专题03 整式的加减（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减核心题型，以“概念-运算-应用-拓展”逻辑链构建训练体系，强化运算能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|45题|覆盖同类项判断、合并同类项等9类基础与中档题型，标注高频/重/难|从概念辨析到运算技巧，再到化简求值，层层递进| |综合攻坚·知能拔高|16题|包含综合选择、填空及解答题，涉及实际应用与绝对值化简等难点|立足基础运算，拓展至代数推理与实际问题解决|

专题03 整式的加减 常考题型·精准突破 题型1 同类项的判断（高频） 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值（难） 题型3 合并同类项（重） 题型4 去括号和添括号（重） 题型5 整式的加减运算（高频） 题型6 整式加减中的化简求值（重） 题型7 整式加减中的无关型问题（难） 题型8 整式加减的应用（高频） 题型9 带有字母的绝对值化简问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1同类项的判断 1．下列各组中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 3．请写出单项式的一个同类项：___________． 4．下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 5．下列各组是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 ◆题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 6．若单项式与为同类项，则的值为______． 7．若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 8．单项式﹣2xmy2与单项式x3yn的和仍是单项式，则m﹣2n＝_____． 9．若xmy4与﹣2x3yn是同类项，则（m﹣n）3＝（    ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 10．若单项式与的差是单项式，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D． ◆题型3 合并同类项 11．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．合并同类项： (1)； (2)． 13．合并同类项 (1)； (2)． (3)； (4) 14．合并同类项： (1)； (2)． 15．化简： (1) (2) ◆题型4 去括号和添括号 16．将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 17．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 18．下列各化简变形中，去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 19．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 20．合并同类项：________________． ◆题型5 整式的加减运算 21．一个多项式减去得，则此多项式应为______． 22．计算： (1)x﹣2x﹣3x+6x． (2)（3a2﹣a+7）﹣（﹣4a2+2a+6）． 23．若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为______． 24．计算： (1)． (2)． 25．化简： (1) (2) (3) (4) ◆题型6 整式加减中的化简求值 26．先化简，再求值，其中，． 27．先化简，再求值：，其中，． 28．先化简，再求值：，其中，． 29．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则； “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，求的值． 30．先化简，再求值：，其中． ◆题型7 整式加减中的无关型问题 31．已知代数式． (1)求的值． (2)当，时，求的值． (3)当的值与y的值无关时，求x的值． 32．已知，（其中，为常数，且表示系数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； (3)若，，且，求的值． 33．已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 34．已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 35．当代数式x2+4kxy﹣3y2﹣6xy+7中不含xy项，则k的值为（　　） A．0 B． C．﹣ D．2 ◆题型8 整式加减的应用 36．一个长方形的周长为，若其中一边长为，则与其相邻的另一边长为（   ） A． B． C． D． 37．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 38．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明，例如：一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【探究】设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 证明：∵可以被3整除 ∴(k是整数) ∴ ∴ ∵a、b是整数 ∴商是整数 ∴能被3整除 因此，如果能被3整除，那么就能被3整除． 【实践】设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【应用】若四位数能被9整除，则它的最后一位数字m是______． 39．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 40．有五张大小相同的长方形卡片(如图①)：如图②的放法将它们平铺放置在一个长方形(长比宽多2)的纸板上．每张长方形卡片的宽为a、长为b，纸板未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中阴影部分的周长可用a、b表示为（       ） A．10a +4b B．14a +4b C．4a+14b-8 D．14a+4b-8 ◆题型9 带有字母的绝对值化简问题 41．在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 42．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 44．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 45．如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下列说法错误的是（         ） A．与是同类项 B．是多项式 C．是四次四项式 D．与的差为0 2．（2025·河北沧州·一模）要使的化简结果为单项式，则括号内的整式可以是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·四川广元·期中）若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东广州·开学考试）已知，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·重庆·期中）已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 8．（20-21九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）|x﹣5|+|2﹣x|的最小值为_____． 9．（18-19七年级上·辽宁抚顺·期中）若多项式与多项式的和不含二次项，则等于_______． 10．（22-23七年级下·天津南开·开学考试）若，那么_____． 11．（25-26七年级上·全国·单元测试）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么_______ ． 三、解答题 12．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）化简下列式子： (1) ； (2)． 13．（24-25七年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 14．（25-26七年级上·广西桂林·期中）已知多项式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与x无关，求y的值． 15．（21-22七年级上·广东深圳·期中）深圳市云端学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设纵横两条小路（图1中空白部分），横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是x米． （1）填空：在图1中，横向道路的宽是 　 　米（用含x的代数式表示）； （2）试求图1中花园道路的面积； （3）若把纵向道路的宽改为原来的2倍、横向道路的宽改为原来的，如图2所示．设图1与图2中花园的面积（阴影部分）分别为S1、S2，用含x的代数式分别表示出S1、S2，并比较S1与S2的大小． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的加减 常考题型·精准突破 题型1 同类项的判断（高频） 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值（难） 题型3 合并同类项（重） 题型4 去括号和添括号（重） 题型5 整式的加减运算（高频） 题型6 整式加减中的化简求值（重） 题型7 整式加减中的无关型问题（难） 题型8 整式加减的应用（高频） 题型9 带有字母的绝对值化简问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1同类项的判断 1．C 2．A 3．（答案不唯一） 4．D 5．D ◆题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 6．5 7．B 8．-1 9．B 10．C ◆题型3 合并同类项 11．D 12．(1) (2) 13．(1) (2) (3) (4) 14．(1) (2) 15．(1)； (2) ◆题型4 去括号和添括号 16．B 17．D 18．C 19．D 20． ◆题型5 整式的加减运算 21． 22．(1) (2) 23． 24．(1) (2) 25．(1)； (2)； (3)； (4) ◆题型6 整式加减中的化简求值 26．， 27．， 28． ， 29．（1）；（2）；（3）． 30．， ◆题型7 整式加减中的无关型问题 31．(1) (2)19 (3) 32．(1) (2) (3) 33．(1) (2) 34．(1) (2) 35．B ◆题型8 整式加减的应用 36．D 37． 38． [实践]证明： ， 能被整除， 若可以被整除，则能被整除． [应用] 39．理解定义：不是；建模推理： （1）； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 40．D ◆题型9 带有字母的绝对值化简问题 41．C 42．B 43．(1)①2；②0；③ (2)或1 44．C 45．(1)或 (2) (3) (4)或 (5)； 综合攻坚·知能拔高 1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．B 7．B 8．3 9．4 10．7 11．13 12．(1) (2) 13．； 14．(1)； (2)2； (3)2． 15．（1）2x；（2）（34x﹣2x2）平方米；（3）S1＜S2． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的加减 常考题型·精准突破 题型1 同类项的判断（高频） 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值（难） 题型3 合并同类项（重） 题型4 去括号和添括号（重） 题型5 整式的加减运算（高频） 题型6 整式加减中的化简求值（重） 题型7 整式加减中的无关型问题（难） 题型8 整式加减的应用（高频） 题型9 带有字母的绝对值化简问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1同类项的判断 1．下列各组中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，把握“同类项是所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项”是解题关键． 根据同类项的定义对选项依次进行判断，需注意常数项也是同类项． 【详解】解：同类项需字母相同且相同字母的指数相同， 选项、与均为常数，是同类项； 选项、与字母相同且指数相同，是同类项； 选项、与，指数分别为和，指数分别为和，指数不同，不是同类项； 选项、与字母相同且指数相同，是同类项． 故选：． 2．下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．请写出单项式的一个同类项：___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是同类项的定义：“所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项”，据此求解即可，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 4．下列各组代数式中，不是同类项的是（ ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，单独的两个数字也是同类项，据此可得答案． 【详解】解：A、2与是同类项，不符合题意； B、与是同类项，不符合题意； C、与是同类项，不符合题意； D、与不是同类项，符合题意； 故选：D． 5．下列各组是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．根据同类项的定义逐项分析即可，同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【详解】解：A、与相同字母指数不一样，不符合题意； B、与相同字母指数不一样，不符合题意； C、与所含字母不同，不符合题意； D、与是同类项； 故选：D. ◆题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 6．若单项式与为同类项，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记同类项的定义是解题关键．先根据同类项的定义可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵单项式与为同类项， ∴，， ∴， 故答案为：5． 7．若关于x，y的单项式与的和是单项式，则（   ） A． B．81 C． D．64 【答案】B 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此可得a，b的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：关于x，y的单项式与的和是单项式， ， ∴． 故选：B． 8．单项式﹣2xmy2与单项式x3yn的和仍是单项式，则m﹣2n＝_____． 【答案】-1 【分析】根据单项式-2xmy2与单项式x3yn的和仍是单项式知这两个单项式是同类项，依据同类项的定义求得m和n的值，代入计算可得． 【详解】解：∵单项式-2xmy2与单项式x3yn的和仍是单项式， ∴单项式-2xmy2与单项式x3yn是同类项， ∴m=3，n=2， 则m-2n=3-2×2=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了同类项的定义，关键是把握两点：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可． 9．若xmy4与﹣2x3yn是同类项，则（m﹣n）3＝（    ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，求出m，n的值，然后代入式子进行计算即可． 【详解】解：∵xmy4与-2x3yn是同类项， ∴m=3，n=4， ∴（m-n）3=（3-4）3 =（-1）3 =-1， 故选：B． 【点睛】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 10．若单项式与的差是单项式，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义以及通过建立方程求解参数，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 两个单项式是同类项，因此它们的对应字母的指数必须相等，从而可以求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：单项式与的差是单项式， 与是同类项， ，， 解得，， ． 故选：C． ◆题型3 合并同类项 11．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则即可求出答案． 本题考查合并同类项，解题的关键是熟练运用合并同类项法则． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 故选：D． 12．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查合并同类项，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据合并同类项法则可求解； （2）根据合并同类项法则可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．合并同类项 (1)； (2)． (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可； （3）根据合并同类项法则计算即可； （4）根据合并同类项法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： （4）解： 14．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并法则是关键； （1）按照同类项合并法则进行即可； （2）按照同类项合并法则进行即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．化简： (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减法，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键． （1）根据合并同类项法则进行计算，得到答案． （2）根据合并同类项法则进行计算，得到答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． ◆题型4 去括号和添括号 16．将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则进行判断即可． 【详解】解：A、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； B、根据添括号的法则可知，，故本选项正确，符合题意； C、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； D、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 17．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号和添括号，根据去括号和添括号法则运算即可判断求解，掌握去括号和添括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形正确，符合题意； 故选：． 18．下列各化简变形中，去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号法则，正确掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则，括号前是正数时，括号内各项符号不变；括号前是负数时，括号内各项符号改变，同时需用分配律将系数乘以括号内的每一项． 【详解】解：A. ，故选项计算错误，不符合题意； B.，故选项计算错误，不符合题意； C.，故选项计算正确，符合题意； D. 故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 19．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 20．合并同类项：________________． 【答案】 【分析】本题考查合并同类项，先去括号，再根据合并同类项的法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． ◆题型5 整式的加减运算 21．一个多项式减去得，则此多项式应为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握 “被减数 = 差 + 减数” 的数量关系是解题的关键． 根据整式的加减运算，被减数等于差加上减数，据此列出算式计算即可． 【详解】解：∵被减数=差+减数， ∴这个多项式为 ． 故答案为： ． 22．计算： (1)x﹣2x﹣3x+6x． (2)（3a2﹣a+7）﹣（﹣4a2+2a+6）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查了整式的加减运算．解题的关键在于正确的去括号，合并同类项． 23．若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 24．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 25．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． （1）先去括号，再合并同类项，即可得出结论； （2）先去括号，再合并同类项，即可得出结论； （3）先去括号，再合并同类项，即可得出结论； （4）先去括号，再合并同类项，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． ◆题型6 整式加减中的化简求值 26．先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将，代入进行计算即可求解． 【详解】解： 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，掌握去括号与合并同类项是解题的关键． 27．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．先去括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 28．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 29．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则； “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（）利用整体思想，把看成一个整体，合并即可得到结果； （）原式可化为，把整体代入即可； （）依据，，，即可得到，，整体代入进行计算即可； 本题考查了代数式求值，熟练掌握整体的思想是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）∵， ∴原式， ， ； （3）∵，，， ∴，， ∴原式． 30．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． ◆题型7 整式加减中的无关型问题 31．已知代数式． (1)求的值． (2)当，时，求的值． (3)当的值与y的值无关时，求x的值． 【答案】(1) (2)19 (3) 【分析】本题考查整式的加减运算，化简求值，无关型问题，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）去括号，合并同类项进行计算即可； （2）整体代入法进行计算即可； （3）根据的值与y的值无关，得到含的项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，时， ； （3）∵的值与y的值无关 ∴， 解得． 32．已知，（其中，为常数，且表示系数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； (3)若，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减，整式加减中无关型问题，非负数的性质； （1）去括号，合并同类项即可； （2）由不含三次项可得三次项系数为0，即可求出的值； （3）由非负数的性质可求出x、y的值，代入即可求值. 【详解】（1）解： ． （2）解：∵不含三次项， ∴三次项系数， ∴． （3）∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴原式． 33．已知代数式，． (1)当，时，求的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式加减法则化简，再代入求解即可得到答案； （2）将与x有关的式子合并提取x，根据与x无关列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， 当，时， ； （2）解：由题意可得， ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查整式化简求值及无关型求值，解题的关键是化简求值，根据无关型提取无关字母，令与其相乘的因式为0． 34．已知多项式，． (1)求； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，代数式的值与某个字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将的代数式代入，去括号合并同类项即可； （2）将化简后的的代数式变形为，代数式的值与y无关，即，即可解得题目所求． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵代数式的值与无关， ∴， ． 35．当代数式x2+4kxy﹣3y2﹣6xy+7中不含xy项，则k的值为（　　） A．0 B． C．﹣ D．2 【答案】B 【分析】代数式中不含项，意味着项的系数和为． 【详解】解： ， ， 由题意得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式，合并同类项，学生掌握不含某项的意义是解题的关键． ◆题型8 整式加减的应用 36．一个长方形的周长为，若其中一边长为，则与其相邻的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查长方形的周长公式、整式的加减运算，利用周长公式列算式是解题关键． 利用长方形周长公式：周长等于长宽之和的两倍列式，已知周长和一边长，通过代数运算求另一边长． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴长宽， ∵其中一边长为， ∴另一边长为． 故选：． 37．我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 38．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明，例如：一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【探究】设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 证明：∵可以被3整除 ∴(k是整数) ∴ ∴ ∵a、b是整数 ∴商是整数 ∴能被3整除 因此，如果能被3整除，那么就能被3整除． 【实践】设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【应用】若四位数能被9整除，则它的最后一位数字m是______． 【答案】 [实践]证明： ， 能被整除， 若可以被整除，则能被整除． [应用] 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算以及数的整除； （1）仿照探究中的证明方法，进行作答即可； （1）根据（1）可得2+3+1+m必被9整除，进而得出6+m=9，即可求解． 【详解】[实践]略 [应用] 能被整除， 必被整除， 即必是的倍数， ， ， ， ， 故答案为：． 39．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理： （1）； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）略 40．有五张大小相同的长方形卡片(如图①)：如图②的放法将它们平铺放置在一个长方形(长比宽多2)的纸板上．每张长方形卡片的宽为a、长为b，纸板未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中阴影部分的周长可用a、b表示为（       ） A．10a +4b B．14a +4b C．4a+14b-8 D．14a+4b-8 【答案】D 【分析】先用a，b，表示出长方形纸板的长与宽，再根据两个阴影部分的边长之和与长方形纸板之间的关系，用a，b，表示出阴影部分边长之和，并计算出周长． 【详解】解：由图可知，长方形纸板的长等于3个小长方形的宽加上一个小长方形的长， ∴长方形纸板的长=3a＋b， ∵长方形纸板的长比宽多2， ∴长方形纸板的宽=3a＋b－2， 由图可知，阴影部分横向边长之和=（3a＋b）×2=6a＋2b， 阴影部分纵向边长=（3a＋b－2）－[（b＋2a）－（3a＋b－2）]=4a＋b－4 阴影部分纵向边长之和=（4a＋b－4）×2=8a＋2b－8 阴影部分周长=8a＋2b－8＋6a＋2b=14a＋4b－8， 故选：D． 【点睛】本题考查整式的计算，和数形结合的思想，能够运用数形结合的思想列出代数式是解决本题的关键． ◆题型9 带有字母的绝对值化简问题 41．在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案． 【详解】解：，故说法①正确． 若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确． 当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况； 有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论； 需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用． 42．若、、均为整数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据、、均为整数，且，可得，或，，然后分两种情况分别求出的值即可． 此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键． 【详解】解：，，均为整数，且， ，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，， ； 综上，的值为2． 故选：B． 43．阅读下列材料：，即当时，．应用这个结论解决下面问题： (1)已知a，b是有理数， ①当，时，则______； ②当，时，则______； ③当，时，则______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【答案】(1)①2；②0；③ (2)或1 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的加减，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． （1）利用绝对值的意义解答即可； （2）通过分析确定出a，b，c的符号，三个全为负或其中一个为负，再利用绝对值的意义化简运算即可． 【详解】（1）解：①∵时， ∴，， ∴ ， 故答案为：2； ②当时， ∴，， ∴ ， 故答案为：0； ③当，时， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：当时，都小于0，或中一个小于0，另外两个都大于0， 即分两种情况讨论： ①当，，时， ， ②当中一个小于0，另外两个都大于0时，不妨设， ， 综上所述：或1． 44．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，． 45．如图，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．则．所以式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)若，则 ； (3)式子的最小值为 ； (4)若，则 ； (5)式子的最小值为 ，此时 ． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 (5)； 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解， （2）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （3）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，化简后，即可求解， （4）根据绝对值的几何意义，分在左侧时，在右侧时，两种情况，分别化简后，即可求解， （5）根据绝对值的几何意义，确定在和之间，取最小值，当时，取最小值，即可求解， 本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是：根据绝对值的几何意义，确定的范围． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于， 或， 故答案为：或， （2）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离等于到的距离， 在和之间， ， ， 故答案为：， （3）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离之和最小， 在和之间的线段上， 的最小值是， 故答案为：， （4）解：根据绝对值的几何意义，表示到的距离与到的距离之和等于， 当在左侧时，，，解得：， 当在右侧时，，，解得：， 故答案为：或， （5）解：根据绝对值的几何意义，的最小值表示到的距离与到的距离与到的距离之和最小， 由（3）可知在和之间的线段上时，取最小值， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 故答案为：；． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下列说法错误的是（         ） A．与是同类项 B．是多项式 C．是四次四项式 D．与的差为0 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的定义，多项式的定义，整式的加减，掌握相关定义和运算法则是解题关键．根据同类项和多项式的定义，整式的加减运算逐项判断即可． 【详解】解：A、与是同类项，说法正确，不符合题意； B、是多项式，说法正确，不符合题意； C、是四次四项式，说法正确，不符合题意； D、，即与的差不是0，说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·河北沧州·一模）要使的化简结果为单项式，则括号内的整式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的定义，根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，不是单项式，故选项不符合题意； B、，不是单项式，故选项不符合题意； C、，不是单项式，故选项不符合题意； D、，是单项式，故选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·四川广元·期中）若，则的值不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了化简绝对值，分别讨论中正数和负数的个数，再去绝对值计算，判断的符号是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴若都为正数，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若中个为正，个为负，不妨设，则， 则， 若都为负数，则， 则， ∴的值可能是或或， 故选：． 4．（24-25七年级下·广东广州·开学考试）已知，则的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B 【分析】先把代数式变形为，然后把整体代入求值即可．本题考查了已知式子的值，求代数式的值． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是求出、．根据题意，求出，且的取值与无关，所以，，即，；，因为是不含的多项式，所以，即；因为，将、、代入到式子中，可得，即，因为式子恒成立，所以，即，将、、、代入求出． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为的取值与无关， 所以，， 得：，； ； 因为是不含的多项式， 所以， 即， 因为， 即， ， 因为该式子恒成立， 所以， 即， ． 故选：A． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 分别求出两阴影部分的周长，再作差，根据整式的加减化简即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图可得，， 这两个大长方形的长比宽长 ， ， 由图可知：阴影部分的周长， 由图可知：阴影部分的周长， ， 故选：． 7．（24-25九年级下·重庆·期中）已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论，依次判断得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的整式M共有4个，故①正确； 当时，当时，，不符合题意； 当时，， ∴， ∴， 满足条件的整式有：， 当时，， ∴， ∴，， 满足条件的整式有：，， ∴满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 由①得当时，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有6个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，满足条件的整式M共有1个； 当时，则，（不符合题意，舍去） ∴满足条件的整式共有个．故③错误； 故选B 二、填空题 8．（20-21九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）|x﹣5|+|2﹣x|的最小值为_____． 【答案】3 【分析】根据绝对值的性质，分x≤2、2<x≤5和x>5三种情况分别进行去绝对值化简，然后根据x的取值即可得到结果． 【详解】解：当x≤2时，原式=5－x＋2－x=7－2x， 此时，|x﹣5|+|2﹣x|≥3； 当2<x≤5时，原式=5－x＋x－2=3， 此时，|x﹣5|+|2﹣x|=3； 当x>5时，原式=x－5＋x－2=2x－7． 此时，|x﹣5|+|2﹣x|>3． 综上所述，|x﹣5|+|2﹣x|的最小值为3． 【点睛】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 9．（18-19七年级上·辽宁抚顺·期中）若多项式与多项式的和不含二次项，则等于_______． 【答案】4 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算整式的加减可得两个多项式的和为，再根据二次项的系数等于0求解即可得． 【详解】解： ， ∵多项式与多项式的和不含二次项， ∴， ∴， 故答案为：4． 10．（22-23七年级下·天津南开·开学考试）若，那么_____． 【答案】7 【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号． 11．（25-26七年级上·全国·单元测试）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么_______ ． 【答案】13 【分析】本题考查同类项的定义、整式的代入求值，根据同类项的定义，得 和 ，求得，，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得单项式 与 是同类项， ∴ 和 ， 解得，，， ∴， 故答案为：13． 三、解答题 12．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）化简下列式子： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主经考查了整式的加减．熟练掌握去括号，合并同类项，符号的变化，运算顺序，是解决问题的关键． （1）把同类项合并即可． （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1） ． （2） ． 13．（24-25七年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式加减的化简求值；从内往外依次去括号，再合并同类项，最后代值计算即可．注意每去一层括号，要合并同类项后，再去括号，减少运算量． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 14．（25-26七年级上·广西桂林·期中）已知多项式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若的值与x无关，求y的值． 【答案】(1)； (2)2； (3)2． 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，正确合并同类项是解题的关键， （1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接把，的值代入得出答案； （3）根据的值与的取值无关，得出的系数和为零，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ； （2）解：当，时， 原式 ， ， ， ； （3）解：∵，其值与的取值无关， ∴， ∴． 15．（21-22七年级上·广东深圳·期中）深圳市云端学校有一块长方形花园，长12米、宽10米．花园中间欲铺设纵横两条小路（图1中空白部分），横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍，设纵向道路的宽是x米． （1）填空：在图1中，横向道路的宽是 　 　米（用含x的代数式表示）； （2）试求图1中花园道路的面积； （3）若把纵向道路的宽改为原来的2倍、横向道路的宽改为原来的，如图2所示．设图1与图2中花园的面积（阴影部分）分别为S1、S2，用含x的代数式分别表示出S1、S2，并比较S1与S2的大小． 【答案】（1）2x；（2）（34x﹣2x2）平方米；（3）S1＜S2． 【分析】（1）根据横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍即可求解； （2）根据题意，由花园的面积=长方形的面积﹣道路的面积求解即可； （3）根据花园的面积=长方形的面积﹣道路的面积分别求出S1、S2，再比较即可． 【详解】解：（1）设纵向道路的宽是x米， ∵横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍， ∴横向道路的宽为2x米． 故答案是：2x； （2）花园道路的面积＝12×2x+10x﹣x•2x＝34x﹣2x2（平方米）． 答：在图（一）中花园的道路的面积为（34x﹣2x2）平方米； （3）在图（一）中，花园的面积为：S1＝12×10﹣（34x﹣2x2）＝120﹣34x+2x2（平方米）， 在图（二）中，横向道路的宽为：，纵向道路宽为： 则花园的面积为：S2＝12×10﹣（12x+10×2x﹣x•2x）＝120﹣32x+2x2（平方米）， ∵x＞0， ∵S1﹣S2＝（120﹣34x+2x2）﹣（120﹣32x+2x2）＝﹣2x＜0， ∴S1＜S2． 【点睛】 本题考查了列代数式、整式的加减的应用、长方形的面积，正确表示出花园道路的面积是解答的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $