专题01 有理数（8大知识点+12大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材华东师大版

专题01 有理数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：正数和负数 正数和负数的概念：负数：比0小的数；正数：比0大的数；0既不是正数，也不是负数 知识点2：有理数 1.有理数的概念 (1)正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） (2)正分数和负分数统称为分数 (3)正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 2.有理数分类：(1)按有理数的意义分类 (2)按正、负来分 知识点3：数轴 (1) 数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 (2)数轴上的点与有理数的关系：①所有的有理数可以用数轴上的点来表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，0用原点表示。②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都是表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如：数轴上的点π不是有理数） 知识点4：相反数 相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。 知识点5：绝对值 (1)绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 (2)绝对值的代数定义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是0。 (3)绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即 ①0的绝对值是0；绝对值是0的数是0。即：a=0 <=>|a|=0； ②一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0。即：|a|=0； ③任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|>a； (4)有理数大小的比较 ①利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ②利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 (5)绝对值的化简:①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=-a; 知识点6：有理数的加减法 1.有理数的加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)互为相反数的两数相加，和为零；(4)一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 (1)加法交换律：a+b=b+a(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 知识点7：有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则： 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三) 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0。 2.倒数：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为 注意：(1)0没有倒数； 3.有理数的乘法运算律 (1)乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). (3)乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即 a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 (1)除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 (2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 5.有理数的乘除混合运算 (1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 (2)有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 知识点8：有理数的乘方 1.乘方的概念 2.乘方的性质:(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 3.有理数的混合运算：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 4.科学记数法 【考点1 有理数的分类】 例1．把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】4，，0，；，，；，，；4，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握整数、正分数、负有理数，非负整数的定义是解题的关键． 根据整数、正分数、负有理数，非负整数的定义即可解答． 【详解】解：整数集合； 正分数集合； 负有理数集合； 非负整数集合． 变式1．下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合． (1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内． ，，，，，，，，， 【答案】(1)，，正整数 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握相关概念是解题的关键． （1）根据整数分为正整数和负整数和零，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数，进行作答即可； （2）根据有理数的分类逐个判断进行填写即可． 【详解】（1）解：是整数，应填在区域； 是正有理数，应填在区域； 区域表示的有理数是正整数； 故答案为：，，正整数； （2）解：将各数填入适当的区域如图所示： 变式2．关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 变式3．请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据正整数、负整数、正数与负数的定义解答即可得． 【详解】解：把下列各数分别填入相应的圈内如下： ． 【考点2 求数的绝对值、相反数、倒数】 例2 的相反数是 ，绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数及绝对值的定义，关键是根据定义进行计算； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数；根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：的相反数是，绝对值是； 故答案为：，. 变式1.2026的绝对值是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的基本概念，掌握 “正数的绝对值是它本身” 是解题的关键；2026是正数，因此其绝对值是它本身． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 变式2.下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的定义，相反数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义判断各说法的正误． 【详解】解：∵ 非负数包括正数和零，故①错误； ∵ 整数和分数统称为有理数，故②正确； ∵ 0既不是正数也不是负数，故③正确； ∵ 相反数等于本身的数只有0，故④正确． ∴ 错误的说法有1个，故选A． 变式3.2025的相反数是 ，2的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 2 【分析】本题考查相反数、绝对值和倒数的概念，根据定义直接求解即可． 【详解】解：2025的相反数是；； 的倒数是， 故答案为：；2；． 【考点3 正负数的实际应用】 例3. 零上，记作，零下，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正负数的定义，根据零上温度用正数表示，零下温度用负数表示即可． 【详解】解：由零上记作， 则零下应记作． 故选：C． 变式1.《孙子算经》中提到“今有两数意义相反，当以正负别之”，意思是：有两个数如果它们的意义相反，就用正数和负数来区分．若海拔高于海平面米记作 米，则 米表示海拔为（ ） A．高于海平面米 B．低于海平面米 C．高于海平面米 D．低于海平面米 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正数表示高于海平面，负数表示低于海平面解答即可． 【详解】解：∵高于海平面米记作米， ∴低于海平面应用负数表示， ∴米表示低于海平面米． 故选：B． 变式2.小明向南走200米记作米，则“向北走400米”记作 米 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握具有相反意义的量的概念是解题关键； 根据具有相反意义的量的概念，向南走记为正值，则向北走应记为负值． 【详解】解：∵向南走米记作米， ∴向北走米记作米， 故答案为：． 变式3.某种新能源电动汽车在充电站充电50千瓦∙时记作千瓦∙时，那么行驶一段路程耗电30千瓦∙时记作 ． 【答案】千瓦∙时 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数的意义，充电表示电量增加记为正数，耗电表示电量减少记为负数． 【详解】解：由题意，充电50千瓦∙时记作千瓦∙时，则耗电30千瓦∙时应记作千瓦∙时， 故答案为：千瓦∙时． 【考点4 绝对值的非负性】 例4. 如果，那么的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值；根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算. 【详解】解：∵且 ≥ 0， ∴且 = 0， 即 且， 解得， ∴. 故答案为：5. 变式1.已知a为有理数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，，从而确定表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 故最小值为3． 故答案为：3． 变式2.如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性．当绝对值取最小值时，式子取得最大值． 【详解】解：∵， ∴ 当 时，即时，取得最大值，最大值为； 故选A． 变式3.m为有理数，则的最小值： ． 【答案】 【分析】这道题考查了绝对值的性质，解题关键是利用绝对值的非负性分析式子的取值范围． 利用绝对值的非负性，分析表达式的最小值． 【详解】因为对于任意有理数 ，有 ， 所以 ， 当 时，，此时 ． 故答案为． 【考点5 有理数的大小比较】 例5. 在有理数，中最小的是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是要掌握：正有理数大于零，负有理数小于零；两个负有理数，绝对值大的反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴是最小的数． 故选：C． 变式1.下列四个数中，最小的数是（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握负数、0、正数的大小关系及负数比较大小的规则． 先明确负数小于0和正数，再比较负数的绝对值，绝对值大的负数数值更小． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：D． 变式2.下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的大小比较，涉及绝对值、负数的性质等，通过计算每个选项，在比较负数大小时，先比较绝对值，绝对值大的负数反而小，据此进行判断其正确性，即可作答． 【详解】解：A、，∵，∴，故该选项符合题意； B、，∵，∴，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项不符合题意； D、，∴，故该选项不符合题意； 故选：A． 变式3.写出一个比大的负整数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数比大小，准确分析判断是解题的关键． 根据有理数的大小比较，负整数中绝对值越小，数值越大，因此得出比大的负整数即可得解； 【详解】解：是负整数，且负整数中绝对值越小，数值越大， 比大的负整数需满足绝对值小于，即、、、均符合条件； 故答案为． 【考点6 科学记数法】 例6. 财政部消息，2024年农业保险保费补贴547.5亿元已全部下达．数据“547.5亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 科学记数法表示大数，形式为，其中，n 为整数，据此解答即可． 【详解】解：547.5亿． 故选：B． 变式1.2024年元旦假期，全国文化和旅游市场平稳有序，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游亿人次．同比增长．则这3天全国国内旅游平均每天出游人数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，有理数的除法． 先将亿转化为具体数据，除以后用科学记数法表示即可． 【详解】解：亿，． 故选：B． 变式2.太阳到地球的平均距离约为千米，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选A． 变式3.北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超6000亿次．将数据“6000亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：6000亿用科学记数法表示为． 故选：D． 【考点7 带字母的绝对值化简问题】 例7. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，化简绝对值，整式的加减，正确判断各个代数式的符号是解题的关键． 根据数轴，判断出，，可得，，再利用绝对值的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ ． 变式1.已知有理数在数轴上的位置如图所示． (1)用“”或“”填空： 0， 0， 0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数大小，绝对值化简，整式的加减；解题的关键是结合数轴上的位置关系，确定各代数式的正负符号，再根据绝对值定义进行化简；错点在于对代数式正负的判断错误，导致去绝对值时符号出错； （1）利用数轴信息确定的符号和相对大小：由题意可知，为正数，为负数，为负数，且满足，去比较，，与0的大小； （2）根据（1）中得到的符号，分别去掉绝对值符号后进行加减运算． 【详解】（1）解：∵，到0的距离 到0的距离， ∴，，， 故答案为：>；<；>； （2）解：∵，，， ∴． 变式2.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“>”“<”或“=”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上有理数的比较大小，绝对值的化简，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置判断各式的正负； （2）根据绝对值的意义去掉绝对值符号并合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，，． 故答案为：； （2）解：      变式3.已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识点，化简绝对值，由数轴可得，且，从而可得，，，再根据绝对值的性质化简即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 【考点8 有理数的混合运算】 例8. 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数加减法、乘法、乘方等混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）先去括号再算加减即可； （2）先算乘方、乘法、绝对值化简，最后算加减即可； （3）按照乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 变式1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是做题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 变式2.计算： (1) (2) 【答案】(1)11 (2)3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查的是乘除混合运算，含乘方的有理数的混合运算． （1）先计算除法，再计算乘法运算即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【考点9 有理数混合运算中新定义型问题】 例9. 对有理数a，b定义一种新的运算“*”：．例如，则的值是（        ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，根据题目中给出的定义，列式进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 变式1.定义一种新运算：对任意有理数都有，例如：． (1)求的值； (2)先化简，再求值：，其中是最大的负整数，是绝对值最小的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，整式的化简求值，有理数的混合运算，理解新定义掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义代入计算即可． （2）根据新定义代入，先去括号，然后合并同类项，最后代入数值计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得∶ 由题意得， 原式． 变式2.如果规定符号“”的意义是，如，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义，符号“”表示两个数的乘积除以它们的和，直接代入数值计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 变式3.定义一种新的运算法则：，如． (1)根据这个运算法则，计算的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）， 解得． 【考点10 与有理数有关的实际应用】 例10. 近日某检修小组从A地出发，在东西走向的公路上检修路灯线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下（单位：）． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -6 +8 -7 +5 +4 -5 -2 (1)收工时距A地的距离是______； (2)在第______次记录时距A地最远．这个距离是_____ (3)若每耗油升，问这七次共耗油多少升？ 【答案】(1) (2)一，6 (3) 【分析】本题主要考查正负数的实际意义，有理数的运算，绝对值，掌握相关知识是解题的关键． （1）将表中的各数据相加即可； （2）分别计算出每次检修后所处位置与A点的距离，然后比较即可求解； （3）将各数的绝对值相加可得路程，再将路程乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：， ∴收工时距地的距离是（千米）， 答：收工时距地的距离是， 故答案为：； （2）解：第一次距地（千米）； 第二次：（千米）； 第三次：（千米）； 第四次：（千米）； 第五次：（千米）； 第六次：（千米）； 第七次：（千米）． ， ∴距地最远的是第一次， 故答案为：一；6； （3）解：（升． 答：共耗油升． 变式1.随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也与某直播平台合作销售自己家种植的橙子，经过一段时间的试运营，小李发现每天能销售100千克左右的橙子．下表为小李12月份第一周销售橙子的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值/千克 根据以上内容，回答下列问题． (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期_________，销售量是_________千克． (2)这一周中，销量最多的一天比最少的一天多_________千克． (3)小李与该直播平台合作销售，费用结算规则如下：每天需支付基础服务费300元；若当天销量不足100千克，每少1千克，额外支付2元；若当天销量超过100千克，超过部分每千克奖励1元（从基础服务费中扣除），求小李这一周需要支付给直播平台的费用． 【答案】(1)三，102， (2)19 (3)元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算，解题关键是理解题意，列出算式． （1）先求出表格中所有数的绝对值，然后比较大小，找出绝对值最小的就是销售量最接近100千克的一天，然后求出该天的销售量即可； （2）用最大值减最小值即可； （3）分别计算每天的费用，再把这七天的费用相加即可． 【详解】（1）解：，， 这一周中，销售量最接近100千克的是星期三，该天的销售量为：（千克）， 故答案为：三，； （2）解：销量最多的一天比最少的一天多千克； 故答案为：； （3）解：星期一：销售量为：（千克），不足100千克，罚款元，费用为：（元）； 星期二：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 星期三：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 星期四：销售量为：（千克），不足100千克，罚款元，费用为：（元）； 星期五：销售量为：（千克），不足100千克，罚款元，费用为：（元）； 星期六：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 星期日：销售量为：（千克），超过100千克，奖励元，费用为：（元）； 一周的总费用为：（元）． 变式2.某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． (1)这个公司要加工多少件新产品？ (2)在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 【答案】(1)这个公司要加工960件新产品． (2)由两厂共同加工时，既省钱，又省时间． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解答本题的关键． （1）设这个公司要加工x件新产品，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据题意分别求出3种方案需要的费用，然后比较求解即可． 【详解】（1）设这个公司要加工x件新产品， 由题意得：， 解得： (件)， 答：这个公司要加工960件新产品； （2）①由红星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ②由巨星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ③由两厂共同加工：需要耗时为天，需要费用为：元． 因为， 所以，由两厂共同加工时，既省钱，又省时间． 变式3.某市为了缓解交通压力决定建高架桥，甲、乙两个公司都希望承接这项工程．已知甲公司每个月可建160米高架桥，乙公司每个月可建240米高架桥，而且完成这项工程甲公司比乙公司要多用20个月．该城市政府需付给甲公司建筑费每月240万元，乙公司建筑费每月360万元． (1)求该城市要建多长的高架桥？ (2)该城市政府设计方案时，考虑可由每个公司单独做，也可以由两个公司合作建成，在建设过程中，政府需要派5名工程师到建筑工地里进行指导，建筑公司负担每人每月3000元的生活补贴费．你帮助该城市政府选择一种既省时又省钱的建设方案，并说明理由．（用方程解决问题） 【答案】(1)该城市要建9600米的高架桥． (2)该公司选择既省时又省钱的建设方案，应选择时间最短，费用最低的由甲乙两公司合作完成． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设该城市要建x米的高架桥，根据题意列方程求解即可； （2）设甲乙合作需要y个月完成这项工程，求出合作需要的时间，再分别求出甲乙合作完成、甲单独完成、乙单独完成的费用，比较后作答即可． 【详解】（1）解：设该城市要建x米的高架桥， 由题意得， 解得：， 答：该城市要建9600米的高架桥； （2）解：设甲乙合作需要y个月完成这项工程，由题意得， ， 解得， 所以甲乙合作需要24个月； ①甲乙合作完成费用：万元， ②甲单独完成费用：万元， ③乙单独完成费用：万元， ， 综上所述，该公司选择既省时又省钱的建设方案，应选择时间最短，费用最低的由甲乙两公司合作完成． 【考点11 有理数混合运算中的规律探究问题】 例11. 以下图形中的圆点按照一定规律摆放．第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，第个图形中“●”的个数为，…，以此类推，计算前个图形中圆点个数的倒数之和，即的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律、数字规律，根据图示找出规律，结合分数的计算方法是关键； 根据图形找到规律，利用有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为， 第幅图形中“●”的个数为，…， 以此类推， ∴， ∴ ， 故答案为：． 变式1.观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯ 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：___________=___________； 第（为正整数）个等式：__________=___________； (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，用代数式表示数、图形的规律，数字类规律探索，分式加减乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）通过观察，发现规律，用规律列出第5个等式和第（为正整数）个等式； （2）将每项拆成两项后再计算即可． 【详解】（1）解：按以上规律列出第5个等式：， 第（为正整数）个等式： 故答案为：，，，； （2）解： ． 变式2.阅读理解： ，，，…… (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类、有理数的混合运算． （1）观察题干中各式规律，利用裂项相消法计算即可； （2）结合（1）和阅读材料，利用裂项相消法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3.对2025进行如下的操作：第一次减去它的，第二次减去第一次剩下的，第三次减去第二次剩下的，……一直到减去前一次剩下的，那么最后剩下的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是将每次操作后剩下的数转化为连乘形式，通过约分简化计算． 将每次操作后剩下的数表示为前一次数乘以（1减去对应分数），依次列出连乘式，利用分数约分计算最终结果． 【详解】解：最后剩下的数为 … … ． 故答案为：1． 【考点12 数轴上的动点运动问题】 例12. 如图，在数轴上点，，表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)请直接写出，，的长度； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动．设点、、同时出发，运动时间为秒， ①七秒后，表示的数为 ，表示的数为 　　，表示的数为 　　． ②试探索：的值是否随着时间的变化而变化？请说明理由． (3)若点以每秒4个单位的速度从点出发，点以每秒3个单位的速度运动从点出发，设点、同时出发，运动时间为秒．试探究：经过多少秒后，点、两点间的距离为14个单位． 【答案】(1)，， (2)①，15，41；②不变化，理由见解析 (3)秒或22秒或秒或6秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是理解题意，找到等量关系列出方程，对点M、N运动的方向进行分类讨论． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①根据运动方向、速度以及时间，求解即可；②用t表示出、，计算即可求解； （3）分四种情况：①当点向右运动，点向左运动时；②当点、点都向右运动时；③当点向左运动，点向右运动时；④当点、点都向左运动时；根据等量关系点M、N两点间的距离为14个单位，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：根据题意，点、、表示的数分别为、、， ①当时，， ， ， ∴点、、表示的数分别为、15、41， 故答案为：，15，41． ②不变化，理由如下： 根据题意可知，，， ∴，， ∴， ∴的值不随时间的变化而变化． （3）解：①当点向右运动，点向左运动时， 此时点、表示的数分别为、， ∵点的运动速度大于点的运动速度，且， ∴当点、两点间的距离为14个单位时，点在点的右侧， ∴， 解得； ②当点、点都向右运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得； ③当点向左运动，点向右运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得； ④当点、点都向左运动时， 此时点、表示的数分别为、， 同理可得， 解得， 综上所述，经过秒或22秒或秒或6秒，点、两点间的距离为14个单位． 变式1.如图，数轴上点所表示的数是，点所表示的数是9，点在线段上，且满足．点以每秒6个单位的速度从点出发向终点运动，到达点后再以相同的速度返回到点；同时，点从点出发，以每秒1个单位的速度向终点运动；当点停止运动时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)直接写出线段的长______； (2)求点所表示的数，并在数轴上描出点； (3)求、两点相遇时的值； (4)直接写出当时，的值． 【答案】(1)12 (2)5，描点见详解 (3)或 (4)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，分类考虑动点的位置是解答本题的关键． （1）根据两点之间的距离求解即可． （2）根据题意得出，再根据两点之间的距离求解即可． （3）分两种情况分别列方程求解即可． （4）分两种情况分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点所表示的数是，点所表示的数是9， ∴， 故答案为：12； （2）解：∵，点在线段上， ∴， ∴点所表示的数是， 在数轴上描出点如下： （3）解：依题意，当点P从点A向点B运动，即时， 此时点所表示的数是，点所表示的数是， 当点与点相遇时， 解得：； 当点P从点B向点A运动，即时， 此时点所表示的数是，点所表示的数是， 当点与点相遇时， 解得：； 综上，点与点相遇时或． （4）解：当时， 此时点所表示的数是，点所表示的数是， 则， ∵ ∴， 解得：； 当时， 此时点所表示的数是，点所表示的数是， 则， ∵， ∴， 解得：； 综上，当时，或． 变式2.如图，数轴上点对应的有理数为，点以每秒个单位长度的速度从点出发，点以每秒个单位长度的速度从原点出发，且，两点同时向数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，，两点对应的有理数分别是_______，________，=_______； (2)当时，求的值． 【答案】(1)12；6；6； (2)t的值为1秒或9秒． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． （1）结合数轴，根据P、Q运动的速度和时间计算出即可； （2）当时，分两种情况：当点P在点Q右侧时，当点P在点Q左侧时． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，P，Q两点对应的有理数分别是12，6， ∴． 故答案为：12；6；6； （2）解：运动t秒时，P，Q两点对应的有理数分别是，． ①当点P在点Q右侧时， ∵， ∴， 解得：； ②当点P在点Q左侧时， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，t的值为1秒或9秒． 变式3.如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 一、单选题 1．的倒数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数．倒数的定义是：如果两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴的倒数是， 故选：B． 2．在，0，2，这四个数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了有理数大小比较，通过比较数的大小，负数小于0，正数大于0，且负数中绝对值越大值越小进行解答即可 【详解】解：， 最小的数是， 故选：A 3．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小．由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由数轴知：手掌覆盖的数位于和0之间， 而， 故选：C． 4．有理数的绝对值是（ ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：． 故选B． 5．下面算式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加减乘除运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据有理数的加减乘除法则计算即可． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 6．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的概念，乘法的定义，列代数式，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．利用乘法的定义得，利用乘方的定义得，进而得解． 【详解】解：由题意得，原式． 故选：C． 7．数、在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答． 根据数轴，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由数轴可得， ， ，故选项A不合题意； ，故选项B不合题意； ，故选项C不合题意， ，故选项D符合题意． 故选：D． 8．地球距离月球表面约为384000千米，那么这个距离用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法表示为，其中，n为整数，将384000 转换为科学记数法，需确定a和n． 【详解】解：∵， ∴ 384000用科学记数法表示为， 故选：B． 9．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 10．如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴特点，绝对值意义，由数轴可知，，，然后通过运算逐一判断即可，知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴可知，，则，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，，则，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，原选项说法错误，不符合题意； 、由数轴可知，，则，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 二、填空题 11．万精确到 位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 把2024.12万还原成原数，看数字2所在的数位即可． 【详解】解：2024.12万， 2在原数中的百位上，因此精确到百位． 故答案为：百． 12．一个整数具有下列特征：①它在数轴上表示的点位于原点的右边；②它的绝对值是6．这个数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上数的正负性与绝对值的概念，熟练掌握“数轴上原点右边的数是正数、绝对值的定义”是解题的关键． 结合数轴上数的位置特征和绝对值的定义，确定符合条件的整数． 【详解】解：∵数轴上原点右边的数是正数， ∴该数是正数； ∵绝对值为6的整数是和，且在原点左边（不是正数）， ∴这个数是． 故答案为：． 13．如图，在数轴上注明了四段的范围，其中第 （填序号）段上有三个整数． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，整数包括正整数、、负整数，结合数轴特点即可求解，理解并掌握数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：根据图示，第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，，符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 第段上包含的整数是，，不符合题意； 故答案为：． 14．我们平常用的数是十进制的数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数5，等于十进制的数23．请问等于十进制中的数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了进制的转化及含乘方的有理数混合运算，将二进制数转换为十进制数，需要将每一位数字乘以2的相应次幂，然后求和即可． 【详解】解：二进制数可表示为：， 计算得：． 故答案为：35． 15．已知，且，则 ． 【答案】5或9 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加法与减法，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．先根据绝对值的性质可得，，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 当，时，，符合题意，则； 当，时，，符合题意，则； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 综上，的值为5或9， 故答案为：5或9． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、运算律的应用，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合后计算； （2）先算绝对值、乘法，再依次进行加减运算； （3）先将带分数化为假分数，再按从左到右的顺序依次计算乘除； （4）利用乘法分配律，将120分别与括号内的数相乘后再计算； （5）先算乘方、绝对值、除法，再依次进行加减运算； （6）先算乘方，再算括号内的乘法与减法，最后算括号外的乘法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 17．【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ，； ，， ；，． 【用数学的语言表达】 （1）思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算_____________，异号两数运算_____________，特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，仍_____________． 【用数学的思维思考】 （2）计算写出最后化简结果： ①__________； ②____________； （3）若，，求的值． 【答案】（1）结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 （2）①；② （3） 【分析】本题主要考查有理数的加法与减法运算，解题的关键是根据已知算式总结出运算法则． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【详解】解：（1）两数进行运算时，同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 （2）①； ②． 故答案为：①；② （3） ， ∴与同号，即， ． ， ∴与异号，即， ． ． 答：的值为． 18．某水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“”表示进库，“”表示出库）：、、、、、． (1)经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥____________吨； (3)如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？ 【答案】(1)经过这6天，仓库里的水泥减少了；减少了吨 (2) (3)这6天要付元装卸费 【分析】本题考查了正数和负数的应用，有理数的加减法，有理数的乘法等知识点，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算，可得答案； （2）根据有理数的减法运算，可得答案； （3）根据装卸都付费，可得总费用． 【详解】（1）解： ， 答：经过这6天，仓库里的水泥减少了，减少了吨； （2）解：（吨）， 答：6天前仓库里存有水泥吨， 故答案为：200； （3）解： （元）， 答：这6天要付元装卸费． 19．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01有理数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 目重点速记：知识点和关键点梳理， 查漏补缺 ☆举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 思维导图串知识 正数与负数：相反意义的量；0既不正也不负 有理数分类0 按定义：整数（正/0/负）、分数（正/负） 一按符号：正有理数、0、负有理数 基础概念O 数轴：原点、正方向、单位长度（三要素）；右>左 相反数：a与-a;和为0；关于原点对称 绝对值：|a≥0；正数=本身、负数=相反数、0=0 倒数：a·1/a=1(a≠0)；0无倒数 数轴法：右数>左数 大小比较O 法则：正数>0>负数；负数比绝对值，大的反而小 加法：同号取同号并加绝对值；异号取大值号再减；互为相反数和为0；交换律/结合律 减法：a-b=a+(-b);统一为加法再算 乘法：同号得正、异号得负、绝对值相乘；0乘任何数为0；交换律/结合律/分配律 运算体系O 除法：a÷b=a1/b(b≠0)；0不能作除数 乘方：a=a×a×…×a(n个)；负数奇次负、偶次正；正数任何次正；0=0(n≠0) 混合运算：先乘方→再乘除→最后加减；同级左到右；括号先算（小一→中→大） 常用工具与表示O 科学记数法：a×10(1≤|a10,n整数) 近似数与有效数字：四舍五入；从第一个非0数字起算 易错点与注意事项。 0无倒数；除数不为0；乘方与乘法区分 绝对值化简、负数乘方符号、混合运算顺序 重点速记 ☑知识点1：正数和负数 正数和负数的概念：负数：比0小的数；正数：比0大的数；0既不是正数，也不是负数 ☑知识点2：有理数 1.有理数的概念 (1)正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数) (2)正分数和负分数统称为分数 (3)正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 2.有理数分类：(1)按有理数的意义分类 (2)按正、负来分 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正整数 整数0 正整数 负整数 正有理数 (正分数 有理数 有理数 0 0不能忽视) ·正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 ☑知识点3：数轴 (1)数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 (②)数轴上的点与有理数的关系：①所有的有理数可以用数轴上的点来表示，正有理数可以用原点右边的点 表示，负有理数可以用原点左边的点表示，0用原点表示。②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来， 但数轴上的点不都是表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如数轴上的点π 不是有理数) ☑知识点4：相反数 相反数：只有符号不同的两个数叫做相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③0的相反数是它 本身；相反数为本身的数是0。 ☑知识点5：绝对值 (1)绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作al。 (2)绝对值的代数定义：①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值 是0。 (3)绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有l上0。即 ①0的绝对值是0；绝对值是0的数是0。即：a=0<=>la=0; ②一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0。即：l=0; ③任何数的绝对值都不小于原数。即：a>a; (4有理数大小的比较 ①利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； ②利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大 于负数。 (5)绝对值的化简：①当a≥0时，la=a;②当a≤0时，la=-a ☑知识点6：有理数的加减法 1有理数的加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)绝对值不相等的异号两数相 加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3)互为相反数的两数相加，和为 零；（④）一个数与零相加，仍得这个数。 2有理数加法的运算律 (I)加法交换律：a+b=b+a(2)加法结合律：(a+b)十c=a+(b+c) 3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 ☑知识点7：有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则： 法测一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情 况，如果因数超过两个，就必须运用法则三) 法则二：任何数同0相乘，都得0： 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0。 2.倒数：乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为 aL-1a0,就是说a和上互为倒数，即a是二的倒数，上是a的倒数。 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 注意：(1)0没有倒数； 3有理数的乘法运算律 ()乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=abc) (3)乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即 a(b+c)-ab+ac 4.有理数的除法法则 (1)除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 (2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 5有理数的乘除混合运算 ()乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 (②)有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 ☑知识点8：有理数的乘方 1.乘方的概念 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a”中，a叫 做底数，n叫做指数 2乘方的性质：(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（②）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整 数次幂都是0。 3有理数的混合运算：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；（③）如有括号，先做括号内的运算，按小括号， 中括号，大括号依次进行。 4.科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10”的形式（其中1sa<10,n是正整数），这种记 数法是科学记数法。 核心考点举一反三 【考点1有理数的分类】 例1.把下列各数填在相应的大括号内： 4,0.5,-22,10%,-5,-3.14,0,33,+201. 整数集合{ .}; 正分数集合{ …: 负有理数集合{ …}: 非负整数集合{ } 变式1.下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合. 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 负有理数集合整数集合 正有理数集合 (1)0应填在 区域，应填入 区域，D区域表示的有理数是； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内. 4,2号，-1.2，-100,0，+2.25，-55+10，-7,0.32 变式2.关于“0”，下列说法错误的是() A.是整数，也是有理数 B.既不是正数，也不是负数 C.是整数，也是自然数 D.既不是自然数，也不是有理数 变式3.请把下列各数分别填入相应的圈内： -0.618,+15,3-03,-12. 正整数 负整数 正数 负数 【考点2求数的绝对值、相反数、倒数】 例2-2025的相反数是」 ，绝对值是 变式1.2026的绝对值是（) 1 A.2026 B.?1 C.-2026 D.2026 026 变式2.下列说法错误的有() ①非负数就是正整数和零； ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数； ④相反数等于本身的数只有0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式3.2025的相反数是，2的绝对值是，-1.25的倒数是一· 【考点3正负数的实际应用】 例3.零上6C,记作+6C,零下18C,记作() A.18℃ B.12°C C.-18C D.-24C 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1.《孙子算经》中提到今有两数意义相反，当以正负别之”，意思是：有两个数如果它们的意义相反， 就用正数和负数来区分.若海拔高于海平面150米记作+150米，则-120米表示海拔为() A.高于海平面120米 B.低于海平面120米 C.高于海平面30米 D.低于海平面30米 变式2.小明向南走200米记作+200米，则“向北走400米”记作米. 变式3.某种新能源电动汽车在充电站充电50干瓦·时记作+50千瓦时，那么行驶一段路程耗电30千瓦·时记 作 【考点4绝对值的非负性】 例4.如果|x?2+(y+3)2=0,那么x-y的值为· 变式1.已知a为有理数，则1a+5+3的最小值为 变式2.如果x为有理数，式子2026-x-4存在最大值，那么这个最大值是() A.2026 B.2025 C.2024 D.2023 变式3.m为有理数，则m-1-3的最小值： 【考点5有理数的大小比较】 例5.在有理数-2，-1,0，中最小的是（) A.- B.2 C.-1 D.0 变式1.下列四个数中，最小的数是() A.-2 B.0 C.1 D.-3 变式2.下列各组数比较大小正确的是() A.-8<- B.-引< C.?1?8>7 D.3=(3) 变式3.写出一个比-5大的负整数： 【考点6科学记数法】 例6.财政部消息，2024年农业保险保费补贴547.5亿元已全部下达.数据547.5亿”用科学记数法表示为 () A.5475×107B.5.475×1010 C.54.75×109 D.547.5×105 变式1.2024年元旦假期，全国文化和旅游市场平稳有序，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天， 全国国内旅游出游1.35亿人次.同比增长155.3%.则这3天全国国内旅游平均每天出游人数为() 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4.5×104 B.4.5×107 C.1.35×108 D.1.35×107 变式2.太阳到地球的平均距离约为149600000千米，用科学记数法表示149600000为() A.1.496×108 B.14.96×107 C.0.1496×109 D.1.496×107 变式3.北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式，目前，某地图软件调用的北斗 卫星日定位量超6000亿次.将数据“6000亿”用科学记数法表示为() A.6×103 B.6×109 C.6×1010 D.6×1011 【考点7带字母的绝对值化简问题】 例7.有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a+b?cl?|c+a=一 a 0b c 变式1.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示 c-1b01a2 (1)用“>”或“<”填空： a-b0,c-b0,a+b0: (2)化简：|a?bl+|c?b1?1a+b. 变式2.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示. b c -20 2 (1)用“><”或“=”填空：a-b0,c-a0,b+20. (2)化简：a?b1?1c?a+lb+2. 变式3.已知a,b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式la+b?1a?1+b+2的结果是() b a 一1 0 2 A.1 B.2b+3 C.2a-3 D.3 【考点8有理数的混合运算】 例8.计算： (1)10+(-14)-(-18)-3; 2)-14+(到×2-1-3到： 36+名)×(-24： 变式1.计算： (1)12?(+5)+(?8)?(?7): 2(-2)2÷号-(1-33×2. 变式2.计算： 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)20+(?14)?(?18)?13 (2)-12024×(-7)+14-91-(-3)2 变式3.计算： -6)÷2×(-) ②-2+20-（自-+)÷（别 【考点9有理数混合运算中新定义型问题】 例9.对有理数a,b定义一种新的运算*”：a*b=a+b÷2.例如3*4=3+4÷2=5，则7*[5*(-6)] 的值是( A.-2 B.4 C.6 D.8 变式1.定义一种新运算：对任意有理数a,b都有a⊕b=a-2b,例如：2⊕3=2-2×3=-4. (1)求-3⊕2的值； (2)先化简，再求值：(x?2y)?(x+2y),其中x是最大的负整数，y是绝对值最小的数。 变式2.如果规定符号*的意义是a*6=。如2*4=华-手求4(-3)=一 变式3.定义一种新的运算法则：a?b=a(a+b),如2※3=2×(2+3)=10， (1)根据这个运算法则，计算3※(-5)的值； (2)求关于x的方程2？(x+1)=0的解 【考点10与有理数有关的实际应用】 例10.近日某检修小组从A地出发，在东西走向的公路上检修路灯线路，如果规定向东行驶为正，向西行 驶为负，一天中七次行驶记录如下（单位：km), 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -6 +8 1 +5 +4 -5 -2 (1)收工时距A地的距离是 km (2)在第 次记录时距A地最远.这个距离是 km (3)若每km耗油0.2升，问这七次共耗油多少升？ 变式1.随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也与某直播平台合作销售自己家种 植的橙子，经过一段时间的试运营，小李发现每天能销售100千克左右的橙子，下表为小李12月份第一周 销售橙子的情况（以100千克为标准，超额记为正，不足记为负，单位：千克） 星期 二 三 四 五 六 日 与标准 -3 +4 +2 -3 -6 +13 +8 销售量 的差值 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 千克 根据以上内容，回答下列问题. (1)这一周中，销售量最接近100千克的是星期 ,销售量是 千克. (2)这一周中，销量最多的一天比最少的一天多 千克 (3)小李与该直播平台合作销售，费用结算规则如下：每天需支付基础服务费300元；若当天销量不足100 千克，每少1千克，额外支付2元；若当天销量超过100千克，超过部分每千克奖励1元（从基础服务费 中扣除)，求小李这一周需要支付给直播平台的费用. 变式2某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想 加工这批产品，己知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16 件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元. (1)这个公司要加工多少件新产品？ (②)在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司 制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供 选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案 变式3某市为了缓解交通压力决定建高架桥，甲、乙两个公司都希望承接这项工程，已知甲公司每个月可 建160米高架桥，乙公司每个月可建240米高架桥，而且完成这项工程甲公司比乙公司要多用20个月，该 城市政府需付给甲公司建筑费每月240万元，乙公司建筑费每月360万元. (1)求该城市要建多长的高架桥？ (②)该城市政府设计方案时，考虑可由每个公司单独做，也可以由两个公司合作建成，在建设过程中，政府 需要派5名工程师到建筑工地里进行指导，建筑公司负担每人每月3000元的生活补贴费，你帮助该城市政 府选择一种既省时又省钱的建设方案，并说明理由，（用方程解决问题） 【考点11有理数混合运算中的规律探究问题】 例11.以下图形中的圆点按照一定规律摆放.第1个图形中“。”的个数为a1,第2个图形中“。”的个数为a2, 第3个图形中。的个数为ag,…,以此类指，计算前8个图形中因点个数的倒数之和，即时+片+品+…+片 a 的值为 D>i 8d 第1幅图 第2幅图 第3幅图 第4幅图 变式1.观察下列等式： 第1个等式：a1=4=×(得-)： 第2个等式：=女=×G-)》 8/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3个等式：=70=×（号-动）： 第4个等式：a4=0s=×(品-) 1 … 请解答下列问题： (I)按以上规律列出第5个等式：a5= 第n(n为正整数)个等式：an= (2)求a1+a2+ag+a4+?+a2025的值， 变式2.阅读理解： =1-京=青文=京女=片 111111 11 0计算：文++文4++ 1 1 1 1 9×10 （②计算：+言+后+后+品+品+ 变式3.对2025进行如下的操作：第一次减去它的，第二次减去第一次剩下的与，第三次减去第二次剩下的 一直到减去前一次剩下的025那么最后利剩下的数是 【考点12数轴上的动点运动问题】 例12.如图，在数轴上点A,B,C表示的数分别为-2,1,6，点A与点B之间的距离表示为AB,点B与点C 之间的距离表示为BC,点A与点C之间的距离表示为AC. A B C 上浮 -3-2-1012345671 (I)请直接写出AB,BC,AC的长度； (②)若点D从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，点E从B点出发以每秒2个单位长度的速度向右 运动，点F从C点出发以每秒5个单位长度的速度向右运动.设点D、E、F同时出发，运动时间为t秒， ①七秒后，D表示的数为，E表示的数为一，F表示的数为一· ②试探索：EF-DE的值是否随着时间t的变化而变化？请说明理由. (3)若点M以每秒4个单位的速度从A点出发，点N以每秒3个单位的速度运动从C点出发，设点M、N同时出 发，运动时间为t秒，试探究：经过多少秒后，点M、N两点间的距离为14个单位. 变式1.如图，数轴上点A所表示的数是-3，点B所表示的数是9，点C在线段AB上，且满足AC=2BC.点P 以每秒6个单位的速度从点A出发向终点B运动，到达点B后再以相同的速度返回到点A;同时，点Q从点B出 发，以每秒1个单位的速度向终点C运动当点Q停止运动时，点P也随之停止运动，设点P的运动时间为秒 (t≥0) B -5-43-2-101234567890> (I)直接写出线段AB的长 (2)求点C所表示的数，并在数轴上描出点C; 9/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)求P、Q两点相遇时的t值： (4)直接写出当PB=2CQ时，t的值 变式2.如图，数轴上点A对应的有理数为10，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，点Q以每秒3个单位 长度的速度从原点O出发，且P,Q两点同时向数轴正方向运动，设运动时间为t秒. A 10 (1)当t=2时，P,Q两点对应的有理数分别是 ，PQ= (2)当PQ=8时，求t的值， 变式3如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向 右运动为“十”，向左运动为“-”，则终点表示的数是0+2+(？5)=？3， -4-3-2-101234 (1)点A从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是 (2)点B从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点C从原点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B运动到-3.5所在点的位置时，求B,C两点之间的距离： (3)点M从表示-5的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长 度，再向右移动4个单位长度…依次操作2026次后，求点M表示的数. 复习提升 一、单选题 1.-2025的倒数是（) B.?025 1 A.2025 C.-2025 D.2025 2.在-4,0,2，-2这四个数中，最小的数是() A.-4 B.0 C.-2 D.2 3,如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是() -2-10 A.-2.5 B.-1.5 C.-0.5 D.0.5 4.有理数-5的绝对值是() A.-5 B.5 c.- D. 5.下面算式正确的是() A.(-5)+9=-(9-5) B.7-(-10)=7-10 10/13