专题02 整式及其加减（7大知识点+15大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材华东师大版

专题02 整式及其加减 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：字母表示数 （1）用字母可以表示任意数或式子，如字母a，它不仅可以表示正数，也可以表示负数或零 （2）用字母表示数更能反映事物的一般规律，如n表示整数，则 2 n+1表示奇数 （3）字母表示的数要使式子有意义，如b/a（a≠0） 知识点2：代数式 1.代数式概念 （1）用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式，如：a+b，m-n，25m；单独的一个数或字母也是代数式，如a、m、10 （2）运算符号包括加、减、乘、除、乘方，不包括：=、>、<、≠等符号 2.规范书写： ①数字在字母前面，“×”通常写成“·”或省略不写 ②带分数化成假分数 ③1x中，1可以省略 ④书写顺序：符号、数字、字母 ⑤相同代数式写成乘方的形式 ⑥“÷”应该写成分数线的形式 知识点3：列代数式 列代数式的步骤： ①认真审题，对语言叙述中的关键词语所代表的意义进行仔细辨析，弄清题目中的数量关系 ②用运算符号表示出数量关系，列代数式要遵循“先读先写”的原则，如a与b的和的平方表示为（a+b）²；a、b的平方和表示为a²+b² ③在复杂问题中，要弄清题目中的数量关系的运算顺序，正确使用表明算顺序的括号，分层列出代数式 知识点4：代数式的值 （1）定义：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果叫做代数式的值 （2）代数式求值的注意事项： ①代入时，原式中的运算符号及数字不能变 ②如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替后要添上乘号，代入负数或分数时要加上括号 ③计算时要注意运算顺序，同时运用运算律进行简化计算 知识点5：整式 1.单项式 （1）单项式的概念：数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式 （2）单项式的系数：单项式中的数字因数 （3）单项式的次数：单项式中所有字母的指数和，单项式的次数是几，就可以说这个单项式是几次单单项式 （4）作为单项式，单独的一个非零数的次数是0，系数是它本身，单独的一个字母的次数是1，系数也为1 （5）单项式的系数包括其前面的符号，如-5xy的系数是-5 2.多项式 （1）多项式：几个单项式的和叫做多项式 （2）多项式的项：多项式中的每个单项式，其中不含字母的项叫做常数项 （3）多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数 （4）多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数 （5）一个多项式含有几项，最高次项的次数是几就叫几次几项式 （6）还有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母的指数大小顺序来排列，也称作按照字母的升（或降）幂排列 （7）多项式中的“和”是指省略加号的代数和，故确定多项式的项式，不要忽略它们的符号 3.整式 （1）单项式和多项式统称整式 （2）判断一个式子是不是整式，只需看他是不是单项式或多项式 知识点6：整式的加减 1.同类项的概念 （1）同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项 （2）判断特征：①所含字母相同；②相同字母的指数相同 （3）同类项与系数无关，与字母排列顺序无关，所有的常数项都是同类项 2.合并同类项的概念及法则 （1）定义：把同类项合并成一项，叫做合并同类项 （2）法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 （3）合并同类项时，只能把同类项合并在一起成为一项，不是同类项的项不能合并在一起 （4）合并同类项的结果可以是单项式，也可以是多项式，此时柿子中不应再有同类项 （5）同类项的系数互为相反数时，合并同类项的结果为0 3.去括号 去括号法则：括号前面是“+”号，去括号时括号里面的符号不变号；括号前面是减号，去括号时，括号内的符号全变成相反符号 4.整式的加减 （1）进行整式加减运算前，先观察整个式子的特征，再按照步骤计算，通常情况下去括号与合并同类项要根据整个式子的特征来计算，选择简便的方式入手 （2）两个整式相减时，简式一般先用括号括起来 （3）整式加减的最终结果：①结果是最简形式；②一般按照某一字母的降幂和升幂排列 5.整式的化简求值 （1）化简求值的步骤：一化简、二代入、三计算 （2）化简时若有多重括号，去括号时可以从内到外进行，也可以从外到内进行 （3）字母代换成数字时，一般要将省略的乘号还原，当代入负数时，应将负数用括号括起来 知识点7：探索与表达规律 1.探索数字变化的规律 （1）若是数字为整数的数列，可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律 （2）若是数字方面的等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系 （3）若数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系 （4）方法有：分类讨论法、转化法、归纳法 2.探索图形变化的规律 探索图形变化的规律，要观察图形，分析图形中输的关系。从特殊到一般，从不同的角度探索，最后用代数式表示出一般规律。不同代数式表达的结果，可根据去括号和合并同类项法则化简，最终结果是一致的 【考点1 代数式书写方法】 例1．下列代数式书写格式规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式书写规范，根据①数字与字母相乘时数字在前，字母在后且省略乘号；②除法应写成分数形式；③避免使用带分数以免歧义，逐项分析，即可解题． 【详解】解：A、应写作，书写格式不规范，不符合题意； B、应写作，书写格式不规范，不符合题意； C、应写作，书写格式不规范，不符合题意； D、书写格式规范，符合题意； 故选：D． 变式1．下列代数式中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D．元 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写规范，代数式的书写要求数字与字母相乘时数字在前、系数1或省略1、带分数需化为假分数、避免不必要的括号或单位． 根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A、使用带分数，不符合代数式书写要求，应化为假分数，故此选项不符合题意； B、系数未省略1，不符合书写要求，应写为，故此选项不符合题意； C、书写规范，符合要求，故此选项符合题意； D、元包含单位“元”，不符合纯代数式书写要求，故此选项不符合题意． 故选：C． 变式2．下列代数式中，书写不规范的是（    ） A． B． C．千米 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式的书写规范，在书写代数式时，代数式中的数字部分不能是带分数． 【详解】解：A选项：符合书写规范，故A选项不符合题意； B选项：符合书写规范，故B选项不符合题意； C选项：千米符合书写规范，故C选项不符合题意； D选项：在代数式中数字不能是带分数，应写为，不符合书写规范，故D选项符合题意． 故选：D． 变式3．下列代数式中，符合书写要求的是（   ） A． B． C． D．元 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、使用带分数，不符合书写要求（应写为假分数形式，如），原式错误，不符合题意； B、中系数1不应写出，应直接写为，原式错误，不符合题意； C、使用除号÷，应写为分数形式，原式错误，不符合题意； D、元使用括号正确分组表达式，并附加单位，原式正确，符合题意． 故选：D． 【考点2 单项式、多项式的判断】 例2 下列式子中，单项式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．①③⑤⑥ B．②③⑤⑥ C．①⑤⑥ D．①④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，单项式是数字与字母的乘积或单独的数字或字母，不能有加减法，分母中不能有字母，据此求解即可． 【详解】解：① 中是常数，故为数字与字母的乘积，是单项式； ② 含有加法运算，故为多项式，不是单项式； ③ 分母中含有字母，故不是整式，也不是单项式； ④ 含有减法和加法运算，故为多项式，不是单项式； ⑤ 是常数，故是单项式； ⑥ 是单独字母，故是单项式； 则单项式有①⑤⑥， 故选：C． 变式1.已知，0，，，，中多项式有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，根据定义判断即可． 【详解】解：是两个单项式的和，是多项式； 0是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 可化为，是两个单项式的和，是多项式； 是单项式，不是多项式． 故多项式有2个． 故答案为：． 变式2.下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中． ，，，，，，，. 【答案】答案见解析 【分析】本题考查单项式和多项式，根据单项式和多项式的定义，进行作答即可． 【详解】解：由题意，填图如下： 变式3.，0，，m，，，． 上面式子中哪些是单项式，哪些是多项式？请填入相应的括号内． 单项式{                 }； 多项式{                 }． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了单项式和多项式，根据由数字或字母组成的式子叫做单项式，特别的，单独的一个数字或字母也是单项式，几个单项式的和叫做多项式，一一区分即可得出答案． 【详解】解：单项式{，0， ，} 多项式{，，} 【考点3 单项式、多项式的系数和次数】 例3. 下列说法中正确的是（　　） A．单项式的次数是9 B．多项式的二次项是 C．单项式的系数为 D．多项式是二次三项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数与次数、多项式的项与次数的概念，解题的关键是准确掌握这些概念的定义． 根据单项式系数、次数及多项式项、次数的定义，逐一分析每个选项的正误． 【详解】解：A、的次数为，错误； B、多项式的各项次数分别为2、3、0，二次项是，不是，错误； C、的系数是，正确； D、的最高次项次数为3，且项数为2，是三次二项式，不是二次三项式，错误． 故选：C． 变式1.下列说法中，正确的是（   ） A．单项式的系数是4，次数是3 B．单项式m的次数是1，没有系数 C．单项式的系数是，次数是4 D．多项式是二次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式和多项式的定义，根据单项式的系数和次数、多项式的次数和项数的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A项：单项式的系数是，不是4，次数是3，故A错误，不符合题意； B项：单项式m的次数是1，但系数是1，不是没有系数，故B错误，不符合题意； C项：单项式的系数是，次数是，故C正确，符合题意； D项：多项式的最高次项的次数是3，因此是三次三项式，不是二次三项式，故D错误，不符合题意． 故选：C． 变式2.下列说法不正确的是（    ） A．的系数为 B．的次数为5 C．不是单项式 D．是三次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，单项式的系数、次数，多项式的次数、项数，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键．根据单项式与多项式的相关概念，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、的系数为，故原说法正确，不符合题意； B、的次数为5，故原说法正确，不符合题意； C、是单项式，故原说法不正确，符合题意； D、是三次三项式，故原说法正确，不符合题意； 故选：C． 变式3.下列关于单项式和多项式的说法，正确的是（   ） A．是单项式 B．是四次三项式 C．的系数是1 D．是三次单项式 【答案】B 【分析】本题考查单项式和多项式的定义、系数、次数等概念，熟记相关概念是解决问题的关键． 根据定义，单项式是数字与字母的积，多项式是几个单项式的和；单项式的次数是所有字母指数之和，多项式的次数是最高次项的次数；逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A：，是两个单项式的和，为多项式，不是单项式，选项说法错误，不符合题意； B：中，次数为2，次数为1，次数为，最高次数为4，且有三项，故为四次三项式，选项说法正确，符合题意； C：的系数是，不是1，选项说法错误，不符合题意； D：中，字母指数和为，是五次单项式，不是三次，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【考点4 合并同类项】 例4. 下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，只有同类项才能进行合并，系数相加减，字母部分不变，据此逐项分析即可． 【详解】解：选项A中，和不是同类项，不能合并，故错误； 选项B中，和不是同类项，不能合并，故错误； 选项C中，，故错误； 选项D中，，与选项一致，故正确． 故选D． 变式1.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．根据合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； D、，则此项正确，符合题意； 故选：D． 变式2.下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，正确合并同类项是解题的关键． 根据合并同类项的运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 变式3.合并同类项： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 根据合并同类项法则，所有项均为的同类项，只需将系数相加即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 【考点5 写出满足某些特征的单项式】 例5. 请写出一个只含有字母的二次单项式； ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据单项式的系数、次数，结合题目要求求解． 【详解】解：单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和， 只含有字母的二次单项式， 则字母的指数为2， 系数可为任意非零常数， 例如， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1.请写出一个含有字母和，且系数为，次数为3的单项式： ． 【答案】（或，写一个即可） 【分析】本题考查单项式的相关概念；根据单项式的系数和次数的定义，系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此需构造一个系数为、次数为且含有字母和的单项式. 【详解】解：单项式的系数为，次数为，且必须含有字母和，因此字母和的指数之和为， ∴、符合题意. 故答案为：（或，写一个即可）. 变式2.写出一个同时满足以下三个条件的单项式： 系数是负数； 次数是； 至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．理解单项式的系数、次数的意义是正确解答的关键． 根据单项式的系数、次数的意义进行解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3.请写一个符合：①含有字母；②系数为；③次数为5的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数，根据单项式的系数为数字因式（包括符号），次数为所有字母的指数和，进行构造即可． 【详解】解：由题意，符合题意的单项式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 【考点6 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 例6. 若单项式与是同类项，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了同类项的定义， 根据同类项的定义解答，即所含字母相同，且相同字母的指数必须相等． 【详解】解：因为单项式与是同类项， 所以的指数相等，即， 解得； 的指数相等，即， 解得． 故答案为：2，． 变式1.若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B．1 C．2 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此可列出方程求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴． 故选：B． 变式2.若单项式与能合并成一项，则，的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义，根据两个单项式能合并成一项，需为同类项，即相同字母的指数对应相等，然后解方程组即可，正确理解同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项． 【详解】解：∵单项式与能合并， ∴， 解得：， 故选：． 变式3.若单项式与合并后的结果仍为单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，由已知可得两个单项式是同类项，进而根据同类项的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式与合并后的结果仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：． 【考点7 多项式系数、指数中字母求值】 例7. 若整式是关于的四次三项式，则的值为 【答案】6 【分析】本题考查了多项式，掌握多项式的有关概念是解题的关键． 根据四次三项式的定义，整式的最高次项次数为4，且项数为3，据此求解即可． 【详解】解：整式是关于的四次三项式， ∴， 解得． 故答案为：6． 变式1.若是关于x，y的一个三次三项式，则常数m等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式为三次三项式的定义，最高次项的次数为3，且项数为3，需满足系数不为零的条件． 【详解】解：因为多项式是关于、的三次三项式， 所以最高次项的次数为3，且各项系数均不为零． 第一项的次数为， 令，得，即或． 又因第一项系数，即， 故． 故答案为1． 变式2.如果关于的多项式合并后不含项和项，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，在多项式中不含哪项，即哪项的系数为是解题的关键． 合并多项式中的同类项，令项和项的系数为，解出和的值，再求即可． 【详解】解：， 项的系数为，项的系数为， 由题意可知，且， 解得，，， ． 故选：C． 变式3.已知多项式是关于x的四次四项式，且不含x项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的性质，能够题意得出，是解题的关键． 根据多项式为四次四项式且不含x项，可得，且一次项系数为0，即，同时三次项系数不为0，求解a和b，再计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的四次四项式， ∴， 解得：或； ∵不含x项， ∴， 解得：， ∵多项式为四项式， ∴三次项系数，即， ∴， 当，时， ． 【考点8 整式的加减运算】 例8. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的加减，掌握运算法则是解题的关键． （）直接合并同类项即可； （）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1.写出一个含有x的代数式 ，使其满足无论x取何值，这个代数式的值总比代数式的值小． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解决本题的关键． 设一个代数式的值比代数式的值小1，然后根据整式的运算法则求解即可． 【详解】解：设这个代数式的值比代数式的值小1， 则这个代数式为：， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2.代数式，代数式A减去等于B． (1)求代数式B； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，，然后代入，去括号，合并同类项即可； （2）代入A，B，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： 答：代数式B为 （2）， 答：化简的结果为． 变式3.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先利用去括号法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点9 整式加减中的化简求值】 例9. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值．先去括号再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 变式1.先化简，再求值：，其中满足等式 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，把所求式子先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】原式 ， ， 原式. 变式2.先化简，再求值： ，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 根据整式加减的运算法则化简，再根据非负数的性质求出的值，再代入到化简后的式子即可求值． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， 代入，，原式． 变式3.先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考要了整式的加减混合运算，整式的化简求值，正确运算是解题的关键．先去小括号，再去中括号，最后进行加减运算．将的值代入化简后的代数式中进行求解即可． 【详解】解：原式=， ， ， ． 当时，原式． 【考点10 整式加减中的无关型问题】 例10. 若多项式与的和不含x项和常数项，则的值为（） A． B．1 C． D．5 【答案】B 【分析】此题考查了整式的加减运算－化简求值，掌握知识点是解题的关键． 将两个多项式相加，合并同类项后，根据和不含x项和常数项的条件，令x项系数和常数项系数均为0，求解m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ， ∵多项式与的和不含x项和常数项， ∴且， 解得， ∴． 故选：B． 变式1.已知多项式， (1)求； (2)若的值与y无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可． （2）根据，可得，求出的值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：，的值与无关， ， 解得． 变式2.已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算、代数式求值以及代数式的值与某字母无关时求参数的值． （1）先求出的值，然后代入，计算求值； （2）将的表达式整理成含的项和常数项，根据与无关的条件，令含的项的系数为0，解方程求． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 当，时， ∴原式； （2）解：由（1）知，， ∵的值与的取值无关， ∴含的项的系数为0， 即， 解得． 变式3.（1）先化简，再求值：，其中，． （2）若关于的多项式的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】（1），5；（2）8 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，合并同类项和代数式求值，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键； （1）先去小括号，再合并同类项，把、的值代入化简后的式子计算即可； （2）先根据去括号法则和合并同类项法则将多项式进行化简，再根据多项式的值与字母的取值无关求出，的值，最后将，的值代入中即可求解． 【详解】解：（1） ， 将，代入中， 原式； （2）解： ， 多项式的值与字母的取值无关， ，， ，， ． 【考点11 与整式加减运算有关的应用】 例11. 小东同学用若干长为，宽为的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4个长方形纸片拼成的一个长方形，图3是在长方形中摆放9个长方形纸片．请你仔细观察所拼图形，解答下列问题． (1)观察图2，直接写出与之间满足的关系式（用的代数式表示）； (2)观察图3，请你用的代数式表示长方形的周长； (3)观察图3，若已知，求图3中5个阴影图形的周长和． 【答案】(1) (2) (3)190 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，代数式求值，理解题意，数形结合，是解题的关键． （1）根据图2中长方形的边长，得出答案即可； （2）分别表示出，，再求出长方形的周长即可； （3）分别求出各个部分的周长，然后相加，最后代入数据求值即可． 【详解】（1）解：根据图2可知：与之间满足的关系式为； （2）解：根据图3可知：， ， 长方形的周长为； （3）解：图3中5个阴影图形的周长和为： ， 把代入得： ． 变式1.将正整数按一定规律排列如表，其中有一个带阴影的方框，提醒自己要“倍”努力． (1)如图，方框中的个数之和是______． (2)平移表中带阴影的方框，若设框住的个数中，从小到大排列后第个数为，请求出阴影方框框住的个数的和（用含的式子表示）． (3)平移表中带阴影的方框，阴影方框框住个数之和能是吗？若能，请求出这个数分别是多少；不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】（）把七个数相加即可求解； （）由题意可得阴影方框中的个数分别为，，，，，再把七个数相加即可求解； （）若阴影方框框住个数之和是，则，可得阴影方框中的个数分别为，，，，，，，再根据每行有个数可得位于第列，应与41隔一列且在同一行，即第8列，但是实际上数的分布不存在第8列，据此即可判断求解； 本题考查了有理数的加法运算，整式的加法运算的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴方框中的个数之和是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，阴影方框中的个数分别为，，，，，，， ∴阴影方框框住的个数的和为； （3）解：不能，理由如下： 若阴影方框框住个数之和是，则， ∴阴影方框中的个数分别为，，，，，，， ∵每行有个数， ∴位于第列，应与41隔一列且在同一行，即第8列，但是实际上数的分布不存在第8列， ∴在此表中阴影方框框住个数之和不能是． 变式2.【阅读材料】：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．可用以下方法将进制数转化为十进制数，如进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中．当时，． 结合以上材料，解决下列问题： (1)直接写出下列进制数转化为十进制表示的数： ___________，___________； (2)一个四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除（，．且，均为整数），求的值； (3)若一个八进制数与一个六进制数之差为220，则称这两个数互为“坤鹏数”，试判断与是否互为“坤鹏数”（为正整数，且），并说明理由． 【答案】(1)5，13 (2) (3)不是，理由见解析 【分析】本题考查进制数与十进制数的转化及整式的加减运算，解题的关键是掌握进制数转化为十进制数的规则． （1）根据进制数转十进制的规则，展开计算； （2）先将两个进制数转化为十进制数，求和后根据“能被8整除”的条件确定的值； （3）分别将八进制数和六进制数转化为十进制数，计算差值后判断是否等于220． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：5，13； （2）解： ∵四进制三位数与七进制三位数之和能被8整除， ∴就是8的整数倍， ∵．且均为整数， ∴； （3）解：与不互为“坤鹏数” 理由：∵， ， ∴， 当时，， ∵为正整数，且， ∴与不是互为坤鹏数． 变式3.梯形被挖去了一个以b为半径的四分之一圆，剩余的阴影部分如下图所示，回答下列问题： （单位：） (1)用代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积（π取）． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题考查梯形面积公式和扇形面积的公式，根据题意列代数式，明确阴影部分面积=梯形形面积-扇形面积，是解题的关键． （1）根据阴影部分面积=梯形面积-扇形面积，结合图形中圆的半径和梯形的上底、下底和高，并利用它们的面积公式即可求解． （2）将a，b，c的值代入（1）中所求的代数式进行计算． 【详解】（1）解：用代数式表示图中阴影部分的面积为 ； （2）解：当，时， ． 故阴影部分的面积为． 【考点12 已知式子的值，求代数式的值】 例12. 已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，由已知方程变形得 ，再整体代入目标表达式求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 则． 故答案为：． 变式1.已知：有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数．求：的值． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了数轴、相反数、倒数、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由数轴、相反数、倒数可得或，，，然后分和两种情况求解即可． 【详解】∵有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴或，，， 当时，原式； 当时，原式． 综上，代数式的值为3或． 变式2.已知，，则式子的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了整体代入法求代数式的值，整体代入的思想是一种重要的数学思想． 将代数式化简，然后代入已知条件 和 即可． 【详解】解： ， ∵ 和 ， ∴原式， 故答案为：10． 变式3.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求的值． 【答案】或5 【分析】本题考查代数式求值，相反数的性质、绝对值的性质、倒数的定义，掌握相反数的性质、绝对值的性质、倒数的定义是解题的关键． 根据相反数及倒数的定义可得，，再由的，分类讨论m的值，进行计算即可． 【详解】解：，互为相反数， ， ∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴或， 即或， 当时， ； 当时， ； 【考点13 与单项式有关的规律探索问题】 例13. 观察下列单项式：，则第2025个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究，总结归纳出单项式的规律是解答本题的关键； 观察单项式序列的符号、系数和指数变化规律：符号正负交替，系数为偶数序列，指数与项数相同，由此归纳第个单项式的表达式； 【详解】解：给定单项式序列：，，，，，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 由此类推，第个单项式为， ∴第2025个单项式是． 故答案为：． 变式1.观察，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式规律的探索，找到指数与系数的规律是关键；观察序列的系数和指数，系数为偶数递增，指数与项数相同，故第n个式子为． 【详解】解：∵ 第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， …… ∴第n项为． 故选：D． 变式2.观察下列单项式：，，，，…，根据给出的规律，第2025个单项式是（    ） A．4049 B．4051 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了观察单项式的规律：指数与序号相同，系数的绝对值为奇数序列，符号交替；通式为第n个单项式为；代入计算即可. 【详解】解：总结规律得：第n个单项式为 ， ∴当时， ∴系数为，指数为2025， ∴第2025个单项式为 ； 故选：C. 变式3.观察下列式子：，，，，…，依照此规律，第8个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是的幂次递增． 【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为， ， ， ， …， 因此第个式子为． 当时，． 故答案为：． 【考点14 与图形有关的规律探索问题】 例14. 如图所示的排列形式的点的数目称作三角形数，当，三角形数为1，当时，三角形数为3，则当时，三角形数为（　　） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】D 【分析】本题考查三角形数的规律探究，解题的关键是找出三角形数与序号的数量关系． 先分析前几个三角形数的规律，推导出第个三角形数的表达式，再代入计算． 【详解】解：观察图形可知： 当时，三角形数为， 当时，三角形数为， 当时，三角形数为， 以此类推，第个三角形数的表达式为． 当时，三角形数为． 故选：D． 变式1.小南用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5颗棋子，第②个图案中有9颗棋子，第③个图案中有13颗棋子，第④个图案中有17颗棋子，…，按此规律，则第8个图案中，棋子的数量是（   ）              A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形中棋子的个数，发现后一个图形比前一个图形多4个棋子，据此发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中，棋子的数量为； 第2个图案中，棋子的数量为； 第3个图案中，棋子的数量为； 所以第个图案中，棋子的数量为个． 当时， （个， 即第8个图案中，棋子的数量为33个． 故选：A． 变式2.如图，将图1中的正六边形进行分割得到图2，再将图2中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图3，再将图3中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，其中图1中有1个正六边形，图2中有4个正六边形，图3中有7个正六边形，则图10中的正六边形共有 个． 【答案】28 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据图中正六边形的个数可得每一个图形都比它前一个图形多3个正六边形，归纳类推得图中正六边形的个数为个，其中为正整数，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图1中正六边形的个数为（个）， 图2中正六边形的个数为（个）， 图3中正六边形的个数为（个）， 归纳类推得：图中正六边形的个数为个，其中为正整数， 则图10中正六边形的个数为（个）， 故答案为：28． 变式3.如图，第①个图形共有4个圆圈，第②个图形共有8个圆圈，第③个图形共有13个圆圈；……，按此规律排列下去，则第⑦个图形圆圈的个数为（） A．34个 B．43个 C．53个 D．33个 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出第个图形中圆圈数量为．根据已知图形得出第个图形中圆圈数量为，再将代入即可得． 【详解】解：第①个图形中圆圈数量， 第②个图形中圆圈数量， 第③个图形中圆圈数量， ……， 第n个图形中圆圈数量为 ， 当时，圆圈的数量为， 故选：B． 【考点15 与数字有关的规律探究问题】 例15. 计算：，，…归纳各计算结果中的个位数字规律，则的个位数字是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了2的幂的个位数字规律问题． 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4．根据指数除以4的余数可确定个位数字． 【详解】解：，，，，，…， 通过观察2的幂的个位数字规律，可知个位数字以2、4、8、6循环出现，周期为4． 对于，指数2025除以4的余数为1，对应个位数字为2， 计算的个位数字：2减5，被减数个位2小于减数个位5，因此向十位借1，相当于个位为． 故答案为：7． 变式1.已知，，，，，，，，…，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，由题意可得：，，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， …… ， 则 ． 故答案为：． 变式2.（1）①观察一列数1，2，4，8，16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么________，________； ②为了求的值，可以这么做： 令， 则， 因此， 所以，即． 仿照以上推理： （2）计算的值． （3）计算． 【答案】（1）2；；；（2）；（3） 【分析】本题考查数字类探究问题．根据题意抽象概括出数字规律，熟练掌握给出的运算方法是解题的关键． （1）根据给出的数字，抽象概括出数字规律，进行解答即可； （2）仿照（1）中②的运算方法进行计算即可； （3）利用（1）中②的方法，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵ ∴，； 故答案为： 2；；； （2）令 则 得：，； （3）令 则 ： ∴ ∴ ． 变式3.观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯ 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：___________=___________； 第（为正整数）个等式：__________=___________； (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，用代数式表示数、图形的规律，数字类规律探索，分式加减乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）通过观察，发现规律，用规律列出第5个等式和第（为正整数）个等式； （2）将每项拆成两项后再计算即可． 【详解】（1）解：按以上规律列出第5个等式：， 第（为正整数）个等式： 故答案为：，，，； （2）解： ． 一、单选题 1．用代数式表示“比m少2的数的平方”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意．根据文字描述“比m少2的数的平方”转化为代数式，需先计算m减去2，再求平方即可． 【详解】解：“比少2的数”为， 其平方为， 故选：A． 2．把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将多项式进行降幂排列． 根据题意，将各项按的指数从大到小排序即可． 【详解】原多项式为 ∵各项按的指数从大到小排序为，，，，， ∴把多项式按x进行降幂排列为． 故选：A． 3．如图是用火柴棍摆出的一组图案，第1个图案需要6根火柴棍，第2个图案需要11根火柴棍……照这样的规律摆下去，第20个图案所需火柴棍的根数是（   ） A．60 B．82 C．101 D．120 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索． 根据前3个图案总结规律，即可得第20个图案所需火柴棍的根数． 【详解】解：第1个图案所需火柴棍的根数：6， 第2个图案所需火柴棍的根数：， 第3个图案所需火柴棍的根数：， 第个图案所需火柴棍的根数：， ∴第20个图案所需火柴棍的根数是． 故选：C． 4．算式可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列代数式，乘法和乘方的定义，分子是个2相加，等于；分母是个3相乘，等于3的次方，据此求解即可． 【详解】解：∵分子是个2相加，等于；分母是个3相乘，等于3的次方，即， ∴原式． 故选：C． 5．下列代数式，，，，，中，整式有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】把本题考查了整式的定义，根据整式的定义（分母中不含字母的代数式），逐一判断各代数式是否为整式即可 【分析】解：整式是分母中不含字母的代数式， 是单项式，分母无字母，是整式；是多项式，分母无字母，是整式；分母含字母a，不是整式；分母中为常数，无字母，是整式；是常数，是整式；m是单项式，分母无字母，是整式， 整式有5个， 故选：A 6．已知小明的年龄是岁，爸爸的年龄比小明年龄的3倍少4岁，妈妈的年龄比小明年龄的2倍多7岁，则他们三人的年龄和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，分别表示出爸爸和妈妈的年龄，再将三人的年龄相加，合并同类项即可得到总年龄． 【详解】解∶∵小明的年龄为岁， 爸爸的年龄为岁， 妈妈的年龄为岁， ∴三人的年龄和为： 故选∶D． 7．若关于的多项式减去多项式的若干倍，其结果为常数项，则其运算结果是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式加减运算，熟记整式加减运算法则是解决问题的关键． 由于两个多项式的差为常数项，通过运算以后得到的多项式中项和项的系数均为零，由此求出倍数和参数，进而得到常数项． 【详解】解：设倍数为， ， ∵关于的多项式与多项式的几倍的差结果为常数项， 即其运算结果中项和项的系数均为零，常数项是， ，且， 解得， ∴ 常数项为， 故选：D． 8．下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C． 与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，只需比较各选项中两个单项式的字母部分是否一致． 【详解】解： 选项A：的字母部分为，的字母部分为，指数不同，不是同类项； 选项B：即，与的字母部分均为，指数相同，是同类项； 选项C：的字母部分为， 的字母部分为，字母不同，不是同类项； 选项D：的字母部分为，的字母部分为，字母不同，不是同类项． 故选：B． 9．已知，则式子：（  ） A．3 B．或1 C．或3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了乘法法则，绝对值的定义，分类讨论是解题的关键； 由可知a、b、c全为正数或两个负数一个正数，根据分类讨论的思想以及绝对值分别计算式子值即可． 【详解】∵， ∴a、b、c同为正或两负一正． 当，，时， ，，， ∴原式． 当a、b、c中有两个负数一个正数时，不妨设, 则，，， ∴原式． 其他两负一正情况同理，和均为． ∴式子的值为3或． 故选：C． 10．已知，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的结果之和，即，，，则下列说法正确的个数有（   ） 当时，； ； ； 中，的系数为偶数，常数项为奇数． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，代数式求值，找出，然后代入计算即可判断；计算即可判断；利用前项和的性质即可判断；分析系数和常数项的奇偶性规律即可判断；解题的关键是利用从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和分别计算验证说法． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 当时，，原说法正确，符合题意； ， ∴ ，原说法错误，不符合题意； ∵前项和，由递推得， ∴，原说法正确，符合题意； 设，其中为系数，为常数项， 由，，，，，，， ∴为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，， 为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，， ∵， ∴中，的系数为偶数，常数项为奇数，原说法正确，符合题意； 综上，正确，共个， 故选：． 二、填空题 11．李老师买了3个篮球，每个篮球元，付给售货员258元，且付的钱足够，表示 ． 【答案】售货员找回李老师的钱数 【分析】本题考查代数式表示的意义，掌握知识点是解题的关键． 付给售货员的钱减去购买篮球的总价，即为找回的钱数 【详解】解：付给售货员258元，购买3个篮球每个x元，总价为元，因此表示售货员找回李老师的钱数． 故答案为：售货员找回李老师的钱数． 12．若单项式与是同类项，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项的概念，所含字母相同，且所含字母的指数也相同的项叫做同类项，要注意同类项与字母的顺序无关． 根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，列出关于和的方程，求解即可． 【详解】因为单项式与是同类项，所以的指数相等， 即，且的指数相等，即， 将代入，得，解得． 所以． 故答案为：3． 13．已知，则代数式的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查代数式求值，由已知方程变形得到的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 14．对于一个各数位数字互不相等且均不为的四位自然数，满足，则称自然数为“志远数”．例如：，因为，，所以是“志远数”；，因为，，所以不是“志远数”．最大的“志远数”为 ；对于“志远数”的前三位数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被整除，则符合条件的“志远数”最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，列代数式，首先，根据“志远数”的定义，满足和，且各数位数字互不相等且均不为，求最大数，使千位最大，最大为（），百位最大为（），得数，其次，对于前三位与后三位的和能被整除，通过同余分析得，结合条件从到的取值，得满足条件的数有、、、，其中最大为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，为千位需最大，且，故最大为，； 由，为百位需最大，且数字互异，，故最大为，； 此时，数字互异，符合条件． 故最大“志远数”为； 前三位，后三位， ∴和， 由，；由，， 代入得， ∵被整除，即能被整除， ∴被整除， ∴被整除， ∵、为至数字，， ∴， 由，，， ∴，得，， ∴， ∴， 由得， ∴， 则当，，，，则“志远数”为； 当，，，，则“志远数”为； 当，，，，则“志远数”为； 当，，，，则“志远数”为； ∴志远数”最大值为， 故答案为：，． 15．请你结合图形解答． = 【答案】 【分析】本题考查了数形结合解题，数字规律探索，读懂图形并找出规律是解题的关键． 结合三张图，可知第三张图右下方的空格占比，进而得到空1答案，然后通过计算得到空2答案． 【详解】解：结合三张图，可知第三张图右下方的空格占比为， 故空1答案为， 计算得到空2为． 故答案为：，． 三、解答题 16．已知． (1)化简； (2)当，时，求的值； 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查整式加减混合运算和代数式求值，涉及去括号法则、合并同类项，掌握整式混合运算法则以及代数式求值的题型方法是解决问题的关键． （1）根据题意，先去括号，再合并同类项，运用整式加减运算法则求解即可； （2）整体代入（1）中所求结果，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：当，时， ． 17．如图，有一张长方形纸板，剪掉空白部分，然后将其余部分折起，制成一个高为的长方体有盖纸盒．如果纸盒的容积为，底面长方形的一边长为． (1)求原长方形纸板的长和宽． (2)当时，剪掉的纸板的面积是多少? 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】本题主要考查了长方体的容积公式与代数式的运算，熟练掌握 “长方体容积与底面积、高的关系，以及根据折叠方式分析原图形的边长” 是解题的关键． （1）先根据长方体容积公式求出底面另一边长，再结合纸盒折叠方式确定原长方形纸板的长和宽； （2）先表示出剪掉纸板的面积表达式，再代入数值计算． 【详解】（1）解：纸盒的容积为，高为， 纸盒的底面积为． 底面长方形的一边长为， 底面长方形的另一边长为． 原长方形纸板的长为，宽为． （2）解：剪掉的纸板的面积为． 当时，． 剪掉的纸板的面积是． 18．中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念币于2025年9月3日开始发行，包含双色铜合金纪念币、8克圆形精制金质纪念币、150克圆形精制银质纪念币和30克圆形精制银质纪念币，这4种纪念币的发行价分别为10元/枚、7800元/枚、3660元/枚、690元/枚．小张的爸爸预约到双色铜合金纪念币枚、8克圆形精制金质纪念币枚、150克圆形精制银质纪念币枚、30克圆形精制银质纪念币枚． (1)用代数式表示小张的爸爸兑换这些纪念币需要支付的费用． (2)若，，，，求小张的爸爸兑换这些纪念币需要支付的费用． 【答案】(1)元 (2)小张的爸爸兑换这些纪念币需要支付33080元 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值． （1）由题可知4种纪念币每枚的价格和各自的数量，进而相加即可； （2）将，，，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：由题可知4种纪念币每枚的价格和各自的数量， 因此，小张的爸爸兑换这些纪念币需要支付的费用可以表示为元； （2）解：当，，，时， （元）． 答：小张的爸爸兑换这些纪念币需要支付33080元． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02整式及其加减 内容导航 田串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 目重点速记：知识点和关键点梳理， 查漏补缺 ☆举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 思维导图串知识 字母表示数0 作用：简明表示数量关系、运算律、公式 注意：字母取值需使实际问题有意义 定义：用运算符号连接数或字母的式子 核心概念：整式O 代数式0一 书写规范：数字在前、带分数化假分数、除号变分数线 单项式● 整式分类0≤ 多项式● 整式：单项式和多项式的统称 定义：所含字母相同，相同字母指数也相同的项 同类项。 注意：常数项都是同类项；与系数、字母顺序无关 法则：同类项系数相加，字母和指数不变 合并同类项。 步骤：找同类项→移项（带符号）→合并 整式的加减运算O 去括号法则· 去括号与添括号。 添括号法则。 去括号（若有括号） 找同类项 整式加减的一般步骤O 合并同类项 结果：最简整式（无同类项、无括号） 图形规律：用代数式表示图形的数量、周长、面积等变化规律 规律探索与应用O 数值规律：分析数列的变化特征，用代数式表示通项 应用：根据代数式求值（代入法，注意整体代入技巧） 单项式的系数：包含符号，如-3xy的系数是-3 单项式的次数：只算字母指数，常数项次数为0 易错点警示O 去括号：括号前是“”时，各项都要变号，勿漏项 合并同类项：非同类项不能合并，如×2与x不能合并 重点速记 ☑知识点1：字母表示数 (1)用字母可以表示任意数或式子，如字母a,它不仅可以表示正数，也可以表示负数或零 (2)用字母表示数更能反映事物的一般规律，如n表示整数，则2n+1表示奇数 (3)字母表示的数要使式子有意义，如b/a(a≠0) ☑知识点2：代数式 1/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.代数式概念 (1)用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式，如：a+b,m-n,25m;单独的一个数或字母也是 代数式，如a、m、10 (2)运算符号包括加、减、乘、除、乘方，不包括：=、>、<、≠等符号 2.规范书写： ①数字在字母前面，“×”通常写成“，”或省略不写 ②带分数化成假分数 ③1x中，1可以省略 ④书写顺序：符号、数字、字母 ⑤相同代数式写成乘方的形式 ⑥：”应该写成分数线的形式 ☑知识点3：列代数式 列代数式的步骤： ①认真审题，对语言叙述中的关键词语所代表的意义进行仔细辨析，弄清题目中的数量关系 ②用运算符号表示出数量关系，列代数式要遵循“先读先写”的原则，如a与b的和的平方表示为 (a+b)2;a、b的平方和表示为a+b2 ③在复杂问题中，要弄清题目中的数量关系的运算顺序，正确使用表明算顺序的括号，分层列出代数 式 ☑知识点4：代数式的值 (1)定义：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算计算出的结果叫做代数式的值 (2)代数式求值的注意事项： ①代入时，原式中的运算符号及数字不能变 ②如果代数式里省略乘号，那么字母用数值代替后要添上乘号，代入负数或分数时要加上括号 ③计算时要注意运算顺序，同时运用运算律进行简化计算 ☑知识点5：整式 1.单项式 (1)单项式的概念：数与字母的乘积的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式 (2)单项式的系数：单项式中的数字因数 (3)单项式的次数：单项式中所有字母的指数和，单项式的次数是几，就可以说这个单项式是几次单单项 式 (4)作为单项式，单独的一个非零数的次数是0，系数是它本身，单独的一个字母的次数是1，系数也为1 (5)单项式的系数包括其前面的符号，如-5xy的系数是-5 2.多项式 (1)多项式：几个单项式的和叫做多项式 (2)多项式的项：多项式中的每个单项式，其中不含字母的项叫做常数项 (3)多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数 (4)多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数 (5)一个多项式含有几项，最高次项的次数是几就叫几次几项式 (6)还有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母的指数大小顺序来排列，也称作按照字母 的升（或降）幂排列 (7)多项式中的“和”是指省略加号的代数和，故确定多项式的项式，不要忽略它们的符号 3整式 (1)单项式和多项式统称整式 (2)判断一个式子是不是整式，只需看他是不是单项式或多项式 2/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ☑知识点6：整式的加减 1.同类项的概念 (1)同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项 (2)判断特征：①所含字母相同；②相同字母的指数相同 (3)同类项与系数无关，与字母排列顺序无关，所有的常数项都是同类项 2.合并同类项的概念及法则 (1)定义：把同类项合并成一项，叫做合并同类项 (2)法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 (3)合并同类项时，只能把同类项合并在一起成为一项，不是同类项的项不能合并在一起 (4)合并同类项的结果可以是单项式，也可以是多项式，此时柿子中不应再有同类项 (5)同类项的系数互为相反数时，合并同类项的结果为0 3.去括号 去括号法则：括号前面是“+”号，去括号时括号里面的符号不变号；括号前面是减号，去括号时，括号内的 符号全变成相反符号 4.整式的加减 (1)进行整式加减运算前，先观察整个式子的特征，再按照步骤计算，通常情况下去括号与合并同类项要 根据整个式子的特征来计算，选择简便的方式入手 (2)两个整式相减时，简式一般先用括号括起来 (3)整式加减的最终结果：①结果是最简形式；②一般按照某一字母的降幂和升幂排列 5.整式的化简求值 (1)化简求值的步骤：一化简、二代入、三计算 (2)化简时若有多重括号，去括号时可以从内到外进行，也可以从外到内进行 (3)字母代换成数字时，一般要将省略的乘号还原，当代入负数时，应将负数用括号括起来 ☑知识点7：探索与表达规律 1探索数字变化的规律 (1)若是数字为整数的数列，可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等 方面的规律 (2)若是数字方面的等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系 (3)若数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系 (4)方法有：分类讨论法、转化法、归纳法 2.探索图形变化的规律 探索图形变化的规律，要观察图形，分析图形中输的关系。从特殊到一般，从不同的角度探索，最后用代 数式表示出一般规律。不同代数式表达的结果，可根据去括号和合并同类项法则化简，最终结果是一致的 核心考点举一反三 【考点1代数式书写方法】 例1.下列代数式书写格式规范的是() A.?1abc B.-1a2b C.-4÷a D.-ab 4 变式1.下列代数式中符合书写要求的是() A.2xy B.-1xy C.x+y D.(12-6x)元 变式2.下列代数式中，书写不规范的是() A.8 B.ab C.(x+y)千米 D.12m 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3.下列代数式中，符合书写要求的是() A.23a B.-1mn C.y÷x D.(9-2n)元 【考点2单项式、多项式的判断】 例2下列式子中，单项式有() ①；@'；③}④x2y2+3:⑤24⑥a A.①③⑤⑥B.②③⑤⑥ c.①⑤⑥ D.①④⑤⑥ 变式1.已知x+y,0,-0,-3x2y,,中多项式有 个 变式2.下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中， 号x2+4x+1,-2025,m,abc,号b,a-b 单项式 多项式 变式3.a4b2,0,10x+y,m,3a2b3?a4+b,ab2c,x7y+2. 上面式子中哪些是单项式，哪些是多项式？请填入相应的括号内. 单项式{ }: 多项式{ }. 【考点3单项式、多项式的系数和次数】 例3.下列说法中正确的是() A.单项式9xy的次数是9 B.多项式？5y2?4xy2+1的二次项是4xy2 C.单项式-5πab2的系数为-5m D.多项式2m3+m是二次三项式 变式1.下列说法中，正确的是() A.单项式的系数是4，次数是3 B.单项式m的次数是1，没有系数 C.单项式-xy2z的系数是-1，次数是4 D.多项式2x2+xy2+3是二次三项式 变式2.下列说法不正确的是() A.“的系数为号 B.23x3y2的次数为5 C.-2不是单项式 D.-3x2y+xy-2是三次三项式 变式3.下列关于单项式和多项式的说法，正确的是() A.2+也是单项式 B.x2+y-34bc3是四次三项式 2 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.πa3bc4的系数是1 D.是三次单项式 【考点4合并同类项】 例4.下列运算中，正确的是() A.2a+3b=5ab B.x3?x2=x C.?7ab2+5ab2=2ab2 D.3xy2?5y2x=?2xy2 变式1.下列计算正确的是() A.4m-n=3m B.5m+2m=10m C.5m6?2m3=3m2 D.?m2n+2m2n =m2n 变式2.下列运算中，正确的是() A.3a+b=3ab B.7a2?a2=7 C.a2+2a3=3a5 D.2a2b3+3b3a2=5a2b3 变式3.合并同类项：3x2?2x2+5x2= 【考点5写出满足某些特征的单项式】 例5.请写出一个只含有字母a的二次单项式： 变式1.请写出一个含有字母a和b,且系数为-1，次数为3的单项式： 变式2.写出一个同时满足以下三个条件的单项式： ①系数是负数； ②次数是5： ③至少含有2个字母： 这个单项式可以是： 变式3.请写一个符合：①含有字母x,y;②系数为-3；③次数为5的单项式： 【考点6己知同类项求指数中字母或代数式的值】 例6.若单项式？am+3b2与号a5b+3是同类项，则m=,n=一. 变式1.若单项式2xmy与x4y"是同类项，则m-n的值是() A.-1 B.1 C.2 D.7 变式2.若单项式5xa-2y3与-2xby能合并成一项，则a,b的值分别是() A.{6= B.8=1 c.8= D.8=- 变式3.若单项式？a"bn+2与-a2b3合并后的结果仍为单项式，则m的值为， 【考点7多项式系数、指数中字母求值】 例7.若整式x”-2+4x-5是关于x的四次三项式，则n的值为 变式1.若(m+1)x2ym?3y2?1是关于x,y的一个三次三项式，则常数m等于」 变式2.如果关于x的多项式x4+x3+5x2?ax3+3x?bx?1合并后不含x3项和x项，那么a+b的值为() 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.4 D.5 变式3.已知多项式xa221+(a+2)x3?9x2?(2b+6)x+1是关于x的四次四项式，且不含x项，求a2-b2的 值 【考点8整式的加减运算】 例8.计算： (1)3a-2b-5b+a+6b: 25(3x2y2622(y22x2y）+5. 变式1.写出一个含有x的代数式，使其满足无论x取何值，这个代数式的值总比代数式-x+2的值 小. 变式2.代数式A=5x2?3x+5,代数式A减去-3x等于B. (1)求代数式B; (2)化简A-2B. 变式3.计算： (1)3a-(4b-2a+1): ②25（品x2)+(x2623(22y+3). 【考点9整式加减中的化简求值】 例9.先化简，再求值：2(2x2-xy)-5(x2-xy),其中x=3,y=-1. 变式1.先化简，再求值：？3a2b+2(3a2b?a2b)?2(2ab2?a2b),其中a,b满足等式？a?1?+(b+2)2=0 变式2.先化简，再求值： 2(2xy23y2)[5x2y22(2xy21)+1]?3xy2,其中x+4+(6y?)=0. 变式3.先化简，再求值：a2-4ab2-[4a2+(-6ab2+ab-a2)-ab],其中a=-1,b=2. 【考点10整式加减中的无关型问题】 例10.若多项式2x2+mx-3与？x2+2x+n的和不含x项和常数项，则m+n的值为() A.-1 B.1 C.-5 D.5 变式1.已知多项式A=5x2?4xy+y,B=x2+3xy?2y2 (1)求2A-3B; (2)若2A-3B的值与y无关，求x的值. 变式2.已知代数式A=2x2+3xy+2y,B=x2?xy+x. (1)当x=-1,y=2时，求A-2B的值； (2)若A-2B的值与x的取值无关，求y的值， 变式3.(1)先化简，再求值：3(a222ab)[a2?3b+3(ab+b小，其中a=-1,b= (2)若关于x的多项式3x2?2x?bx2+(2a?2)x+1的值与字母x的取值无关，求aP的值， 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【考点11与整式加减运算有关的应用】 例11.小东同学用若干长为xcm,宽为ycm的长方形纸片（如图1）拼图，图2是由4个长方形纸片拼成的 一个长方形ABCD,图3是在长方形EFGH中摆放9个长方形纸片，请你仔细观察所拼图形，解答下列问 题 图1 图2 图3 (I)观察图2，直接写出x与y之间满足的关系式（用x的代数式表示y); (②)观察图3，请你用x的代数式表示长方形EFGH的周长； (3)观察图3，若已知x=5cm,求图3中5个阴影图形的周长和. 变式1.将正整数按一定规律排列如表，其中有一个带阴影的方框，提醒自己要“+倍”努力. 1234567 89 10 11121314 1516 17 181920 21 2223 24 252627 28 293031 32333435 … … … … … 图1 (1)如图1，方框中的7个数之和是 (2)平移表中带阴影的方框，若设框住的7个数中，从小到大排列后第4个数为m,请求出阴影方框框住的7个 数的和（用含m的式子表示）. (3)平移表中带阴影的方框，阴影方框框住7个数之和能是336吗？若能，请求出这7个数分别是多少；不能， 请说明理由， 变式2.【阅读材料】：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制， 逢二进一就是二进制.可用以下方法将n进制数转化为十进制数，如n进制表示的数(1111)m中，右起第一位 上的1表示1×n°，第二位上的1表示1×n2,第三位上的1表示1×n2,第四位上的1表示1×n3.故 (1111)m=1×n3+1×n2+1×n1+1×n°，其中n°=1(n≠0).当n=2时， (1111)2=1×23+1×22+1×21+1×20=15. 结合以上材料，解决下列问题： (①)直接写出下列进制数转化为十进制表示的数： (101)2= ,(23)5= (2)一个四进制三位数(a3b)4与七进制三位数(3ba)z之和能被8整除(1≤a≤3,1≤b≤3，且a,b均为整 数)，求a的值； (3)若一个八进制数与一个六进制数之差为220，则称这两个数互为坤鹏数”，试判断(mm5)8与(m5m)6是否 7/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 互为“坤鹏数”(m为正整数，且m≤5)，并说明理由 变式3梯形被挖去了一个以b为半径的四分之一圆，剩余的阴影部分如下图所示，回答下列问题： (单位：cm) (1)用代数式表示图中阴影部分的面积； (2)当a=b=4cm,c=8cm时，求阴影部分的面积（π取3）， 【考点12已知式子的值，求代数式的值】 例12.已知x2-3x+1=0,则2x2-6x+7的值是 变式1.己知：有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a,b互为相反数，c,d互为倒数.求： m-2(a+b)+1-3cd的值. 变式2.已知x+y=3,xy=1,则式子3x+3-2xy+3y的值为 变式3.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m?2=4,求5a+5b+(cd)2024?2m的值. 【考点13与单项式有关的规律探索问题】 例13.观察下列单项式：？2a,4a2,?6a3,8a4,?10a,?,则第2025个单项式是 变式1.观察2x,4x2,6x,8x4,.,根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为() A.2x" B.(n+1)xn+1 C.nxn+1 D.2nx" 变式2.观察下列单项式：-x,3x2,-5x3,7x4,.,根据给出的规律，第2025个单项式是() A.4049x2025 B.4051x2025 C.?4049x2025 D.?4051x2025 变式3观察下列式子：忌，寺名是，，依照此规律，第8个式子是 【考点14与图形有关的规律探索问题】 例14.如图所示的排列形式的点的数目称作三角形数，当n=1,三角形数为1，当n=2时，三角形数为3， 则当n=10时，三角形数为() n=1n=2n=3 n=4 A.40 B.45 C.50 D.55 变式1.小南用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5颗棋子，第②个图案中有9 颗棋子，第③个图案中有13颗棋子，第④个图案中有17颗棋子，.，按此规律，则第8个图案中，棋子 8/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的数量是() ●●●● ●●● ① ② ③ ④ A.33 B.34 C.35 D.36 变式2.如图，将图1中的正六边形进行分割得到图2，再将图2中最小的某一个正六边形按同样的方式进行 分割得到图3，再将图3中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，，其中图1中有1个正六边形， 图2中有4个正六边形，图3中有7个正六边形，则图10中的正六边形共有个， 图1 图2 图3 变式3如图，第①个图形共有4个圆圈，第②个图形共有8个圆圈，第③个图形共有13个圆圈；…， 按此规律排列下去，则第⑦个图形圆圈的个数为() 00 0oO 90oO ○○○○ 品 00OO ○○○ ○（● ○○○ O O ○○ O 图① 图② 图③ 图④ A.34个 B.43个 C.53个 D.33个 【考点15与数字有关的规律探究问题】 例15.计算：21=2,22=4,23=8..归纳各计算结果中的个位数字规律，则22025？5的个位数字 是 变式1.已知a1+a2=-100,a2+a3=-99,a3+a4=98,a4+a5=97,a5+a6=-96,a6+a7=-95, a7+ag=94,a8+ag=93,,ag9+a100=2,a100+a1=1,那么a1+a2+a3+??+a100=_· 变式2.(1)①观察一列数1,2,4,8,16，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数， 这个常数是 根据此规律，如果a,(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么a1o= an ②为了求1+2+22+23+？+2999的值，可以这么做： 令M=1+2+22+23+？+2998+2999 则2M=2+22+23+?+2999+21000, 因此2M?M=21000?1, 所以M=24621=210021,即1+2+2+23+2+2999=2100021. 2?1 9/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 仿照以上推理： (2)计算1+6+62+63+？+62025的值。 (3)计算1+2×+3×()2+4×()°+…+9×()°+10×)2， 变式3.观察下列等式： 第1个等式：a1=女4=×（目-）： 第2个等式：4=7=x日-引》： 1 第3个等式：购=7丈0=×（月-）： 1 1 第4个等式：a4=0文3=×（品-甜） 请解答下列问题： (I)按以上规律列出第5个等式：a5= 第n(n为正整数)个等式：an= (2)求a1+a2十a3+a4+？+a2025的值， 》复习提升《 一、单选题 1.用代数式表示“比m少2的数的平方”，正确的是() A.(m-2)2 B.(m+2)2 C.m-22 D.m2-2 2.把多项式x3-xy2+x2y-x4-3按x进行降幂排列，正确的是（) A.-x4+x3+x2y-xy2-3 B.x4-x3+x2y-xy2-3 C.?x4?xy2+x2y+x3?3 D.?3?xy2+x2y+x3?x4 3.如图是用火柴棍摆出的一组图案，第1个图案需要6根火柴棍，第2个图案需要11根火柴棍.照这 样的规律摆下去，第20个图案所需火柴棍的根数是() 第1个图案 第2个图案 第3个图案 A.60 B.82 C.101 D.120 a个2 4.算式墨可以表示为《) b个3 A器 B. c. D.器 5.下列代数式-2y,3x2-1,-。2元+-2025m中，整式有（） 7 10/12