专题01 有理数、有理数的运算（寒假复习讲义）七年级数学新教材浙教版

专题01 有理数、有理数的运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：从自然数到有理数 1. 数的发展：自然数（0,1,2,3,...）是人类最早认识的数，用于计数和排序。随着社会发展，为表示“没有”“相反意义的量”等，引入了负数。 2. 相反意义的量：具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降等，可用正数和负数表示。规定其中一种意义的量为正，则另一种为负。例如，规定向东为正，则向西为负。 3. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也是有理数。 知识点2 ：数轴 1. 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。原点是表示0的点；正方向通常规定为向右；单位长度要统一。 2. 数轴的画法：先画一条直线，在直线上任取一点作为原点，用箭头表示正方向，再根据需要选取适当的单位长度，在直线上标出刻度。 3. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定都表示有理数，还可以表示无理数。数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数，原点表示0。 知识点3： 绝对值 1. 绝对值的定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。数a的绝对值记作|a|。 2. 绝对值的性质： · 正数的绝对值是它本身，即如果a>0，那么|a|=a； · 负数的绝对值是它的相反数，即如果a<0，那么|a|=-a； · 0的绝对值是0，即|0|=0。 3. 绝对值的非负性：任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。 知识点4 ：有理数的大小比较 1. 数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 法则比较法： · 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数； · 两个正数比较大小，绝对值大的数大； · 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 知识点5 ： 有理数的加法 1. 加法法则： · 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8。 · 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：(+3)+(-3)=0，(+5)+(-3)=+2，(-5)+(+3)=-2。 · 一个数同0相加，仍得这个数。例如：0+(-5)=-5。 2. 加法运算律： · 交换律：a+b=b+a。 · 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。利用运算律可以使运算简便，例如：(+23)+(-17)+(+7)+(-13)=[(+23)+(+7)]+[(-17)+(-13)]=30+(-30)=0。 知识点6 ： 有理数的减法 1. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。例如：5-(-3)=5+(+3)=8，(-5)-3=(-5)+(-3)=-8。 2. 注意事项：在进行减法运算时，首先要将减法转化为加法，然后按照加法法则进行计算。 知识点7 ：有理数的乘法 1. 乘法法则： · 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如：(+3)×(+5)=+15，(-3)×(-5)=+15，(+3)×(-5)=-15，(-3)×(+5)=-15。 · 任何数同0相乘，都得0。例如：0×(-5)=0。 · 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。例如：(-2)×(-3)×(-4)=-24（3个负因数，积为负），(-2)×(-3)×(+4)=24（2个负因数，积为正）。 · 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。例如：(-2)×0×3=0。 2. 乘法运算律： · 交换律：a×b=b×a。 · 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。 · 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。例如：(-5)×(20-2)=(-5)×20+(-5)×(-2)=-100+10=-90。 知识点8 ： 有理数的除法 1. 除法法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)（b≠0）。例如：8÷(-2)=8×(-1/2)=-4，(-6)÷(-3)=(-6)×(-1/3)=2。 2. 除法法则（二）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如：(-12)÷4=-3，18÷(-6)=-3，0÷(-5)=0。 3. 注意事项：0不能作除数。 知识点9 ： 有理数的乘方 1. 乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。例如：(-2)³表示3个-2相乘，底数是-2，指数是3，结果是-8。 2. 乘方运算的符号法则： · 正数的任何次幂都是正数。例如：2⁴=16。 · 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：(-2)³=-8，(-2)⁴=16。 · 0的任何正整数次幂都是0。例如：0⁵=0。 3. 注意区分：-aⁿ与(-a)ⁿ的区别。-aⁿ表示a的n次幂的相反数；(-a)ⁿ表示n个-a相乘。例如：-2⁴=-(2×2×2×2)=-16，(-2)⁴=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16。 知识点10 ：有理数的混合运算 1. 运算顺序： · 先算乘方，再算乘除，最后算加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。例如：计算3+2²×(1-5)，先算乘方2²=4，再算括号里1-5=-4，然后算乘法4×(-4)=-16，最后算加法3+(-16)=-13。 2. 运算技巧：在进行混合运算时，要认真审题，确定运算顺序，灵活运用运算律，使运算简便。 知识点11 ：近似数 1. 准确数与近似数：准确数是与实际完全符合的数；近似数是与实际接近的数。例如，学校有3个年级，这里的“3”是准确数；我国人口约14亿，这里的“14亿”是近似数。 2. 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例如，近似数3.14精确到百分位（或精确到0.01）；近似数1.3万精确到千位。 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。例如，0.025有两个有效数字：2、5；3.1415有五个有效数字：3、1、4、1、5。 4. 按要求取近似数：根据题目要求的精确度或有效数字个数，用四舍五入法取近似数。例如，将3.14159精确到0.001，得3.142；将28736保留两个有效数字，得2.9×10⁴。 【考点1 】绝对值、相反数、倒数 例1．2026的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 变式1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 变式2．的倒数是 ，相反数是 ． 【考点2 】科学记数法 例2 .2025年6月30日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》以154.45亿元的国内票房正式收官，其全球总票房突破159亿元，超越《头脑特工队2》等好莱坞经典动画电影，登顶全球影史动画电影票房榜．数据“154.45亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式1.章丘依托百脉泉域自然生态资源和千年古县的文化积淀，拥有着丰富的文化底蕴和旅游资源．据报道，2024年“十一”国庆假期章丘古城及周边旅游景区累计接待游客约1349000人次．数字1349000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 变式2.太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘的半径的时间约为，光的速度是，则太阳系的半径约为 km． 【考点3 】数轴上表示数 例3. 如图，数轴上树叶盖住的点表示的数可能是（    ） A． B．1.8 C． D．2.2 变式1.如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 变式2.如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为 ． 【考点4】相反意义的量与近似数 例4．在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入50元记作元，则支出20元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 变式1．冀教版数学课本长度约为，该近似数精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．十位 变式2．我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作 ． 【考点5】绝对值的非负性 例5.若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 变式1.已知a，b都是有理数，若，则a，b的值分别为（    ） A．1，3 B．，3 C．1， D．， 变式2.若，则 ， ． 【考点6 】有理数中的新定义运算 例6.对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 变式1.定义一种新运算“”，规定：，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 变式2.定义新运算∶，如．则的值为 ． 【考点7】程序流程图 例7．如图是一个简单的运算程序，如果输入的值为，则输出的结果为（   ） A．6 B． C． D． 变式1．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 变式2．数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是 ； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则 。 【考点8 】绝对值的分类讨论 例8 .已知，且，则的值为（   ） A．2 B．8 C．2或8 D． 变式1.若，则的值为（   ） A．3 B． C．或1 D．3或 变式2.已知，且，则的值为 ． 【考点9】有理数的混合运算 例9. 计算 (1) (2) 变式1.计算： (1)； (2)． 变式2.计算： (1)； (2) 【考点10 】有理数的实际应用 例10．某粮店一周内粮食进出情况如下（运进为正，运出为负，单位：吨）： ，，，，，，． (1)该粮店周末时粮食比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)若每吨粮食的运费为元，这一周的运费共多少元？ 变式1．龙洲路是南北走向的国道（苏尼特左旗——北海）在益阳市区内的一段，一辆大货车在龙洲路上来回行驶，某一天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，向南为负方向，当天行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．请你根据计算回答下列问题： (1)B地在A地何方，相距多少千米？ (2)汽车这一天共行驶多少千米？ (3)若汽车行驶时每千米耗油升，那么这一天共耗油多少升？ 变式2．滴滴出行给人们的出行带来了很大的便利，“滴滴”快车刘师傅从上午在东西走向的大道上营运，共连续运载批乘客，若规定向东为正，向西为负，刘师傅运载批乘客的里程如下：  （单位：千米）， ，， ，，， ，， ， ． (1)将最后一批乘客送到目的地时，刘师傅在第一批乘客出发地的_______（选填“东”或“西”）面，距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗电度，则上午刘师傅的汽车一共耗电多少度？ 【考点11】数轴对称折叠问题 例11 .如图已知在纸面上有一数轴． 操作： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示____的点重合． 操作： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5 的点与表示____的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为4024（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求点 A，B表示的数． 变式1.综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． 操作一： （1）折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，若使表示2的点与表示的点重合，解答以下问题． ①表示4的点与表示______的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是______． 操作三： （3）在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数． 变式2.综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以完美地将数与形结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 (1)平移运动 一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点．请画出一条数轴，并表示出三点的位置． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示______的点重合． ②若数轴上两点之间的距离为（点在点的左侧，且折痕与①折痕相同），当两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______． ③如图，一条数轴上有三点，其中点表示的数分别是，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为3，求点表示的数． 【考点12 】数轴动点求t问题 例12. 舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔可以抽象为A，B，C三个点，A与B，B与C之间的距离均为千米，如图所示．若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题： (1)A、C两点在数轴上所表示的数分别是________、________，它们互为（   ）； A．倒数  B．相反数 (2)道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为50千米/小时．同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为60千米/小时． ①当行驶t小时时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示； ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）②的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为________． 变式1.如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 变式2.唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度已知点在，数轴上分别表示有理数，，和两点之间的距离表示为，例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；解决问题： 已知有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，． (1)填空：______，______，______． (2)若点在数轴上对应的数为，当，间距离是，间距离的倍时，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 3．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 5．（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作 ． 6．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 ． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 7．（2025·黑龙江·中考真题）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为 8．（2025·安徽·中考真题）计算： ． 9．（2023·广西·中考真题）计算：． 10．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数、有理数的运算 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：从自然数到有理数 1. 数的发展：自然数（0,1,2,3,...）是人类最早认识的数，用于计数和排序。随着社会发展，为表示“没有”“相反意义的量”等，引入了负数。 2. 相反意义的量：具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降等，可用正数和负数表示。规定其中一种意义的量为正，则另一种为负。例如，规定向东为正，则向西为负。 3. 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也是有理数。 知识点2 ：数轴 1. 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。原点是表示0的点；正方向通常规定为向右；单位长度要统一。 2. 数轴的画法：先画一条直线，在直线上任取一点作为原点，用箭头表示正方向，再根据需要选取适当的单位长度，在直线上标出刻度。 3. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定都表示有理数，还可以表示无理数。数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数，原点表示0。 知识点3： 绝对值 1. 绝对值的定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。数a的绝对值记作|a|。 2. 绝对值的性质： · 正数的绝对值是它本身，即如果a>0，那么|a|=a； · 负数的绝对值是它的相反数，即如果a<0，那么|a|=-a； · 0的绝对值是0，即|0|=0。 3. 绝对值的非负性：任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。 知识点4 ：有理数的大小比较 1. 数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 法则比较法： · 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数； · 两个正数比较大小，绝对值大的数大； · 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 知识点5 ： 有理数的加法 1. 加法法则： · 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8。 · 异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：(+3)+(-3)=0，(+5)+(-3)=+2，(-5)+(+3)=-2。 · 一个数同0相加，仍得这个数。例如：0+(-5)=-5。 2. 加法运算律： · 交换律：a+b=b+a。 · 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。利用运算律可以使运算简便，例如：(+23)+(-17)+(+7)+(-13)=[(+23)+(+7)]+[(-17)+(-13)]=30+(-30)=0。 知识点6 ： 有理数的减法 1. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)。例如：5-(-3)=5+(+3)=8，(-5)-3=(-5)+(-3)=-8。 2. 注意事项：在进行减法运算时，首先要将减法转化为加法，然后按照加法法则进行计算。 知识点7 ：有理数的乘法 1. 乘法法则： · 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如：(+3)×(+5)=+15，(-3)×(-5)=+15，(+3)×(-5)=-15，(-3)×(+5)=-15。 · 任何数同0相乘，都得0。例如：0×(-5)=0。 · 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。例如：(-2)×(-3)×(-4)=-24（3个负因数，积为负），(-2)×(-3)×(+4)=24（2个负因数，积为正）。 · 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。例如：(-2)×0×3=0。 2. 乘法运算律： · 交换律：a×b=b×a。 · 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。 · 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。例如：(-5)×(20-2)=(-5)×20+(-5)×(-2)=-100+10=-90。 知识点8 ： 有理数的除法 1. 除法法则（一）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)（b≠0）。例如：8÷(-2)=8×(-1/2)=-4，(-6)÷(-3)=(-6)×(-1/3)=2。 2. 除法法则（二）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。例如：(-12)÷4=-3，18÷(-6)=-3，0÷(-5)=0。 3. 注意事项：0不能作除数。 知识点9 ： 有理数的乘方 1. 乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。例如：(-2)³表示3个-2相乘，底数是-2，指数是3，结果是-8。 2. 乘方运算的符号法则： · 正数的任何次幂都是正数。例如：2⁴=16。 · 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：(-2)³=-8，(-2)⁴=16。 · 0的任何正整数次幂都是0。例如：0⁵=0。 3. 注意区分：-aⁿ与(-a)ⁿ的区别。-aⁿ表示a的n次幂的相反数；(-a)ⁿ表示n个-a相乘。例如：-2⁴=-(2×2×2×2)=-16，(-2)⁴=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16。 知识点10 ：有理数的混合运算 1. 运算顺序： · 先算乘方，再算乘除，最后算加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。例如：计算3+2²×(1-5)，先算乘方2²=4，再算括号里1-5=-4，然后算乘法4×(-4)=-16，最后算加法3+(-16)=-13。 2. 运算技巧：在进行混合运算时，要认真审题，确定运算顺序，灵活运用运算律，使运算简便。 知识点11 ：近似数 1. 准确数与近似数：准确数是与实际完全符合的数；近似数是与实际接近的数。例如，学校有3个年级，这里的“3”是准确数；我国人口约14亿，这里的“14亿”是近似数。 2. 精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例如，近似数3.14精确到百分位（或精确到0.01）；近似数1.3万精确到千位。 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。例如，0.025有两个有效数字：2、5；3.1415有五个有效数字：3、1、4、1、5。 4. 按要求取近似数：根据题目要求的精确度或有效数字个数，用四舍五入法取近似数。例如，将3.14159精确到0.001，得3.142；将28736保留两个有效数字，得2.9×10⁴。 【考点1 】绝对值、相反数、倒数 例1．2026的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 变式1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此作答即可． 【详解】∵相反数的定义：数的相反数为， ∴的相反数为， 故选：A． 变式2．的倒数是 ，相反数是 ． 【答案】 2025 【分析】本题考查了倒数，相反数，熟练掌握倒数，相反数的定义是解题的关键． 利用倒数，相反数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是2025； 的相反数是． 故答案为：2025，． 【考点2 】科学记数法 例2 .2025年6月30日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》以154.45亿元的国内票房正式收官，其全球总票房突破159亿元，超越《头脑特工队2》等好莱坞经典动画电影，登顶全球影史动画电影票房榜．数据“154.45亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵1亿， ∴154.45亿， ∴数据用科学记数法表示为， 故选：C． 变式1.章丘依托百脉泉域自然生态资源和千年古县的文化积淀，拥有着丰富的文化底蕴和旅游资源．据报道，2024年“十一”国庆假期章丘古城及周边旅游景区累计接待游客约1349000人次．数字1349000用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数字1349000用科学记数法表示是， 故选：D． 变式2.太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘的半径的时间约为，光的速度是，则太阳系的半径约为 km． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 根据距离公式，半径等于光速乘光通过半径的时间，计算的结果用科学记数法表示出来即可． 【详解】解：光速 km/s，时间 s， 由距离公式得半径 ． 故答案为：． 【考点3 】数轴上表示数 例3. 如图，数轴上树叶盖住的点表示的数可能是（    ） A． B．1.8 C． D．2.2 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，熟知有理数与数轴上点的对应关系是解答此题的关键． 设被树叶盖住的点表示的数为，由数轴可知，再根据每个选项中有理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设被树叶盖住的点表示的数为，由数轴可知， A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：C． 变式1.如图，数轴的单位长度为1，点、、表示的数都是整数，若点和点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数的应用，根据互为相反数的两个数在数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等，进而确定原点的位置，即可得出点表示的数． 【详解】解：由题意，原点是的中点， ∴点表示的数为； 故选B． 变式2.如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为 ． 【答案】0.6/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 【考点4】相反意义的量与近似数 例4．在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入50元记作元，则支出20元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查相反意义的量，解题的关键是理解“正数和负数用于表示具有相反意义的量”．根据“收入记为正”的规则，确定“支出”对应的符号，进而写出支出20元的记法． 【详解】解：∵收入50元记作元， ∴支出20元记作元， 故选：B． 变式1．冀教版数学课本长度约为，该近似数精确到（   ） A．十分位 B．百分位 C．个位 D．十位 【答案】B 【分析】本题考查了求近似数的精确度，解题关键是掌握精确度． 近似数的最后一位数字0位于百分位，表示该数精确到百分位． 【详解】解：∵近似数的最后一位数字在百分位上， ∴该数精确到百分位． 故选：B． 变式2．我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作 ． 【答案】元 【分析】本题考查了正负数表示意义相反的量，收入记为正，则支出记为负． 【详解】解：由题意，收入500元记作元，支出与收入意义相反，故支出300元记作元． 故答案为：元． 【考点5】绝对值的非负性 例5.若，则的值是（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质和绝对值的非负性．熟练掌握非负数的性质和绝对值的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零，则每个项必须为零． 【详解】解：∵ ，且 ，， ∴ 且 ， ∴ ，即 ，∴ ，即 ， ∴ ． 故选A． 变式1.已知a，b都是有理数，若，则a，b的值分别为（    ） A．1，3 B．，3 C．1， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，根据平方项和绝对值项均非负，且它们的和为零，则每一项必须为零，由此计算即可得解，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得：，， 故选：C． 变式2.若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是绝对值和平方的非负性，解题关键是熟练掌握绝对值和平方的非负性． 根据几个非负数的和为零，则每个非负数都为零即可得解． 【详解】解：，，且， 且， 且， 解得，． 故答案为：；． 【考点6 】有理数中的新定义运算 例6.对于任意均不为0的有理数a，b，定义运算“*”；，如，则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算，属于中档题．根据新运算定义，先计算内层运算 ，再计算． 【详解】解：根据题意：， ∴， 故选：B． 变式1.定义一种新运算“”，规定：，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题中所给新定义运算；根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 变式2.定义新运算∶，如．则的值为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，新定义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据新运算的定义，将 和代入公式进行计算． 【详解】解：由定义，， 当时， ． 故答案为：20． 【考点7】程序流程图 例7．如图是一个简单的运算程序，如果输入的值为，则输出的结果为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．根据图示列出算式，继而计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：B． 变式1．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 变式2．数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是 ； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则 。 【答案】 2 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据卡片顺序为，计算，即可求解； （2）根据题意得，，即可求解． 【详解】解：（1）依题意， ； （2）依题意，得， 解得：． 【考点8 】绝对值的分类讨论 例8 .已知，且，则的值为（   ） A．2 B．8 C．2或8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质与有理数的减法运算，解题关键是结合绝对值求出a、b的可能值，再根据的条件筛选后计算． 根据绝对值的定义，a 和 b 各有两种可能值，结合条件筛选出满足条件的组合，计算 即可． 【详解】， 或； ， 或． 又， 当，时，成立，此时； 当，时，成立，此时； 当，时，，不满足； 当，时，，不满足． 的值为或． 故选 C． 变式1.若，则的值为（   ） A．3 B． C．或1 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．由，得到为3个负数或2正1负，再分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵， ∴为3个负数或2正1负， 若为3个负数，即，，， 则； 若为2正1负，设，，， 则； ∴的值为或1． 故选：C． 变式2.已知，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的混合运算，根据绝对值的意义，以及，求出的值，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或． 【考点9】有理数的混合运算 例9. 计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先计算绝对值和乘方，再算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先算乘方，再利用乘法分配律展开，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数的混合运算顺序计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 变式2.计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先将除法化为乘法，再利用乘法分配律计算； （2）先计算乘方，再进行括号内运算，然后计算乘法，最后进行减法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【考点10 】有理数的实际应用 例10．某粮店一周内粮食进出情况如下（运进为正，运出为负，单位：吨）： ，，，，，，． (1)该粮店周末时粮食比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)若每吨粮食的运费为元，这一周的运费共多少元？ 【答案】(1)减少了，减少吨 (2)1460元 【分析】本题考查正负号的应用，有理数加减和乘法运算的实际应用，理解正负号表示的意义是解题的关键． （1）将记录数据相加即可； （2）记录数据的绝对值相加，然后乘以单位重量运费，即可求解． 【详解】（1）解：（吨）， 答：减少了，减少吨； （2）解：总运输量为（吨） 运费为（元）． 变式1．龙洲路是南北走向的国道（苏尼特左旗——北海）在益阳市区内的一段，一辆大货车在龙洲路上来回行驶，某一天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，向南为负方向，当天行驶记录如下（单位：千米）：，，，，，，，．请你根据计算回答下列问题： (1)B地在A地何方，相距多少千米？ (2)汽车这一天共行驶多少千米？ (3)若汽车行驶时每千米耗油升，那么这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)在南方，6千米 (2)84千米 (3)126升 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的运算，关键能够理解题意． （1）题干要求B地在A地何方，以及两地相距多少千米，所有数据进行相加判断即可． （2）题干要求汽车这一天共行驶多少千米，把数据的绝对值相加即可． （3）根据（2）问的结论以及汽车行驶时每千米耗油升，两数相乘即可． 【详解】（1）解：， 约定向北为正方向，向南为负方向， 故B地在A地南方，两地相距千米． （2）解： ， 故汽车这一天共行驶千米． （3）解：升， 故汽车一天共耗油升． 变式2．滴滴出行给人们的出行带来了很大的便利，“滴滴”快车刘师傅从上午在东西走向的大道上营运，共连续运载批乘客，若规定向东为正，向西为负，刘师傅运载批乘客的里程如下：  （单位：千米）， ，， ，，， ，， ， ． (1)将最后一批乘客送到目的地时，刘师傅在第一批乘客出发地的_______（选填“东”或“西”）面，距离出发地多少千米？ (2)若汽车每千米耗电度，则上午刘师傅的汽车一共耗电多少度？ 【答案】(1)东，千米； (2)度． 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）计算刘师傅行驶路程的代数和即可得解； （）计算出每段行驶路程的绝对值的和，再乘以即为刘师傅的汽车一共耗电量． 【详解】（1）解：所有里程的代数和为：（千米）， ∵结果为正， ∴最终位置在出发点的东面，距离千米， 答：东，千米； （2）解：由题意得，（千米）， ∵每千米耗电度， ∴总耗电量为（度）， 答：刘师傅的汽车一共耗电度． 【考点11】数轴对称折叠问题 例11 .如图已知在纸面上有一数轴． 操作： （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示____的点重合． 操作： （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，回答以下问题： ①表示5 的点与表示____的点重合； ②若数轴上A，B两点之间的距离为4024（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，求点 A，B表示的数． 【答案】（1）4；（2）①；②A表示的数是，B表示的数是2013． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）①利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可； ②利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，再结合数轴上两点之间的距离公式解答即可． 【详解】解：∵折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合， ∴原点即为中点， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）表示的点与3表示的点重合， ∴ 中点是1表示的点， ①，， 5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ② 数轴上A、两点之间的距离为4024（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 变式1.综合与实践 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究． 操作一： （1）折叠纸面，若使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，若使表示2的点与表示的点重合，解答以下问题． ①表示4的点与表示______的点重合． ②若数轴上A，B两点之间的距离为（点A在点B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示的数分别是______． 操作三： （3）在数轴上剪下长为8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，请直接写出折痕处对应的点可能表示的数． 【答案】（1）5（2）①②，6（3）0或1或2 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等． （1）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为原点，即可求解； （2）根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等找到折痕所过的数轴上的点为，①求出表示4的点与表示的点的距离，再根据数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等列式求值即可；②因为数轴上A，B两点之间的距离为，所以A，B到折痕的点距离为8，据此列式求解即可； （3）分三种情况进行讨论：如解析图所示，当时，当时，当时，分别求出、、的值，进而计算折痕处对应的点所表示的数的值即可． 【详解】解：由图知：数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等， （1）∵表示1的点与表示的点重合， ∴折痕过原点， 则表示的点与表示5的点重合， 故答案为：5； （2）若使表示2的点与表示的点重合， 则说明折痕过表示的点， ①表示的点与表示4的点的距离为：， ， ∴表示4的点与表示的点重合， 故答案为：； ②∵数轴上A，B两点之间的距离为， ∴A，B到折痕处的距离为8， ∵点A在点B的左侧， ∴点A表示的数为：， 点B表示的数为：， 故答案为：，6； （3）8个单位长度（从到5）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，分以下几种情况讨论： 如图1，当时， 设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：； 如图2，当时， 设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图3，当时， ，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是0或1或2． 变式2.综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以完美地将数与形结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 (1)平移运动 一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点．请画出一条数轴，并表示出三点的位置． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示______的点重合． ②若数轴上两点之间的距离为（点在点的左侧，且折痕与①折痕相同），当两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______． ③如图，一条数轴上有三点，其中点表示的数分别是，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为3，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③或 【分析】本题考查了数轴，翻折的性质，有理数的运算； （1）①根据用数轴上的点表示有理数即可求解． ②根据题意找到其规律即可求解． （2）①设表示的点与表示的点重合，根据翻折的性质即可求解． ②根据数轴上两点之间的距离即可求解． ③根据翻折的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得点为． 点为， 点为． 三点在数轴上表示如下． （2）①表示的点与表示的点重合， 翻折的点为， 设表示的点与表示的点重合， 点对应的点为， 解得：， 故与表示的点重合， 故答案为：． ②数轴上、两点之间的距离为，设、在数轴上所对应的数为，， 点在点的左侧，且折痕与①折痕相同， ，， ∴，， 故表示的点为，表示的点为， ③分两种情况： 当点落在点的左边时，因为点与点之间的距离为， 所以点在数轴上表示的数为， 所以点表示的数为； 当点落在点的右边时，因为点与点之间的距离为． 所以点在数轴上表示的数为， 所以点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或． 【考点12 】数轴动点求t问题 例12. 舟岱跨海大桥建成于2021年，全长26千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔可以抽象为A，B，C三个点，A与B，B与C之间的距离均为千米，如图所示．若以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题： (1)A、C两点在数轴上所表示的数分别是________、________，它们互为（   ）； A．倒数  B．相反数 (2)道路养护车甲从A点出发，沿着数轴向左行驶，速度为50千米/小时．同时，道路养护车乙从C点出发，向右行驶，速度为60千米/小时． ①当行驶t小时时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示； ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）②的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用P、Q表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为x，问：x与P、Q两点距离之和最小时，对应的x应满足的条件为________． 【答案】(1)，，B (2)①甲车表示的数为：，乙车表示的数为：；②千米 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，相反数的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据A与B，B与C之间的距离均为千米，即可求解； （2）①根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解；②将分钟代入①中 的 式 子，分 别 求 出甲车、乙车在数轴上表示的数，最后根据数轴上两点间的距离公式，即可求解； （3）根据绝对值的意义即可求解． 【详解】（1）解：以点B为原点，向右为正方向，取1千米为单位长度画数轴， 所表示的数分别是、，它们是一对相反数， 故答案为：、，B； （2）①甲车表示的数为：, 乙车表示的数为：； ②当分钟时， 甲表示的数为：， 乙表示的数为：， （千米）； （3）甲车在数轴上表示的数为：，乙车在数轴上表示的数为：， 之和最小时，对应的x应满足的条件为， 故答案为：． 变式1.如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 变式2.唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度已知点在，数轴上分别表示有理数，，和两点之间的距离表示为，例如，在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；有理数与对应的两点之间的距离为；解决问题： 已知有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，且满足，． (1)填空：______，______，______． (2)若点在数轴上对应的数为，当，间距离是，间距离的倍时，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，去绝对值是解决本题的关键，代数式中不含某项或与某项无关，需要满足系数为． （1）根据绝对值与偶次幂具有非负性，代入即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离公式，列出方程，分类求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离公式，列出对应的式子，代数式的值与某字母无关，需要让字母前的系数为，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 即，． ， ． 故答案为：，，； （2）解：，，， ， 解得或； （3）解：存在，理由如下： 经过秒点表示的数是，点表示的数是， ，， ， 由题意得，解得． 答：时，的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变． 1．（2025·陕西·中考真题）的绝对值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. 根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 2．（2025·四川·中考真题）下列各数中，最大的是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小． 先将选项中的数按“负数、0、正数”分类，明确正数大于0、0大于负数的基本关系；再对负数部分比较绝对值大小，最后综合判断所有数的大小顺序，找出最大的数． 【详解】解：根据有理数大小比较法则可知，仅有D选项符合题意．   故选：D． 3．（2025·山东滨州·中考真题）截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据定义求解即可． 【详解】解：亿， 故选：C 4．（2025·江苏南通·中考真题）计算，正确的结果是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】根据有理数乘法法则中“两数相乘，同号得正”来计算的结果．本题主要考查有理数的乘法法则，熟练掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：． 5．（2025·江苏镇江·中考真题）如果汽车加油30升记作升，那么用去油10升，记作 ． 【答案】升 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，根据题意准确分析可得结果． 根据加油记作，则用去油记作即可得解． 【详解】汽车加油30升记作升， 用去油10升记作升； 故答案是：升． 6．（2025·湖北武汉·中考真题）在标准大气压下，四种物质的凝固点如下表所示，其中凝固点最低的物质是 ． 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：） 1535 0 【答案】液态氧 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故答案为：液态氧． 7．（2025·黑龙江·中考真题）电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：157亿， 故答案为：． 8．（2025·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（2023·广西·中考真题）计算：． 【答案】6 【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 10．（2021·浙江台州·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升． （1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间． 【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解； （2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解． 【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟）， 250-5×10=200（毫升）， 答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升； （2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟）， 160÷4+20=60（分钟）， 答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键． 1 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