.[1,3] D.[-5-3]1,3] 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列正方体中，A、B、C、M、N为其顶点、棱中点或面中心，则在其中满足MN//平面ABC 的有：() B B 10.对于直线1：(m-2)x+y-2m+1=0与圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,下列说法正确的是 () A.1过定点(2,3) B.C的半径为9 C.1与C可能相切 D.1被C截得的弦长最小值为2万 11.已知抛物C:y2=6x的焦点为F,直线1与C交于点A,B(A在第一象限)，以AB为直径 的圆E与C的准线相切于点D。若AD=√3BD,则() A.A,B,F三点共线 B.1的斜率为 3 C.AF=3BF D.圆E的半径是6 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=（2,3y,4),b=（0,1,2),c=(1,0,0),若a,b,c共面，则y= 13.设直线4：x-y+1=0,l2:2x-4y+7=0,若4⊥12，则实数元=一。 14.(选择性必修一教材44页第17题)在空间直角坐标系中，已知向量u=（a,b,c)(abc≠0)，点 P(xyo,z),点P(x,,z)。(1)若直线1经过点P,且以为方向向量，P是直线1上的任意 一点，求证：二龙=必=二；(2)若平面a经过点B,且以“为法向量，P是平面u内 b 的任意一点，求证：a(x-x)+b(y-yo)+c(z-zo)=0。 利用教材给出的材料，解决下面的问题：己知平面α的方程为x-y+z-7=0,直线1是 平面x+2y-3=0与x+z+1=0的交线，则直线I与平面a所成角的正弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(13分)记Sn为数列{a,}的前n项和，已知Sn=a+n2+1,neN. 2 (1)求a,+a2,并证明{an+an+}是等差数列； (2)求S20 6.45分)如图，椭圆。+片(>h0)的左焦点为，过点F的直线交椭圆于A、B两鼠 当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°。 B (1)求该椭圆的离心率； (2)设线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积 为，△0ED(0坐标原点)的面积为，求是的取值范倒。 第3页共4页 1.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥BC,ADM平面PBC, PA=AC=2。 (1)证明：AD⊥PB; (2)若点B到平面ACP的距离为1，求平面ACP与平面BCP夹角的 余弦值。 D 18.(17分)已知点M(-1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上，且抛物线的焦点为F。 (1)求△MOF的面积： (2)设过点(2,0)的直线1与抛物线C相交于A,B两点，O为坐标原点。 ①证明：OA.OB为定值； ②在x轴上是否存在点H,使得x轴平分∠AHB?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请 说明理由。 19.(17分)已知项数为m（meN，m≥2)的数列{an}为递增数列，且满足an∈N,若 6.-a+a++a)a,且6，∈N,则称{b,}为(a,}的“陪伴数列” m-1 (1)数列4,10,16,19是否存在“陪伴数列”，若存在，写出其“陪伴数列”，若不存在，说 明理由； (2)若{bn}为{an}的“陪伴数列”，证明：b>b2>…>bnm: (3)已知数列{an}存在“陪伴数列”{bn},且a,=1,am=2025,求m的最大值。 第4页共4页马鞍山市第二中学2023级高二年级2月练习数学试题 参考解答 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知等差数列{am}中，a+4,=10,a=3,则数列{a,}的公差d=（) A.1 B.-1 C.-2 D.2 【答案】A 2.若直线2x+y-1=0是圆x2+(y+a)=1的一条对称轴，则圆心坐标为() A.(0,7 B.(0,-1) C.(0,1) D.@2 【答案】C 3.已知{a,b,c是空间的一个单位正交基底，m=a-b+2c,则空间向量a在m方向上的投影向量为 () 1 1 A.a B.6m C.-m D.6 6 1m 6 6 【答案】C 4.一条渐近线方程为2x+3y=0,且经过点(3V3,2√2)的双曲线的标准方程是() A上-1 B. 491 C.x2y2 =1 D.2x2 94 49 941 【答案】A 5.现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内 壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P点，另一只从B沿下底 部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q点，则此时线段PQ长（单位：厘米）为() A.6W3 B.6N2 C.6 D.12 【答案】B 【解析】应用圆柱的特征取上下底面的圆心OO,BO,为2，y轴，再过O作OB的垂线为x轴，如图建系， 过Q向圆O作垂线垂足为9，B9=π，设圆O半径为r,2r=12π，所以r=6, 所以圆弧B吧的长度为：∠B0,×6=,∠B00=君 则2(3，-33,0，(3，-35,3， 同理，过P向圆0作垂线垂足为P,则P-3,-3V5,0,P-3,-3V5,9, 所以Pg=3+3)}+0+(9-3)2=62. 6.将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等 边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作.如果这个操作 过程无限继续下去.，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示己知最初等腰三角形的面积 为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是() 无限次操作后 第1次操作后 A16 20 10 B. C. D. 81 81 27 27 【答案】A 1 【解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的 3 2 所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的 3 由此可得，第n次操作之后所得图形的面积是Sn=1× 2 3 2 即经过4次操作之后所得图形的面积是S=1× 3 8 7已如点P在以，6为左、右焦点的椭圆C:号+茶=1a>b>0)上精圆内存在一点D在P作的 延长线上，且满足QE⊥QP,若sin∠FPQ= 则该椭圆离心率取值范围是（) 4 3’3 B 3 【答案】B 由题设ZFPE为锐角且sin∠FPE 设Pf=x,则PE=2a-x且Pg=Fe= 0 F 放0-号-(2a-刘--2a 因为Q在椭圆内部且Q在PF,的延长线上， 8-2>0且专x+8x-2n<2,故0<x< 48 55 4 3 而4+2a-f-2x(2a-小号鉴里女-9-号a+4--ajg 5 5 故a2<4c<10a2,故5e<5 15 45 2 综上可得： 3 23 8.A,B是圆C:(x-2)2+(y-m)2=4上两点，AB=2W3,若在圆C2:(x-2)2+0y+1)2=9上存在点 P恰为线段AB的中点，则实数m的取值范围为() A.[-5,3] B.[-4,-2[2,4 c.[1,3] D.[-5,-3[1,3] 【答案】D 【解】圆C:(x-2)2+(y-m)2=4,圆心C（2,m),半径r=2, 圆C2:(x-2)2+(y+1)2=9,圆心C2（2,-1),半径5=3， 由P是弦AB的中点，且4B=2W5,则CP1AB,所以CP=V22-(5=1, 故点P在以C（2,m)为圆心，以5=1为半径的圆上. 又在圆C2:(x-2)2+(y+1)2=9上存在点P恰为线段AB的中点， 则两圆有公共点，可得3-1≤CC2≤2+片，即2≤m+1≤4，解得-5≤m≤-3或1≤m≤3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列正方体中，A、B、C、M、N为其顶点、棱中点或面中心，则在其中满足MN/平面ABC的有： ). B M B W B 【答案】ACD 【解】 [对A分别连接BM,CN,易证四边形BCNM为平行四边形，即证MN/BC,故A正确： [对B:因为CN IIBM,CN=!BM,平移MN使得N平移至C点，此时M为原BM中点，不在平面ABC 内，故B错误： [对C:如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，可得： A(2,0,1),B(0,1,2),C(1,2,0),M(2,0,2),N(2,2,0), AB=(-21,1),AC=(-1,2,-1,MN=(0,2,-2), 6-2C=0-3,3到=顺… 即证平面ABC//MN,故C正确： [对D]:如图所示，作出过BC的与正方体下底面平行的截面的另一条对角线DW交BC于O, 连接AM,易证四边形AMNO为平行四边形，可知MN//平面ABC,D正确， B 入 10.对于直线1：(m-2)x+y-2m+1=0与圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,下列说法正确的是() A.1过定点(2,3) B.C的半径为9 C.1与C可能相切 D.1被C截得的弦长最小值为2√万 【答案】AD 【解】 [对A]:(m-2)x+y-2m+1=0可变形为(x-2)m-2x+y+1=0, x-2=0 =3所以直线1过定点(2,3)，故A正确： x=2 由 -2x+y+1=0,得 [对B]:圆C:x2+y2-6x-4y+4=0的标准方程为(x-3)2+(y-22=9,半径为3，故B不正确： [对C]:由(2-3)2+(3-2)2=2<9，所以点(2,3)在圆C的内部， 所以1与C相交，不会相切，故C不正确： [对D]:当1与点(2,3)和圆心(3,2)的连线垂直时，1被C截得的弦长最小 因为点23和圆心32连线的斜率为二-1，所以-，21，解得m=1 2-3 此时1的方程为x-y+1=0,因为圆心(3,2)到直线1的距离4=3-2+=2， V12+12 所以弦长为29-（√2）2=2√7，故D正确 10.己知抛物C:y2=6x的焦点为F,直线I与C交于点A,B(A在第一象限)，以AB为直径的圆E与C 的准线相切于点D.若AD=√3BD,则() A.A,B,F三点共线 B.1的斜率为V3 3 C.AF =3BF D.圆E的半径是6 【答案】AC 【解】 [对A]:连接ED,过点A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M,N,如下所示： 因为2DE=AB,又2DE=BN+AM=BF+AF,故AB=AF+BF, 故A,B,F三点共线，A正确： BD 5 [对B]:因为∠ADB=90°，tan∠DAE= 故∠DAE=30°，又DE=AE, AD 3 故∠AED=120°，又DE/x轴，故直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为tan60°=√3，故B错误； [对C:根据B所求，可得直线方程为x=5y+3 3+ 联立抛物线方程y2=6x可得： 2 y2-2√3y-9=0,解得y=3√3或-√5，故A,B两点的坐标为 则4-号+66-分2，做h=3B,c正确 [对D]:由C知，AB=AF+BF=8,故圆E的半径为4，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a=(2,3y,4,6=(0,12),c=(1,00),若ā，万，c共面，则y=一 2 【答案】3 12.设直线1：x-元y+1=0,12:2x-4y+7=0,若⊥12，则实数= 【容1-月 13. (选择性必修一教材44页第17题)在空间直角坐标系中，已知向量u=（a,b,c)(abc≠0)，点 (x,yo,zo),点P(x,y,z).(1)若直线1经过点P,且以为方向向量，P是直线1上的任意一点，求 证：X-=y一业=一：(2)若平面a经过点乃，且以为法向量，P是平面a内的任意一点，求 a b c 证：a(x-x)+b(y-yo)+c(z-zo)=0. 利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为x-y+z-7=0,直线1是平面 x+2y-3=0与x+z+1=0的交线，则直线1与平面所成角的正弦值为 【答案】V3 9 【解】平面a的方程为x-y+z-7=0,.平面的一个法向量m=(1,-1,1) 同理，可得平面x+2y-3=0的一个法向量n=(1,2,0),平面x+z+1=0的一个法向量p=(1,0,1), 设平面x+2y-3=0与平面x+z+1=0的交线的方向向量为q=（x,y,z), 4i=x+2y=0 则 g元=x+2=0,取y=1,则g=(-21,2) 设直线1与平面a所成角为0，则sin8=eos(瓜g m.q 3 m g 9 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)记S,为数列{a,}的前n项和，已知Sn=a+n2+1,neN. 2 (1)求a1+a2,并证明{an+an}是等差数列： (2)求S20 【答案】(1)4，+42=6，证明见解析 (2)420 【解】 (已知S,=9+n2+1neN, 2 当n=1时，4=g+2,4=4: 2 当m=2时，4+a,=2+5,4,=2,所以4+a,=6. 2 因为S=号+2+10，所以S1=8,1++1)2+1@. 2 2 ②-①得，a1=,-9++1)2-m2,整理得a,+a1=4n+2,nEN, 22 所以(a1+an2)-(an+a)=[4(n+1)+2]-(4n+2)=4(常数)，neN, 所以{an十an+}是首项为6，公差为4的等差数列.…7分 (2)由(1)知，an+an+=4n+2,n∈N°. 所以So=(a+a2)+(4+a4)+(a+a6)+…+(ag+a2o) =(4×1+2)+(4×3+2)+(4×5+2)…+(4×19+2) =4×(1+3+5+…+19)+2×10 =4x10x+19）+2x10=420 …………13分 2 16.(15分)如图，椭圆 $$\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \left( a > b > 0 \right)$$ >b>0)的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经 过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为 $$6 0 ^ { \circ } .$$ A o F D E B (1)求该椭圆的离心率； (2)设线段AB的中点为 G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记 △GDF 的面积为 $$S _ { 1 } ， \triangle O E D$$ (O坐标原点)的面积为 $$S _ { 2 }$$ 的取值范围. 【答案】( $$\left( 1 \right) e = \frac { 1 } { 2 } \left( 2 \right) \left( 9 ， + \infty \right)$$ 【解】 (1)依题意，当直线AB经过椭圆的顶点(0，b)时，其倾斜角为 $$6 0 ^ { \circ } .$$ $$F \left( - c ， 0 \right) ， 则 \frac { b } { c } = \tan 6 0 ^ { \circ } = \sqrt 3 .$$ 将 $$b = \sqrt 3 c \uparrow$$ 代 $$a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ，$$ 得 a=2c. 所以椭圆的离心率 $$e = \frac { c } { a } = \frac { 1 } { 2 }$$ .... .............5分 (2)由(1)知，椭圆方程可设 $$\frac { x ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 c ^ { 2 } } = 1 ，$$ $$若 A \left( x _ { 1 } ， y _ { 1 } \right) ， B \left( x _ { 2 } ， y _ { 2 } \right)$$ .依题意，直线AB不能与x、y轴 垂直，故设直线AB的方程为 y=k(x+c)， ，将其代入 A.3 $$3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 1 2 c ^ { 2 } ，$$ ，整理得 $$\left( 4 k ^ { 2 } + 3 \right) x ^ { 2 } + 8 c k ^ { 2 } x + 4 k ^ { 2 } c ^ { 2 } - 1 2 c ^ { 2 } = 0 .$$ 则 $$x _ { 1 } + x _ { 2 } = \frac { - 8 c k ^ { 2 } } { 4 k ^ { 2 } + 3 } ， y _ { 1 } + y _ { 2 } = \frac { 6 c k } { 4 k ^ { 2 } + 3 }$$ $$G \left( \frac { - 4 c k ^ { 2 } } { 4 k ^ { 2 } + 3 } ， \frac { 3 c k } { 4 k ^ { 2 } + 3 } \right) .$$ 因为 GD⊥AB， ，所以 $$\frac { \frac { 3 a ^ { 2 } } { 4 k ^ { 2 } + 3 } } { - 4 k ^ { 2 } } - x _ { 1 } - k _ { 1 } = - 1 ， x _ { 0 } = \frac { - c k ^ { 2 } } { 4 k ^ { 2 } + 3 }$$ 因为AGFD∽AOED, 4ck2 -ck2 (3ck 12 4k2+34k2+3 4k2+3 (3ck2）'+(3ck)9c2k4+9c2k2 -ck2 (ck") 4k2+3 新女。的取值范围是(9，+90- …15分 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥BC,AD∥平面PBC,PA=AC=2. 力 B D (1)证明：AD⊥PB: (2)若点B到平面PAC的距离为1，求平面ACP与平面BCP夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)V3 3 【解】(1)因为PA⊥底面ABCD,BC,ACC平面ABCD,所以PA⊥BC, 因为BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 因为PBC平面PAB,所以BC⊥PB, 因为AD∥平面PBC,ADC平面ABCD,平面ABCDO平面PBC=BC, 所以AD∥BC, 所以AD⊥PB… …7分 (2)由(1)可知，PA,AB,AD两两垂直，以A为原点，AD,AB,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示坐标系， [方法1]过点B作BM⊥AC,交AC于点M, 因为PA⊥底面ABCD,BMC平面ABC,所以PA⊥BM, 因为ACOPA=A,所以BM⊥平面PAC, 又点B到平面PAC的距离为1，所以BM=1,