专题01 直线与圆、隐圆问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦直线与圆、隐圆核心考点，按“考情精解-知能框架-题型攻坚”逻辑架构，整合直线方程、位置关系等必备知识与隐圆类型，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建系统知识网络，突破高考高频难点。 资料以北京卷考情为导向，创新采用“知识清单+题型分类+真题透视”教学策略，如隐圆模块归纳6类常见类型，结合数学眼光挖掘轨迹本质，通过分层练习（基础题到综合题）培养数学思维。助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题01直线与圆、隐圆问题 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 直线与圆 2 真题动向 必备知识 知识1直线的方程 知识2两直线的位置关系 知识3圆的方程 知识4点与圆的位置关系 知识5直线与圆的位置关系 知识6圆与圆的位置关系 命题预测 题型1直线的方程 题型2 两直线的位置关系 题型3 圆的方程 题型4 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点二 隐圆 24 真题动向 必备知识 知识1概念 知识2常见隐圆类型 命题预测 题型1隐圆 命题轨迹透视 从近五年北京卷高考试题来看，直线与圆基本都考查直线与圆的位置关系（主要是相交时的弦长、面积、参数的计算问题），难度都不大。 以4分选择题或5分填空题形式呈现。 试卷中解答题未出现。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 直线与圆的方程 直线与圆位置关系 北京T3选择题4分 北京T15填空题5分 隐圆 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，直线与圆仍会考直线与圆相交（或相切）时的计算，还是以选择题或填空题形式出现，侧重基础计算。 但是隐圆、两直线的位置关系等考点也不能丢，不能由前面几年没有考就认为后面也不会考。所有知识点都必须过手，不能有知识上的漏洞。 考点一 直线与圆 1．(2024年北京高考数学真题T3选择题4分)圆的圆心到直线的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．(2023年北京高考数学真题T15填空题5分)设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③【难度】0.15 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求平面两点间的距离、函数图象的应用、分段函数的性质及应用 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像(即半圆)； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 3.(2022年北京高考数学真题T3选择题4分)若直线是圆的一条对称轴，则(    ) A． B． C．1 D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 知识1直线的方程 (一)直线的倾斜角 1.定义：当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2.范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. (二)直线的斜率 1.定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．即k＝tan α(α≠90°)． 2.过两点的直线的斜率公式：直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率. 3.斜率的常用结论 (1)直线的斜率是确定的，与所取的点无关． (2)当，即时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 4.倾斜角与斜率的关系 当时，，直线平行于x轴或与x轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； (三)直线方程的五种形式 名称 方程 斜率 纵截距 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) k 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识2两直线位置关系 (一)两直线的位置关系： 1.平行条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 2.重合的条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 3.垂直的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程：则 提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. (二)两直线的交点与夹角 1.中点坐标公式：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：线段AB的中点为：。 2.三角形重心坐标公式：已知A(x1，y1)，B(x2，y2),，则：的重心为：。 3.两条直线的交点坐标：(1)已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 则交点P的坐标是方程组的解． (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 4.两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 5.三点共线 两直线AB、AC的斜率相等→A、B、C三点共线； 反过来，A、B、C三点共线，则直线AB、AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 6.对称点问题： (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 7.对称直线问题 若直线上的A、B关于直线的对称点分别为，则关于直线的对称直线必然经过点； 8.三种距离公式 (1)两点间的距离公式： 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离．|P1P2|＝. 特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离. 特例：若直线为l：x=m，则点到l的距离； 若直线为l：y=n，则点到l的距离 (3)两条平行直线间的距离：l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离. 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 知识3圆的方程 1.标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 2.一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心C，半径r＝ 3.直径式：若，以AB为直径的圆是. 知识4点与圆的位置关系 1.点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 2.点M(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系： (1)点P在圆外； (2)点P在圆上； (3)点P在圆内． 知识5直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 知识6圆与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 (四)圆与圆位置关系 1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 公切线条数 4 3 2 1 0 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 题型1直线的方程 1．(24-25高二下·北京·期中)以为端点的线段的垂直平分线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 2．(24-25高二上·北京昌平·期末)已知直线，则直线的倾斜角的正切值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、直线的斜截式方程及辨析 【分析】直线方程化为斜截式，可得斜率，即可得到倾斜角的正切值. 【详解】直线方程化为斜截式，则直线的斜率为， 因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，所以直线的倾斜角的正切值为. 故选：C. 3．(24-25高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D 4．(22-23高二上·北京·期中)已知直线经过点，且方向向量，则的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】根据直线的方向向量求直线方程、直线方向向量的概念及辨析(平面中)) 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 5．(24-25高二上·北京·月考)已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线方向向量的概念及辨析(平面中)) 【分析】由直线的方向向量先求出直线的斜率，再求倾斜角，从而得解. 【详解】因为直线的方向向量为， 所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，，则. 故选：D. 6．(2023·北京·三模)如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为(   ) A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值、直线的斜截式方程及辨析 【分析】设，则，令，作出直线向上平移过点时，取得最大值，将点的坐标代入可求得结果. 【详解】设，则，令，得， 作出直线向上平移过点时，直线在轴上的截距最大， 此时取得最大值，，即的最大值为5. 故选：C 7．(23-24高三下·北京·开学考试)已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、直线的倾斜角、直线斜率的定义、既不充分也不必要条件 【分析】由题意得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】由题意两直线均有斜率，所以， 当时，取，则， 但，即充分性不成立； 当时，取，则， 但，即必要性不成立； 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8．(24-25高二上·北京·期中)在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 9．(24-25高二上·北京·期中)对于直线：，下列说法不正确的是(    ) A．恒过定点 B．当时，不经过第二象限 C．的斜率一定存在 D．当时，的倾斜角为 【答案】D【难度】0.85 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线过定点问题、直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】利用直线过定点的求法判断A，利用直线的斜截式，结合其与坐标的交点判断B，将直线方程化为斜截式可判断C，利用直线的斜率与倾斜角的关系判断D，从而得解. 【详解】对于A，直线：，可化为， 当时，，所以直线过点，故A正确； 对于B，当时，直线为，即， 其斜率是2，与坐标轴的交点分别是和， 因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故B正确. 对于C，直线方程可化为，斜率为，一定存在，故C正确； 对于D，当时，直线的斜率为，倾斜角为，故D错误； 故选：D. 10．(22-23高二上·北京·期中)已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是(    ) A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】B【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、求点关于直线的对称点、直线方向向量的概念及辨析(平面中)) 【分析】根据与关于直线对称，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：B. 11．(24-25高三上·北京·月考)过点且与直线(为常数)垂直的直线方程为 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据两直线垂直求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程整理得到直线的一般式. 【详解】设所求直线的斜率为， 直线可化为，斜率为2， 因为直线与直线垂直， 所以，解得， 又直线l过点，所以直线方程为：， 整理得. 故答案为：. 题型2两直线的位置关系 1.(24-25高三上·北京·月考)若两条直线与垂直，则实数的值为(    ) A． B． C．1 D．2 【答案】B【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两条直线垂直列式求解即可得到答案. 【详解】直线与直线垂直， 则，解得. 故选：B 2．(23-24高三下·北京·开学考试)已知直线，直线，且，则(   ) A． B．1 C． D．4 【答案】B【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】利用两条直线平行，斜率相等，截距不相等即可得解. 【详解】因为直线，，， 所以，则直线可化为， 由，得，解得或， 当时，，，满足题意； 当时，，，两直线重合，不满足题意； 所以. 故选：B. 3．(24-25高三上·北京·月考)过点且与直线(为常数)垂直的直线方程为 . 【答案】【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据两直线垂直求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程整理得到直线的一般式. 【详解】设所求直线的斜率为， 直线可化为，斜率为2， 因为直线与直线垂直， 所以，解得， 又直线l过点，所以直线方程为：， 整理得. 故答案为：. 4．(24-25高三上·北京·月考)已知直线：和：，若，则实数 . 【答案】【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】若直线：与直线：垂直，则，代入数据计算即得. 【详解】直线：、：，且， ， 解得. 故答案为：. 题型3圆的方程 1．(25-26高三上·北京西城·月考)已知直线经过圆的圆心，则的最小值为(   ) A． B． C．0 D．1 【答案】A【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求二次函数的值域或最值 【分析】将圆的方程变为标准式，可得其圆心，根据直线过圆心，代入可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】圆变形可得，圆心为， 因为直线经过圆心， 所以，即， 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：A 2．(25-26高三上·北京平谷·月考)方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而求得圆心坐标和圆的半径. 【详解】由，得. 所以方程表示的圆的圆心坐标为，半径为3. 故选：B. 3．(25-26高三上·北京房山·开学考试)把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】求出平移后的圆心，得到圆的方程. 【详解】圆的圆心为原点， 原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到， 故得到. 故选：C 4．(2025·北京海淀·二模)圆心为且与轴相切的圆的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程. 【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 5．(2025·北京西城·一模)在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、由标准方程确定圆心和半径 【分析】点关于轴的对称点为，分析可知，点、、圆心三点共线，结合可求得的值. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由对称性可知，点、、圆心三点共线，则，即，解得. 故选：A. 6．(24-25高三上·北京丰台·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由斜率判断两条直线垂直 【分析】由直线的方程判断两直线垂直，确定P点的轨迹方程，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意知直线与直线，满足， 故两直线垂直， 直线过定点，直线过定点， 故两直线的交点P在以AB为直径的圆上(不含点)， 该圆方程为，设其圆心为，半径为3， 则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C 7.(25-26高三上·北京西城·月考)直线经过圆的圆心，则的最小值为(   ) A． B． C．0 D．1 【答案】A【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求二次函数的值域或最值 【分析】将圆的方程变为标准式，可得其圆心，根据直线过圆心，代入可得，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】圆变形可得，圆心为， 因为直线经过圆心，所以，即， 所以，所以当时，的最小值为. 故选：A 8．(25-26高三上·北京平谷·月考)写出一个关于直线对称的圆的方程 . 【答案】(答案不唯一，形如，)【难度】0.85 【知识点】由圆心(或半径)求圆的方程 【分析】在直线上任取一点为圆心，为半径写出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为，，圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称， 所以， 所以圆的方程为，， 不妨取，， 则关于直线对称的一个圆的方程为：. 故答案为：(答案不唯一，形如，) 9．(24-25高二上·北京房山·期中)已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 【答案】【难度】0.65 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法即可求得答案. 【详解】设圆的一般方程为， 将点代入得， 解得，满足，则， 将代入也适合， 故所求圆的方程为. 故答案为： 题型4直线与圆、圆与圆的位置关系 1．(25-26高三上·北京·月考)若圆截直线所得弦长为2，则(    )． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用弦长公式构造方程求解． 【详解】配方得，圆心为，半径， 设圆心到直线距离为，， 圆截直线所得弦长为， ，解得，，解得，故D正确． 故选：D． 2．(25-26高三上·北京顺义·月考)长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为(    ) A． B．3 C．4 D．6 【答案】D【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、轨迹问题——圆、求点到直线的距离 【分析】由题意可得，线段的中点的轨迹为圆，因此可将求线段的中点到直线距离的最大值转化为求圆上的点到直线距离的最大值，转化为圆心到直线的距离加半径，即可得解. 【详解】设，则，即. 记线段的中点为点，设点的坐标为，则. 所以，即. 所以点的轨迹为以原点为圆心，半径的圆. 点到直线的距离为. 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：D. 3．(25-26高三上·北京海淀·月考)圆的圆心到直线的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】根据圆的方程确定圆心，再根据点到直线的距离公式得解. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为， 则圆心到直线的距离为， 故选：D. 4．(24-25高三下·北京·月考)若两条直线：，：与圆的四个交点能构成正方形，则(   ) A． B． C． D．4 【答案】B【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径、已知点到直线距离求参数 【分析】由直线方程得到平行，由方程得圆心和半径，得到圆心到直线的距离，从而解得的值. 【详解】由圆知圆心，半径为，因为直线斜率相等，所以， 要使四个交点构成正方形，圆心到两条直线的距离需满足，即，解得， 由直线关于圆心对称可知，圆心到直线的距离为，解得. 因此. 故选：B 5．(2025·北京·三模)已知直线与圆交于、两点，则的最小值为(   ) A．5 B．10 C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，恒过定点，且点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时，则的最小值为. 故选：D 6．(2025·北京海淀·三模)已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 7．(2025·北京·三模)经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离 【分析】先确定圆心的轨迹方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离最大值. 【详解】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为，即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 8．(2025·北京昌平·二模)已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解. 【详解】因为半径为1的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而原点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D. 9．(2025·北京丰台·二模)已知直线与圆交于两点．当变化时，则(   ) A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长的表达式，进而可得答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 直线，即， 则圆心到直线的距离为， 所以，则， 因为，则， 当时，取得最大值1，此时， 当或时，，此时趋近于4，所以无最大值. 故选：A. 10．(2025·北京东城·二模)已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为() A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线的倾斜角 【分析】依题意，直线l与以为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求出直线倾斜角的范围即可. 【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示， 依题意直线l与圆C至少有一个交点， ①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角； ②当直线l的斜率存在时，设为，则，即 依题意，解得或，此时直线l的倾斜角 综上所述，直线l的倾斜角，故直线l的倾斜角的最大值为． 故选：C. 11．(2025·北京通州·一模)若点关于直线的非重合对称点在圆上，则k、b的一组取值为(   ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据点在圆上可知直线经过圆心即可求解. 【详解】由于在圆上，圆心为， 要使关于直线的对称点在圆上， 则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合， 故选：D 12．(23-24高三上·北京丰台·期末)已知直线与圆相切，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据题意可得圆心到的距离等于半径1，即可解得的值． 【详解】直线即， 由已知直线与圆相切可得， 圆的圆心到的距离等于半径1， 即，解得， 故选：B． 13．(24-25高三下·北京·月考)已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是(    ) A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 【答案】C【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、圆的弦长与中点弦、切线长、求点到直线的距离 【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B. 【详解】圆心为，半径为.点满足，即. 设切线方程为和，由圆的切线性质可知，的最小值，出现在最小时. 此时圆心到直线距离为：，代入得 ，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误. 故选: C. 14．(2025·北京房山·一模)直线与圆交于两点，则(    ) A．1 B．2 C． D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】先求出圆心到直线的距离，再由几何法求出弦长即可. 【详解】由题意可得圆心，半径， 圆心到直线的距离为， 由几何关系可得. 故选：B. 15．(2025·北京门头沟·一模)已知圆，直线，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则的最大值为(   ) A．0 B． C．1 D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】利用直线与圆的位置关系构造不等式即可求得. 【详解】由圆可知圆心，半径； 根据题意若过直线上任意一点总能作圆的切线，可知直线和圆相离或相切； 因此圆心到直线的距离，解得，因此的最大值为. 故选：D 16．(24-25高三下·北京朝阳·月考)已知直线与圆相交于两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求点到直线的距离 【分析】由题意得，从而得圆心O到直线的距离，再结合点到直线距离公式即可求解. 【详解】由题意， 所以圆心O到直线的距离为， 故选：C 17．(2025高三·北京·专题练习)一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则 ①存在直线，使得以为直径的圆与相切；②的最小值为； ③的最大值为；④的最小值为 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、判断直线与圆的位置关系、求点到直线的距离、数量积的运算律 【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断；对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】如图：设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上， 则，坐标原点到直线的距离为， 由图易知，， 对于①，点到直线距离的最小值为，且， 所以以为直径的圆与相离，故①错误； 对于③，， ，故③正确； 对于②，， ，故②正确； 对于④，由于两点在圆上，且，点到直线的距离，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为， 则，直线，， 由，消去整理得， 即，即， ，，同理，， ，， 的最小值为，所以的最小值为，故④正确. 故答案为：②③④ 18．(24-25高三上·北京·月考)直线截圆的弦长= . 【答案】【难度】0.85 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离 【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长． 【详解】线l的方程为，圆心到直线l的距离． ∴此时直线l被圆C截得的弦长为． 故答案为：. 考点二 隐圆 知识1概念 隐圆：未直接给出圆的图形或方程，需要通过分析挖掘出动点满足圆的定义或性质，从而得到动点的轨迹是圆。 知识2常见隐圆类型 1.定点定长型 2.动点对定线段张角为直角型 3.动点到两定点距离的平方和为定值型 4.蒙日圆 5.对角互补、四点共圆型 6.阿波罗尼斯圆：动点到两定点距离的比为常数（这个常数大于0小于1） 题型1隐圆 1．(2024·北京·三模)已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、轨迹问题——圆、直线过定点问题 【分析】先确定的轨迹为以线段为直线的圆以及直线过的定点，再根据圆的性质特点求最值． 【详解】因为，所以点的轨迹为以线段为直线的圆， 因为，所以圆心为，半径为1， 又直线，其过定点， 故点到直线的距离的最大值为． 故选：C． 2.(2025·北京东城·一模)长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为(    ) A．1 B． C．2 D．3 【答案】A【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围)、轨迹问题——圆 【分析】确定的中点的轨迹方程为圆，结合圆心到直线的距离即可求解. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则，所以， 即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最小值为， 故选：A 3．(2023·北京·三模)设，已知点在线段上运动，其中．点满足，点满足，且组成的图形的面积是，则(   ) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设，，，根据题意可得的轨迹，在为圆心，半径为1的圆上，由，可知组成的图形为矩形和两个半圆组成，即可求. 【详解】设，，，，则， ，则 所以，即在以为圆心，半径为1的圆上， 又，所以组成的图形如下右图， 其面积. 故选：B. 4．(24-25高三下·北京·强基计划)正方形，点满足，则的可能取值为(    )． A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．1，3 【答案】B【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据题意建立坐标系，由，即，然后分别可得点的轨迹方程，再利用赋值验证法分别分析是否符合题意即可. 【详解】设点，以为原点建立坐标系， 不妨设正方形边长为1，则， 又，所以，， 即，整理得：， 此时点在以为圆心，半径为的圆上， 又，所以， 当时，此时点在的垂直平分线上， 代入中，得， ，方程无解，所以不符合题意； 当时，整理得：， 此时点在以为圆心，半径为的圆上 要使这样的点存在，则圆与圆要有交点， 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时，，故符合题意； 当时，，此时，，圆与圆内含，故不合题意； 综上，或符合题意. 故选：B. 5．(2025·北京顺义·一模)已知,点M满足，则的可能取值是(    ) A．4 B． C．1 D． 【答案】B【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、数量积的坐标表示、求平面两点间的距离 【分析】设点，由条件求得点的轨迹为圆心在，半径为的圆，将理解为圆外的点到圆上的点的距离，结合图形即得的范围，即可判断. 【详解】设点，由，整理得：， 即点的轨迹为圆心在，半径为的圆， 因，即点在圆外， 则表示圆外的点到圆上的点的距离，如图，有. 故选：B. 6．(24-25高三上·北京房山·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、利用平方关系求参数 【分析】分析可知，点在圆上，求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可得出到直线的距离的最大值. 【详解】设点，则，所以，点在圆上， 该圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 因此，到直线的距离的最大值为. 故选：D. 7．(2025·北京·模拟预测)已知平面向量 满足 且 ，则 的最大值为 . 【答案】【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆、数量积的运算律、求点到直线的距离 【分析】先根据已知条件求出向量与的夹角，再通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，然后根据得到点的轨迹方程，最后根据向量数量积的坐标运算求出的最大值.涉及的知识点有向量的数量积公式、向量夹角公式、向量数量积的坐标运算以及圆的方程. 【详解】设向量与的夹角为，.根据向量数量积公式， 已知，，，可得： 解得，所以. 不妨设，，. ，. 因为，所以. 展开可得，配方得. 这表明点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. .设，即. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 因为点在圆上，所以圆心到直线的距离(为圆的半径)，即. 则，即. 解不等式可得. 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题01直线与圆、隐圆问题 目录 01析考情精解…1个 02构知能框架 2 03破题型攻坚… 2 考点一直线与圆 2 真题动向 知识1直线的方程 知识2两直线的位置关系 必备知识 知识3圆的方程 知识4点与圆的位置关系 知识5直线与圆的位置关系 知识6圆与圆的位置关系 题型1直线的方程 题型2两直线的位置关系 命题好预测 题型3圆的方程 题型4直线与圆、圆与圆的位置关系 考点二 9月0040n000000000 真题动向 必备知识 知识1概念 知识2常见隐圆类型 命题好预测 题型1隐圆 NO.1 析·考情精解 命题 从近五年北京卷高考试题来看，直线与圆基本都考查直线与圆的位置关系（主要是相 交时的弦长、面积、参数的计算问题)，难度都不大。 轨迹 以4分选择题或5分填空题形式呈现。 试卷中解答题未出现。 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 直线与圆的方程 频次 直线与圆位置关系 北京T3选择题4分 北京T15填空题5分 总结 隐圆 2026 预计在2026年北京卷高考中，直线与圆仍会考直线与圆相交（或相切)时的计算， 还是以选择题或填空题形式出现，侧重基础计算。 命题 但是隐圆、两直线的位置关系等考点也不能丢，不能由前面几年没有考就认为后面也 预测 不会考。所有知识点都必须过手，不能有知识上的漏洞。 第1页共12页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 N0.2 构·知能框架 知识点1直线的方程 知识点2两直线位置关系 考点一 题型1直线的方程 直线与圆 知识点3圆的方程 题型2两直线的位置关系 题型3圆的方程 知识点4点与圆的位置关系 题型4直线与圆、圆与圆 知识点5直线与圆的位置关系 的位置关系 专题1直线与圆、隐圆问题 知识点5圆与圆的位置关系 考点二隐圆问题 知识点1概念 题型1隐周 知识点2常见隐圆类型 NO.3 破·题型攻坚 考点一直线与圆 题】 动 向 1.(2024年北京高考数学真题T3选择题4分)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离 为() A.V2 B.2 C.3 D.3V2 X+2,X<-a, 2.(2023年北京高考数学真题T15填空题5分)设a>0,函数f(x)= Va2-x2,-a≤x≤a,,给出下列四 -Vx-1,x>a. 个结论： ①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减： ②当a≥1时，f(x)存在最大值： ③设M(x1,f(x1)(x1≤a),N(x2,f(x2)(x2>a),则MN|>1: ④设P(xg,fxg)(x3<-o),Q(x4,fx4)(x4≥-@).若PQ1存在最小值，则a的取值范围是(0， 其中所有正确结论的序号是 3.(2022年北京高考数学真题T3选择题4分)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴， 则a=() A.月 B.- C.1 D.-1 第2页共12页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 知 识 知识1直线的方程 (一)直线的倾斜角 1.定义：当直线1与x轴相交时，x轴正向与直线1向上方向之间所成的角α叫做直线1的倾斜角 2.范围：直线的倾斜角a的取值范围为0°≤a<180° (二)直线的斜率 1.定义：把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.即k=tana(a≠90). 2.过两点的直线的斜率公式：直线经过两点P1(x1,y),P2(x2,y2心1≠x2),其斜率k=y2y严 X2-X1 3斜率的常用结论 ()直线的斜率是确定的，与所取的点无关. (②)当x1=x2:即α=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 4.倾斜角与斜率k的关系 当k=0时，Q=0,直线平行于x轴或与x轴重合： 当k>0时，直线的倾斜角a为锐角，倾斜角随k的增大而增大： 当k<0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随k的增大而增大： (三)直线方程的五种形式 名称 方程 斜率 纵截距 适用范围 点斜式 y一o=kt一x0) k 不含直线x=xo 斜截式 y=十b k b 不含垂直于x轴的直线 两点式 器=贞网 不含直线x=x1和直线y=y1 截距式 b b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 a 般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识2两直线位置关系 (一)两直线的位置关系： 1.平行条件 0斜酸式方程：么=+，么)-店+6,1机：-伦b 因报式裙：44AyC-0,4:44及y+C,-0,M88 第3页共12页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 2.重合的条件 0发式方程：{少=-4，人)=+么：E合台低b ②一般式方程：{：4x+By+C=0,马：4，x+B,y+C,=0,412重合台AB=AB, AC2=A2C1, 3.垂直的条件 ①斜截式方程：4y=kx+b,12.y=k2x+b2,1⊥12一kk2=-1 ②一般式方程：l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l112台A1A2+B1B2=0 提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略 (仁)两直线的交点与夹角 1.中点坐标公式：已知A1,),B2,),则：线段AB的中点为：M(,) 2 2.三角形重心坐标公式：己知A1,),B(x2,),C(&3,y3),则：△ABC的重心为：G(++,2出)。 3 3 3.两条直线的交点坐标：(1)已知两条直线1：Ax十By十C1=0,12:Ax十B2y十C2=0相交， 则交点P的坐标是方程份+十仁，=8的解。 (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方指如+81C,-8的解 组 无数组 无解 直线1与2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线1与2的位置关系 相交 重合 平行 4.两直线的夹角公式 若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2的夹角为a,则tana= k2-k1 1+k1k2 5.三点共线 两直线AB、AC的斜率相等→A、B、C三点共线： 反过来，A、B、C三点共线，则直线AB、AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在. 6.对称点问题： (1)点P(o,yo)关于点A(a,b)的对称点为P(2a-xo,2b-yo). (2)设点P(o,yo)关于直线y=x+b的对称点为P(x,y), (y-0.k=-1, 则有 x-x0 可求出x',y' y+0=k,+0+b 7.对称直线问题 若直线l1上的A、B关于直线的对称点分别为A,B,则l1关于直线的对称直线必然经过点A,B; 8.三种距离公式 (1)两点间的距离公式： 点P1(1,y),P2x2,2)的距离.PP=Vx2-x1)2+y2一y)2 第4页共12页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 特例：点P(x,)到原点O(0,0)的距离OP=x2十y2 (2)点到直线的距离：点P(xo,yo)到直线：AK十By十C=0的距离d=Ao+yo+ A2+B2 特例：若直线为1：x=,则点P(x。,y)到1的距离d-x|: 若直线为1：=，则点(x,y)到1的距离dn-% (3)两条平行直线间的距离：h:Ax+By十C=0与2：Ax十y十C2=0之间的距离d=9c A2+B2 注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等. 知识3圆的方程 1.标准方程：(x-a)2+y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),半径为r(r>0) 2一般方程：x2+2+Dx++F=0(D2+E-4P0),圆心C(-2,-),半径=VD2+E2-4F 3.直径式：若A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆是(x-x1)(x2-x1)+0y-y1)y2-y1)=0. 知识4点与圆的位置关系 1.点M(xo,yo)与圆C:(x一a2+0y-b)2=r2之间存在着下列关系： (1)MC>r÷M在圆外，即(xo一2+(o-b)2>2÷M在圆外： (2MC=r÷M在圆上，即(x一2+(o-b)2=r2÷M在圆上： (3)MC<r÷M在圆内，即(xo-)2+o-b)2<2÷M在圆内. 2.点M(x0,yO)与圆x2+y2+Dx十y+F=0(D2+E2-4F>0)的位置关系： (1)x行+y+Dx0+Eyo-4F>0台点P在圆外： (2)x+y6+Dxo+Eyo-4F=0台点P在圆上： (3)x6+y哈+Dx0+Ey0-4F<0台点P在圆内. 知识5直线与圆的位置关系 直线Ax+By十C=0与圆(x一a2+(0y-b)2=r2>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法： 设圆心到直线的距离d=HAa+Bb+q k d=r dr 判定方法 A2+B2 Ax+By+C=0 代数法：由 消元后利用判别式判断 >0 =0 <0 (-a四2+0y-b2=r2 知识6圆与圆的位置关系 直线Ax十By十C=0与圆x一2十Gy一b)2=r2(>0)的位置关系的判断 第5页共12页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 位置关系 相交相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法：设圆心到直线的距离d=Ha十Bb+q d<r d=r dr 判定方法 A2+B2 Ax+By+C=0 代数法：由 消元后利用判别式判断 >0 1=0 <0 (x-02+y-b)2=2 (四)圆与圆位置关系 1几何法：若两圆的半径分别为1,2，两圆的圆心距为d则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与1，r2的关系 dDr1十r2 d=n+r2 r1一r2dk"1+r2 d=r1-r2r1≠2) 0≤dkr1-r2l1≠2) 公切线条数 4 0 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断 △>0→相交， 圆C1的方程)消元 一元二次方程 △=0→内切或外切. 圆C2的方程) △<0→内含或外离， 命 题型1直线的方程 1.(24-25高二下·北京·期中)以A(1,3),B(-1,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为() A.x-y+2=0B.2x-y+2=0C.x+y-2=0D.x+2y-4=0 2.(24-25高二上北京昌平.期末)已知直线：2x-3y+6=0,则直线的倾斜角的正切值为() A.- B.- c. D. 3.(24-25高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为60°，且过点P(0,1),则直线的方程为() A:y=9x-1 B.y=9 3x+1 C.y=3x-1D.y=3x+1 4.(22-23高二上·北京·期中)已知直线经过点P(1,0),且方向向量=(1,2)，则的方程为() A.x+2y-2=0B.2x-y-2=0C.x+2y-1=0D.x-2y-1=0 5.(24-25高二上·北京·月考)已知直线的方向向量为市=（√3，-1），则直线的倾斜角是() A. B. C. D. 第6页共12页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 6.(2023北京·三模)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P为D中任意一点，则OP·OA的最大值 为() C(0,2) 7A(2,1) OB1,0) A.2 B.3 C.5 D.6 7.(23-24高三下·北京·开学考试)已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为1，α2，则cos(c1-2)< 0"是“k1k2<0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(24-25高二上·北京·期中)在同一平面直角坐标系中，直线l1:y=kx+b和直线L2:y=bx+k有可能是() 9.(24-25高二上北京·期中)对于直线l:mx+y-2m=0,下列说法不正确的是() A.恒过定点(2,0) B.当m=-2时，不经过第二象限 C.的斜率一定存在 D.当m=V3时，l的倾斜角为60° 10.(22-23高二上·北京·期中)已知P(4,5)与Q(-2,7)关于直线对称，则下列说法中错误的是() A.直线过P,Q的中点 B.直线PQ的斜率为对 C.直线的斜率为3 D.直线的一个方向向量的坐标是(1,3) 11.(24-25高三上·北京·月考)过点(1,0)且与直线2x-y+m=0(m为常数)垂直的直线方程为 题型2两直线的位置关系 1.(24-25高三上·北京·月考)若两条直线ax+2y=0与x+(a+3)y+4=0垂直，则实数a的值为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 2.(23-24高三下北京·开学考试)已知直线l1y=ax-2,直线l2:x-ay+2=0,且l1/l2,则a=() 第7页共12页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A.-1 B.1 C.-4 D.4 3.(24-25高三上·北京·月考)过点(1,0)且与直线2x-y+m=0(m为常数)垂直的直线方程为 4.(24-25高三上·北京·月考)已知直线l1:ax+2y-1=0和l2:x+(a+1)y-a=0,若l11l2,则实数 a= 题型3圆的方程 1.(25-26高三上·北京西城月考)己知直线y=ax+b经过圆x2+y2+2x=0的圆心，则a2+2b的最小值为 () A.-1 B.-月 C.0 D.1 2.(25-26高三上·北京平谷·月考)方程x2+y2+2x-6y+1=0表示的圆的圆心坐标和半径分别为() A.(1,-3),3 B.(-1,3),3 C.(1,-3),9 D.(-1,3),9 3.(25-26高三上·北京房山开学考试)把圆x2+y2=1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到圆的方程为() A.(x+1)2+y+1)2=1 B.(x-1)2+0y+1)2=1 C.(x-1)2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+y-1)2=1 4.(2025北京海淀·二模)圆心为(-1,2)且与x轴相切的圆的方程是() A.x-1)2+y+2)2=2 B.(x+1)2+-2)2=2 C.(x-1)2+(y+2)2=4 D.(x+1)2+y-2)2=4 5.(2025北京西城一模)在平面直角坐标系x0y中，若从点A(0,t)发出的光线经过点B(1,0),且被x轴反射后 将圆C:(x-4)2+0y-3)2=1平分，则实数t=() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(24-25高三上北京丰台·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知直线ax+y-4a=0与直线x-ay+2=0 交于点P,则对任意实数a,IOPI的最小值为() A.4 B.3 C.2 D.1 7.(25-26高三上·北京西城：月考)直线y=x+b经过圆x2+y2+2x=0的圆心，则a2+2b的最小值为() A.-1 B.- C.0 D.1 第8页共12页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 8.(25-26高三上北京平谷·月考)写出一个关于直线x-y+1=0对称的圆的方程 9.(24-25高二上·北京房山期中)己知点A(0,0),B(0,2),C(3,-1),D(4,2)在同一个圆上，则这个圆的方程 为 题型4直线与圆、圆与圆的位置关系 1.(25-26高三上·北京·月考)若圆x2+y2-2x-2ay+a2=0截直线x-2y+3=0所得弦长为2，则 a=(). A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(25-26高三上·北京顺义·月考)长度为4的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点 到直线3x-4y+20=0距离的最大值为() A.1 B.3 C.4 D.6 3.(25-26高三上·北京海淀·月考)圆x2+y2+6x-2y=0的圆心到直线x-y-2=0的距离为() A.0 B.v2 C.2V2 D.3v2 4.(24-25高三下·北京·月考)若两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆x2+y2=4的四个交点能构成 正方形，则m-=() A.4w5 B.2V10 C.2W2 D.4 5.(2025·北京·三模)已知直线y=k(x-3)+1与圆(x-1)2+y一2)2=25交于A、B两点，则AB的最小 值为() A.5 B.10 C.2√5 D.45 6.(2025·北京海淀·三模)己知圆C:(x-1)2+y-2)2=25,直线：mx-y-2m=0,则直线l与圆c的公共 点个数为() A.0个 B.1个 C.2个D.与m有关，不能确定 7.(2025·北京·三模)经过点(0,0)，半径为2的圆的圆心为A,则点A到直线x-y+2=0的距离最大值为() A.V2 B.2+V2 C.2-V2 D.3V2 8.(2025北京昌平.二模)己知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线3x-4y+15=0的距离为d,则d的 第9页共12页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 9.(2025·北京丰台·二模)已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4交于A,B两点.当k变化时，则|AB|() A.有最小值2√3 B.有最大值2V3 C.有最小值5 D.有最大值V3 10.(2025·北京东城二模)已知直线过点(0，-1)，且1上至少有一点到点(0,3)的距离为2，则的倾斜角的最 大值为0 A.胃 B.月 C. D. 11.(2025北京通州一模)若点A(1,0)关于直线y=kx+b的非重合对称点在圆(x-2)2+y2=1上，则k、b 的一组取值为() A.k=2,b=-2B.k=3b=-1C.k=1,b=2D.k=1,b=-2 12.(23-24高三上北京丰台·期末)已知直线y=kx+√3与圆x2+y2=1相切，则k=() A.±1 B.±V2 C.±5 D.±2 13.(24-25高三下·北京·月考)已知圆C:(x+1)2+y2=2点P在直线：x-y-3=0上运动，直线PA, PB与圆C相切，切点为A,B,则下列说法正确的是() A.IPA的最小值为2 B.IPA川最小时，弦AB所在直线的斜率为-1 C.IPA最小时，弦AB长为V D.四边形PACB面积的最小值为V 14.(2025·北京房山一模)直线y=x+1与圆(x-1)2+y2=3交于A,B两点，则|AB1=() A.1 B.2 C.v2 D.22 15.(2025北京门头沟一模)己知圆C:x2+y2=1,直线：y=kx+2,当k变化时，若过直线l上任意一点总 能作圆C的切线，则k的最大值为() A.0 B. C.1 D.3 16.(24-25高三下·北京朝阳·月考)己知直线x-y+m=0与圆0：x2+y2=2相交于A,B两点，且△0AB为 等腰直角三角形，则实数m的值为() A号 B.±1 C.±V2 D.±2 17.(2025高三·北京·专题练习)一条动直线l1与圆x2+y2=1相切，并与圆x2+y2=25相交于点A,B,点 第10页共12页学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 专题01直线与圆、隐圆问题 目录 01析考情精解…1个 02构知能框架 2 03破题型攻坚… 2 考点一直线与圆 2 真题动向 知识1直线的方程 知识2两直线的位置关系 必备知识 知识3圆的方程 知识4点与圆的位置关系 知识5直线与圆的位置关系 知识6圆与圆的位置关系 题型1直线的方程 题型2两直线的位置关系 命题好预测 题型3圆的方程 题型4直线与圆、圆与圆的位置关系 考点二 9月。5000060 24 真题动向 必备知识 知识1概念 知识2常见隐圆类型 命题好预测 题型1隐圆 NO.1 析·考情精解 命题 从近五年北京卷高考试题来看，直线与圆基本都考查直线与圆的位置关系（主要是相 交时的弦长、面积、参数的计算问题)，难度都不大。 轨迹 以4分选择题或5分填空题形式呈现。 试卷中解答题未出现。 透视 考点 考点 2025年 2024年 2023年 直线与圆的方程 频次 直线与圆位置关系 北京T3选择题4分 北京T15填空题5分 总结 隐圆 2026 预计在2026年北京卷高考中，直线与圆仍会考直线与圆相交（或相切)时的计算， 还是以选择题或填空题形式出现，侧重基础计算。 命题 但是隐圆、两直线的位置关系等考点也不能丢，不能由前面几年没有考就认为后面也 预测 不会考。所有知识点都必须过手，不能有知识上的漏洞。 第1页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 N0.2 构·知能框架 知识点1直线的方程 知识点2两直线位置关系 考点一 题型1直线的方程 直线与圆 知识点3圆的方程 题型2两直线的位置关系 题型3圆的方程 知识点4点与圆的位置关系 题型4直线与圆、圆与圆 知识点5直线与圆的位置关系 的位置关系 专题1直线与圆、隐圆问题 知识点5圆与圆的位置关系 考点二隐圆问题 知识点1概念 题型1隐周 知识点2常见隐圆类型 NO.3 破·题型攻坚 考点一直线与圆 题】 动 向 1.(2024年北京高考数学真题T3选择题4分)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离 为() A.V2 B.2 C.3 D.3V2 【答案】D【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可 【详解】由题意得x2+y2-2x+6y=0,即(x-1)+y+3)2=10, 则其圆心坐标为（①，-3），则圆心到直线x一y+2=0的距离为C3)+超=3V2 V12+(-1)2 故选：D. x+2,x<-a, 2.(2023年北京高考数学真题T15填空题5分)设a>0,函数f(x) Va2-x2,-a≤x≤a,,给出下列四 -x-1,x>a. 个结论： ①f(x)在区间(a-1,+o)上单调递减： ②当a≥1时，f(x)存在最大值： ③设M(x1,f(x1)x1≤a),N(x2,f(x2)(x2>a),则IMN|>1; ④设P(x,fx)(x<-o),(x,f(x4)x4≥-).若PQI存在最小值，则a的取值范围是(0， 第2页共28页 品学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 其中所有正确结论的序号是 【答案】②③【难度】0.15 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求平面两点间的距离、函数图象的应用、分段函数的性质 及应用 【分析】先分析f()的图像，再逐一分析各结论：对于①，取a=子结合图像即可判断：对于②，分段讨 论f)的取值范围，从而得以判断：对于③，结合图像可知MN的范围：对于④，取a=专结合图像可知 此时PQ存在最小值，从而得以判断 【详解】依题意，a>0, 当x<-a时，f(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线： 当-a≤x≤a时，f(x)=√a2-x2,易知其图像是，圆心为(0,0)，半径为a的圆在x轴上方的图像（卿半圆）： 当x>Q时，f(x)=-√？-1，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线： 对于①，取a=2则f)的图像如下， 显然，当xE(a-1,+∞)，即x∈(（-2+∞)时，f)在(-0)上单调递增，故①错误： 对于②，当a≥1时， 当x<-a时，f(x)=x+2<-a+2≤1： 当-a≤x≤a时，f(x)=Va2-x2显然取得最大值a; 当x>a时，f(x)=-Vx-1<-a-1≤-2， 综上：f(x)取得最大值a,故②正确： 对于③，易知当-a≤x1≤a时，在x1=a,x2>a且接近于x=a处，M(x1,f(x1)x1≤a),N(x2,f(x2)(x2> a)的距离最小， 当x1=a时，y=f(x1)=0,当x2>a且接近于x=a处，y2=f(x2)<-√a-1, 此时，lMN>y1-y2>V√a+1>1, 当x1<-a时，x2>a且接近于x=a处，M(x1,f(x1)(x1≤a),N(x2fx2)(x2>a)的距离最小， 第3页共28页 品学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 此时MN≥+yt1+2>1:故③正确： √2 对于④，取a-:则f)的图像如下， 因为P(x3,f(x3)x3<-a),Q(x4,f(x4)(x4≥-a), 结合图像可知，要使PQI取得最小值，则点P在f)=x+2(<-)上，点Q在f)=层-2（长x≤） 同时PQI的最小值为点0到f()=x+2(x<-)的距离减去半圆的半径a: 此时，因为f)=y=x+2(x<-)的斜率为1，则koP=-1,故直线0P的方程为y=-x, 联（十2解得=·则P(-0, 显然P(-1,1)在f)=x+2(x<-)上，满足1PQ1取得最小值， 即a=地满足IPQ1存在最小值，故a的取值范围不仅仅是(0，引故④错误， 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得f(x)的图像，特别是当-a≤x≤a时，f(x)=Va2一x2的图像 为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可 3.(2022年北京高考数学真题T3选择题4分)若直线2x+y-1=0是圆(x-Q)2+y2=1的一条对称轴， 则a=() A月 B.- C.1 D.-1 【答案】A【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解， 【详解】由题可知圆心为(a,0),因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0-1=0,解得a= 故选：A 知识1直线的方程 (一)直线的倾斜角 1.定义：当直线1与x轴相交时，x轴正向与直线1向上方向之间所成的角α叫做直线1的倾斜角. 2.范围：直线的倾斜角a的取值范围为0°≤<180°， 第4页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (二)直线的斜率 1.定义：把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.即k=tana(a≠90). 2过两点的直线的斜率公式：直线经过两点P1(x1,y),P(x2,y2x1≠x2),其斜率k=2四 82-8 3.斜率的常用结论 (1)直线的斜率是确定的，与所取的点无关. (2)当x1=x2,即α=时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 4.倾斜角a与斜率k的关系 当k=0时，a=0,直线平行于x轴或与x轴重合： 当k>0时，直线的倾斜角α为锐角，倾斜角随k的增大而增大； 当k<0时，直线的倾斜角α为钝角，倾斜角随k的增大而增大： (三)直线方程的五种形式 名称 方程 斜率 纵截距 适用范围 点斜式 y一yo=k(x一xo) k 不含直线x=xo 斜截式 y=kx+b k b 不含垂直于x轴的直线 两点式 y=边=二1(x1卡x2,y1卡y2) y2-y1x2-x1 不含直线x=x1和直线y=y 截距式 x y a+61 b k=- b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠O) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识2两直线位置关系 (一)两直线的位置关系： 1.平行条件 0斜寂式方轻：人=+么，4)=灰+6，/：台低北 因银式方程：4：A+房4C-0,4:4x4月yC-0,:分份8,8 2.重合的条件 四斜截式方程：4y=x+么，4y=店x+6,4/重合台=k b1=b2, (2)一般式方程：I:Ax+By+C1=0,2:A,x+B2y+C,=0,l1/L2重合台 A1B2=A2B1, AC2=A2C1, 3.垂直的条件 ①斜截式方程：14y=kx+b,12y=kx+b2,1⊥1⊙kk2=-1 ②一般式方程：l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l112台A1A2+B1B2=0 提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略 第5页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 (二)两直线的交点与夹角 1.中点坐标公式：已知A1,),B2,,则：线段AB的中点为：M(,)。 2 2 2三角形重心坐标公式：己知A,y),B(x2,),C(x3,y2),则：△ABC的重心为：G(+s,+2+)。 3 3 3.两条直线的交点坐标：(1)已知两条直线11：A1x十Bw十C1=0,l2:Ax十B2y十C2=0相交， 则文点P的华标是方程凯份+十名，8的解。 (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组 A1x+B1y+C1=0, 42x+B2y+C2=0的解 组 无数组 无解 直线1与2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线1与2的位置关系 相交 重合 平行 4.两直线的夹角公式 若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2的夹角为，则tana k2-k1 1+k1k2 5.三点共线 两直线AB、AC的斜率相等→A、B、C三点共线： 反过来，A、B、C三点共线，则直线AB、AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在. 6对称点问题： (1)点Po,yo)关于点A(a,b)的对称点为P'(2a-xo,2b-yo): (2)设点P(,yo)关于直线y=x十b的对称点为P(x',y), y-y0.k=-1, 则有 x-x0 可求出x',y y+0=k.+0+b 2 2 7.对称直线问题 若直线L1上的A、B关于直线的对称点分别为A,B,则L关于直线的对称直线必然经过点A,B: 8.三种距离公式 (1)两点间的距离公式： 点P1(x1,y),P(x2,y2)的距离.|P1P2=1Vx2一x1)2+(0y2一y1)2 特例：点P(x,)到原点O0,0)的距离|OP=x2+y2. (2②)点到直线的距离：点P(x,yo到直线：A十By十C=0的距离d=A+yo+C VA2+B2 特例：若直线为：=，则点P(xy)到1的距离dm-x: 若直线为1：=，则点（化，y)到1的距离dn- (3)两条平行直线间的距离：1：Ax十By十C=0与2：Ax十y十C=0之间的距离d= A2+B2 注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等 知识3圆的方程 第6页共28页 丽学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 1.标准方程：(x-a)2+0y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),半径为r(r>0) 2一般方程：x2+y+Dx++F=0(D+区-4F0),圆心C(-,-),半径r=VD2+B-4F 3.直径式：若A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆是(x-x1)(x2-x1)+y-y1)y2-y1)=0. 知识4点与圆的位置关系 1.点M(xo,yo)与圆C:(x一2十y一b)2=2之间存在着下列关系： (1)MC>r÷M在圆外，即(Gxo-)2+(o-b)>2÷M在圆外： (2)MC=÷M在圆上，即(x-2+-b)2=2台M在圆上： (3MC<台M在圆内，即(xo一2+（一b)2<r2台M在圆内. 2.点M(xo,yo)与圆x2+y2+Dx+Ey十F=0(D2+2-4F>0)的位置关系： (1)x+y行+Dxo+Eyo-4F>0台点P在圆外： (2)x6+y行+Dx+Ey0-4F=0台点P在圆上： (3)x6+y6+Dxo+Ey0-4F<0台点P在圆内. 知识5直线与圆的位置关系 直线Ax+By十C=0与圆(x一)2+y一b)2=r2(>0)的位置关系的判断 位置关系 相交相切相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法： 设圆心到直线的距离d=Aa+Bb十C dr d=r dr 判定方法 A?+B2 Ax+By+C=0 代数法：由 消元后利用判别式判断 4>0 4=0 4<0 (x-a02+0y-b2=2 知识6圆与圆的位置关系 直线Ax十By+C=0与圆(x一)2+y-b)2=2>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切相离 公共点个数 2个 1个 0个 几何法：设圆心到直线的距离d-Ha+Bb+C d<r d=r dr 判定方法 A?+B2 Ax+By+C=0 代数法：由 消元后利用判别式判断 >0 1=0 4<0 x-a02+y-b2=2 (四)圆与圆位置关系 1.几何法：若两圆的半径分别为1,2，两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 第7页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 图示 ©g d与r1,2的关系 dn+r d=r1十'2 |n1一r2KdK1+r2 d='1一2(1≠'2) 0≤dKr1一r2l(1≠2) 公切线条数 4 3 2 0 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断， △>0→相交， 圆C1的方程)消元 一元二次方程{4=0→内切或外切， 圆C2的方程) △<0→内含或外离， 题型1直线的方程 1.(24-25高二下·北京·期中)以A(1,3),B(-1,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为() A.x-y+2=0B.2x-y+2=0C.x+y-2=0D.x+2y-4=0 【答案】C【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于-1，据此即可求出线段垂直 平分线方程 【详解】因为A(1,3),B(-1,1) 则k8高=1， 所以线段AB的中垂线的斜率为-1， 又线段的中点为（巴，尝）即(0,2)， 所以线段AB中垂线方程为：y-2=-(x-0),即x+y-2=0. 故选：C 2.(24-25高二上·北京昌平.期末)已知直线：2x-3y+6=0,则直线的倾斜角的正切值为() A-月 B.- C. D. 【答案】C【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、直线的斜截式方程及辨析 【分析】直线方程化为斜截式，可得斜率，即可得到倾斜角的正切值 【详解】直线方程2x-3y+6=0化为斜截式y=x+2,则直线的斜率为 因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，所以直线的倾斜角的正切值为号 故选：C 3.(24-25高二上：北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为60°，且过点P(0,1),则直线的方程为() 第8页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 A.y=9x-1 B.y= 3x+1 C.y=3x-1 D.y=V3x+1 【答案】D【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程 【详解】因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率k=tan60°=√， 又直线过点P(0,1),所以直线的方程为y=√3x+1. 故选：D 4.(22-23高二上：北京·期中)已知直线经过点P(1,0),且方向向量=(1,2)，则的方程为() A.x+2y-2=0B.2x-y-2=0C.x+2y-1=0D.x-2y-1=0 【答案】B【难度】0.85 【知识点】根据直线的方向向量求直线方程、直线方向向量的概念及辨析（平面中）) 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可， 【详解】因为直线的方向向量=(1,2)，所以直线的斜率为2， 又直线经过点P(1,0),所以直线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0. 故选：B 5.(24-25高二上·北京·月考)已知直线的方向向量为币=(3，-1)，则直线的倾斜角是() A.8 B. C. D. 【答案】D【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线方向向量的概念及辨析（平面中）) 【分析】由直线的方向向量先求出直线的斜率，再求倾斜角，从而得解 【详解】因为直线的方向向量为节=(3，-1) 所以直线的斜率为水-言一只设直线的顿斜角为0， 则0e[0,m),tan0=- 则0=普 故选：D 6.(2023北京·三模)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P为D中任意一点，则OP.OA的最大值 为() C(0,2) A(2,1) OB1,0) A.2 B.3 C.5 D.6 【答案】C【难度】0.65 第9页共28页 学科网·上好课 www.zxx k.com 上好每一堂课 【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值、直线的斜截式方程及辨析 【分析】设P(x,y),则OP·0A=2x+y,令z=2x+y,作出直线y=-2x向上平移过点A时，z取得最大值， 将点A的坐标代入可求得结果 【详解】设Px,y),则Op.OA=2x+y,令z=2x+y,得y=-2x+z, 作出直线y=一2x向上平移过点A时，直线y=-2x+z在y轴上的截距最大， 此时z取得最大值，2ma=2×2+1=5,即0F.0A的最大值为5. 故选：C C(0,2) 4(2.1) O八B(1,0) 7.(23-24高三下·北京·开学考试)已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为1,2，则cos(ac1-2)< 0"是“k1k2<0”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、直线的倾斜角、直线斜率的定义、既不充分也不必要条件 【分析】由题意得a,a2∈[0，)v(怎，可)，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，特殊角的 三角函数值即可得解 【详解】由题意两直线均有斜率，所以a,a2∈0，)u(,) 当cos(a1-a）<0时，取a1-,a2=0,则cos(a1-a）=cos音<0， 但kik,=tan号tan0=0,即充分性不成立： 当kk,<0时，取a1=号，a2=营则kk妇2=tan等tan写=-3<0， 3 但cos(a-)=c0s(任-)=>0，即必要性不成立： 综上，“cos(a1-a2)>0'是“k1k2>0”的既不充分也不必要条件 故选：D 8.(24-25高二上·北京·期中)在同一平面直角坐标系中，直线l1:y=kx+b和直线L2:y=bx+k有可能是() 【答案】B【难度】0.65 【知识点】直线的斜截式方程及辨析 第10页共28页 专题01直线与圆、隐圆问题 目录 01 析·考情精解 1 02 构·知能框架 2 03 破·题型攻坚 2 考点一 直线与圆 2 真题动向 必备知识 知识1直线的方程 知识2两直线的位置关系 知识3圆的方程 知识4点与圆的位置关系 知识5直线与圆的位置关系 知识6圆与圆的位置关系 命题预测 题型1直线的方程 题型2 两直线的位置关系 题型3 圆的方程 题型4 直线与圆、圆与圆的位置关系 考点二 隐圆 11 真题动向 必备知识 知识1概念 知识2常见隐圆类型 命题预测 题型1隐圆 命题轨迹透视 从近五年北京卷高考试题来看，直线与圆基本都考查直线与圆的位置关系（主要是相交时的弦长、面积、参数的计算问题），难度都不大。 以4分选择题或5分填空题形式呈现。 试卷中解答题未出现。 考点频次总结 考点 2025年 2024年 2023年 直线与圆的方程 直线与圆位置关系 北京T3选择题4分 北京T15填空题5分 隐圆 2026命题预测 预计在2026年北京卷高考中，直线与圆仍会考直线与圆相交（或相切）时的计算，还是以选择题或填空题形式出现，侧重基础计算。 但是隐圆、两直线的位置关系等考点也不能丢，不能由前面几年没有考就认为后面也不会考。所有知识点都必须过手，不能有知识上的漏洞。 考点一 直线与圆 1．(2024年北京高考数学真题T3选择题4分)圆的圆心到直线的距离为(    ) A． B． C． D． 2．(2023年北京高考数学真题T15填空题5分)设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 3.(2022年北京高考数学真题T3选择题4分)若直线是圆的一条对称轴，则(    ) A． B． C．1 D． 知识1直线的方程 (一)直线的倾斜角 1.定义：当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2.范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. (二)直线的斜率 1.定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．即k＝tan α(α≠90°)． 2.过两点的直线的斜率公式：直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率. 3.斜率的常用结论 (1)直线的斜率是确定的，与所取的点无关． (2)当，即时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 4.倾斜角与斜率的关系 当时，，直线平行于x轴或与x轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； (三)直线方程的五种形式 名称 方程 斜率 纵截距 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) k 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1 截距式 b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识2两直线位置关系 (一)两直线的位置关系： 1.平行条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 2.重合的条件 (1)斜截式方程：，， (2)一般式方程：，， 3.垂直的条件 ①斜截式方程：，， ②一般式方程：则 提醒：当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略. (二)两直线的交点与夹角 1.中点坐标公式：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：线段AB的中点为：。 2.三角形重心坐标公式：已知A(x1，y1)，B(x2，y2),，则：的重心为：。 3.两条直线的交点坐标：(1)已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 则交点P的坐标是方程组的解． (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 4.两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 5.三点共线 两直线AB、AC的斜率相等→A、B、C三点共线； 反过来，A、B、C三点共线，则直线AB、AC的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 6.对称点问题： (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 7.对称直线问题 若直线上的A、B关于直线的对称点分别为，则关于直线的对称直线必然经过点； 8.三种距离公式 (1)两点间的距离公式： 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离．|P1P2|＝. 特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离. 特例：若直线为l：x=m，则点到l的距离； 若直线为l：y=n，则点到l的距离 (3)两条平行直线间的距离：l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离. 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 知识3圆的方程 1.标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 2.一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心C，半径r＝ 3.直径式：若，以AB为直径的圆是. 知识4点与圆的位置关系 1.点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 2.点M(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系： (1)点P在圆外； (2)点P在圆上； (3)点P在圆内． 知识5直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 知识6圆与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元后利用判别式Δ判断 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 (四)圆与圆位置关系 1.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 公切线条数 4 3 2 1 0 2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 题型1直线的方程 1．(24-25高二下·北京·期中)以为端点的线段的垂直平分线的方程为(    ) A． B． C． D． 2．(24-25高二上·北京昌平·期末)已知直线，则直线的倾斜角的正切值为(   ) A． B． C． D． 3．(24-25高二上·北京怀柔·期末)已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 4．(22-23高二上·北京·期中)已知直线经过点，且方向向量，则的方程为(   ) A． B． C． D． 5．(24-25高二上·北京·月考)已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是(    ) A． B． C． D． 6．(2023·北京·三模)如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为(   ) A．2 B．3 C．5 D．6 7．(23-24高三下·北京·开学考试)已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(24-25高二上·北京·期中)在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是(   ) A． B． C． D． 9．(24-25高二上·北京·期中)对于直线：，下列说法不正确的是(    ) A．恒过定点 B．当时，不经过第二象限 C．的斜率一定存在 D．当时，的倾斜角为 10．(22-23高二上·北京·期中)已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是(    ) A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 11．(24-25高三上·北京·月考)过点且与直线(为常数)垂直的直线方程为 . 题型2两直线的位置关系 1.(24-25高三上·北京·月考)若两条直线与垂直，则实数的值为(    ) A． B． C．1 D．2 2．(23-24高三下·北京·开学考试)已知直线，直线，且，则(   ) A． B．1 C． D．4 3．(24-25高三上·北京·月考)过点且与直线(为常数)垂直的直线方程为 . 4．(24-25高三上·北京·月考)已知直线：和：，若，则实数 . 题型3圆的方程 1．(25-26高三上·北京西城·月考)已知直线经过圆的圆心，则的最小值为(   ) A． B． C．0 D．1 2．(25-26高三上·北京平谷·月考)方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为(    ) A． B． C． D． 3．(25-26高三上·北京房山·开学考试)把圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为(   ) A． B． C． D． 4．(2025·北京海淀·二模)圆心为且与轴相切的圆的方程是(    ) A． B． C． D． 5．(2025·北京西城·一模)在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数(   ) A． B． C． D． 6．(24-25高三上·北京丰台·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 7.(25-26高三上·北京西城·月考)直线经过圆的圆心，则的最小值为(   ) A． B． C．0 D．1 8．(25-26高三上·北京平谷·月考)写出一个关于直线对称的圆的方程 . 9．(24-25高二上·北京房山·期中)已知点在同一个圆上，则这个圆的方程为 . 题型4直线与圆、圆与圆的位置关系 1．(25-26高三上·北京·月考)若圆截直线所得弦长为2，则(    )． A． B．0 C．1 D．2 2．(25-26高三上·北京顺义·月考)长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为(    ) A． B．3 C．4 D．6 3．(25-26高三上·北京海淀·月考)圆的圆心到直线的距离为(    ) A． B． C． D． 4．(24-25高三下·北京·月考)若两条直线：，：与圆的四个交点能构成正方形，则(   ) A． B． C． D．4 5．(2025·北京·三模)已知直线与圆交于、两点，则的最小值为(   ) A．5 B．10 C． D． 6．(2025·北京海淀·三模)已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 7．(2025·北京·三模)经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为(    ) A． B． C． D． 8．(2025·北京昌平·二模)已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 9．(2025·北京丰台·二模)已知直线与圆交于两点．当变化时，则(   ) A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 10．(2025·北京东城·二模)已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为() A． B． C． D． 11．(2025·北京通州·一模)若点关于直线的非重合对称点在圆上，则k、b的一组取值为(   ) A．， B．， C．， D．， 12．(23-24高三上·北京丰台·期末)已知直线与圆相切，则(    ) A． B． C． D． 13．(24-25高三下·北京·月考)已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是(    ) A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 14．(2025·北京房山·一模)直线与圆交于两点，则(    ) A．1 B．2 C． D． 15．(2025·北京门头沟·一模)已知圆，直线，当变化时，若过直线上任意一点总能作圆的切线，则的最大值为(   ) A．0 B． C．1 D． 16．(24-25高三下·北京朝阳·月考)已知直线与圆相交于两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 17．(2025高三·北京·专题练习)一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则 ①存在直线，使得以为直径的圆与相切；②的最小值为； ③的最大值为；④的最小值为 其中所有正确结论的序号是 . 18．(24-25高三上·北京·月考)直线截圆的弦长= . 考点二 隐圆 知识1概念 隐圆：未直接给出圆的图形或方程，需要通过分析挖掘出动点满足圆的定义或性质，从而得到动点的轨迹是圆。 知识2常见隐圆类型 1.定点定长型 2.动点对定线段张角为直角型 3.动点到两定点距离的平方和为定值型 4.蒙日圆 5.对角互补、四点共圆型 6.阿波罗尼斯圆：动点到两定点距离的比为常数（这个常数大于0小于1） 题型1隐圆 1．(2024·北京·三模)已知，若点P满足，则点P到直线的距离的最大值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 2.(2025·北京东城·一模)长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最小值为(    ) A．1 B． C．2 D．3 3．(2023·北京·三模)设，已知点在线段上运动，其中．点满足，点满足，且组成的图形的面积是，则(   ) A．2 B．3 C．4 D．6 4．(24-25高三下·北京·强基计划)正方形，点满足，则的可能取值为(    )． A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．1，3 5．(2025·北京顺义·一模)已知,点M满足，则的可能取值是(    ) A．4 B． C．1 D． 6．(24-25高三上·北京房山·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为(   ) A． B． C． D． 7．(2025·北京·模拟预测)已知平面向量 满足 且 ，则 的最大值为 . 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 65 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $