精品解析：安徽省池州市多校2025～2026学年高一上学期第三次教学质量检测数学试题

2025~2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡，并交回. 4试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为，则“任意无零点”是“是上的增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知一个扇形的面积为4，当该扇形周长最小时，圆心角为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 设，其中，若，则（ ） A. -5 B. 7 C. -1 D. 1 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “为幂函数”的一个必要不充分条件是（ ） A. 或 B. C. D. 10. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数令，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有3个根 C. 方程的所有根之和为－1 D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是偶函数，则的取值为______． 13. _________. 14. 互不相等且均不为1的正数，，满足是，的等比中项，则函数的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 解答下列各题： （1） （2）已知，求． 16. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点. （1）将射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，求点的坐标； （2）若角，且，求的值. 17. 某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元. （1）求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元； （2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值. 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求a，b的值； （2）求该函数的值域： （3）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围． 19. 已知函数，，当时，恒有． （1）求的表达式及定义域； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程的解集为，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第三次教学质量检测 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡，并交回. 4试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：D 2. 已知，且，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】若，符合，但此时，不满足充分性， 若，符合，但是，不满足必要性. 故选：D 3. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【详解】，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选:A． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数单调性即可得到大小关系. 【详解】为上单调递增函数,则, 为上单调递减函数,则,且, 由为上单调递增函数,可得, 则, 故选：D. 5. 下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据初等函数的性质，结合奇偶性的定义与判定，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为定义域上的偶函数， 再由幂函数的性质，可得函数在为减函数，所以A正确； 对于B中，函数，可得函数为定义域上的奇函数，所以B不正确； 对于C中，函数在为单调增函数，所以C错误； 对于D中，函数的定义域，其中定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，所以D不正确. 故选：A. 6. 设函数的定义域为，则“任意无零点”是“是上的增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对任意无零点，可得在上一个y只对应一个x，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】是上的增函数，则任意，，， 因此任意无零点； 由对任意无零点， 则成立或成立， 所以在上一个y只对应一个x，， 所以“任意无零点”是“是上的增函数”的必要不充分条件. 故选：B 7. 已知一个扇形的面积为4，当该扇形周长最小时，圆心角为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形圆心角是，半径是，根据扇形面积公式，得到与的关系，再结合基本不等式求扇形周长的最小值，并找出等号成立的条件即可. 【详解】设圆心角是，扇形半径是，则，所以. 设扇形的周长为，则，当且仅当，即时取“”. 即时，该扇形的周长最小，最小值为8. 故选：C 8. 设，其中，若，则（ ） A. -5 B. 7 C. -1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 若，则， 故选：D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. “为幂函数”的一个必要不充分条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再结合集合的包含关系判断即可. 【详解】若函数为幂函数，则，解得或， 因为，， 所以，“为幂函数”的一个必要不充分条件是BC选项. 故选：BC. 10. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由三角函数定义得，再由同角三角函数的基本关系建立方程组求解正、余弦，代入式子化简可得. 【详解】由角的终边在直线，则， 联立解得或； 终边落在第一象限时，，此时， 则； 终边落在第三象限时，，此时， 则； 综上所述，的值为或. 故选：BD. 11. 已知函数令，则下列说法正确的是（ ） A. B. 方程有3个根 C. 方程的所有根之和为－1 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意知可得；令，因为方程没有实根，即没有实根；令，则方程，即，通过化简与计算即可判断C；当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象，即可判断D． 【详解】对于A选项，由题意知，则，所以A选项正确； 对于B选项，令，则求的根，即求的根， 因为方程没有实根， 所以没有实根，所以选项B错误； 对于C选项，令，则方程，即， 得，，由方程得或， 解得或，易知方程，没有实数根，所以方程的所有根之和为－1，选项C正确； 对于D选项，当时，，则将函数在的图象向左平移1个单位长度可得函数的图象， 当时，函数的图象不在的图象的下方，所以D选项正确， 故选：ACD． 【点睛】方法点睛： 对于分段函数，已知函数的值求自变量的值时，常常先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可，如果分段函数的图象易得，也可以作出函数图象，然后结合图象求解． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是偶函数，则的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，代入解出即可. 【详解】由题意有，即， 所以，所以， 解得，解得， 故答案为：. 13. _________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的正弦和余弦公式进行化简求值. 【详解】由题意可得： . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的正弦和余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 14. 互不相等且均不为1的正数，，满足是，的等比中项，则函数的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】先根据条件：成等比数列，得到的关系，再用基本不等式求的最小值. 【详解】∵是的等比中项，∴， ∵是互不相等且均不为1的正数，∴，∴. ∴. 因为是互不相等且均不为1的正数，所以上式只能在，，时，即时取等号. 故答案为：4. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 解答下列各题： （1） （2）已知，求． 【答案】（1）1 （2）． 【解析】 【分析】对于（1），利用对数的运算性质即可求解． 对于（2），由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解． 【小问1详解】 【小问2详解】 因为， 所以 16. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点. （1）将射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，求点的坐标； （2）若角，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点P的坐标，然后利用三角函数的概念及诱导公式求解； （2）利用同角关系及两角和差的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，，又， ，易知，射线是角的终边， 由三角函数的定义可知： ， 即点的坐标为； 【小问2详解】 ，则， ， . 17. 某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元. （1）求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元； （2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值. 【答案】（1），该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元. （2）到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，由的值求得，由解不等式求得正确答案. （2）利用函数的单调性求得的最大值，以及此时对应的. 【小问1详解】 依题意可得，， 已知， 且. 令，解得. 该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元. 【小问2详解】 年平均利润为， 令且， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 又. 到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求a，b的值； （2）求该函数的值域： （3）若对于任意，不等式恒成立，求k的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合和，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到，得出为递减函数，结合指数函数的性质，进而求得函数的值域； （3）根据题意，转化为，得到恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：因为定义域为的函数是奇函数， 所以，解得，即 又由，可得，解得，所以， 经检验，符合题意，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，，可得函数为单调递减函数， 又因为，可得，所以，所以， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 解：对于任意，不等式恒成立， 因为函数为奇函数，可得， 又因为函数为单调递减函数，可得，即恒成立， 又由，所以， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数，，当时，恒有． （1）求的表达式及定义域； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式； （2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围. （3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程 的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案. 【详解】（1）∵当时，． ， 即， 即，． 整理得恒成立，∴， 又，即，从而． ∴， ∵，∴，或， ∴的定义域为． （2）方程有解，即， ∴，∴，∴， ∴，或， 解得或， ∴实数的取值范围． （3）方程的解集为， ∴，∴， ∴， 方程的解集为，故有两种情况： ①方程无解，即，得， ②方程有解， 两根均在内，， 则解得． 综合①②得实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $