精品解析：吉林吉林市第二十九中学2025-2026学年度九年级上学期期中考试数学试题

吉林市第二十九中学2026年秋季期中考试九年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 已知抛物线的开口向下，则a的值可能为（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口向下，可得，据此即可解答． 【详解】解：∵抛物线的开口向下 ∴ 故选A 【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，明确影响抛物线开口方向的因素是解答本题的关键． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3. 关于x的方程3x2﹣2x+1=0的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵a=3，b=﹣2，c=1， ∴△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8＜0， ∴关于x的方程3x2﹣2x+1=0没有实数根． 故选C． 4. 将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A. y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B. y＝﹣3（x﹣1）2+2 C. y＝﹣3（x+1）2﹣2 D. y＝﹣3（x+1）2+2 【答案】C 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）2； 再向下平移2个单位为：y＝﹣3（x+1）2﹣2，即y＝﹣3（x+1）2﹣2． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 6. 二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与一次函数图象共存的问题，从二次函数图象出发逐个分析的符号以及与轴的交点位置，再与一次函数图象得出的符号进行比较，从而可得结论． 【详解】解：A、由抛物线知，，；由直线知，，都经过，故本选项正确； B、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； C、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； D、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】将点A，B坐标代入解析式求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：将，代入得，， ∴． 故答案为：． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为______． 【答案】-9 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况和判别式的关系求解即可． 【详解】解：根据题意得． 解得． 故答案为：-9． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况和判别式的关系，熟练掌握该知识点是解题关键． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数对称性是解题的关键． 利用二次函数对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，， ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． ∴它与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：． 11. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是___________．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式． 根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，然后根据反比例函数的性质判断其他说法即可． 【详解】解：根据题意，设， 图象过， ， ， 蓄电池的电压是，故①、②正确， 当时，，故③错误； 当时，， 由图象知：当时，，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可． 【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4 ∴方程有两个不相等的实数根 ∴原方程的解为，． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题的关键． 13. 若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 14. 已知二次函数的顶点坐标为，且图象经过点，求函数解析式． 【答案】二次函数的解析式为． 【解析】 【分析】根据顶点坐标设函数解析式，利用待定系数法求解． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 二次函数的解析式可设为， 图象经过点， ， 解得， ， 故二次函数的解析式为． 15. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元． 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）4月份投入图书购置经费为86.4万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答； （2）由（1）知该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，则列式计算即可解答． 【小问1详解】 解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； 【小问2详解】 解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 答：4月份投入图书购置经费为86.4万元． 16. 已知抛物线的表达式为． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式,然后根据顶点式； （2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分和分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，当时，y有最大值为；当时，y有最小值为；当时，当时，y有最大值为0；当时，y有最小值为， ∴y的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数的顶点坐标等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，且一次函数图象与x轴交于点C． （1）求出反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集为______； （3）若点P是x轴上的一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】该题主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，再求解即可； （2）先求出交点坐标，再直接观察图象即可； （3）先求出，表示出，根据的面积为12，列出等式求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， ∴， ∵在图象上， ∴， ； 【小问2详解】 解：联立和可得， 解得：或， ∴， 由图象可知：的解集为：或； 【小问3详解】 解：，令，则，解得：， ∴， 设，则：， 由题意，得：的面积， 解得：或； ∴或． 18. 哈市某展览馆计划将长米，宽米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．求通道的宽为多少米？ 【答案】通道的宽为4米． 【解析】 【分析】设通道的宽为x米，则展区的长为米，宽为米，根据展区的长、宽均大于0，求而出x的取值范围，再根据展区面积列方程求解即可． 【详解】解：设通道的宽为x米，则展区的长为米，宽为米， 且 解得： 依题意列方程得： 整理得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：通道的宽为4米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用；解题的关键是正确列方程求解，且关注x的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积． （3）设点横坐标为，当______时，有最大值，的最大值为______． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）由（1）可知对称轴为直线，则可确定点，点的坐标，利用分割法可求四边形的面积； （3）用表示，利用函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，点， 解得 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 轴， ， ，， 点，点， ，， ； 【小问3详解】 解：把代入函数解析式得， 解得，， 是抛物线上第一象限内的点， ， 根据函数解析式知，， ，， ， ， 当时，有最大值． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 【答案】任务：； 任务，不能．理由如下： 由任务知，该抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为米， ∵， ∴他站立时绳子不能顺利从他头顶越过． 【解析】 【分析】任务：利用待定系数法，把，代入，即可求出的值； 任务：将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为米，据此即可得到答案； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意可知，，，． 把，代入，得， ， 解得：， 任务：略 21. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2t， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【小问1详解】 解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值； （4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）的面积为 （3）的取值范围为，这个定值为； （4）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质等知识． （1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式； （2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点的坐标，知道轴，根据三角形的面积公式可得结论； （3）根据图象可得当抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为时，点的位置，从而确定的取值范围； （4）分三种情况讨论满足时，的取值范围； 【小问1详解】 把点、代入抛物线得： ， 解得： ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（）得：， ∴点为， 当轴时，点与点关于对称轴对称， ∴点， ∴，点到的距离为， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 设抛物线与轴的另一交点为点，如图所示， ∴点与点关于直线对称， ∴点为， 当点在点和点之间时，点与点之间 （包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值， ∴此时的取值范围为； 【小问4详解】 过点作轴交抛物线于点，此时点与点关于对称轴对称， ∴，如图所示： 当点在点和点之间时，即时，，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）， 当点在点和点之间时，即时，，， ∴，符合题意， ∴， 当点在点下方时，即时，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第二十九中学2026年秋季期中考试九年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 已知抛物线的开口向下，则a的值可能为（　　） A. B. C. 1 D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的方程3x2﹣2x+1=0的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 4. 将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（　　） A. y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B. y＝﹣3（x﹣1）2+2 C. y＝﹣3（x+1）2﹣2 D. y＝﹣3（x+1）2+2 5. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：______（填“”，“”或“”）． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为______． 9. 已知，是一元二次方程的两个根，则 _________． 10. 如图是二次函数的部分图象，其中与x轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则它与x轴的另一个交点坐标为________． 11. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是___________．（填序号） ①这个反比例函数解析式为 ②蓄电池的电压是 ③当时， ④当时， 三、解答题（本大题共11道小题，共87分） 12. 解方程：． 13. 若函数是关于x的二次函数，求m的值． 14. 已知二次函数的顶点坐标为，且图象经过点，求函数解析式． 15. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元． 16. 已知抛物线的表达式为． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）当时，求y的取值范围． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，且一次函数图象与x轴交于点C． （1）求出反比例函数的表达式； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集为______； （3）若点P是x轴上的一动点，当时，求点P的坐标． 18. 哈市某展览馆计划将长米，宽米的矩形场馆重新布置，展览馆的中间是个平方米的矩形展览区，四周留有等宽的通道．求通道的宽为多少米？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，是抛物线上第一象限内的点，过点作直线轴于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积． （3）设点横坐标为，当______时，有最大值，的最大值为______． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 21. 在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：__________，__________用t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为．点为该抛物线上一点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当轴时，求的面积； （3）当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，求的取值范围并写出这个定值； （4）当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为、，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $