精品解析：山西省太原市志达中学校2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试卷

太原市志达中学校2025～2026学年九年 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分100分，考试时间70分钟． 2.考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡相应的位置上． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题含10个小题，每小题4分，共40分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等 B. 圆心角相等，其所对的弦相等 C. 在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等 D. 弦相等，它所对的圆心角相等 3. 下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子： 将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ） A. ③④②① B. ②④③① C. ③④①② D. ③①②④ 4. 如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象与轴有两个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数存在最大值，最大值为 8. 如图，若为圆O的直径，过点C的切线交的延长线于点D，E为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（ ）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A. 0.3 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.35 10. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线，过点作于点，连接交于点，连接CE．下列结论：①；②平分；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题含5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知点，若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与x轴的位置关系为___________． 12. 如图，点为的内心，，则的度数是______． 13. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是____________． 14. 抛物线的函数表达式为，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为______． 15. 如图，已知是圆的直径，弦于点，过点作圆的切线交的延长线于点，连接，为的中点，连接．若，，则点到的距离为______． 三、解答题（本大题含4个小题，共40分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 万达广场以每件元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于元/件，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表： 销售价（元） 销售量（件） 求商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 18. 阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 19. 如图，直线分别与轴、轴交于、两点，点在轴上，，抛物线经过、、三点． （1）直接写出、、三点的坐标； （2）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （3）点是直线上方抛物线上的一点，过点作于点，作轴交于点，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市志达中学校2025～2026学年九年 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分100分，考试时间70分钟． 2.考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡相应的位置上． 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4.考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题含10个小题，每小题4分，共40分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式，顶点坐标为．已知抛物线解析式为顶点式，直接求出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， 根据顶点式的特点，顶点坐标为. 故选：B． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的弦所对的弧相等 B. 圆心角相等，其所对的弦相等 C. 在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等 D. 弦相等，它所对的圆心角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． 圆心角、弧、弦的关系必须在同圆或等圆中才成立；选项C明确指定前提，是真命题． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，圆心角不等（除和为外），所对的弦不相等，选项C正确，符合题意； ∵A、B、D均缺乏“在同圆或等圆中”的前提，∴可能不成立，均不符合题意； 故选：C． 3. 下面是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子： 将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是（ ） A. ③④②① B. ②④③① C. ③④①② D. ③①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据影子变化规律可知道时间的先后顺序． 【详解】解：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 所以正确的是③④①②． 故选：C． 【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 4. 如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2． 【详解】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4， ∴S1+S2=4+4-1×2=6． 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度． 5. 若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，由二次函数图像的顶点坐标为，设二次函数顶点式，将代入，再解方程即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数顶点式， 图像过点， ，解得， 该二次函数的解析式是， 故选：C． 6. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 7. 关于二次函数，下列说法中不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象与轴有两个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数存在最大值，最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴交点个数，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 二次函数图象开口向下， 说法正确，故该选项不符合题意； B．令，则， ， 二次函数的图象与轴有两个交点， 说法正确，故该选项不符合题意； C． ， 时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， 说法正确，故该选项不符合题意； D．当时，函数存在最大值，最大值为， 说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，若为圆O的直径，过点C的切线交的延长线于点D，E为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出，进而求得，再由切线性质得出，最后由三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵过点C的切线交的延长线于点D， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，小东在教学楼距地面8米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.5米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端，则国旗匀速上升的速度为（ ）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A. 0.3 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.35 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得△BCD是等腰直角三角形，再利用解直角三角形即可求得国旗上升的高度，从而可求得国旗匀速上升速度． 【详解】在Rt△BCD中，BD＝8米，∠BCD＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD＝8米， 在Rt△ACD中，CD＝8米，∠ACD＝37°， ∴AD＝CD•tan37°≈8×0.75＝6（米）， ∴旗杆AB的高为：AD+BD＝6+8＝14（米）； 升旗时，国旗上升高度是：14﹣2.5＝11.5（米）， ∵耗时46s， ∴国旗匀速上升的速度为：＝0.25（米/秒）， 故选：C． 【点睛】本题是解直角三角形的实际应用，考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确理解题中俯角、仰角的含义是关键． 10. 如图，是的直径，点在上，过点作的切线，过点作于点，连接交于点，连接CE．下列结论：①；②平分；③；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据切线的性质定理和平行线的性质可得平分，，，即可求得①②③正确；再根据同弧或等弧所对的圆周角和圆心角相等和等腰三角形的性质可得，即可求得④正确；根据，，可得，故⑤错误． 【详解】解：连接，，如图： ∵过点作的切线，过点作于点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵，， ∴， 故①正确； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质定理，平行线的性质，相似三角形，同弧或等弧所对的圆周角和圆心角相等和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题含5个小题，每小题4分，共20分） 11. 已知点，若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则与x轴的位置关系为___________． 【答案】相离 【解析】 【分析】先由点的坐标得到点到轴的距离、点到轴的距离，然后判定与轴的位置关系． 【详解】解∶∵，以点为圆心，个单位长度为半径作圆， ∴点到轴的距离为， ∴与轴相离， 故答案为∶相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点的坐标得到点到轴的距离． 12. 如图，点为的内心，，则的度数是______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是熟练掌握 二次函数图象上点的坐标特征． 将三个点分别代入求值，进行比较即可． 【详解】解：将点，，分别代入 得，，，， ∴， 故答案为：． 14. 抛物线的函数表达式为，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度,相当于将抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位.根据平移的规律写出平移后的表达式即可． 【详解】将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度,相当于将抛物线向下平移2个单位，再向右平移3个单位． 因此抛物线平移后的表达式为， 即， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移规律：左加右减，上加下减掌握平移的规律是解题的关键． 15. 如图，已知是圆的直径，弦于点，过点作圆的切线交的延长线于点，连接，为的中点，连接．若，，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】求点O到的距离．由，根据垂径定理得．结合外角，在中利用“角所对直角边等于斜边的一半”求．利用切线性质和含角的直角三角形边比，可求出半径，进而得直径．由圆心角关系可证是等边三角形，从而求出．再证，在中用勾股定理求．最后，在中利用等面积法（面积既等于直角边乘积，也等于斜边×斜边上的高）列出关于的方程，即可求解． 【详解】如图，是的直径，弦于点，连接过点作于点． ，是直径， ∴． 在中，， ∴． 已知， ∴． ∴． ∵与相切于点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． ∵，且， ∴是等边三角形． ∴． ∵为的中点， ∴，且． ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴是直角三角形，． 在中，由勾股定理：． ∴． 在中，， 由等面积法：． 代入数值：． 解得： ． ∴ 点到的距离为． 【点睛】本题考查垂径定理、切线的性质、含角的直角三角形的边角关系、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等面积法求点到直线的距离．解题的关键是正确运用“切线垂直于过切点的半径”和“垂径定理”；识别出含、的直角三角形；利用等面积法求距离． 三、解答题（本大题含4个小题，共40分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值计算和因式分解法解一元二次方程． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算加减即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 或  ∴ 17. 万达广场以每件元购进一种商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不得高于元/件，试销中发现每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足一次函数，且销售价与销售量的关系如下表： 销售价（元） 销售量（件） 求商场每天的销售利润（元）与每件的销售价（元）的函数关系式，如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．设与之间的函数关系式为，把代入求出k和b的值即可得出函数关系式，根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把代入得： ， 解得：， ∴与之间的函数关系式为， ∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件， ∴； 根据题意可得： ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，此时， ∴每件销售价为20元时最合适，每天的销售利润最大，最大销售利润是200元． 18. 阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角； 任务二： 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点， ， ， ， 又和是弧所对的圆周角， ， ． 任务三：3 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，是解题的关键： 任务一：根据直径所对的圆周角是直角进行作答即可； 任务二：根据切线的性质，同角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得出结论； 任务三：圆周角定理，结合中垂线的判定和性质，推出，三线合一，得到，证明，求出的长，进而得到的长即可． 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：略 任务三：∵是直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是切线， ∴由任务二可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴的半径为3． 19. 如图，直线分别与轴、轴交于、两点，点在轴上，，抛物线经过、、三点． （1）直接写出、、三点的坐标； （2）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （3）点是直线上方抛物线上的一点，过点作于点，作轴交于点，求线段的最大值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，求出，得到，得出，利用正切的定义即可求出的长度，进而可得出点A的坐标； （2）利用待定系数法可求出这条抛物线所对应的二次函数的表达式； （3）根据轴，，求出，得到，故当有最大值时，有最大值，设，则，求出关于t的函数，再求出其最大值即可求解． 【小问1详解】 解：对于函数， 当时，；当时，， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过、、三点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：∵轴，， ∴， ∴， ∴当有最大值时，有最大值， ∵点M是直线上方抛物线上的一点， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式以及线段最值问题，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、解直角三角形的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $