精品解析：江苏省无锡市江阴高新区实验中学2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷

2025-2026学年第一学期学生素养评估202512 八年级数学学科月考练习 （满分120分考试时间100分钟） 一．选择题（共10小题每题3分） 1. 下列表情中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 10，15，20 D. 7，24，25 4. 如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数（，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 6. 对于函数y＝－x－1，下列结论正确的是(　　) A. 它的图象必经过点(－1，3) B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当x＞1时，y＜0 D. y的值随x值的增大而增大 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 8. 下列各数中比3大比4小的无理数是（ ） A. B. C. 3.1 D. 9. 若点M在第四象限，且M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（ ） A. (1，－2) B. (2，1) C. (－2，1) D. (2，－1) 10. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题每题3分） 11. 化简：_____ ． 12. 点关于x轴对称的点的坐标为______． 13. 把函数的图像再向下平移4个单位长度后得到的函数解析式为______． 14. 如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为______． 15. 已知点在直线上，则a______b（填“”、“”或“”）． 16. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为______． 17. 一次函数与的图像如图所示，下列结论中正确的有______（填序号） ①对于函数来说，y的值随x值的增大而减小 ②函数的图像不经过第一象限 ③ ④ 18. 已知时，代数式的值恒大于0，则x的取值范围为_______． 三．解答题（共8小题共计66分） 19. 计算：． 20. 求下列各式中的x． （1）； （2）． 21. 如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． （1）求证； （2）若，，则的长为______． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）点的坐标为______，点的坐标为______，的面积为______； （3）点与点Q关于y轴对称，若，求点P的坐标． 23. （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图：在中，是的角平分线，且．求证： （3）建立平面直角坐标系使点A坐标为，点B坐标为，则点C坐标为______，的周长为______． 24. 你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 25. 某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示 （1）请直接写出y与x之间的函数解析式； （2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用． 26. 已知是的边上的高． （1）如图①，若，E是边上一点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．求证：． （2）如图②，若，过点C作，垂足为E，连接．写出，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图③，利用直尺和圆规，分别在，上作点M，N，使，且．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学生素养评估202512 八年级数学学科月考练习 （满分120分考试时间100分钟） 一．选择题（共10小题每题3分） 1. 下列表情中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该表情不是轴对称图形，不符合题意； B、该表情不是轴对称图形，不符合题意； C、该表情不是轴对称图形，不符合题意； D、该表情是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限． 故选：D． 3. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 10，15，20 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义．判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，分别以的顶点A，C为圆心，边，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，可以判定，理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合作图解答即可． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ∴， ∴判定的理由是． 故选：A． 5. 一次函数（，k为常数）的图象经过点P，且函数值y随x增大而减小，则点P的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质．根据一次函数性质确定k的符号，根据函数增减性确定正确选项即可． 【详解】解：∵一次函数函数值y随x增大而减小， ∴， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限排除选项C、D， 选项A中，，与条件不符，故排除； 选项B点在第二象限，且，符合条件． 故选：B． 6. 对于函数y＝－x－1，下列结论正确的是(　　) A. 它的图象必经过点(－1，3) B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当x＞1时，y＜0 D. y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据一次函数的性质对B、D进行判断；利用x＞1时，函数图象在y轴的右侧，y＜0，则可对C进行判断． 【详解】A. 当x=-1时,y=−x-1=,则点(1,3)不在函数y=−3x+1的图象上，所以A选项错误； B. k=<0，b=-1＜0，函数图象经过第二、三、四象限，所以B选项错误； C. 当x>1时，y<0，所以C选项正确； D. y随x的增大而减小，所以D选项错误． 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数的性质. 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C． 【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 8. 下列各数中比3大比4小的无理数是（ ） A. B. C. 3.1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于带根号的且开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解． 【详解】∵四个选项中是无理数的只有和，而＞4，3＜＜4 ∴选项中比3大比4小的无理数只有． 故选A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 9. 若点M在第四象限，且M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点M的坐标为（ ） A. (1，－2) B. (2，1) C. (－2，1) D. (2，－1) 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出点的横、纵坐标的符号，再根据点到轴、轴的距离即可得． 【详解】解：点在第四象限， 点的横坐标为正数，纵坐标为负数， 点到轴的距离为1，到轴的距离为2， 点的纵坐标为，横坐标为2， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握各象限内的点坐标的符号规律是解题关键． 10. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长等于火车长，此时y最大，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 二．填空题（共8小题每题3分） 11. 化简：_____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的概念，根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 12. 点关于x轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，掌握关于x轴对称点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”成为解题的关键． 直接利用关于x轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 13. 把函数的图像再向下平移4个单位长度后得到的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．据此解答即可． 【详解】解：由上加下减的原则可知，将函数的图象向下平移4个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是：，即． 故答案为：． 14. 如图，已知，要用“”判定，则需要补充的一个条件为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，根据用“”判定，已知及公共边，添加的条件是． 【详解】解：添加的条件是， 理由是：在与中， ， ∴， 故答案为：． 15. 已知点在直线上，则a______b（填“”、“”或“”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出一次函数的增减性． 首先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，然后根据即可得出结论． 【详解】∵一次函数y中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线的距离分别为，，．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【详解】解：如图所示：作A点关于直线的对称点，再连接，交直线于点P， 则此时最小，过点B作交延长线于点E， ∵，，． ∴，， ∴，， 在中， ， 则的最小值为． 故答案为：． 17. 一次函数与的图像如图所示，下列结论中正确的有______（填序号） ①对于函数来说，y的值随x值的增大而减小 ②函数的图像不经过第一象限 ③ ④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．①根据函数图象直接得到结论；②根据a、d的符号即可判断；③当时，；④当时，根据图象得不等式． 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，y随x的增大而减小，故①正确； 由图象可得：， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴， ∴，即，故③正确； 当时，，由图象可知， ∴，故④错误； 综上①②③都正确， 故答案为：①②③． 18. 已知时，代数式的值恒大于0，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系．将代数式看成关于k的一次整式，再对k的系数进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 因为时，代数式的值恒大于0， 则当，即时， ， 解得， 所以． 当，即时， 此代数式的值为1，满足题意． 当，即时，， 解得， 所以． 综上所述，x的取值范围是：． 故答案为：． 三．解答题（共8小题共计66分） 19. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算．先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解： ． 20. 求下列各式中的x． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根定义和平方根定义的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先方程两边同除以27，然后开立方即可； （2）直接开平方，得出答案即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同除以27得：， 开立方得：． 【小问2详解】 解：， 开平方得：． 解得：或． 21. 如图，C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． （1）求证； （2）若，，则的长为______． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到； （2）证明，得到，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）点的坐标为______，点的坐标为______，的面积为______； （3）点与点Q关于y轴对称，若，求点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2），，； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称，关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）首先确定，，三点关于轴对称点的位置，然后依次连接即可； （2）根据（1）所画图形写出对应点坐标，再计算面积即可； （3）根据点关于关于轴对称的点的坐标为，即可确定点的坐标，再由，求出a的值，进而确定点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，，， 的面积为 故答案为：，，； 【小问3详解】 ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 又∵， ∴， ∴或， ∴当时，；当时，， ∴点的坐标为或． 23. （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（只保留作图痕迹） （2）已知：如图：在中，是的角平分线，且．求证： （3）建立平面直角坐标系使点A坐标为，点B坐标为，则点C坐标为______，的周长为______． 【答案】（1）如图所示，点D为所求； （2）证明：是的角平分线， ∴． ， ∴， 在与中， ， ∴， ； （3）平面直角坐标如图， ，16 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形三线合一的性质，平面直角坐标系，勾股定理，证明是解题的关键． （1）以点A为圆心，大于的长度为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点D，即点D为所求； （2）根据证明即可得出结论； （3）根据点A坐标为，点B坐标为，，得到点D坐标为，由（2）知，得到，即可得到，再利用勾股定理求出的长，即可得到的周长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）点A坐标为，点B坐标为，， 点D的横坐标为，纵坐标为0，即， 由（2）知， ， ， ， ， 在中，， ， ， 的周长为：， 故答案为：，16． 24. 你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设绳索的长度为， 则由 得， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 25. 某学校计划购进A，B两种品牌的足球共50个，其中A品牌足球的价格为100元/个，购买B品牌足球所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：个）之间的关系如图所示 （1）请直接写出y与x之间的函数解析式； （2）若购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总费用W（单位：元）最低，并求出最低费用． 【答案】（1）为y＝ ；（2）当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得y与x之间的函数解析式； （2）根据题意可以得到W与B种足球数量之间的函数关系，再根据购买B种品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，可以求得B种足球数量的取值范围，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【详解】（1）设当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝kx， 则20k＝2400，得k＝120， 即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝120x， 设当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝ax+b， ，得 ， 即当x＞20时，y与x的函数关系式为y＝96x+480， 由上可得，y与x的函数关系式为y＝； （2）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球（50﹣m）个， 50﹣m≤m≤30，得25≤m≤30， ∵W＝100（50﹣m）+96m+480＝﹣4m+5480， ∴当m＝30时，W取得最小值，此时W＝﹣4×30+5480＝5360，50﹣m＝20， 答：当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元． 【点睛】考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26. 已知是的边上的高． （1）如图①，若，E是边上一点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．求证：． （2）如图②，若，过点C作，垂足为E，连接．写出，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图③，利用直尺和圆规，分别在，上作点M，N，使，且．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）证明：∵是的边上的高， ∴， ∵将绕点D顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）； 理由如下：过点D作，交于点F，如图所示： ∵是的边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即． （3） 根据作图可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）根据证明，即可得出答案； （2）过点D作，交于点F，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可证明； （3）以点D为圆心，为半径画弧，交于点G，延长，截取，连接，交于点N，以点A为圆心，为半径画弧，交于点M，连接、，则点M，N即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以点D为圆心，为半径画弧，交于点G，延长，截取，连接，交于点N，以点A为圆心，为半径画弧，交于点M，连接、，则点M，N即为所求， 【点睛】本题主要考查了基本作图，图形的旋转，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $