精品解析：江苏省无锡市华士中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

初三数学阶段性测试 2025.12.25 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、该方程中含有2个未知数且未知数的最高次数为1，是二元一次方程，故本选项错误； B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C、该方程不是整式方程，故本选项错误； D、由原方程整理，得x＝-1，属于一元一次方程，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 在中，，，，则的值为 （     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，根据勾股定理求出斜边的长，再利用正弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ， ∴， 故选：C． 3. 已知、是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质进行求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴，， ∴四个选项中只有B选项正确， 故选B． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键． 4. 下列式子中，表示是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如这样的式子，叫做是的二次函数，其中，、、是常数）解决此题． 【详解】解：A．，是的二次函数，故A选项符合题意； B．，是关于的一元二次方程，故B选项不符合题意； C．，不是二次函数，，故C选项不符合题意； D．，不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：A． 5. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为( ) A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆周角定理，得＝90°，由勾股定理得BC长度． 【详解】∵， ∴ ∵OB=OC=2 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟练使用以上知识点是解题的关键． 6. 一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等圆锥的母线长是解题的关键，设该圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面积公式得到方程，然后解方程即可得到答案． 【详解】解：设该圆锥的母线长为， 根据题意得 ， 解得， 即该圆锥的母线长是9． 故选：C． 7. 如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，由垂径定理可得，由，，可得，在中，由即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ， ， 在中， ， ∵是的直径，弦， ∴ 故选C． 8. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解： 当时，， 当时，， 当时，． 故选：． 9. 数学课上，老师布置了一个习题：“如图，在菱形格点图中有两个固定格点，连结，在线段上找一点，使得点把线段分成的两条线段”．以下分别是小吴和小王的作法，则（ ） A. 只有小吴的作法正确 B. 只有小王的作法正确 C. 小吴和小王的作法都正确 D. 小吴和小王的作法都错误 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键 小吴的作法，连接，取格点H，K，组成，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果；小王的作法，连接并延长交网格于点D，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图所示，小吴的作法，连接，取格点H，K，组成， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，小吴的作法正确； 小王的作法，连接并延长交网格于点D，如图所示： 根据题意得：点M和点A分别为的中点， ∴， 由网格得：，， ∴， ∴，小王的作法正确； 故选：C． 10. 如图，是的直径，点C是上一点，，点D是上一动点，以为边作，连接，若，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，过C作于H，连接，，，根据正弦的定义求出，根据勾股定理求出，，然后根据证明，得出，则，故当B、C、E三点共线时，取最大值为11． 【详解】解：过C作于H，连接，，， ∵是的直径，， ∴半径， ∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 根据勾股定理，得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当B、C、E三点共线时，取最大值为11， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 方程的实数解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12. 已知扇形的半径为，扇形的圆心角是，则该扇形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】∵扇形的圆心角为120°，其半径为3， ∴S扇形==3π． 故答案为3π． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 13. 在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是_______千米． 【答案】50 【解析】 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，列式计算即可． 本题考查了比例尺的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际距离为：． 故答案为：50． 14. 如图，在中，，若，则与的面积之比为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先求出，再证明得到，接着证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，⊙的半径为，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质得点P到x轴的距离为2，即P点的纵坐标为2或−2，然后根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出y＝2或y＝−2所对应的自变量的值，从而可确定P点坐标． 【详解】解：∵⊙P与x轴相切， ∴点P到x轴的距离为2，即P点的纵坐标为2或−2， 当y＝2时，即，解得x1＝，x2＝， 则P点坐标为（，2）或（，2）； 当y＝−2时，即，解得x1＝，x2＝， 则P点坐标为（，−2）或（，−2）， 综上所述，圆心P的坐标为（，2）或（，2）或（，−2）或（，−2）． 故答案为（，2）或（，2）或（，−2）或（，−2）． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．注意分类讨论思想的运用． 16. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，结合已知条件，则可得，勾股定理求解，进而即可求得的坐标． 【详解】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点， 则轴， 为直径，则， ， 轴， ， ，， ，， ， 轴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键． 17. 如图，在中，，，垂足为D，以为直径的交于点E，连接，交于点F，连接．已知，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等、解直角三角形等知识，连接，可得，由，，可求，进而可求，在中求即可． 【详解】解：连接， 为直径， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ，， ， 在中，， ， ， 在中，． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，由圆周角定理可得，所以，再作于点，可证，进而可得，再利用垂线段最短和三角形三边关系即可得解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点， 设， ， ， 过作于点，过作于点，则， ， ， ，， ， ，即， ， ， 即， 解得， 的半径最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形的外接圆、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根． （1）根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解； （2）根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 解下列一元二次方程． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ，即， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 21. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据，可证得； （2）根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，即可求解． 本题主要考查了平行四边形，相似三角形．熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 22. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表． 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 4 （1）扇形统计图中圆心角______，并补全频数直方图． （2）根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 八年级 直接写出表格中______、______、______． （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并作出评价． 【答案】（1），补全频数直方图：10，21 （2），4，3 （3）八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好 【解析】 【分析】本题考查统计图表、统计的数字特征、熟练利用运算和逻辑推理是解题的关键， （1）利用乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得的值，根据八年级学生的投稿篇数的频数分布表补全频数直方图即可； （2）根据中位数和众数的定义，加权平均数公式即可得答案； （3）从平均数、方差的意义进行分析即可得评价． 【小问1详解】 解：由题可知：七年级和八年级随机抽取学生数量相同且均为（人）， 其中七年级学生投稿2篇的学生有10人， ∴七年级学生投稿2篇的学生所点百分比为， ∴． 由频数分布表可得：， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个和第26个数的平均数即为其中位数， ∵，， 即第25个和第26个数分别是3和4， ∴中位数， ∵在八年级学生的投稿数中，投稿数4出现的次数最多， ∴众数， ∴七年级的平均数为． 【小问3详解】 解：由（2）统计表可知，八年级学生的平均数高于七年级学生的平均数，而且从方差来看，八年级学生的方差小于七年级学生的方差， 八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好． 23. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课如期开课，神舟十六号三位航天员面向全国青少年进行太空科普授课，在轨演示了（球形火焰），（奇妙“乒乓球”），（动量守恒），（又见陀螺）4个实验，4个在轨实验视频可以在线随机点播回看． （1）若小明从以上4个实验视频中随机选择一个回看，恰好选到实验（球形火焰）视频的概率为  ； （2）若小明从以上4个实验视频中随机选择两个不同视频回看，求小明同时选到 （奇妙“乒乓球”）和 （动量守恒）视频的概率．（请用列表或画树状图的方法求概率） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了由概率公式求概率以及列举法求概率，熟练简单概率公式以及正确作出树状图是解题关键． （1）直接由概率公式求解即可； （2）结合题意作出树状图，结合树状图再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从以上4个实验视频中随机选择一个回看， 恰好选到实验（球形火焰）视频的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明选择（奇妙“乒乓球”）和 （动量守恒）这2个实验的结果有2种， ∴小明选择选择和 这2个实验的概率为． 24. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也是格点． （1）该圆的直径等于________cm； （2）请用无刻度的直尺按要求作图； ①作弦，使得，再作劣弧的中点G，请判断四边形的形状； ②过点B作该圆的切线，请直接写出切线与弦的位置关系和点C到切线的距离． 【答案】（1） （2）①图形如图所示，四边形的形状是矩形； ②如图，直线即为所求，，． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线、勾股定理，垂径定理、切线的判定和性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）①取格点T、R，连接交于点F，作直线交于点G，连接即可；②取格点H，作直线即可，设交于点T，求出可得结论． 【小问1详解】 解：圆的直径为，； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：①由作图可知是直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； ②由作图可知． 设交于点T，圆心为O． ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点C到切线BH的距离为． 25. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地处，处高出湖面的距离米，无人机旋停在点正上方的点处，测得月亮酒店大楼的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离湖面的高度为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）米． （1）求月亮酒店大楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线？请说明理由． 【答案】（1）100米 （2）无人机还未离开瑶瑶的视线 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． （1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，米，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解； （2）连接并延长，交于点M，先求出米，米，在中，，进而在中，（米），再求出无人机飞行12秒的路程，与比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点B作于点G， 根据题意可得：，米，，米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∵米， ∴（米）， ∴米． 答：月亮酒店大楼的高度为100米． 【小问2详解】 解：连接并延长，交于点M， ∵米，米，米，米， ∴（米）， （米）， ∵米， ∴在中，， ∴在中，（米）， ∵无人机以4米/秒的速度飞行， ∴飞行12秒时，飞行了（米） ∵， ∴无人机还未离开瑶瑶的视线． 26. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 27. 如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、、，与相交于点. （1）求证； （2）若正方形的边长为，，求的半径. 【答案】 （1）证明：在正方形中，. ∴. ∵. ∴. ∴. ∴. ∵四边形是的内接四边形， ∴. 又， ∴. ∴. （2）. 【解析】 【分析】分析：（1）先,证出,再根据四边形是的内接四边形,得到,从而证出结论; (2) 连接根据得到,根据得,从而,得,DG=3,利用勾股定理得CG=5,即可求出的半径. 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接. ∵，， ∴. ∴，即. ∵， ∴. ∴. 在正方形中，， ∴，. ∴. ∵， ∴是的直径. ∴的半径为. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，正方形的性质．关键是利用正方形的性质证明相似三角形，利用线段，角的关系解题. 28. 新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形为的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线． （1）已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形： 直线；直线；双曲线，是的关联图形的是______（请直接写出正确的序号）． （2）如图，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围． （3）如图，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）点的横坐标 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据关联图形的定义判断即可； （2）直线的临界状态是和相切的两条直线和，求出两种特殊情况下的点N的横坐标即可解决问题； （3）过点H作，垂足为，交于点，根据可得，由的取值此即可确定点横坐标的取值范围． 分别讨论即可得出答案． 【小问1详解】 解：假设双曲线上点到原点的距离为2， 则，即， 整理，得，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 因此双曲线上点和到原点的距离为2， 故双曲线与有公共点； 如图所示， 直线和 双曲线与有公共点，直线与没有公共点， 因此是的关联图形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示： 直线是的关联直线， 直线的临界状态是和相切的两条直线和， 当临界状态是时，连接， 则， 中，当，，当，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 点； 同理可得当临界状态是时，点， 点的横坐标； 【小问3详解】 解：①当点Q在点P的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点， ，， ， ， 轴， ， ， 设点，则，， ， 解得， 当最小时，，取最大值为2，越大，越小， ， 此时h取值范围为； ②当点P在点Q的上方时，如图所示，连接，，交于点H，过点H作，垂足为，交于点， 同理可得： ， 设点，则，， ， 解得， 当最小时，，取最小值为，越大，越大， 此时h取值范围为； 综上可得或． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查关联图形的定义，直线与圆的位置关系等知识点，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点、特殊位置解决问题，难度较大，属于中轴压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学阶段性测试 2025.12.25 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的值为 （     ） A. B. C. D. 3. 已知、是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子中，表示是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为( ) A. B. C. D. 4 6. 一个圆锥的侧面积为，其底面圆的半径为4，则该圆锥的母线长为（ ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 12 7. 如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 13 8. 如图，在中，点，分别在，边上，与不平行，那么下列条件中，不能判断的是 （     ） A. B. C. D. 9. 数学课上，老师布置了一个习题：“如图，在菱形格点图中有两个固定格点，连结，在线段上找一点，使得点把线段分成的两条线段”．以下分别是小吴和小王的作法，则（ ） A. 只有小吴的作法正确 B. 只有小王的作法正确 C. 小吴和小王的作法都正确 D. 小吴和小王的作法都错误 10. 如图，是的直径，点C是上一点，，点D是上一动点，以为边作，连接，若，则的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 方程的实数解是___________． 12. 已知扇形的半径为，扇形的圆心角是，则该扇形面积为________． 13. 在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是_______千米． 14. 如图，在中，，若，则与的面积之比为____________． 15. 如图，⊙的半径为，圆心在抛物线上运动，当⊙与轴相切时，圆心的坐标为___________. 16. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是____________． 17. 如图，在中，，，垂足为D，以为直径的交于点E，连接，交于点F，连接．已知，，则___． 18. 如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为______． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19. 计算： （1）． （2）． 20. 解下列一元二次方程． （1）． （2）． 21. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，． （1）求证：； （2）若，求的值． 22. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表． 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 4 （1）扇形统计图中圆心角______，并补全频数直方图． （2）根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 八年级 直接写出表格中______、______、______． （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并作出评价． 23. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课如期开课，神舟十六号三位航天员面向全国青少年进行太空科普授课，在轨演示了（球形火焰），（奇妙“乒乓球”），（动量守恒），（又见陀螺）4个实验，4个在轨实验视频可以在线随机点播回看． （1）若小明从以上4个实验视频中随机选择一个回看，恰好选到实验（球形火焰）视频的概率为  ； （2）若小明从以上4个实验视频中随机选择两个不同视频回看，求小明同时选到 （奇妙“乒乓球”）和 （动量守恒）视频的概率．（请用列表或画树状图的方法求概率） 24. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也是格点． （1）该圆的直径等于________cm； （2）请用无刻度的直尺按要求作图； ①作弦，使得，再作劣弧的中点G，请判断四边形的形状； ②过点B作该圆的切线，请直接写出切线与弦的位置关系和点C到切线的距离． 25. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼的高度，她设计了如下测量方案： 如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地处，处高出湖面的距离米，无人机旋停在点正上方的点处，测得月亮酒店大楼的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离湖面的高度为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）米． （1）求月亮酒店大楼的高度． （2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线？请说明理由． 26. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 27. 如图，在正方形中，是上一点，连接.过点作，垂足为.经过点、、，与相交于点. （1）求证； （2）若正方形的边长为，，求的半径. 28. 新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形为的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线． （1）已知是以原点为圆心，为半径的圆，下列图形： 直线；直线；双曲线，是的关联图形的是______（请直接写出正确的序号）． （2）如图，的圆心为，半径为，直线：与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围． （3）如图，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $