专题10 角的和与差及角平分线问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10角的和与差及角平分线问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、角的和与差的计算问题 类型二、角中单条角平分线的计算问题 类型三、角中双条角平分线的计算问题 类型四、角中多条角平分线的计算问题 类型五、与余角、补角有关的计算问题 压轴专练 典例详解 类型一、角的和与差的计算问题 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2：∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1 ∠AOB-∠2. 例1.(24-25七年级下·湖南湘西开学考试)若∠A0B=90°，∠B0C-30°，则∠A0C的度数是 【变式1-1】(24-25七年级上辽宁盘锦期末)己知LA0B=90°，LA0B:LA0C=3:2,则∠B0C的度数 为 【变式1-2】(2024七年级上全国·专题练习)以∠A0B的顶点0为端点引射线0C,使 LA0C:LB0C=5:4.若∠AOB=15°，求∠A0C的度数. 【变式1-3】(24-25六年级下·山东泰安阶段练习)如图，己知∠A0B=120°，射线0C是∠A0B内部的一 条射线，且∠AOC:∠B0C=1:2. 1/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A (1)求∠A0C的度数： (2)若过点0作射线0D,使∠A0D=?∠A0B,求∠C0D的度数. 类型二、角中单条角平分线的计算问题 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是∠AOB 的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC青∠AOB. y C 2 B 例2.(24-25七年级上·全国期末)如图，已知∠A0B=120°，0C是∠A0B内的一条射线，且 ∠AOC:∠BOC=1:2. O y (1)求∠A0C的度数： ②过点0作射线0D,者∠40D=408,求∠c0D的度数， 【变式2-1】(23-24七年级上广东期末)己知：如图，0是直线AB上的一点，∠C0D=90°，OE平分 ∠BOC. E D 2/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠A0C=30°，求LC0E的度数： (②)若∠A0C=a,求∠D0E的度数（用含a的代数式表示）. 【变式2-2】(24-25七年级上全国期末)已知O是直线AB上一点，∠C0D是直角，OE平分∠B0C. H ① ② (1)如图①所示，若∠A0C=60°，则∠D0E的度数为 ;若∠AOC=a,则∠D0E的度数为 (用 含a的式子表示)： (2)将图①中的∠D0C绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究∠DOE和LAOC度数之间的关系，并说明理由. 【变式2-3】(24-25七年级上江苏苏州期末)点0为直线AB上一点，在直线AB上方作射线0C,使 ∠B0C=50°，直角三角板DOE的直角顶点放在O处.将直角三角板DOE绕点0转动，在转动过程中，直 角边OE始终保持在直线AB上或上方， B 0 图1 图2 备用图 (I)如图1，若三角板D0E的直角边OE在射线OA上，则∠C0D=°； (2)绕点0转动三角板D0E, ①如图2，当OE恰好平分∠AOC时，试说明OD平分∠B0C; ②在转动过程中，试探究∠COE与∠BOD之间的数量关系，并给出证明. 类型三、角中双条角平分线的计算问题 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），己知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 3/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 1)双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC; 结论：∠D0E=)∠4OC 证明：，OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC, ∠D0B+∠B0E-408+0c-A0C 1 2 .∠DOE=∠AOC。 2)双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，己知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC; 结论：2D0E=40c 证明：，'OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC, ∴∠DOB=∠AOB,∠BOE=1∠BOC, ∴.∠BOE-∠DOB= L∠B0C- AOB=∠A0c, 2 ∴.∠DOE= 2<A0c。 例3.(24-25七年级下·贵州贵阳·期中)如图，已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分 ∠C0B,∠A0D:∠D0E=4:1. D B F (1)试说明：0E10F; 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求LA0F的度数. 【变式3-1】(24-25七年级上·河南洛阳期末)如图所示，∠A0B=90°，0M是∠A0C的平分线，ON是 ∠BOC的平分线. M B (1)求∠MON的度数； (2)如果LA0B=100°，那么∠MON等于多少？ (3)如果∠AOB=a,那么∠MON等于多少呢？ 【变式3-2】(23-24七年级上·福建漳州期末)点O为直线MW上一点，在直线MN同侧作射线OA、OB, 使得∠A0B=90°. M 0 图1 图2 备用图 (1)如图1，过点O作射线0C,若0C平分∠MOB,且∠A0C=20°，求∠B0N的度数； (2)如图2，过点O作射线0C、0D,若0C平分∠AOM,0D平分∠A0B,且∠C0D=78°，求∠B0N的 度数： (3)过点O作射线0C,当OA恰好为∠C0M的平分线时，另作射线0D,使得0D平分∠A0B,当 ∠COD=a时，求∠BON的度数（用含的代数式表示）. 【变式3-3】(24-25七年级上全国期末)在∠A0B内部作射线0C,0D,0A在OB的右侧，且 ∠A0B=2∠C0D. D 图1 图2 (1)如图1，若∠AOB=140°，OE平分∠AOD,OF平分∠B0C,则LE0F=-; (2)如图2，OE平分∠BOD，,探究∠AOD与∠C0E之间的数量关系，并证明； 5/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)设∠COD=m°，OC在0D的左侧，过点O作射线OE,使0C为LB0E的平分线，再作∠COD的平分线 OF,若LCOE=2LEOF，画出相应的图形并求出∠B0E的度数.（用含m的式子表示） 类型四、角中多条角平分线的计算问题 Az As M Bs B2 B B 条件：如图，∠AOB=,OA、OB分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA、OB2分别是∠A,OM和 ∠MOB,的平分线，OA、OB,分别是∠AOM和∠MOB2的平分线，，OAn,OBn分别是∠An-OM和 ∠M0B.的平分线：结论：AOB,-是 证明：∠AOB=a,OAOB,分别是∠AOM和∠MOB的平分线， 40M-40M,∠oM-B0w. ∠40a-1oN+B0n-=408=a, :OA2、OB2分别是∠A,OM和∠MOB,的平分线， ∠4oM=号40M,∠B,oM=<BoM. ∠408，-A0w+∠a0w)-40a-408=号 23, :OA、OB,分别是∠A,OM和∠MOB2的平分线， ∠AoM-AoM,∠BoM-BoM, 408uA0w+8on)=片40a=408-宁408 23，, 由此规律特：∠AO8,号。 例4.(24-25七年级下·重庆开学考试)如图1，已知LA0B=120°，∠C0D=60°，0M在∠A0C内，ON 车∠B0D肉，∠A0M-兮40C,∠B0N-写B0D.(本题中所有角均大于0P且小于等于I80°) 6/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B(C) M M N O D D 图1 图2 (I)LC0D从图1中的位置绕点0逆时针旋转到0C与OB重合时，如图2，则∠MON=; (2)LC0D从图2中的位置绕点0顺时针旋转n°(0<n<180且n≠60a,其中a为正整数)，直接写出所有使 ∠M0N=2∠B0C的n值. 【变式4-1】(24-25七年级上江西上饶期末)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射 线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条.例如：如图①，若∠B0C=2∠A0C,则0C是 ∠AOB的一条三分线. B A 图① 图② (1)已知：如图①，0C是∠A0B的一条三分线，且LB0C>LA0C,若LA0B=60°，求∠A0C的度数； (2)已知：∠A0B=90°，如图②，若OC,OD是∠A0B的两条三分线，求∠C0D的度数. 【变式4-2】(24-25七年级上·四川成都期末)若同一平面内三条射线0A、0B、0C有公共端点，且满足 LA0C)∠B0C时，我们称0C是(04,0B)的“新风尚线”，但0C不是(0B,0A)的“新风尚线页 果∠A0C=B0C或者∠B0C=∠10C,我们称0C是01和08的r新风尚线： G M 0 B 图(1) 图(2) (1)如图(1)，己知LG0N=120°，∠M0N=60°，0E、0F是∠M0N的三等分线，则射线_是(0M,0N) 的“新风尚线”； (2)如图(2)，若∠A0B=30°，0C是(0A,0B)的“新风尚线”，求∠B0C. 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、与余角、补角有关的计算问题 1.记住定义，用好公式 两个角加起来等于90°，它们互为余角。 两个角加起来等于180°，它们互为补角。 遇到”一个角的余角”或”补角”时，直接用90°或180°减去这个角即可。 2.善用方程，解决复杂问题 当问题涉及多个角的关系时，设未知数是最佳策略。 通常设“这个角”为x°，然后根据题意列出方程。 例如：”一个角的补角比它的余角大多少度？” 列出算式：(180-x)-(90-x)=90,轻松求解。 3.利用性质，简化计算 记住一个重要性质：等角或同角的余角相等，补角也相等。 例如：如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3。 这个性质能帮你绕开复杂计算，直接得出角相等的结论。 例5.(24-25七年级上吉林期末)已知一个角的余角比这个角小18°，求这个角的补角. 【变式5-1】(24-25七年级上湖南常德期末)如图，已知点0是直线AB上一点，∠B0C=100°， ∠C0D=90°，0M平分∠A0C. M D (①)求∠MOD的度数： (2)若∠C0P与LC0M互余，求LCOP的度数. 7.(24-25七年级上·云南昆明·期末)如图，在∠A0B的内部作射线0C,使∠A0C与∠A0B互补，将射 线OA,0C同时绕点O分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA,0C分别记 为0M,ON,设旋转时间为t秒，己知t<30,∠AOB=114° 8/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M (1)LA0C=°； (2)在旋转的过程中，当∠C0M与∠BON互余时，求t的值. 8.(24-25七年级上湖南长沙期末)如图，∠A0C与∠B0C互为补角，∠B0C与∠B0D互为余角. B D (1)若∠B0D=2025',求∠B0C的大小： (2)若LB0C=4LB0D. ①求∠BOD的度数； ②如果OE平分∠AOC,求∠B0E的度数. 压轴专练 一、单选题 1.(2425六年级下山东威海期末)若∠ABC=60,∠DBC=∠ABC,则∠ABD=（) A.90° B.30° C.90°或30° D.无法确定 2.(2025广东韶关二模)如题，使用剪刀时会张开一定的角度，已知∠ABC=32°，BD平分∠ABC,则 ∠ABD的度数是() D A.140 B.15 C.16° D.32 3.(24-25七年级上四川资阳开学考试)如图，∠A0D=50°，过点0在角内部引一射线0C,OB是 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AOC的平分线，若LC0D=20°，则∠B0D=() C B A.25° B.30° C.35 D.40° 4.(24-25七年级上·广东广州期末)如图，已知0为直线AB上一点，过点0向直线AB上方引三条射线 OC,OD,0E,且0C平分∠A0D,∠B0E=3∠D0E,∠C0E=70°，则∠B0E的度数为() D 4K2 A.30° B.45° C.50° D.60° 5.(22-23七年级上·浙江湖州期末)定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线0C,把∠AOB 分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线 OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x,则∠MON用含x的代数式表示为() 4. 或3x或2，B.或3r或9r 4 4 。、9x或9x或9xD,3r或)x或9xr 二、填空题 6.(24-25七年级上江苏无锡阶段练习)已知射线0C为∠A0B的角平分线，LA0C=40°，则LA0B=一， 7.(24-25七年级上江苏无锡阶段练习)已知LA0B=3LB0C,若∠B0C=20°，则∠A0C等 于 8.(24-25七年级上·浙江绍兴·期末)定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角 的三等分线.如图，已知∠AOB=120°，∠B0C=30°，若OM为∠AOB的三等分线，则∠MOC的度数 为」 A B 9.(24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔期末)如图，在一副直角三角板中，∠A=60°，∠D=45°，在同一平 10/13 专题10 角的和与差及角平分线问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、角的和与差的计算问题 类型二、角中单条角平分线的计算问题 类型三、角中双条角平分线的计算问题 类型四、角中多条角平分线的计算问题 类型五、与余角、补角有关的计算问题 压轴专练 类型一、角的和与差的计算问题 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 例1．（24-25七年级下·湖南湘西·开学考试）若，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的和与差．分两种情况：若在的内部；若在的外部，解答即可． 【详解】解：若在的内部， ∵ ∴； 若在的外部， ∵ ∴； 综上所述，的度数是或． 故答案为：或 【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的和差，解题的关键是采用分类讨论的数学思想． 先根据比值求出的度数，再分情况求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，； ∴的度数为或， 故答案为：或． 【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）以的顶点为端点引射线，使．若，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算．属于基础题，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分射线在的内部和外部两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况：①如图1，当射线在的内部时， ∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②如图2，当射线在的外部时， ∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【变式1-3】（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）如图，已知，射线是内部的一条射线，且．    (1)求的度数； (2)若过点作射线，使，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）利用角的和的关系，设未知数求解的度数． （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：设， 又，即 ； （2）解：， 情况一：当射线在内部时，如图，   ， 情况二：当射线在外部时，如图，   ， 综上，的度数为或． 类型二、角中单条角平分线的计算问题 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 例2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求的度数； (2)过点O作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） 解：∵， ∴， 当在内时， ， 当在外时， ． ∴的度数为或． 【变式2-1】（23-24七年级上·广东·期末）已知：如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识． （1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数； （2）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再由减去就是的度数． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图①所示，若，则的度数为________；若，则的度数为______（用含a的式子表示）； (2)将图①中的绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究和度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由：见解答过程 【分析】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据即可求解；解法与（1）相同，把（1）中的改成a即可； （2）把的度数作为已知量，求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，再根据求得，即可解决． 【详解】（1）解：∵， ， 又 ∵平分， ， 又 ∵， ； 若，同理； 故答案为：；； （2）解：，理由如下： ，平分， ， ∴ ． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【分析】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型三、角中双条角平分线的计算问题 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 例3．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图所示，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果，那么等于多少？ (3)如果，那么等于多少呢？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线定义可知，，再根据计算，即得答案； （2）根据，，求出结果即可； （3）根据，，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ，， ， ∵， ． （2）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴； （3）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴． 【变式3-2】（23-24七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）解：①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）在内部作射线在的右侧，且． (1)如图1，若平分平分，则 ； (2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示） 【答案】(1)105° (2) (3)画图见解析， 【分析】本题考查了角的平分线的性质、角的和差运算及几何探究问题，解题的关键是通过设未知数表示相关角的度数，结合角平分线定义和已知条件建立等量关系求解． （1）由的度数得的度数，设和的度数，结合角的和差得两角之和；利用角平分线性质表示相关角，进而通过和差计算的度数． （2）设和的度数，再设和的度数，由角的和差得关系；结合角平分线定义表示，通过和差推出与的数量关系并证明． （3）设的度数，结合角平分线定义表示和的度数；分的两种位置情况，根据建立方程，求解得的度数． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． 设， ∵、、、顺时针顺次排列， ∴，即， ∴． ∵平分平分， ． 故答案为：． （2）解：，证明如下： 设，则． 设， ∵， ∴，即． ∵平分，且， ． ∵， ． 又， ∴， ， ∴，即． （3）解：∵为的平分线， ∴设，则． ∵为的平分线，， ． 分两种情况： ①当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ②当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴此时点A、E、D三点重合，不符合题意． 综上，． 类型四、角中多条角平分线的计算问题 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 例4．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 【变式4-1】（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 【变式4-2】（24-25七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 类型五、与余角、补角有关的计算问题 1.记住定义，用好公式 - 两个角加起来等于 90°，它们互为余角。 - 两个角加起来等于 180°，它们互为补角。 - 遇到"一个角的余角"或"补角"时，直接用 90° 或 180° 减去这个角即可。 2.善用方程，解决复杂问题 - 当问题涉及多个角的关系时，设未知数是最佳策略。 - 通常设"这个角"为 x°，然后根据题意列出方程。 - 例如："一个角的补角比它的余角大多少度？" - 列出算式： (180 - x) - (90 - x) = 90 ，轻松求解。 3.利用性质，简化计算 - 记住一个重要性质：等角或同角的余角相等，补角也相等。 - 例如：如果∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，那么∠2 = ∠3。 - 这个性质能帮你绕开复杂计算，直接得出角相等的结论。 例5．（24-25七年级上·吉林·期末）已知一个角的余角比这个角小，求这个角的补角． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，一元一次方程的应用，理解余角和补角的概念是解题关键．设这个角的度数为，根据题意列方程，求出，再求补角即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 则， 解得：， 则这个角的补角为． 【变式5-1】（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义求出，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点O分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为t秒，已知． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当与互余时，求t的值． 【答案】(1) (2)当与互余时，t的值是秒或秒 【分析】本题考查了补角的定义，角的和差，一元一次方程的应用及分类讨论的数学思想．熟记补角的定义是解（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键． （1）利用互补的定义列式计算； （2）分两种情况：利用，列方程解出即可． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴． ∵， ∴． （2）解：当时，射线在内部，射线在内部， 由题意得， 解得：； 当时，射线在外部，射线在外部， 由题意得， 解得：． 综上所述，当与互余时，的值为或． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，与互为补角，与互为余角． (1)若，求的大小； (2)若． ①求的度数； ②如果平分，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角与补角等知识，解题的关键是： （1）根据余角的定义求解即可； （2）①根据余角的定义求解即可；②先根据补角的定义求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：因为与互余，， 所以； （2）解：①因为与互为余角，所以. 因为，所以，即.       ②由①       因为与互为补角，所以. 所以. 因为平分，所以.       所以. 一、单选题 1．（24-25六年级下·山东威海·期末）若，则（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查角的运算，掌握角的和差运算是解题的关键，注意要分类讨论． 根据题意，先求出，再分两种情况：①当点D在内部时，②当点D在外部，分别根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 分两种情况：①当点D在内部时，如图1． 则； ②当点D在外部（如图2）． 则． 综上，或， 故选：C． 2．（2025·广东韶关·二模）如题，使用剪刀时会张开一定的角度，已知，平分，则的度数是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义得出即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级上·四川资阳·开学考试）如图，，过点在角内部引一射线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的定义． 利用角的和差求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，已知为直线上一点， 过点向直线上方引三条射线，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义．设，则，根据角平分线的定义得到，再由，可建立方程，求出x的值即可得到答案． 【详解】解：设，则． ∵平分， ∴． ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． 故选：D． 5．（22-23七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 二、填空题 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知射线为的角平分线，，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题可根据角平分线的定义来求解的度数．角平分线是将一个角分成两个相等的角的射线，已知射线为的角平分线，那么的度数就是度数的倍．本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线将一个角分成两个相等的角这一性质是解题的关键． 【详解】解：∵射线为的角平分线， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，若，则等于 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当在内部；②当在外部，分别求得的度数即可．本题考查了角的计算，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：①当在内部时，如图， ∵，， ∴， ∴； ②当在外部时， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在一副直角三角板中，，，在同一平面内，将和的顶点重合、边和边重合，可以得到，则的度数为 °． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角板中角的计算，分两种情况画出图形，根据三角板中角度的大小进行计算即可． 【详解】解：点B在下方时，如图所示： ； 点B在上方时，如图所示： ； 故答案为：或． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，在内部顺次有一组射线，，…，，满足，，，…，．若，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形规律探索，角的计算，根据，得出，求出，，，，得出一般规律即可． 【详解】∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 三、解答题 11．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，直线，相交于点O，平分，平分．与有何位置关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，再利用平角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：．理由如下： 因为平分， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以． 12．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，点在直线上，． (1)若平分，，则________． (2)若为锐角，，请说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据垂直的定义和，可得，再根据角平分线的定义求出，最后根据，即可求解； （2）由垂直的定义可得：，由平角的定义可得，结合，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 13．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，于是得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）（1）如图1，已知，是的角平分线，当时，求的度数； （2）如图2，已知，，时，求的度数； （3）如图3，当，，且时，请直接用含有，，n的式子表示的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了几何图中角的计算，角平分线的有关计算，正确运用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据、求解得出，再根据角的和差关系即可得出． （3）仿照（2）的解题步骤求解即可； 【详解】解：（1）∵，OE是∠AOC的角平分线，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分． （1）若，求； （2）若，，则________； （3）若，猜想出与的关系________． 【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）；（3）；【拓展提问】图2：；图3： 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和与差，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，即可求解； 【拓展提问】根据角平分线的定义以及角的和与差解答即可． 【详解】解：（1）∵，平分，平分， ∴， ∴； （2）∵，，平分，平分， ∴， ∴； 故答案为：； （3）平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【拓展提问】如图2， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25六年级下·山东烟台·期末）生活中的折纸活动蕴含着丰富的数学知识，让我们一起体会一下其中的奥秘． 【折一折】如图1，将画有的纸片折叠，使边都落在角平分线上，展开得折痕，． （1）若，则___________°； 【变一变】将画有的纸片折叠，使边落在的位置，使边落在的位置上，展开后分别得折痕，如图2或者图3． （2）在图2中，若，，求的度数； （3）在图3中，若，，请用含的代数式表示直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查翻折的性质，角的计算，解题的关键是掌握角的和差倍分的计算． （1）由折叠可得：，，即可得； （2）先求出，由折叠可得：，，故，从而由求解； （3）先求出，由折叠可得：，，故，从而由求解即可． 【详解】解：（1）如图： 由折叠可得：，， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：29； （2）如图： ∵，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）如图： ∵，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∴的度数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $