精品解析：陕西省西安市第三中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次月考试卷

八年级数学 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，3 B. 4，5，6 C. 1，， D. 12，15，20 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 27的立方根是 C. 0没有立方根 D. 16的算术平方根是4 4. 方格纸上有、两点，若以点为原点建立直角坐标系，则点坐标为，若以点为原点建立直角坐标系，则点坐标是( ) A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少八两，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则缺少8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤=16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程组的解满足，求的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 10. 将点向上平移个单位后得到点，若点，关于轴对称，则的值为________． 11. 已知点、、在一次函数的图象上，请用“”连接、、3 __． 12. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 13. 如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 14. 如图，已知直线和，点在直线上，点在直线上，作轴于点，轴于点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，点的横坐标为___________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 解下列方程组： （1） （2） 17. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使． 18. 如图，直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出此时E到B的距离． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与一次函数y=kx－k的图象的交点为A（m，2）． （1）求此一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 20. “争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． （1）小长方形的长和宽各是多少米？ （2）请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与关于轴对称，其中点的对应点是，点的对应点是． （1）点的坐标为__________； （2）在图中画出； （3）连接，，则的面积为__________（直接写出即可）． 22. 观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： （1）按上面规律填空：_________________； （2）利用以上规律计算：； （3）求的值． 23. 两架无人机、准备在米高空完成台商区“争创文明城市 共建美好家园”的拍摄任务，无人机从海拔米处以米秒的速度匀速上升，无人机从海拔米处匀速上升．设无人机海拔高度（米）与时间（秒）的关系如图所示． （1） ； （2）求无人机在上升过程中，海拔高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式； （3）求当为何值时，无人机和无人机相距米． 24. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 25. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3． （1）试判断△AOB的形状，并说明理由； （2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC = BD．求AC + OD的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根及无理数的定义，根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、π是无限不循环小数，是无理数，故本选项符合题意； B、0是整数，是有理数，故本选项不符合题意； C、，是整数，是有理数，故本选项不符合题意； D、是分数，是有理数，故本选项不符合题意． 故答案为：A． 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，3 B. 4，5，6 C. 1，， D. 12，15，20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟知三角形的三边满足：，那么这个三角形为直角三角形是解题的关键．根据勾股定理逆定理可知，分别计算选项中两短边的平方和是否等于长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 27的立方根是 C. 0没有立方根 D. 16的算术平方根是4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行选择即可． 【详解】解：A、没有平方根，故A错误； B、27的立方根是，故B错误； C、0的立方根是0，故C错误； D、16的算术平方根是4，故D正确； 故选：D． 4. 方格纸上有、两点，若以点为原点建立直角坐标系，则点坐标为，若以点为原点建立直角坐标系，则点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确A、B的坐标位置，即可判定坐标. 【详解】解：以B为原点建立平面直角坐标系，则A点的坐标为（3，4）； 若以A点为原点建立平面直角坐标系，则B点在A点左3个单位，下4个单位处． 故B点坐标为（-3，-4）． 故答案为：C． 【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中用坐标表示位置，熟练掌握其性质，即可解题. 5. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象； 分和，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合； 当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合； 故选：B． 6. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少八两，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分7两，则还多4两；若每人分9两，则缺少8两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，1斤=16两），设客人有x人，银有y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组． 根据每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，得 故选A． 7. 已知方程组的解满足，求的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组以及解一元一次方程，欲求，先求与，联立方程组，求出解后再代入，求解即可．熟练掌握解二元一次方程组以及解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解满足， 联立方程组， 解得：， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根据全等三角形的判定可证AEM≌CGN，AHN≌CFM，从而得出S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论． 【详解】解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD， ∴AH2＋DH2=AD2=21 即（3DH）2＋DH2=21 解得：DH=， ∴AH= 由全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2 ∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN ∵AH∥CF ∴∠HEN=∠FCM ∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF ∴AEM≌CGN，AHN≌CFM ∴S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM ∴S四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH=S正方形EFGH=×= ∵S△FGN=2S△CGN ∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN = S△MNF＋2S△CGN = S△MNF＋S△FGN = S四边形MFGN = 故选B． 【点睛】此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 10. 将点向上平移个单位后得到点，若点，关于轴对称，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的平移规律，掌握点变化后的对应关系是解题的关键． 根据平移性质，点向上平移时横坐标不变，纵坐标增加；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用这些关系进行列方程求解． 【详解】∵点向上平移k个单位后，横坐标不变，纵坐标增加，得到点， ∴，且． 又∵点与点关于轴对称，因此点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数， 即，解得， 代入得，解得， ∴， 故答案为． 11. 已知点、、在一次函数的图象上，请用“”连接、、3 __． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数解析式，再把、代入可得，的值，然后可得答案． 【详解】解：∵在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴函数解析式为， ∵点、在一次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足解析式． 12. 如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出的值，进而得到点的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 13. 如图，矩形中，，，点为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】2或18 【解析】 【分析】分两种情况：①当E点在线段上时，②当E点在线段的延长线上时，利用全等三角形的判定和性质进行解答即可,熟练掌握三角形全等的判定和性质，活用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当E点在线段上时，如图所示： ∵矩形中，，，与关于直线对称， ∴，，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵ ∴ ∵ ∴； ②当E点在线段的延长线上，且经过点B时，如图所示： ∵, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； 综上所知，的长为2或18， 故答案为：2或18． 14. 如图，已知直线和，点在直线上，点在直线上，作轴于点，轴于点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，点的横坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，分类讨论；设，，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设， ∵在 ∴ 解得：， 当在点的左侧时， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 解得： ∴ 当在点的右侧时， ∴ 解得： ∴， 故答案为：或． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握各相关知识点是解题的关键． （1）利用乘法分配律进行计算，并对二次根式进行化简； （2）对绝对值、负整数指数幂、指数幂，二次根式进行同步计算，最后计算化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先化简方程组，再用加减消元解方程组即可． 【详解】解：（1）， ②-①得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）， 由②可得y=2-x， 把y=2-x代入①，可得x=-1， 把x=-1代入y=2-x，可得y=3， ∴方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入法与消元法解方程组，并能准确计算是解题的关键． 17. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使． 【答案】如图，则点即为所求； 【解析】 【分析】本题考查的是基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握这两点是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可知，作的垂直平分线，与的交点即为点． 【详解】解：作线段的垂直平分线交于点． 连接， ∵由作图得，点在的垂直平分线上， ∴． ∵， ∴． 18. 如图，直线l为一条公路，A，D处有两个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出此时E到B的距离． 【答案】千米． 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的应用，设千米，则千米，利用勾股定理得到，根据E到A，D两个村庄距离相等得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设千米，则千米， ∵于点B，于点C， ∴， ∴， ∵E到A，D两个村庄距离相等， ∴， ∴， 即， 解得：， 答：此时E到B的距离为千米． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=x的图象与一次函数y=kx－k的图象的交点为A（m，2）． （1）求此一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）y=2x-2； （2）△AOB的面积为2 【解析】 【分析】（1）先把A（m，2）代入正比例函数解析式可计算出m=2，然后把A（2，2）代入y=kx-k计算出k的值，即可得到一次函数解析式； （2）先确定B点坐标，然后根据三角形面积公式计算． 【小问1详解】 解：把A（m，2）代入y=x得m=2， 则点A的坐标为（2，2）， 把A（2，2）代入y=kx-k得2k-k=2， 解得k=2， 所以一次函数的表达式为y=2x-2； 【小问2详解】 解：把x=0代入y=2x-2得y=-2，则B点坐标为（0，-2）， 所以S△AOB=×2×2=2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 20. “争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将块周长为米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价元． （1）小长方形的长和宽各是多少米？ （2）请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？ 【答案】（1）小长方形的长为米，宽为米； （2）要完成这块绿化工程，预计花费元． 【解析】 【分析】（）设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组，然后求解即可； （）利用“平方米造价总面积”即可； 本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：设小长方形的长为米，宽为米， 根据题意可列方程组， 整理得： 解得：， 答：小长方形的长为米，宽为米； 【小问2详解】 解：（元）， 答：要完成这块绿化工程，预计花费元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与关于轴对称，其中点的对应点是，点的对应点是． （1）点的坐标为__________； （2）在图中画出； （3）连接，，则的面积为__________（直接写出即可）． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3）7 【解析】 【分析】本题考查坐标变换—轴对称，画轴对称图形，利用网格求三角形的面积． （1）根据轴对称点的坐标变换特征：关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数求出点的坐标即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用网格， 【小问1详解】 解：∵与关于轴对称， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 的面积． 22. 观察下列等式： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按上述规律，回答以下问题： （1）按上面规律填空：_________________； （2）利用以上规律计算：； （3）求的值． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查规律型—数字的变化类，二次根式的混合运算， （1）先根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可求出第四个等式； （2）把所给式子相加，找出规律即可进行计算； （3）根据所给规律探索将原式转化为，再根据平方差公式易得结果； 解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【小问1详解】 解：， 故答案为：；；； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 23. 两架无人机、准备在米高空完成台商区“争创文明城市 共建美好家园”的拍摄任务，无人机从海拔米处以米秒的速度匀速上升，无人机从海拔米处匀速上升．设无人机海拔高度（米）与时间（秒）的关系如图所示． （1） ； （2）求无人机在上升过程中，海拔高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式； （3）求当为何值时，无人机和无人机相距米． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的应用，理解函数图象中点的坐标含义是解本题的关键． （1）由无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升，列式计算求解，再利用两个无人机在同一高度列方程求解， 从而可得答案； （2）设无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 把代入，利用待定系数法求解即可； （3）先求得无人机A在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式，根据无人机和无人机相距米，列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵无人机A从海拔10米处以5米/秒的速度匀速上升， ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：设无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为， 把代入可得： ， 解得：， ∴无人机B在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 【小问3详解】 解：设无人机在上升过程中，海拔高度y米与时间x秒之间的函数关系式为 把代入可得： ， 解得：， ∴， 依题意，， 解得：或， 当无人机达到米停止后，无人机需达到米时与无人机距离米， ∴， 解得：， ∴或或时，无人机和无人机相距米． 24. 国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】（1）中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． （2）应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．熟练掌握用二元一次方程组解决实际问题的方法以及一次函数的性质是解题的关键． （1）设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据“辆中级型汽车、辆紧凑型汽车的进价共计万元”和“辆紧凑型汽车比辆中级型汽车的进价少万元”这两个条件，可以列出二元一次方程组，通过解方程组求出两种型号汽车的进货单价． （2）首先根据已知条件表示出购进紧凑型汽车的数量为辆．然后根据利润的计算方法，分别表示出中级型汽车和紧凑型汽车每辆的利润，进而得出总利润关于的函数表达式．再根据“购进中级型汽车的数量不低于辆”确定的取值范围．最后根据一次函数的性质，求出的最大值以及此时的值，从而确定购进两种型号汽车的数量． 【小问1详解】 解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 将两式相加得：，解得． 把代入得：，，解得． 答：中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元． 【小问2详解】 解：购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车． 中级型汽车每辆的利润为万元，紧凑型汽车每辆的利润为万元． ． 因为，且中，随的增大而减小． ∴当时，有最大值，（万元），（辆）． ∴应购购进辆中级型汽车，则购进辆紧凑型汽车才能使最大，最大为375万元． 25. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3． （1）试判断△AOB的形状，并说明理由； （2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC = BD．求AC + OD的最小值． 【答案】（1）△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；（2）存在点P的坐标为（，）或（，）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；（3） 【解析】 【分析】（1）先求出OA=5，然后利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）分当∠POB=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时和当∠PBO=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时两种情况讨论求解即可； （3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，可证△HOC≌△OBD得到OD=HC，则AC+OD=AC+HC，故要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，即当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，由（2）可知H的坐标为（，），利用两点距离公式求解即可． 【详解】解：（1）∵A的坐标为（5，0）， ∴OA=5， ∴， ∴△AOB是以B为直角顶点的直角三角形； （2）如图所示，当∠PBO=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F， ∴OB=OP=3， ∵， ∴， ∴， ∵∠PFO=∠POB=∠OEB=90°， ∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠BOE=90°， ∴∠OPF=∠BOE， 在△OPF和△BOE中， ， ∴△OPF≌△BOE（AAS）， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为（，）； 如图所示，当∠POB=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥BE交EB延长线于F，交y轴于D 同理可以求出，， 同理可以证明△PFB≌△BEO（AAS）， ∴，， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为（，）； ∴综上所述，存在点P的坐标为（，）或（，）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形； （3）如图所示，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形， ∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°， 又∵OC=DB， ∴△HOC≌△OBD（SAS）， ∴OD=HC， ∴AC+OD=AC+HC， ∴要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小， ∴当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长， 由（2）可知H的坐标为（，）， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的逆定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $