专题03 图形的初步认识（5大知识点+14大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材华东师大版

丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03图形的初步认识 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 目重点速记：知识点和关键点梳理， 查漏补缺 ☆举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 D 思维导图串知识 定义：各部分不都在同一平面内的图形 立体图形0≤ 常见类型：正方体、长方体、圆柱、园锥、球、棱柱、棱锥 特征：有面（平面/曲面）、棱（面与面交线）、顶点（棱与棱交点） 核心授念：几 定义：各部分都在同一平面内的图形 图形 平面图形0 常见类型：线段、角、三角形、长方形、圆等 关系：立体图形的展开图是平面图形 立体圈形与平面图形的转化。一展开图：将立体图形表面展开成平面图形 一三视图：主视图、左视图、俯视图（从不同方向看立体图形） 。 几何基本元素，无大小，用于表示位置 直线：无燃点，向两端无限证伸：两点确宗一察查钱 射线：一个端点，向一端无限延伸；表示：端点字母在前 线段：两个端点，有长度；两点之间线段最短；两点间距离是线段长园 线段的中点：把线段分成两条相等线段的点 “点、线、面、角 平面：平整且向四周无限延伸 面0 曲面：如圆柱的侧面 面动成体：线运动形成面，面运动形成体 定义：由两条有公共端点的射线组成的图形〔公共端点是顶点) 表示：∠AOB、∠OG顶点唯-时、∠1 度量：单位是度()、分()、秒(")；1°=60'，1=60 比较：度量法、叠合法 角的平分线：把角分成两个相等角的射线 余角与补角 ~对顶角：顶点相同，两边互为反向廷长线；对顶角相等 相交线0 垂线：两条直线相交成直角，互相垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段：直线外一点到直线的插线段最短，长度是点到直线的距离 相交线与平行线 定义：同一平面内，不相交的两条直线 平行钱 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 判定：同位角相等一→两直线平行；内错角相等→两直线平行；同旁内角互补一两直线平行 性质：两直线平行一同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 作一条线段等于已知线段 基本作图 角等于已知角 作线段的中点、角的平分线 作图与应用0 过一点作已知直线的垂线、平行线 实际应用0 利用两点之间线段最短解决最短路径问题 利用平行线性质解决角度计算问脑 易错点警示⊙ 一时，不能只用一个字母表示 对顶角的判定：必须是两边互为反向延长线，邻补角不是对顶角 平行线判定与性质的区别：判定由角推线，性质由线推角 重点速记 ☑知识点1：几何图形 1.点、线、面、体称为几何图形。 2.平面图形：图形所表示的各个部分都在同一个平面内。 3.立体图形：图形所表示的各个部分不在同一个平面内。 ☑知识点2：直线、射线、线段 1/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 名称 直线 射线 线段 类别 图形 B A B ①两个大写字母（表示①表示两端点的两 表示方法 ①两个大写字母：端点的字母在前)： 个大写字母：②一个 ②一个小写字母 ②一个小写字母 小写字母 端点个数 无 1个 2个 延伸性 向两方无限延伸 向一方无限延仲 不可延伸 性质 两点确定一条直线 两点之间，线段最短 度量 不可以 不可以 可以 作图叙述过A、B作直线AB 以A为端，点作射线AB 连接AB 注： 1、直线 (1)直线没有长短，向两方无限延伸. (2)直线没有粗细. (3)两点确定一条直线， (4)两条直线相交有唯一一个交点. 2、线段 (1)“作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段，例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB=a. 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段.例如：可以先量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线 段. (2)线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短. ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端 点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短. (3)线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点，如图所示，点C是线段AB的中 点，则AC=CB=AB,或AB=2AC=2BC 2 A C B 3、射线 (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线，如图中射线OA,射线OB是不同的射线， B (②)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线，如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同 一条射线。 o A B C 4、直线、射线、线段之间的联系 (1)射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系，在直线上任取一点，则可将直两条射线；在 直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线. 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线， ☑知识点3：角和角的度量 1角是由两公条公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的顶点。 2.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射 线叫做角的终边。 3度、分、秒是角的基本度量单位。 1度=60分，1分=60秒 ☑知识点4：余角和补角 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角 的余角。 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的 补角。 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等。 ☑知识点5：正方体的平面展开图 吗即甲▣脚甲脚F脚FP ④ ⑦ 一四一”型 “三三”型“二二二”型 “二三一”型 ①正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个： ②正方体的展开图不会出现“田” “凹”字形的形状： P 核心考点举一反三 【考点1几何体的识别】 例1.下列图形为三棱柱的是() D 变式1.如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是() B. 3/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D 变式2.下列几何体中，属于棱柱的有() A.4个 B.3个 C.2个 变式3.请写出下面立体图形的名称. (1) (2) (3) (4) (5) 【考点2点、线、面、体】 例2在《西游记》中，齐天大圣转动金箍棒，在转速特别快时，形状近似一个圆盘，能说明这个现象的数 学原理是() A.点动成线 B.点动成面 C.线动成面 D.面动成体 变式1在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着的语句，这里把雨看成了线，这种 现象可以用数学原理“点动成线”解释，那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可 以用数学原理解释为 变式2.下列现象能说明“面动成体”的是() A.天空划过一道流星 B.汽车雨刷在挡风玻璃上划出的痕迹 C.扔出的一块小石子在空中飞行的路线 D.旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 变式3.学府中学第23届运动会入场仪式上，七(8)班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的 同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为 4/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【考点3三视图】 例3.积木是一种模块化玩具，它能锻炼玩家的空间思维能力、逻辑思维能力，起源可以追溯到中国古代文 明.如图是积木中的一个立体图形，它的俯视图是() 主视 变式1.如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体. L- ------1 、 主视 主视图 左视图 俯视图 (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图.。 (②)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 个小立方块 变式2.如图是由若干个相同的小立方块组成的几何体 从正面看 从上面看 从左面看 (1)这个几何体由 个小立方块组成； (2)画出从上面、左面观察所看到的几何体的形状图. 变式3.如图是由6个棱长为3cm的小正方体组成的几何体 从正面看 从左面看 从上面看 (1)在网格中画出这个几何体从正面、左面、上面看到的形状； 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求这个几何体的表面积， 【考点4正方体的展开图】 例4.下列图形中，不能拼成正方体的是() C. D 变式1.如图是正方体表面展开图.将其折叠成正方体后，距顶点A最近的点是() B D A,B点 B.C点 C.D点 D,E点 变式2.【问题背景】 七(2)班综合实践小组开展废纸再利用的环保小卫士活动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖 纸盒 图① 环保小卫 比 图② 图③ 【空间想象】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的 (填字母)经过折叠能围成一个无盖正方体纸 盒 【深入思考】 (2)图②是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“保”字相对面的文字是“”. 【实践操作】 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图③，有一张边长为26cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一 个无盖长方体纸盒 ①请你在图③中画出示意图，并用实线表示剪切线，虚线表示折痕： ②若四角各剪去了一个边长为3cm的小正方形，求折成的无盖纸盒的容积. 变式3.如图，在图中增加一个大小相同的小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下图中的 黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是() 【考点5直线、射线、线段的相关概念】 例5.如图，对于直线AB,线段CD,射线EF,其中能相交的是() B B D D B D. 变式1.下列说法正确的是() A.一条直线就是一个平角 B.射线AB和射线BA是同一条射线 C.用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” D,在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定 一条直线 变式2.下列说法不正确的是() A.射线AB和射线BA是同一条射线 B.两点之间，线段最短 C.两点确定一条直线 D.B和C都正确 7/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3.直线AB,BC,CA的位置关系如图所示，下列语句：①点A在直线BC上；②直线BC经过点B;③直 线AC,BC交于点C;④点C在直线AB外；⑤图中共有6条射线，以上表述正确的有，（只填写序号） 【考点6线段和直线的基本性质问题】 例6.如图所示，在下列四个生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有() 木板上弹墨线 建筑工人砌墙两根钉子固定木条弯曲河道改直 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式1如图，生活中有下列两个现象：现象1，建筑工人砌墙时，会在两个墙脚的位置分别固定一根木杆， 然后拉一条直的参照线；现象2，把原来弯曲的河道改直，A,B两地间的河道长度变短.对于这两个现象 的解释： 变式2.下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点 之间线段最短”来解释的是() A.木匠弹墨线B.打靶瞄淮 C.弯曲公路改直 D.拉绳插秧 变式3固定一根木条至少需要两根铁钉，这是根据 【考点7角的表示方法】 例7.如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是() B B 8/18 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 变式1.如图，∠2可以表示成∠ABC或∠ ∠1可以表示成∠，∠C可以表示成上或 变式2.下列各选项表示∠ABC正确的是() 一B A.4- -BB.C- 一D C.B 变式3.(1)如图①，我们可以将角表示为 或 或 (2)如图②，共有 个角，它们分别是 A B B 图① 图② 【考点8方位角、钟面角】 例8.故宫在人民大会堂的北偏东40方向上，那么人民大会堂在故宫的(）方向上 A.东偏北40° B.东偏北509 C.南偏西40° D.南偏西50° 变式1.如图，钟面上的时间是730，则时针与分针的夹角为°. 2 10 2 9 3 5.y 变式2.钟表在9时20分时，时针与分针所成的夹角为度. 变式3.海面上有A、B两个灯塔，已知灯塔A位于B的北偏东30方向，那么灯塔B位于灯塔A的 9/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【考点9求一个角的余角、补角】 例9.一个锐角是1930'，它的余角是() A.18°29 B.71°31 C.29°18 D.70°30 变式1.已知∠a=65°，则L的余角为，则La的补角为 变式2.己知∠A=36°45'. (I)求LA的余角的度数和LA的补角的度数， (2)求∠A的余角的补角的度数， 变式3.若La=3518,则∠a的余角是，补角是 【考点10尺规作线段或角】 例10.如图，已知直线1和直线外三点A,B,C,按下列要求作图. C。 ●B A· (I)连接BC,作射线AB; (②)用圆规在BC的延长线上截取CD=BC; (3)在直线1上找一点E,使得AE+CE最小，你的作图依据： 变式1.如图，平面上有四个点A、B、C、D,根据下列语句利用无刻度直尺和圆规画图： B D (I)画直线AB,射线AC,线段BC; (2)在射线AC上取一点E(不与点A重合)，使CE=AC; (3)在直线AB上找一点M,使线段MD与线段MC之和最小. 变式2.已知∠a(如图)，用量角器求作一个角，使它等于已知角α. 变式3.画图，说理题 如图，已知四个点A、B、C、D: 10/18 专题03 图形的初步认识 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：几何图形 1.点、线、面、体称为几何图形。 2.平面图形：图形所表示的各个部分都在同一个平面内。 3.立体图形：图形所表示的各个部分不在同一个平面内。 知识点2：直线、射线、线段 注： 1、 直线 （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 2、线段 （1）“作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． （2）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． （3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 3、射线 (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 4、直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 知识点3：角和角的度量 1.角是由两公条公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的顶点。 2.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。 3.度、分、秒是角的基本度量单位。 1度=60分，1分=60秒 知识点4：余角和补角 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。 同角或等角的余角相等。 同角或等角的补角相等。 知识点5：正方体的平面展开图 ①正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个； ②正方体的展开图不会出现“田”“凹”字形的形状； 【考点1 几何体的识别】 例1．下列图形为三棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三棱柱的识别，解题的关键是掌握常见的立体图形． 根据常见的立体图形逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形为圆柱，不符合题意； B.该图形为三棱柱，符合题意； C.该图形为三棱锥，不符合题意； D.该图形为圆锥，不符合题意； 故选：B． 变式1．如图，将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握立体图形的特征是解此题的关键． 根据面动成体并结合图形即可得解． 【详解】 解：将下列的平面图形绕轴旋转一周，能围成的几何体是． 故选：B． 变式2．下列几何体中，属于棱柱的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形的分类，解题关键是熟悉常见的几何体． 根据所给的图形，逐一识别，再作出统计． 【详解】解：所给的图分别为正方体、圆柱、四棱柱、球、圆锥、三棱柱， 其中属于棱柱的有正方体、四棱柱、三棱柱，共3个， 故选：B． 变式3．请写出下面立体图形的名称． （1）______（2）______（3）______（4）______（5）______ 【答案】（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥 【分析】本题考查了常见几何体的名称，熟练掌握常见几何体的名称是解题的关键．根据常见几何体的特征逐一判断即可． 【详解】解：由图可知，（1）长方体；（2）圆柱；（3）球体；（4）圆锥；（5）三棱锥． 故答案为：长方体；圆柱；球体；圆锥；三棱锥． 【考点2 点、线、面、体】 例2 在《西游记》中，齐天大圣转动金箍棒，在转速特别快时，形状近似一个圆盘，能说明这个现象的数学原理是（    ） A．点动成线 B．点动成面 C．线动成面 D．面动成体 【答案】C 【分析】本题考查了根据线动成面进行解答即可．金箍棒可视为线段，快速旋转时形成圆盘状平面，体现了线动成面的原理． 【详解】解：∵金箍棒是棒状，近似一条线段，当它绕一端点快速旋转时，线段扫过的区域形成一个圆面， ∴这说明了线动成面的数学原理． 故选：C． 变式1.在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 ． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的动态关系，熟练掌握“线动成面”的原理是解题的关键．根据“点动成线”的类比，分析扇骨（线）移动形成扇面（面）的数学原理． 【详解】解：打开折扇时，扇骨是线，扇面是面，线的移动形成面，对应的数学原理是“线动成面”． 故答案为：线动成面． 变式2.下列现象能说明“面动成体”的是（   ） A．天空划过一道流星 B．汽车雨刷在挡风玻璃上划出的痕迹 C．扔出的一块小石子在空中飞行的路线 D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键． “面动成体”指平面图形运动形成立体图形，分析各选项，只有D选项中的门旋转时，作为面运动形成体． 【详解】解：A选项流星划过是点动成线，不符合题意； B选项雨刷划痕是线动成面，不符合题意； C选项石子飞行路线是点动成线，不符合题意； D选项门旋转痕迹是面动成体，符合题意； 故选D． 变式3.学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，解题的关键是理解“线动成面”的几何原理． 分析画卷展开过程中图形的运动形式，对应“线动成面”的几何概念． 【详解】解：画卷展开时，可看作一条线（画卷的边缘）沿着一定方向移动， 因为线的移动会形成面，这种几何变换称为“线动成面”， 所以这个展开过程用数学知识解释为线动成面． 故答案为：线动成面． 【考点3 三视图】 例3. 积木是一种模块化玩具，它能锻炼玩家的空间思维能力、逻辑思维能力，起源可以追溯到中国古代文明．如图是积木中的一个立体图形，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：这个立体图形的俯视图是： 故选：A． 变式1.如图是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格中分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加________个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了三视图． （1）分别画出该几何体的主视图、左视图、俯视图即可； （2）分别找出主视图、左视图不变时可以添加的位置，取公共位置即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：保持主视图和左视图不变，可在如下位置添加， 即最多可以再添加2个小立方块． 故答案为：2． 变式2.如图是由若干个相同的小立方块组成的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块组成； (2)画出从上面、左面观察所看到的几何体的形状图． 【答案】(1)6 (2)见解析 【分析】本题考查了作图－三视图，掌握从不同方向观察到的图形的形状是解题的关键． （1）根据图形即可得到结论． （2）根据三视图的定义即可得到结论． 【详解】（1）根据图形，可知这个几何体由6个小立方块组成． （2）如图所示． 变式3.如图是由6个棱长为的小正方体组成的几何体． (1)在网格中画出这个几何体从正面、左面、上面看到的形状； (2)求这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图分别是从正面、左面、上面正投影所得到的图形． （1）根据几何体的形状，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）表面积就是主视图、左视图、俯视图看到的图形面积的2倍． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的表面积为： 【考点4 正方体的展开图】 例4. 下列图形中，不能拼成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体的知识点，掌握有“凹”字格、“田”字母的展开图都不是正方体的表面展开图成为解题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图的常见形式即可解答． 【详解】解：选项D有两个面重叠，不能折成正方体； 选项A、B、C经过折叠均能围成正方体． 故选：D． 变式1.如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最近的点是（    ） A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 【答案】C 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：将展开图折叠成正方体后，距顶点A最近的点是点D， 故选：C． 变式2.【问题背景】 七（2）班综合实践小组开展废纸再利用的环保小卫士活动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图①中的______（填字母）经过折叠能围成一个无盖正方体纸盒． 【深入思考】 （2）图②是小明的设计图，把它折成一个无盖正方体纸盒后，与“保”字相对面的文字是“______”． 【实践操作】 （3）如图③，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图③中画出示意图，并用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求折成的无盖纸盒的容积． 【答案】（1）C；（2）卫；（3）①见详解；② 【分析】本题主要考查了展开图折叠几何体，正方体相对两面上的字，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）无盖正方体有五个面，的组合不能折叠成立方体，据此解答； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①在现有正方形四个角画出全等的四个小正方形，然后依次用虚线连接相邻两个小正方形在大正方形内的顶点； ②长方体的高即为小正方形的边长，长和宽为大正方形边长减去两个小正方形的边长，然后根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：（1）无盖正方体有五个面， ∴B和D不符合题意， 的组合不能折叠成立方体，∴A不符合题意； 故选：C； （2）图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“保”字相对的字是“卫”， 故答案为：卫； （3）①如图： ②折成的无盖纸盒的容积为： ． 变式3.如图，在图中增加一个大小相同的小正方形，使所得图形经过折叠能够围成一个正方体，下图中的黑色小正方形分别由四位同学补画，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图的特征，或者熟记正方体的11种展开图，只要有“田”，“凹”字格的图都不是正方体的表面展开图． 根据正方体展开图的特征作答即可． 【详解】解：由正方体展开图的特征可知，A同学补画正确． 故选：A． 【考点5 直线、射线、线段的相关概念】 例5. 如图，对于直线，线段，射线，其中能相交的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直线、线段、射线的定义和性质；根据直线、线段、射线的定义和性质，直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，线段有两个端点不能延伸．逐一判断它们能否相交． 【详解】解：分析选项A， 直线向两方无限延伸，线段有两个端点不能延伸，从图中可以看出直线与线段没有交点，不能相交． 分析选项B， 直线向两方无限延伸，射线向F方向无限延伸，从图中可以看出直线与射线有交点，能相交． 分析选项C， 线段有两个端点不能延伸，射线向F方向无限延伸，从图中可以看出线段与射线没有交点，不能相交． 分析选项D， 直线向两方无限延伸，射线向F方向无限延伸，从图中可以看出直线与射线没有交点，不能相交． 故选：B． 变式1.下列说法正确的是（   ） A．一条直线就是一个平角 B．射线和射线是同一条射线 C．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” D．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题主要考查了角、射线的定义，直线公理和线段的性质，熟练掌握这些几何基本概念是解题的关键．逐一对每个选项结合角、射线、直线公理、线段性质的概念进行判断，确定正确选项． 【详解】解：平角是由公共端点的两条射线组成的角，直线无端点，故A项错误． 射线的端点是，射线的端点是，端点不同，故B项错误． 用两个钉子固定木条，应用的是“两点确定一条直线”的公理，故C项正确． 高速公路取直缩短路程，应用的是“两点之间，线段最短”的性质，故D项错误． 故选：C． 变式2.下列说法不正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．B和C都正确 【答案】A 【分析】本题考查直线、射线、线段的基本概念和公理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识判断各选项． 【详解】解：∵ 射线以为端点，向方向延伸；射线以为端点，向方向延伸， ∴ 射线和射线不是同一条射线，故A错误，符合题意． ∵ 两点之间，线段最短，是几何公理，故B正确，不符合题意． ∵ 两点确定一条直线，是几何公理，故C正确，不符合题意． ∵ B和C都正确， ∴ D正确，不符合题意． 故选：A． 变式3.直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有 .（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 【考点6 线段和直线的基本性质问题】 例6. 如图所示，在下列四个生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了基本事实：两点确定一条直线；两点之间，线段最短．理解基本事实的实际应用是解题的关键．根据基本事实逐一判断即可． 【详解】解：木板上弹墨线，建筑工人砌墙，两根钉子固定木条是“两点确定一条直线”的实际应用，符合题意， 弯曲河道改直是“两点之间，线段最短”的实际应用，不符合题意， 故选：C． 变式1.如图，生活中有下列两个现象：现象1，建筑工人砌墙时，会在两个墙脚的位置分别固定一根木杆，然后拉一条直的参照线；现象2，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短．对于这两个现象的解释： ． 【答案】两点确定一条直线；两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的应用，两点确定一条直线的应用，理解两点之间线段最短及两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：现象1的解释是两点确定一条直线， 现象2的解释是两点之间线段最短； 故答案为：两点确定一条直线；两点之间线段最短． 变式2.下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【分析】本题考查两点之间线段最短；逐项判断各现象是否基于该事实． 【详解】解： A、木匠弹墨线基于“两点确定一条直线”，不符合题意； B、打靶瞄准基于“两点确定一条直线”，不符合题意； C、弯曲公路改直是为了缩短距离，基于“两点之间线段最短”，符合题意， D、拉绳插秧基于“两点确定一条直线”，不符合题意； 故选：C． 变式3.固定一根木条至少需要两根铁钉，这是根据 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是两点确定一条直线，固定木条需要防止其移动或旋转，根据几何公理，两点确定一条直线，因此至少需要两个点（铁钉）来固定． 【详解】解：在几何中，根据两点确定一条直线表明，要唯一确定一条直线的位置，至少需要两个点．固定木条时，如果只使用一根铁钉，木条可以绕该点旋转，无法固定；使用两根铁钉，则能确定木条的位置，防止移动和旋转． 故答案为：两点确定一条直线 【考点7 角的表示方法】 例7. 如图，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，根据角的表示方法，结合图形判断即可． 【详解】解：A、选项中的图中、、表示的是同一个角，符合题意； B、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； C、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； D、选项中、表示的是同一个角，顶点B处不止一个角，该处的任意一个角都不能用表示，不符合题意； 故选：A． 变式1.如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【答案】 B BAD ACB 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，准确识图，解决问题的关键是熟练掌握角的表示方法． 变式2.下列各选项表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据角的表示方法，判断哪个选项中的角能正确表示，即角的顶点为B，两条边分别为和． 【详解】角的表示方法中，用三个大写字母表示角时，顶点字母要写在中间 A、角的顶点是，表示的是，不是，所以A错误； B、角的顶点不是，不能表示，所以B错误； C、角的顶点是，两条边分别是和，能表示，所以C正确，符合题意； D、角的顶点不是，不能表示，所以错误． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法，掌握用三个大写字母表示角时，顶点字母要写在中间，根据顶点和边的情况判断角的表示是否正确是解题的关键． 变式3.（1）如图①，我们可以将角表示为 或 或 ． （2）如图②，共有 个角，它们分别是 ． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了角的相关概念，熟练掌握角的相关定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据角的表示方法并结合图形即可得解； （2）根据图形并结合角的相关定义即可得解． 【详解】解：（1）由图①可得，我们可以将角表示为或或， 故答案为：，，； （2）由图②可得，共有3个角，它们分别是，，， 故答案为：3；，，． 【考点8 方位角、钟面角】 例8. 故宫在人民大会堂的北偏东方向上，那么人民大会堂在故宫的（    ）方向上 A．东偏北 B．东偏北 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，根据方向的相对性，若点A在点B的北偏东方向，则点B在点A的南偏西方向，且角度不变，据此求解即可． 【详解】解：∵故宫在人民大会堂的北偏东方向上， ∴人民大会堂在故宫的南偏西方向上， 故选：C． 变式1.如图，钟面上的时间是，则时针与分针的夹角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，计算某一时刻时针和分针之间所成的角度，理解时针和分针运动规律是解题的关键．钟表一圈为，被分成12个大格，每个大格对应的圆心角为，分针走60分钟转一圈，时针转1个大格，以此规律计算即可． 【详解】解：时，分针正好指向6，即时针从12点方向到6点方向，分针转动了30分钟，此时时针转动了半个大格， 所以时针和分针的夹角为． 故答案为：． 变式2.钟表在9时20分时，时针与分针所成的夹角为 度． 【答案】160 【分析】本题考查了钟面角，首先求出时针每分钟移动度，然后计算9时20分时时针和分针的位置，再求夹角． 【详解】∵钟表一圈为360度，平均分为12部分， ∴每部分为度， ∴时针每分钟移动度， ∵9时整，时针在数字9处，分针在数字12处， ∴9时20分时，时针转过的角度为度，此时分针在数字4处， ∴时针与分针所成的夹角为度． 故答案为：160． 变式3.海面上有、两个灯塔，已知灯塔位于的北偏东方向，那么灯塔位于灯塔的 ． 【答案】 南偏西 【分析】本题考查了方位角，正确掌握两点间方位角的特点是解题的关键． 根据两点间方位角相反、角度相等即可得到答案． 【详解】解：已知灯塔位于灯塔的北偏东方向，根据方位角的相对性：方向相反（北对应南，东对应西）、角度相等，因此灯塔位于灯塔的南偏西方向． 故答案为：南偏西． 【考点9 求一个角的余角、补角】 例9. 一个锐角是，它的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求余角，根据余角的定义，互为余角的两角之和为，因此用减去已知角即可得出余角． 【详解】解：∵余角，， ∴． 故余角为， 故选D． 变式1.已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数和补角的度数，度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为，的补角为 故答案为：；． 变式2.已知． (1)求的余角的度数和的补角的度数． (2)求的余角的补角的度数． 【答案】(1)余角：，补角： (2) 【分析】本题主要考查的是余角和补角的知识点，两个角互余，则两角相加为，两个角互补，则两角相加为． （1）根据余角和补角的定义，余角为减去已知角，补角为减去已知角计算即可． （2）用减去计算即可． 【详解】（1）解：的余角； 的补角． （2）解：的余角的补角． 变式3.若，则的余角是 ，补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角的定义，解题的关键是掌握此知识点；根据余角和补角的定义，余角为减去已知角，补角为减去已知角，计算时需注意度分单位的换算，． 【详解】已知 余角计算： 补角计算： 故答案为和． 【考点10 尺规作线段或角】 例10. 如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求作图． (1)连接，作射线； (2)用圆规在的延长线上截取； (3)在直线l上找一点E，使得最小，你的作图依据：___________． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解，两点之间，线段最短 【分析】本题考查了射线、线段的作图及线段公理的应用，通过尺规作图完成相应的作图要求，并依据线段公理确定使线段和最小的点． （1）连接B，C两点，得到线段，再以点A为端点，向B的方向画出射线即可； （2）以点C为圆心，长为半径画弧，与的延长线交于点D，则； （3）连接，与直线l的交点即为点E，依据是两点之间，线段最短，此时，为最短路径． 【详解】（1）解：如图，线段，射线为所求． （2）解：如图，线段为所求． （3）解：如图，点E为所求．作图依据为：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 变式1.如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句利用无刻度直尺和圆规画图： (1)画直线，射线，线段； (2)在射线上取一点不与点重合，使； (3)在直线上找一点，使线段与线段之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握两点之间线段最短及直线、射线、线段的概念是解题的关键． （1）根据直线、射线、线段的概念可直接进行作图； （2）根据作线段等于已知线段的方法，在射线上取一点，使； （3）根据两点之间线段最短，连接交于点，可直接进行作图． 【详解】（1）解：直线，射线，线段如图所示， （2）解：如图所示，点即为所求， （3）解：如图所示，点即为所求 变式2.已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【答案】见解析 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 【详解】解：如图，为所求． 变式3.画图，说理题 如图，已知四个点A、B、C、D； (1)画射线； (2)画线段； (3)画； (4)画出一点P，使P到点A、B、C、D的距离之和最小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）过画射线即可． （2）连接B和C即可． （3）分别以C为顶点画射线、即可． （4）连接，与的交点就是P点位置，根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在与的交点处． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示； （3）如图所示； （4）P点即为所求， 根据线段的性质：两点之间，线段距离最短； 结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使他在与的交点处． 【点睛】本题考查了射线，线段的性质：两点之间，线段距离最短．要求学生能灵活应用所学的知识，解决实际问题． 【考点11 与线段及线段中点有关的计算】 例11. 线段，线段，点M是的中点，在上取一点N，点N为线段的三等分点，求线段的长为 ． 【答案】或13 【分析】本题主要考查线段中点的性质，线段和差的数量关系；根据点是中点，可得的值，根据点N为线段的三等分点分两种情况求解得的值，进而根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 又∵点N为线段的三等分点，， 当点N靠近点C的三等分点时，， 此时， 当点N靠近点B的三等分点时，， ∴， 故答案为：或13． 变式1.已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，根据点E是的中点，可得出，由可计算出长，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或 变式2.几何图形计算：如图，已知线段，点N是上一点，，点N是的中点，点M是的中点，求线段的长度（要求：写出推理过程）． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差关系．根据题意得到的长，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中点， ∴ ∵M是中点， ∴ ∴． 变式3.如图，已知线段和线段． (1)用直尺和圆规在线段上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若点是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—线段的倍数，线段中点的性质，线段的和差等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的倍数进行尺规作图即可； （2）根据线段的中点性质以及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，点即为所求； （2）解：如图2． 因为点是的中点，， 所以． 因为，， 所以． 所以． 【考点12 与余角、补角有关的计算】 例12. 如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是， ∴这个角的补角度数是． 故选：C． 变式1.如图，是直线，O是上一点，，，平分．图中与互余的角有哪些，与互补的角有哪些?为什么? 【答案】与互余的角有；与互补的角 【分析】本题考查了互余和互补的定义，角平分线的定义，解题的关键是正确“相加等于90度的两个角互余，相加等于180度的两个角互补”． 由得到，以及角平分线得到，即可得到与互余的角；由，，且，即可得到与互补的角． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互余， ∵平分， ∴， ∴与互余； ∵，，且， ∴与互补的角． 变式2.如图，点O在直线上，是的平分线，是的平分线，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算问题，涉及平角的定义、角平分线的定义，解题的关键是熟知平角及角平分线的定义并掌握角度的运算法则． 先根据角平分线的定义及平角的定义求出，再由与互余即可解答． 【详解】解：是的平分线，是的平分线， ， ， ， 即； ， ， ． 变式3.如图，为直线上一点，与互补，、分别是、的平分线． (1)根据题意，补全下列说理过程： 因为与互补 所以______ 又因为______ 所以____________．根据______________________________． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，，，，同角的补角相等； (2)． 【分析】本题考查了补角的定义和角平分线的定义，解题关键是熟练运用相关知识建立角之间的联系． （1）由题意可得，，可以根据同角的补角相等得到； （2）首先根据角平分线的性质可得，然后计算出，进而得到． 【详解】（1）解：与互补， ， ， ,根据同角的补角相等； （2）是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ． 【考点13 与角平分线有关的计算问题】 例13. 如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义求出，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 变式1.如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分；理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ()由角平分线的定义，得到的度数； ()根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； ()由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 变式2.如图，已知与互余，与互补，平分．如果，试求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了余角、补角的相关计算，角平分线定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据余角、补角的定义求出与，再结合角平分线定义求解，即可解题． 【详解】解： 与互补，， ， 与互余， ， ， 平分， ， 综上所述．． 变式3.如图，与互为补角，与互为余角． (1)若，求的度数． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题使用“互余的两个角和为，互补的两个角和为”，结合角平分线将角分成两个相等的部分，进行求解． 【详解】解：因为与互为补角，与互为余角， 所以． （1）因为，所以． 故答案为：． （2）因为，所以，所以， 所以． 又因为平分，所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角、补角的定义以及角平分线的性质，解题关键是熟练掌握“互余的两个角和为，互补的两个角和为”并能结合角平分线的性质进行角度的计算． 【考点14 几何图形中动角探究问题】 例14. 已知O为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则________；若，则________；与的数量关系为_________． (2)在图2中，若，在的内部是否存在一条射线，使得与的和等于与的差的三分之一？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由 (3)当射线绕点O顺时针旋转到如图3的位置时，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由，若不成立，求出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义及确定图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）由直角三角形的性质求得的度数，再平分，求得的度数，从而求得的度数；若，则，由角平分线的定义求得，从而求得的度数，进而求得； （2）由，，求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，再由平角的定义求得的度数，再代入求解即可； （3）设，则，，由角平分线的定义求得，从而求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∴， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 设，则，， ∵平分， ∴， ∴， 即． 变式1.如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1中，______，______； (2)将图1中的三角板绕点O按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时______； (3)继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则______； (4)上述三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，观察三角板边的运动情况．若绕点O按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，绕点O运动时间为______秒，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键． （1）根据，，即可求得和的度数； （2）根据题意，利用，即可解答； （3）表示出，，作差即可； （4）分类讨论，即当绕点O顺时针旋转时或当绕点O逆时针旋转时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：；； （2）解：在图2中，， ， 故答案为：； （3）解：在图3中，， ， ， 故答案为：； （4）解：或，理由如下： 如图， ， 当恰好为的平分线时，， ， 当绕点O顺时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 当绕点O逆时针旋转时，旋转的角度为， 秒， 故答案为：或． 变式2.综合探究：在数学研究中，计算观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．如图1，是直线上的一点，平分．数学兴趣小组小明和小强在活动中，通过不断探究发现： 【观察计算】（1）如图1，当，求的度数； 【类比猜想】（2）在图1中，当，试猜想的度数（用含的代数式表示），并证明你的猜想； 【拓展探究】（3）在（2）的基础上，将绕着顶点顺时针旋转，使得的两条边中至少有一条边在直线的下方，探究和之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或，见解析 【分析】本题考查角平分线定义，角的计算，关键是由平分线的定义，角的和差表示出有关的角． （1）先求出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （2）先表示出，由角平分线的定义可得，然后根据即可求解； （3）由角平分线定义，得到，由，分三种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：，理由如下： 当在直线的下方，在直线上方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ． 当在直线的下方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即； 当在直线的上方，在直线下方时， 如图， 平分， ， ， ， ， ∴ ， 即. 变式3.如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则________： (2)从图2中的位置绕点O逆时针旋转（），求的度数； (3)从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中a为正整数），直接写出所有使的n值． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)n的值为50或70 【分析】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）当时，，，，然后利用算得答案； （3）从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，②当时③当时，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，在内，在内，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴（舍去）； 综上所述：的值为50或70． 一、单选题 1．某轮船在O处，测得灯塔A在北偏东的方向上，测得灯塔在南偏东的方向上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角的概念，掌握方向角的定义是解题的关键．方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可求解． 【详解】解：∵轮船在O处，测得灯塔A在北偏东35的方向上，测得灯塔B在南偏东的方向上， ∴． 故选：B． 2．若，则它的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，度数之和为90度的两个角互余，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数是， 故选：A． 3．如图，当平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是（点、、的对应点分别是点、、），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影下图形的性质是解决本题的关键． 由题意得与是位似图形，求出位似比即可求解． 【详解】解：由平行投影可知和是位似图形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4．当时钟指向上午时，时针与分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的度量，掌握角的度数计算是关键．通过计算时针和分针在时的角度位置，求差并取最小夹角． 【详解】解：∵钟面，时针每小时移，每分钟移，分针每分钟移， 在时， 时针角度：， 分针角度：， ∴两针夹角为， 因， 故最小夹角为． 故选：C． 5．如图所示，，且与关系为（    ） A．和为 B．和为 C．互余 D．互补 【答案】C 【分析】本题考查了余角与补角，先根据图形得出，则求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：由图知：， ∴， ∴ ， ∴， ∴与关系为互余， 故选：C． 6．如图，点C是线段的中点，，点D在线段上，且，则线段的长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质得到线段长度，再通过和差求目标线段． 由中点得，再用计算长度． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴ 又∵， ∴． 故选：C． 7．如图是正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，“岳”字一面的相对面上的字是（   ） A．阳 B．楼 C．风 D．景 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正确记忆正方体的空间图形，从相对面入手是解题关键．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “岳”字一面相对面上的字是“风”． 故选：C． 8．如图，该几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可． 【详解】 解：该几何体的左视图是， 故选：D． 9．下列几何体中，有6个面的有（    ） a．长方体；b．圆柱；c．四棱柱；d．正方体；e．三棱柱． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的基本特征． 判断各几何体的面数是否符合6个面的条件． 【详解】长方体有6个矩形面，正确； 圆柱有2个圆形底面和1个曲面，共3个面，错误； 四棱柱有上下底面为四边形，4个侧面，共6个面，正确； 正方体有6个正方形面，正确； 三棱柱有2个三角形底面和3个侧面，共5个面，错误； 综上，符合条件的有a、c、d，共3个， 故选：C． 10．如图，点A、O、B在同一直线上，平分，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，解题的关键是根据角平分线找出角的等量关系． 由平角定义得，计算，然后利用角平分线定义即可解答． 【详解】解：因为点A、O、B在同一直线上， 所以是平角，即． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 故选：A． 二、填空题 11．射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，根据两点确定一条直线进行判断即可． 【详解】解：在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 12．如图，线段上有、两点，则图中共有线段 条． 【答案】 【分析】本题考查线段的定义，查找线段数目是按一定顺序，做到不重不漏． 根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数． 【详解】解：图中线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段共6条． 故答案为：． 13．下列四种说法中，两点确定一条直线；等角的补角相等； ；A在B的东南方向，则B在A的西北方向．正确的说法共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查几何基本公理、补角的性质、度分秒换算、方向的相对性． 逐一判断四个说法的正误，统计正确说法的数量． 【详解】解：①：两点确定一条直线，这是几何基本公理，正确； ②：设，则的补角为的补角为，因为，所以补角相等，正确； ③：因为，所以，因此，错误； ④：方向具有相对性，东南与西北相对，若在的东南方向，则在的西北方向，正确． 综上，正确的说法有3个． 故答案为：3． 14．如图，在中，是直角，，射线平分，射线平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据题意，由是直角，结合，可求得，再根据角平分线的意义得出，，再根据求解． 【详解】解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15．用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 【答案】 【分析】本题考查几何体的截面，根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 本题考查了几何体的截面，熟练掌握几何体的截面形状是解题的关键． 【详解】解：圆锥不可能得到长方形截面， ∴能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有3个， 故答案为：3． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了角度的和差计算，度分秒的换算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义求得，即可求出； （2）根据平角和余角的性质可得，从而求解． 【详解】（1）解： ，平分， ， ． （2）解：平分． 理由如下： ，， ． 又 ， ，即平分． 18．综合与探究 问题情境 数学课上，老师和同学们以具有公共顶点的两个直角为背景，探究有关角的问题．如图1，，射线在的内部，射线在的内部． 特例分析 （1）若，则的度数为 ． 规律探究 （2）若，求的度数． 拓展延伸 （3）在图1的基础上，作射线平分，平分，得到图2． ①若，则的度数为 ． ②若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先求出的度数，再利用求出的度数即可； （2）同（1）计算即可； （3）①先分别求出，的度数，进一步求出，的度数，再利用，求解即可； ②同法①，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $