精品解析：山东省菏泽市郓城县第一初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

山东省菏泽市郓城县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一、单选题（共分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，当时，则y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（ ） A. 变长 B. 变长 C. 变短 D. 变短 7. 已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ） A. B. C.     D.         8. 如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（ ） A. 路线的坡角是 B. 路线的坡度是 C. 的长度为 D. 路线的坡比是 9. 表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ） 0 3 5 16 0 A. 图象的顶点在第一象限 B. 有最小值 C. 图象与轴的一个交点是 D. 图象开口向下 10. 关于函数有如下结论： ①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限； ③每个象限内，函数值随的增大而增大； ④若、、为双曲线上的三点，则，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共15分） 11. 已知函数 是关于x 的二次函数，则m=_______． 12. 如图，在中、，，，则的长为_____． 13. 如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为_____． 14. 如图，点分别在反比例函数和的图象上，轴，点在轴上，若的面积为2，则的值为______． 15. 已知二次函数为常数，图像的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论：①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时，的值随值的增大而减小；③；④；以上结论正确的有________． 三、解答题（共75分） 16. 用若干个棱长为1的小正方体搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示（小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数）． （1）请在图中画出主视图和左视图； （2）这个几何体的体积是______． 17. 计算： （1） （2） （3）． 18. 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 20. 已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)． （1）当时，求A、B两点的坐标； （2）当此抛物线经过点时，判断点是否在此抛物线上，并说明理由； （3）点、在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由； （4）我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”．当线段(包括端点)上有且只有4个整点时，直接写出a的取值范围． 21. 根据以下素材，解决生活问题： 【素材背景】 素材1：某茶叶公司经销六堡茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元； 素材2：经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足函数的关系． 【问题解决】 问题1：确定函数模型：设该茶叶的日销售利润为元，求与之间的函数表达式； 问题2：探究函数最值：若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 问题3：若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 22. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，求本节课讲这道题的时长不能超过多少分钟？ 23. 已知二次函数的图象过点． （1）求b、c的值； （2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； （3）在第一象限的抛物线上有一点Q，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省菏泽市郓城县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一、单选题（共分） 1. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，掌握三视图的画法是解题的关键．根据从上面看到的平面图形即可求解． 【详解】解：这个几何体从上面看，形状如图： 故选：D． 2. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，根据余弦定义设，，利用勾股定理求，再根据正切定义求． 【详解】解：∵在中，， ∴设，， ∴， ∴， 故选：D． 3. 把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟练掌握抛物线的平移性质是解题的关键，根据抛物线的平移规律解答即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是， 故选：C． 4. 在锐角中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 已知二次函数，当时，则y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先化为顶点式，再确定开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质确定取值范围． 【详解】解：∵， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∵当时，；当时，， 当时，． 故选：A． 6. 如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小铭站在距离路灯8米的B处（即米），此时在地面留下的影子为，小铭从点B处沿所在的直线行走到点A时（即米），人影长度会比（ ） A. 变长 B. 变长 C. 变短 D. 变短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确利用相似三角形的性质解决问题． 证明，，即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 7. 已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ） A. B. C.     D.         【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：C． 8. 如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（ ） A. 路线的坡角是 B. 路线的坡度是 C. 的长度为 D. 路线的坡比是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 9. 表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（ ） 0 3 5 16 0 A. 图象的顶点在第一象限 B. 有最小值 C. 图象与轴的一个交点是 D. 图象开口向下 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为, 由题意知 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象开口向上，顶点为， ∴顶点在第四象限，函数有最小值， 令，则， ∴或， ∴图象与x轴的一个交点是和， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 10. 关于函数有如下结论： ①函数图象一定经过点；②函数图象在第一、三象限； ③每个象限内，函数值随的增大而增大； ④若、、为双曲线上的三点，则，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可． 【详解】①当时，，则函数图象一定经过点，故①正确； ②∵，∴函数图象在第一、三象限，即②正确； ③∵，∴函数值分别在第一象限和第三象限中，随的增大而减小，即③错误； ④、、为双曲线上的三点， ∴， ∴，故④正确． 即①②④三个正确； 故选：C． 二、填空题（共15分） 11. 已知函数 是关于x 的二次函数，则m=_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（，，为常数且）可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：或， 又∵， ∴， 综上所述：， 故答案为：． 12. 如图，在中、，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，作于点，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：作于点，则：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为： 13. 如图是一个机器零件的三视图，它的主视图是等腰三角形，则这个零件的表面积为_____． 【答案】544 【解析】 【分析】本题考查了三视图，勾股定理，等腰三角形的性质，先认真分析和观察三视图得出这个几何体是倒放的三棱柱，再算出，（等腰三角形的三线合一），结合三棱柱的表面积等于两个三角形面积和三个长方形的面积，即可作答． 【详解】解：如图所示： 结合一个机器零件的三视图，得出这个几何体是倒放的三棱柱， 结合左视图得出主视图的等腰三角形的高是， 则，（等腰三角形的三线合一） ∴， 则， 故答案为：544． 14. 如图，点分别在反比例函数和的图象上，轴，点在轴上，若的面积为2，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，设交y轴于D，连接，根据题意可得轴，，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设交y轴于D，连接， ∵轴， ∴轴，， ∵点分别在反比例函数和的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 15. 已知二次函数为常数，图像的顶点坐标是，且经过两点，．有下列结论：①关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；②当时，的值随值的增大而减小；③；④；以上结论正确的有________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数顶点坐标和经过点，利用顶点式求出参数关系，再结合m的范围确定a的范围，最后逐一判断各结论． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标是， ∴对称轴为直线，即， ∴， 设二次函数为，代入点， 得， ∴． 代入点得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ∴方程化为， ∵，函数最大值为n，且， ∴二次函数图象与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故①正确； ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，故②正确； 由对称性可得函数与x轴交于和， ∵， ∴当时，，故④正确． 综上，正确结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题（共75分） 16. 用若干个棱长为1的小正方体搭一个几何体，从上面看到这个几何体的形状如图所示（小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数）． （1）请在图中画出主视图和左视图； （2）这个几何体的体积是______． 【答案】（1） 如图所示： （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，求几何体的体积，能正确画出从正面和左面看到的图形是解题的关键． （1）从上面看得到图形的数字可得，从正面看有3列，看到小正方形的数量从左到右依次是4个、3个，2个；从左面看有3列，从左到右看到小正方形的数量依次是2个，4个，2个，据此可作图即可； （2）根据从正面、左面、上面看到的小正方形个数求出体积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：这个几何体的体积是：． 故答案为：12． 17. 计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值以及二次根式的化简，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数，再计算加减法即可； （2）先计算特殊角的三角函数，再进行分母有理化即可； （3）分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值、三角函数值，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，可得四边形为矩形，在中，，则，解，可得，再由即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：楼房高度约为． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）根据，两点坐标判断即可． （3）设,，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数图象上， ， 点A的坐标为点， 将点A，B坐标代入中，得， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：令，则， 令，则， 解得， 点C的坐标为，点D的坐标为， 设， 点A的坐标为点，， ， ， 解得：， 20. 已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)． （1）当时，求A、B两点的坐标； （2）当此抛物线经过点时，判断点是否在此抛物线上，并说明理由； （3）点、在此抛物线上，比较m、n的大小，并说明理由； （4）我们把横纵坐标均为整数的点叫做“整点”．当线段(包括端点)上有且只有4个整点时，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：由题意得， 解得：， 此时， 当时，， 所以点不在此抛物线上； （3）解：，理由： ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴； （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系及图象上点的特征，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入函数解析式，解方程求解； （2）先根据抛物线过求出的值，再把代入求，进行判断； （3）先求抛物线的对称轴，再根据增减性进行判断； （4）根据抛物线的对称轴得出整点的坐标，再利用对称性求出的最值． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 解得：或， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由（3）知，抛物线顶点坐标为， ∵，线段（包括端点）上有且只有 4 个整点时， 则这四个整点分别是， ∴当抛物线过点时，， 解得：， 当抛物线过点时，， 解得：， ∴． 21. 根据以下素材，解决生活问题： 【素材背景】 素材1：某茶叶公司经销六堡茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元； 素材2：经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足函数的关系． 【问题解决】 问题1：确定函数模型：设该茶叶的日销售利润为元，求与之间的函数表达式； 问题2：探究函数最值：若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 问题3：若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 【答案】问题1：； 问题2：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； 问题3： 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键． 任务1：根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式； 任务2：利用二次函数，，求最大值即可； 任务3：求出时的自变量的值，进而确定取值范围即可． 【详解】解：任务1：根据题意得 W与之间的函数表达式是； 任务2：根据题意得， 解得 ，对称轴为直线，且 当时，取得最大值， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； 任务3：在中， 当时，， 解得，． ，且，抛物线开口向下， 当时，， 答：若公司想获得不低于1000元的日利润，售价范围为． 22. 学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第时注意力指数为40，前内注意力指数是时间的一次函数．以后注意力指数是的反比例函数． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果，求本节课讲这道题的时长不能超过多少分钟？ 【答案】（1）一次函数解析式为；反比例函数解析式为； （2）12分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出时的一次函数值，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分别求出函数值为50时两个函数的自变量的值，再结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：当时，设， 将，代入得， 解得， ∴， 在中，当时，， 当时，设，将代入得，解得， ∴； ∴一次函数解析式为；反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 在中，当时，， 分钟， 答：本节课讲这道题的时长不能超过12分钟． 23. 已知二次函数的图象过点． （1）求b、c的值； （2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线交于点P，求P点的坐标； （3）在第一象限的抛物线上有一点Q，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）把点、代入中，解方程即可得到结论； （2）在中，当时，，得到，设直线的解析式为，求得直线的解析式为，于是得到结论； （3）设，的面积为S，连接，，，根据图形的面积即可得到结论． 【小问1详解】 解：把点、代入中， ， 解得， ∴，； 【小问2详解】 解：在中， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴当的面积取得最大值时，四边形的面积最大， 设，的面积为S， 连接，，， 则 ， 又∵， ∴， 当时，， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题意，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 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