专题03 一元一次方程、图形的初步知识 （寒假复习讲义）七年级数学新教材浙教版

专题03一元一次方程、图形的初步知识 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：认识方程 方程是含有未知数的等式，它由已知数、未知数和等号组成。判断一个式子是否为方程，需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是是等式。例如“x+3=5”是方程，因为它含有未知数x且是等式；而“2+3=5”虽为等式但不含未知数，“x+3”虽含未知数但不是等式，都不是方程。方程的解是指使方程左右两边相等的未知数的值，如x=2是方程x+3=5的解。列方程时，要先设出合适的未知数，再根据题目中的等量关系，用含未知数的式子表示相关量，最后列出等式。 知识点2 ：等式的基本性质 等式基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。例如，若a=b，则a+c=b+c，a - c=b - c。 等式基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。即如果a=b，那么ac=bc，当c≠0时，。这些性质是解方程的依据，通过对等式进行变形，逐步求出未知数的值。 知识点3：一元一次方程和它的解 一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程。其一般形式为ax+b=0（a、b为常数，且a≠0）。例如“3x - 7=2”是一元一次方程，而“x²+5=0”未知数次数是2，“x+y=3”含有两个未知数，都不是一元一次方程。使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解，也可称为方程的根。检验一个数是否为方程的解，只需将这个数代入方程，看左右两边是否相等。 知识点4： 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤包括： 1. 去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。 2. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，括号前是负号时，括号内各项要变号。 3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号。 4. 合并同类项：把方程化成ax=b（a≠0）的形式，即将同类项的系数相加。 5. 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。 在解题过程中，根据方程的特点，有些步骤可能用不到，或顺序可以调整，但要保证每一步变形都依据等式的基本性质。 知识点5 ： 一元一次方程的应用 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤为： 1. 审题：理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 2. 设元：设出未知数，可直接设未知数（问什么设什么），也可间接设未知数（当直接设未知数不易列出方程时）。 3. 列方程：找出题目中的等量关系，用含未知数的式子表示相关量，根据等量关系列出方程。常见的等量关系有：路程=速度×时间，工作量=工作效率×工作时间，利润=售价 - 成本，利息=本金×利率×时间等。 4. 解方程：求出所列方程的解。 5. 检验：检验方程的解是否符合实际意义，若不符合，需重新检查解题过程。 6. 作答：写出答案，回答问题。 例如，行程问题中相遇问题的等量关系通常是“甲走的路程+乙走的路程=总路程”；工程问题中常把工作总量看作单位“1”，根据“各部分工作量之和=工作总量”列方程。 知识点6 ： 几何图形 几何图形是从实物中抽象出的各种图形的统称，包括立体图形和平面图形。立体图形是各部分不都在同一平面内的几何图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等，它们具有三维空间，占有一定的空间体积。平面图形是各部分都在同一平面内的几何图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。从不同方向观察立体图形，可得到不同的平面图形，如从正面、左面、上面观察正方体，看到的都是正方形。有些立体图形是由平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图，同一个立体图形可能有不同的展开图，如正方体有11种不同的平面展开图。 知识点7 ：线段、射线和直线 线段、射线和直线是基本的平面图形。线段有两个端点，不能向两端无限延伸，可度量长度，用两个端点的字母表示（如线段AB或线段BA），或用一个小写字母表示（如线段a）。射线有一个端点，只能向一端无限延伸，不可度量长度，用端点和射线上另一点的字母表示，且端点字母在前（如射线OA）。直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量长度，用直线上两个点的字母表示（如直线AB或直线BA），或用一个小写字母表示（如直线l）。 直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简单说成“两点确定一条直线”。例如，建筑工人砌墙时，在两个墙角分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，就是利用了这个性质。 知识点8 ：线段的长短比较 比较两条线段长短的方法有叠合法和度量法。叠合法是把两条线段的一个端点重合，另一条线段沿着这条线段的方向放置，观察另一个端点的位置关系：若点B与点D重合，则AB=CD；若点B在线段CD上，则AB<CD；若点B在线段CD的延长线上，则AB>CD（其中线段AB和CD，使点A与点C重合，线段AB沿着线段CD的方向）。度量法是用刻度尺量出两条线段的长度，再比较数值的大小。 线段的基本性质：两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。例如，从A地到B地，走直路比走弯路近，就是因为“两点之间，线段最短”。 知识点9 ： 线段的和差 线段的和：如图，点C在线段AB的延长线上，若AC=AB+BC，则线段AC是线段AB与BC的和，可表示为AC=AB+BC。 线段的差：点C在线段AB上，若AB=AC+CB，则线段CB是线段AB与AC的差，可表示为CB=AB - AC；线段AC是线段AB与CB的差，可表示为AC=AB - CB。 作一条线段等于已知线段的和或差，可利用直尺和圆规作图。例如，已知线段a、b，作线段AB=a+b，步骤为：作射线AM，在射线AM上顺次截取AC=a，CB=b，则线段AB=a+b。 知识点10： 角与角的度量 角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角也可以看作由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。角用符号“∠”表示，通常有以下几种表示方法：用三个大写字母表示，顶点字母在中间（如∠AOB）；用顶点字母表示（当顶点处只有一个角时，如∠O）；用一个数字或希腊字母表示（如∠1、∠α）。 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360份，每一份是1度，记作1°；把1度平均分成60份，每一份是1分，记作1′；把1分平均分成60份，每一份是1秒，记作1″。它们之间的换算关系为：1°=60′，1′=60″，1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。例如，30.5°=30°30′，因为0.5°=0.5×60′=30′。 知识点11 ： 角的大小比较 比较角的大小与比较线段的长短类似，有叠合法和度量法。叠合法是把两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较大小：若∠AOB的另一边OB与∠COD的另一边OD重合，则∠AOB=∠COD；若OB落在∠COD的内部，则∠AOB<∠COD；若OB落在∠COD的外部，则∠AOB>∠COD（使∠AOB的顶点O与∠COD的顶点O重合，边OA与边OC重合）。度量法是用量角器量出角的度数，度数大的角大。 知识点12 ：角的和差 角的和：两个角的和是指将两个角的顶点和一条边重合，另两条边组成的新角，例如∠AOC是∠AOB和∠BOC的和，可表示为∠AOC=∠AOB+∠BOC（其中OB是∠AOB和∠BOC的公共边，且∠AOB和∠BOC在OB的两侧）。 角的差：若∠AOC=∠AOB+∠BOC，则∠AOB=∠AOC - ∠BOC，∠BOC=∠AOC - ∠AOB。 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 知识点13：余角和补角 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。例如，∠1=30°，∠2=60°，则∠1+∠2=90°，∠1与∠2互为余角。 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。例如，∠3=120°，∠4=60°，则∠3+∠4=180°，∠3与∠4互为补角。 余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。例如，若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3（同角的余角相等）；若∠α+∠β=180°，∠γ+∠θ=180°，且∠α=∠γ，则∠β=∠θ（等角的补角相等）。 对顶角是指两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角，对顶角相等。例如，直线AB和CD相交于点O，则∠AOC和∠BOD是对顶角，∠AOD和∠BOC是对顶角，且∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC。 【考点1 】一元一次方程的定义 例1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 变式2．已知是关于的一元一次方程，则 ． 【考点2 】列一元一次方程 例2 .某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． 变式1.有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2.已知某数的3倍与4的差等于6，设某数为x，可列出方程： ． 【考点3 】线段、直线、射线(含作图) 例3. 下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1.平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则 ． 变式2.如下图，已知A，B，C三点．按要求画图： (1)画直线AC． (2)画线段AB． (3)画射线BC． 【考点4】解一元一次方程 例4．方程的解是（    ） A． B． C． D． 变式1．定义一种新运算：，若，则的值为 ． 变式2．解方程： (1)； (2)． 【考点5】一元一次方程的应用——行程、销售问题 例5.甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲先出发1小时，甲的速度是，乙的速度是．设乙出发小时后追上甲，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1.某商店将某种电视按进价提高，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台电视仍获利208元，那么每台电视的进价是 元． 变式2.一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 3元/件 超过100件不超过300件部分 2.5元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买100件花______元，买200件花______元； (2)小明购买的数量为件（），则小明购买这种商品花费了_____元？（用含的式子表达） (3)小明买这种商品花了680元，列方程求购买这种商品多少件？ 【考点6 】钟面角问题 例6. 早晨8∶00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是（   ） A．8时分 B．8时25分 C．8时分 D．9时整 变式1.早睡早起习惯好，小明养成了晚上21：00左右睡觉的好习惯.某天晚上小明睡觉前看了一下时间21：10，此时时钟上的分针与时针所成的角是 度． 变式2.知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　　h后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，与成直角． （1）时，时针与分针所成的角度 ； （2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【考点7】一元一次方程的应用——收费、方案问题 例7．某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 变式1．为丰富校园生活，七年级（1）班准备购买一批篮球和羽毛球拍．了解到如下信息： *篮球每个120元，羽毛球拍每副40元． *两家商店都在进行促销活动： *甲商店：买一副羽毛球拍送一个羽毛球（羽毛球单价5元）． *乙商店：所有商品均打九折销售． (1)若计划购买篮球a个()，羽毛球拍b副，则直接写出在甲商店购买需付款多少元；在乙商店购买需付款多少元？（用含a，b的代数式表示） (2)若计划购买篮球10个，羽毛球拍15副，到哪家商店购买更划算？ (3)若购买羽毛球拍的数量是篮球数量的3倍还多2副，且总费用是2480元，那么篮球最多能买多少个？并说明此时到哪家商店购买更划算． 变式2．某中学为推进学校体育教学改革，适应新的中考要求，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌跳绳和足球，在查阅某些网店后发现有A、B两家网店商品定价相同并提供包邮服务，跳绳每条定价30元，足球每个定价160元．经过协商，两家网店给出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳：B网店：跳绳和足球都按定价的付款，已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款_________元，若在B网店购买，需付款_________元（用含x的整式表示）； (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)试求当x取何值时，在两家网店的购买费用相同？ (4)若，综合两家网店优惠方案，你能设计一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 【考点8 】线段中的计算 例8 .如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿直线l向右运动，同时点N从点B出发以的速度沿直线l向左运动，设运动时间为． (1)【直观分析】当时，___________cm；当时，___________cm； (2)【深入探究】当时，求t的值； (3)【拓展应用】若点M、N同时沿着直线向左运动，起点和速度均不变． ①当点N追上点M时，求t的值； ②当M、N两点相距时，直接写出t的值． 变式1.如图，A、B、C三点在同一条直线上，点D是线段的中点，点E是线段的中点． (1)如图1，点C在线段上，若，，求线段的长； (2)如图2，点C在线段的延长线上，若，求线段的长． 变式2.如图，一直线上有线段，一线段在该直线上运动，且，a，b满足（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧） (1)当点D与点B重合时，求的长； (2)，N分别是线段，的中点，当时，求的长． (3)当线段运动到点B，D间的距离为1时，若有一点P在点D的右侧且位于线段的延长线上，求的值． 【考点9】角中的计算 例9. 已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若．则 ________°． (2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 变式1.（1）如图1，、是内的两条射线，平分，，，求的度数． （2）如图2，已知、、是内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数． （3）如图3，数学老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，请你猜想α、β和γ之间的数量关系，并说明理由． 变式2.综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)【知识探究】 若，则 ； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)【类比探究】 对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若，则 ． (4)试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【考点10 】新定义方程 例10．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”．例如：的解为，而，则方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (2)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (3)已知关于的一元一次方程和都是“差解方程”．求代数式的值． 变式1．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值． (2)若“和谐方程”的两个解的差为6，其中一个较小的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“和谐方程”，求关于的一元一次方程的解． 变式2．综合与实践： 定义：我们称关于的方程与方程（、均为不等于的整数）互为“交换方程”，如；方程与方程互为“交换方程”． (1)判断：①与；②与；③与；其中互为“交换方程”的有_______；（填写序号） (2)若关于的方程与方程互为“交换方程”，求的值； (3)若关于的方程，为整数且满足无论取多少，多项式与的和始终等于，求其“交换方程”的解． 【考点11】新定义线段与角 例11 .【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 变式1.【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线______（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？ (4)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值． 变式2.定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【考点12 】旋转角求t问题 例12. 将一副直角三角板按如图①摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转． (1)如图②，当____时，平分，此时____． (2)继续旋转三角板，使得，同时在直线的右侧，如图③，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当____时，； ②请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 变式1.综合运用： 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A 表示的数为a，B 表示的数为b，且 点C在线段上，图1中有3条线段，分别是线段、线段、线段．若其中一条线段是另一条线段的一半，则称点C是线段的等分点． 【问题解决】 （1） ①点A、B 表示的数分别是_______、_______； ②若点C是线段的等分点，请求出此时线段的长． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，射线在的内部，图中共有3 个角：， 和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①如图3， 若，且射线绕点P从位置开始， 以每秒的速度逆时针旋转，旋转的时间为t 秒，当与成时停止旋转．当t为何值时，射线是的“等分线”． ②在①的条件下，射线从位置开始绕点P 以每秒的速度逆时针旋转，并与 同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时t的值． 变式2.小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处．例如，线段有中点，角有平分线；线段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以．他尝试运用“类比”的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题． (1)问题类比 ①如图①，已知线段，点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒，若点是的中点，则___________（用含的代数式表示）； ②如图②，已知，射线从位置开始绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，运动时间为秒，若射线平分，则___________（用含的代数式表示）； (2)问题解决 如图③，已知，平分．若射线从位置绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．设运动时间为秒． ①在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ②若在旋转过程中，到达后立即以原速度逆时针向方向旋转，到达后立即以原速度顺时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．是否存在某一时刻，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 2．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 5．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 6．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 7．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 8．（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 9．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 10．（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat  surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元一次方程、图形的初步知识 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：认识方程 方程是含有未知数的等式，它由已知数、未知数和等号组成。判断一个式子是否为方程，需同时满足两个条件：一是含有未知数，二是是等式。例如“x+3=5”是方程，因为它含有未知数x且是等式；而“2+3=5”虽为等式但不含未知数，“x+3”虽含未知数但不是等式，都不是方程。方程的解是指使方程左右两边相等的未知数的值，如x=2是方程x+3=5的解。列方程时，要先设出合适的未知数，再根据题目中的等量关系，用含未知数的式子表示相关量，最后列出等式。 知识点2 ：等式的基本性质 等式基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。例如，若a=b，则a+c=b+c，a - c=b - c。 等式基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。即如果a=b，那么ac=bc，当c≠0时，。这些性质是解方程的依据，通过对等式进行变形，逐步求出未知数的值。 知识点3：一元一次方程和它的解 一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程。其一般形式为ax+b=0（a、b为常数，且a≠0）。例如“3x - 7=2”是一元一次方程，而“x²+5=0”未知数次数是2，“x+y=3”含有两个未知数，都不是一元一次方程。使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解，也可称为方程的根。检验一个数是否为方程的解，只需将这个数代入方程，看左右两边是否相等。 知识点4： 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤包括： 1. 去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。 2. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，括号前是负号时，括号内各项要变号。 3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号。 4. 合并同类项：把方程化成ax=b（a≠0）的形式，即将同类项的系数相加。 5. 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。 在解题过程中，根据方程的特点，有些步骤可能用不到，或顺序可以调整，但要保证每一步变形都依据等式的基本性质。 知识点5 ： 一元一次方程的应用 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤为： 1. 审题：理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 2. 设元：设出未知数，可直接设未知数（问什么设什么），也可间接设未知数（当直接设未知数不易列出方程时）。 3. 列方程：找出题目中的等量关系，用含未知数的式子表示相关量，根据等量关系列出方程。常见的等量关系有：路程=速度×时间，工作量=工作效率×工作时间，利润=售价 - 成本，利息=本金×利率×时间等。 4. 解方程：求出所列方程的解。 5. 检验：检验方程的解是否符合实际意义，若不符合，需重新检查解题过程。 6. 作答：写出答案，回答问题。 例如，行程问题中相遇问题的等量关系通常是“甲走的路程+乙走的路程=总路程”；工程问题中常把工作总量看作单位“1”，根据“各部分工作量之和=工作总量”列方程。 知识点6 ： 几何图形 几何图形是从实物中抽象出的各种图形的统称，包括立体图形和平面图形。立体图形是各部分不都在同一平面内的几何图形，如正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等，它们具有三维空间，占有一定的空间体积。平面图形是各部分都在同一平面内的几何图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。从不同方向观察立体图形，可得到不同的平面图形，如从正面、左面、上面观察正方体，看到的都是正方形。有些立体图形是由平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图，同一个立体图形可能有不同的展开图，如正方体有11种不同的平面展开图。 知识点7 ：线段、射线和直线 线段、射线和直线是基本的平面图形。线段有两个端点，不能向两端无限延伸，可度量长度，用两个端点的字母表示（如线段AB或线段BA），或用一个小写字母表示（如线段a）。射线有一个端点，只能向一端无限延伸，不可度量长度，用端点和射线上另一点的字母表示，且端点字母在前（如射线OA）。直线没有端点，可以向两端无限延伸，不可度量长度，用直线上两个点的字母表示（如直线AB或直线BA），或用一个小写字母表示（如直线l）。 直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简单说成“两点确定一条直线”。例如，建筑工人砌墙时，在两个墙角分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，就是利用了这个性质。 知识点8 ：线段的长短比较 比较两条线段长短的方法有叠合法和度量法。叠合法是把两条线段的一个端点重合，另一条线段沿着这条线段的方向放置，观察另一个端点的位置关系：若点B与点D重合，则AB=CD；若点B在线段CD上，则AB<CD；若点B在线段CD的延长线上，则AB>CD（其中线段AB和CD，使点A与点C重合，线段AB沿着线段CD的方向）。度量法是用刻度尺量出两条线段的长度，再比较数值的大小。 线段的基本性质：两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。例如，从A地到B地，走直路比走弯路近，就是因为“两点之间，线段最短”。 知识点9 ： 线段的和差 线段的和：如图，点C在线段AB的延长线上，若AC=AB+BC，则线段AC是线段AB与BC的和，可表示为AC=AB+BC。 线段的差：点C在线段AB上，若AB=AC+CB，则线段CB是线段AB与AC的差，可表示为CB=AB - AC；线段AC是线段AB与CB的差，可表示为AC=AB - CB。 作一条线段等于已知线段的和或差，可利用直尺和圆规作图。例如，已知线段a、b，作线段AB=a+b，步骤为：作射线AM，在射线AM上顺次截取AC=a，CB=b，则线段AB=a+b。 知识点10： 角与角的度量 角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。角也可以看作由一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。角用符号“∠”表示，通常有以下几种表示方法：用三个大写字母表示，顶点字母在中间（如∠AOB）；用顶点字母表示（当顶点处只有一个角时，如∠O）；用一个数字或希腊字母表示（如∠1、∠α）。 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360份，每一份是1度，记作1°；把1度平均分成60份，每一份是1分，记作1′；把1分平均分成60份，每一份是1秒，记作1″。它们之间的换算关系为：1°=60′，1′=60″，1周角=360°，1平角=180°，1直角=90°。例如，30.5°=30°30′，因为0.5°=0.5×60′=30′。 知识点11 ： 角的大小比较 比较角的大小与比较线段的长短类似，有叠合法和度量法。叠合法是把两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较大小：若∠AOB的另一边OB与∠COD的另一边OD重合，则∠AOB=∠COD；若OB落在∠COD的内部，则∠AOB<∠COD；若OB落在∠COD的外部，则∠AOB>∠COD（使∠AOB的顶点O与∠COD的顶点O重合，边OA与边OC重合）。度量法是用量角器量出角的度数，度数大的角大。 知识点12 ：角的和差 角的和：两个角的和是指将两个角的顶点和一条边重合，另两条边组成的新角，例如∠AOC是∠AOB和∠BOC的和，可表示为∠AOC=∠AOB+∠BOC（其中OB是∠AOB和∠BOC的公共边，且∠AOB和∠BOC在OB的两侧）。 角的差：若∠AOC=∠AOB+∠BOC，则∠AOB=∠AOC - ∠BOC，∠BOC=∠AOC - ∠AOB。 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。 知识点13：余角和补角 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。例如，∠1=30°，∠2=60°，则∠1+∠2=90°，∠1与∠2互为余角。 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。例如，∠3=120°，∠4=60°，则∠3+∠4=180°，∠3与∠4互为补角。 余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。例如，若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3（同角的余角相等）；若∠α+∠β=180°，∠γ+∠θ=180°，且∠α=∠γ，则∠β=∠θ（等角的补角相等）。 对顶角是指两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角，对顶角相等。例如，直线AB和CD相交于点O，则∠AOC和∠BOD是对顶角，∠AOD和∠BOC是对顶角，且∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC。 【考点1 】一元一次方程的定义 例1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，正确理解一元一次方程的定义是关键．只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A、 ，只含未知数y，次数为1，且为整式方程，所以选项A符合题意；. 对于B、 ，含有分式，不是整式方程，所以选项B不符合题意； 对于C、 ，未知数次数为2，所以选项C不符合题意； 对于D、 ，含有两个未知数，所以选项D不符合题意． 故选：A． 变式1．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程是解题关键． 根据一元一次方程的定义，得，，即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ∴，且， 解得：， 故选：A． 变式2．已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， ∴， 故答案为：． 【考点2 】列一元一次方程 例2 .某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了列方程，根据题意“某数的3倍比它的2倍多1”，直接转化为方程． 【详解】解：设某数为x， ∵某数的3倍比它的2倍多1， ∴比多1， ∴． 故选：D． 变式1.有一所寄宿制学校，开学安排宿舍，如果每间宿舍住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍住人，就有人没床位，设在学校住宿的学生有人，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是列一元一次方程，解题关键是正确找出题目中的等量关系并列出方程． 学校的宿舍数不变，可根据两种安排宿舍的方法分别表示出宿舍数，如果每间宿舍安排人，将会空出间宿舍，则宿舍数可表示为；如果每间宿舍安排人，就会有人没床位，则宿舍数可表示为，从而列出方程． 【详解】解：设在学校住宿的学生有人， 依题得：． 故选：． 变式2.已知某数的3倍与4的差等于6，设某数为x，可列出方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由具体问题抽象出一元一次方程，关键是抓住题目中的关键词语，如：倍、差、和等．首先表示出“某数的3倍”为，再表示出“与4的差”可得，进而得到方程． 【详解】解：已知某数的3倍与4的差等于6，设某数为x，可列出方程：， 故答案为：． 【考点3 】线段、直线、射线(含作图) 例3. 下列说法：（1）两点确定一条线段；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中正确的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的联系与区别，理解直线、射线、线段的定义和性质是解答关键． 根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，故说法错误； （2）射线是不可度量的，故说法错误； （3）线段和线段是同一条线段，故说法正确； （4）射线和射线不是同一条射线，故说法错误； （5）直线和直线是同一条直线，故说法正确； ∴正确的有2个． 故选：B． 变式1.平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则 ． 【答案】37 【分析】本题考查了直线的交点问题，代数式求值，掌握直线相交于一点时交点最少为1个，任意n条直线两两相交时交点最多为个是关键． 由题意可得9条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案． 【详解】解：对于9条直线，任两条都相交，最多交点数m为无三线共点时的交点数，即； 最少交点数n为所有直线交于一点时，即， 因此，， 故答案为：37． 变式2.如下图，已知A，B，C三点．按要求画图： (1)画直线AC． (2)画线段AB． (3)画射线BC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查直线、线段、射线的基本概念和画法。解题思路是根据直线（向两方无限延伸）、线段（有两个端点，不可延伸）、射线（有一个端点，向一方无限延伸）的定义，分别画出对应的图形． 【详解】（1）直线没有端点，可向两方无限延伸。用直尺将两点连接，并向两点的两方无限延长，得到直线． （2）线段有两个端点和，用直尺连接两点，得到的就是线段，线段的长度是两点间的距离，不可延伸． （3）射线有一个端点，向点的方向无限延伸。以为端点，经过点向的方向无限延长，画出射线． 【点睛】本题考查了直线、线段、射线的定义与画法，掌握直线没有端点，向两方无限延伸；线段有两个端点，不可延伸；射线有一个端点，向一方无限延伸，根据这些定义进行画图是解题的关键． 【考点4】解一元一次方程 例4．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 故选：C 变式1．定义一种新运算：，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解方程，理解新定义，掌握解方程的方法是解题的关键．根据新运算的定义，将新运算转化为代数表达式，得到方程，然后解一元一次方程． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 变式2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)x (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： （2） 【考点5】一元一次方程的应用——行程、销售问题 例5.甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲先出发1小时，甲的速度是，乙的速度是．设乙出发小时后追上甲，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找准等量关系是解题的关键． 根据两人行走的距离相等，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故选：B． 变式1.某商店将某种电视按进价提高，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告，结果每台电视仍获利208元，那么每台电视的进价是 元． 【答案】1200 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每台电视的进价为x元，根据提高、九折优惠和外送50元出租车费后仍获利208元，列出方程求解． 【详解】解：设每台电视的进价为x元，则提高后价格为元， 由题意可得：， 解得：， 故答案为：1200． 变式2.一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 3元/件 超过100件不超过300件部分 2.5元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买100件花______元，买200件花______元； (2)小明购买的数量为件（），则小明购买这种商品花费了_____元？（用含的式子表达） (3)小明买这种商品花了680元，列方程求购买这种商品多少件？ 【答案】(1)300；550 (2) (3)252件 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据总价单价数量，结合表格中的数据，即可求出分别购买100件、200件时花费的总钱数； （2）根据总价单价数量，结合表格中的数据，列出代数式并化简即可； （3）设小明购买这种商品a件，根据小明买这种商品花了680元，先确定a的取值范围，再列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：买100件花（元）， 买200件花（元）， 故答案为：300，550； （2）解：小明购买的数量为件（）， 根据题意得，小明购买这种商品花费了： （元）， 故答案为：； （3）解：买300件花（元）， 设小明购买这种商品a件， ∵， ∴， 根据题意得：， 解得：． 答：小明购买这种商品252件． 【考点6 】钟面角问题 例6. 早晨8∶00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是（   ） A．8时分 B．8时25分 C．8时分 D．9时整 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，注意时针一小时转，一分钟转，一秒钟转；分针一小时转，一分钟转，一秒钟转；秒针一秒钟转． 根据分针旋转的速度乘分针旋转的时间，可得分针的旋转角，根据秒针旋转的速度成秒针旋转的时间，可得秒针的旋转角，根据分针的旋转角减去秒针的旋转角，即可求出． 【详解】解∶设分后时钟的分针和时针第一次垂直， 依题意有， 解得． 故早晨8∶00以后，时钟的分针和时针第一次垂直的准确时间是8时分． 故选∶C． 变式1.早睡早起习惯好，小明养成了晚上21：00左右睡觉的好习惯.某天晚上小明睡觉前看了一下时间21：10，此时时钟上的分针与时针所成的角是 度． 【答案】145 【分析】根据21：00时，时针与分针的夹角为90°，再结合时针每分钟转0．5度，分针每分钟转6度计算即可作答． 【详解】解：21点时分针与时针所成的角是90°， 6°×10=60°，0.5°×10=5°， 所以，21：10分针与时针所成的角为：90°+60°-5°=145°． 故答案是：145． 【点睛】本题考查了钟面角的问题，掌握时针每分钟转0．5度，分针每分钟转6度是解题的关键．可画出大致图，结合图形分析更加简单． 变式2.知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），　　h后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，与成直角． （1）时，时针与分针所成的角度 ； （2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？ 【答案】问题一：5或25 问题二：（1）；（2），；（3）或分钟 【分析】本题考主要考查了一元一次方程的应用，钟面角问题： 问题一：分两种情况解答：①乙车在前甲车在后，②甲车在前乙车在后；列出方程求解即可； 问题二：（1）根据钟面的特点，平均分成12份，可得每份，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． （2）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，分针每分钟转过的角是分，即；时钟的时针每小时转过的角是一份，即，即可得结果； （3）分①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可． 【详解】解：问题一：设x小时后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． 故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5小时或25小时后两车相距； 故答案为：5或25； 问题二： （1）． 故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （2）分针每分钟转过的角度为，时针每分钟转过的角度为； 故答案为：，； （3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得： 解得：． 答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 【考点7】一元一次方程的应用——收费、方案问题 例7．某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)52.5 (2)31.4立方米 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）设小红家11月份用水量为x立方米，先判断小红家用水量超过30立方米，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据表格的收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：52.5； （2）解：设小红家11月份用水量为x立方米． 因为（元），（元），（元），而， 所以小红家用水量超过30立方米． 则 解得 答：小红家11月份用水量为31.4立方米． （3）解：小刚家11月份应交水费为：（元）． 变式1．为丰富校园生活，七年级（1）班准备购买一批篮球和羽毛球拍．了解到如下信息： *篮球每个120元，羽毛球拍每副40元． *两家商店都在进行促销活动： *甲商店：买一副羽毛球拍送一个羽毛球（羽毛球单价5元）． *乙商店：所有商品均打九折销售． (1)若计划购买篮球a个()，羽毛球拍b副，则直接写出在甲商店购买需付款多少元；在乙商店购买需付款多少元？（用含a，b的代数式表示） (2)若计划购买篮球10个，羽毛球拍15副，到哪家商店购买更划算？ (3)若购买羽毛球拍的数量是篮球数量的3倍还多2副，且总费用是2480元，那么篮球最多能买多少个？并说明此时到哪家商店购买更划算． 【答案】(1)甲：元；乙：元 (2)乙商店 (3)11个；乙商店更划算 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意列出代数式是解题的关键． （1）甲商店费用，根据篮球费用加羽毛球费用即可求解；乙商店费用，篮球费用加羽毛球费用后再打九折计算即可； （2）将分别代入两个代数式求值，再比较即可； （3）设篮球买个，则买羽毛球副，可得甲商店费用元，乙商店费用元，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：甲商店：元； 乙商店：元； （2）解：甲商店：（元）， 乙商店：（元）， ∵， ∴乙商店购买更划算； （3）解：设篮球买个，则买羽毛球副， 甲商店费用元，乙商店费用元 令，解得；此时，符合题意； 令，解得，取整数，此时，符合题意， 所以篮球最多能买11个，乙商店更划算． 变式2．某中学为推进学校体育教学改革，适应新的中考要求，决定添置一批体育器材．学校准备在网上订购一批某品牌跳绳和足球，在查阅某些网店后发现有A、B两家网店商品定价相同并提供包邮服务，跳绳每条定价30元，足球每个定价160元．经过协商，两家网店给出了各自的优惠方案，A网店：买一个足球送一条跳绳：B网店：跳绳和足球都按定价的付款，已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款_________元，若在B网店购买，需付款_________元（用含x的整式表示）； (2)当时，通过计算说明此时在哪一家网店购买较为合算？ (3)试求当x取何值时，在两家网店的购买费用相同？ (4)若，综合两家网店优惠方案，你能设计一种最省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】(1)； (2)当时，在A网店购买较合算 (3)当x为280时，在两家网店的购买费用相同 (4)最省钱的方案为：在A网店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在B网店购买140条跳绳，需付款13380元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，有理数混合运算，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）根据两个网店的优惠方案列出代数式即可； （2）代入两个代数式，求出代数式的值，再比较大小即可； （3）根据在两家网店的购买费用相同列出方程，解方程即可； （4）根据两家网店的优惠方案，在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买140条跳绳，最省钱，求出费用即可． 【详解】（1）解：在A网店购买付款钱数：（元）； 在网店购买付款钱数：（元）； 故答案为：；． （2）解：当时，在A网店购买的付款钱数： （元）， 在网店购买付款钱数： （元）， ， ∴当时，在A网店购买较合算； （3）解：由题意得，， 解得，， 答：当为280时，在两家网店的购买费用相同． （4）解：当时，可以在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买条跳绳， 所以 （元）． ， ∴最省钱的方案为：在A店购买60个足球，赠送60条跳绳，再在店购买140条跳绳，需付款13380元． 【考点8 】线段中的计算 例8 .如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿直线l向右运动，同时点N从点B出发以的速度沿直线l向左运动，设运动时间为． (1)【直观分析】当时，___________cm；当时，___________cm； (2)【深入探究】当时，求t的值； (3)【拓展应用】若点M、N同时沿着直线向左运动，起点和速度均不变． ①当点N追上点M时，求t的值； ②当M、N两点相距时，直接写出t的值． 【答案】(1)8，4 (2)2或8 (3)①10，②8或12 【分析】本题考查了一元一次方程在行程问题中的应用． （1）计算时，先根据“路程=速度×时间”，分别算出点M和点N运动的路程，再用线段的总长度减去点M和点N运动的路程之和即可；计算时，先根据“路程=速度×时间”，分别算出点M和点N运动的路程，此时点M和点N运动路程之和超过了线段的长度，用点M和点N运动路程之和减去的长度即可； （2）分情况讨论相遇前和相遇后的情况，列出方程求解即可； （3）①点N追上点M时，点N比点M多运动的路程等于线段的长度，由此列出方程求解即可； ②分点N追上M前和点N追上点M后两种情况，根据不同的情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当时， ，， ∴， 当时， ，， 此时点M和点N的运动路程之和超过了线段的长度， ∴， 故答案为：8，4． （2）解：①当点M和点N相遇前， 点M运动的路程为，点N运动的路程为， 由，得，解得； ②当点M和点N相遇后， 点M运动的路程为，点N运动的路程为， 由，得，解得， 综上所述，当，t的值为2或8． （3）解：①点M运动的路程为，点N运动的路程为， 当点N追上点M时，点N比点M多运动的路程等于线段的长度，即， 解得， ∴当点N追上点M时，t的值为10； ②（i）当点N追上点M前， 点M运动的路程为，点N运动的路程为， 由，得，解得， （ii）当点N追上点M后， 点M运动的路程为，点N运动的路程为， 由，得，解得， ∴当M、N两点相距时，t的值为8或12． 变式1.如图，A、B、C三点在同一条直线上，点D是线段的中点，点E是线段的中点． (1)如图1，点C在线段上，若，，求线段的长； (2)如图2，点C在线段的延长线上，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的性质． （1）根据线段中点的定义可得和的长度，再根据线段的和差可得； （2）根据题意，，即可求出． 【详解】（1）解：是线段的中点，是线段的中点， ，， ； （2）解：是线段的中点，是线段的中点， ，， ， ． 变式2.如图，一直线上有线段，一线段在该直线上运动，且，a，b满足（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧） (1)当点D与点B重合时，求的长； (2)，N分别是线段，的中点，当时，求的长． (3)当线段运动到点B，D间的距离为1时，若有一点P在点D的右侧且位于线段的延长线上，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4或 【分析】本题考查了平方的非负性，线段的和差． （1）根据平方的非负性得到，，根据计算即可； （2）分两种情况结合线段中点的定义根据线段的和差作答即可； （3）分两种情况根据线段的和差作答即可． 【详解】（1）解：因为，，， 所以，， 所以，， 所以， 当点D与点B重合时，如图1所示，所以 （2）解：因为，所以有以下两种情况： ①当点C在点B的左侧时，如图2所示． 因为，， 所以， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以，， 所以 ②当点C在点B的右侧时，如图3所示． 因为，， 所以， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以， 因为， 所以 综上所述，的长为 （3）解：有以下两种情况： ①当点D在点B的左侧时，，如图4所示． 设， 则，，， 所以； ②当点D在点B的右侧时，，如图5所示． 设， 则，，， 所以 综上所述，的值为4或 【考点9】角中的计算 例9. 已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若．则 ________°． (2)在图1中，若，则________．(用含的代数式表示)； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）求出，求出，根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，结合，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：． （3）解：．理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式1.（1）如图1，、是内的两条射线，平分，，，求的度数． （2）如图2，已知、、是内的三条射线，平分，，且在的左侧，现要在内画一条射线，使得，求的度数． （3）如图3，数学老师在黑板上画出，并在内部画出（射线在的左侧）和射线、，其中平分，平分，若，请你猜想α、β和γ之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3），理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的关系，解题的关键是正确找出角度关系． （1）根据角平分线的定义，结合已知角的关系，得出的度数； （2）先根据已知条件求出、的度数，再分情况讨论射线的位置，进而求出的度数； （3）可根据角平分线的定义，结合已知角的关系，推导出、和之间的数量关系． 【详解】解：（1）， ． ， ． ， 平分， ． ； （2）， ． 平分， ． ，． ． 当在的左侧时， ， ，即． 在内． ． 当在的右侧时， ； （3），理由如下： 平分，平分， ，． ． ， ． ，即． 变式2.综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． (1)【知识探究】 若，则 ； (2)当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； (3)【类比探究】 对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若，则 ． (4)试判断的大小是否发生变化？如果不变，请确定的大小，如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长度不变， (3) (4)的大小不会变化， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，线段的和差及角的计算，熟知角平分线的定义、线段中点的定义及巧用整体思想是解题的关键． （1）根据题意，先求出的长，再结合线段中点的定义求出及的长即可解决问题； （2）由题意可求得，因为，分别是，的中点，则可求得的长度，则可求； （3）类比（1）中线段的解法，结合角平分线的定义进行计算即可； （4）类比（2）中线段的规律，利用角平分线的定义，三角形内角和定理进行计算，然后整体代入即可得的大小不会变化，且． 【详解】（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； （2）解：不变化， 理由：，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； （3）解：，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； （4）答：的大小不会变化，且，理由如下： ，分别平分和， ，， ， ， ． ， ， ， ， 即． 【考点10 】新定义方程 例10．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”．例如：的解为，而，则方程是“差解方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (2)已知关于的一元一次方程是“差解方程”，则______； (3)已知关于的一元一次方程和都是“差解方程”．求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义问题． （1）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于m的方程，解之即可求得m； （2）先求出方程的解，由“差解方程”的意义得到关于a，b的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值； （3）先求出两个方程的解，由“差解方程”的意义分别得到关于m，n的等式，整体求出，再整体代入所求代数式中即可求值． 【详解】（1）解：解关于的一元一次方程，得， 由于是“差解方程”， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：解关于的一元一次方程，得：， 由于关于的一元一次方程即是“差解方程”， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：18； （3）解：解，得， 由题意得：， 解得：； 解，得， 由题意得：， 解得：， ∴ ． 变式1．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值． (2)若“和谐方程”的两个解的差为6，其中一个较小的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“和谐方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1)4 (2) (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程的解以及“和谐方程”的定义． （1）求出两方程的解，根据“解的和为1”计算即可； （2）根据“解的和为1”设两个解分别为和，且为较小解，根据“两个解的差为6”计算即可； （3）求出方程的解为，根据“解的和为1”得到方程的解为，设，则，可知，即可得到的值． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ∵两方程为“和谐方程”， ∴， ∴； （2）解：设两个解分别为和，且为较小解， ∴， ∴， ∴； （3）解：方程的解为， ∵两方程为“和谐方程”， ∴方程的解为， 设 则关于的方程，即可化为， ∴， ∴． 变式2．综合与实践： 定义：我们称关于的方程与方程（、均为不等于的整数）互为“交换方程”，如；方程与方程互为“交换方程”． (1)判断：①与；②与；③与；其中互为“交换方程”的有_______；（填写序号） (2)若关于的方程与方程互为“交换方程”，求的值； (3)若关于的方程，为整数且满足无论取多少，多项式与的和始终等于，求其“交换方程”的解． 【答案】(1)②③； (2)128； (3)． 【分析】本题考查了整式的运算，解方程，熟练掌握新定义“交换方程”并能正确应用是解题的关键． （1）根据新定义“交换方程”及示例，即可判断各式，得到结果； （2）根据“交换方程”的定义，得到，的值，即可得到结果； （3）根据题意，得到的式子，得到的值，表示出方程的“交换方程”，解方程，得到结果． 【详解】（1）解：①与中第一个方程的，第二个方程的，不符合题意； ②与中对应的、的值均相等，符合题意； ③先将变形为，与对应的、的值均相等，符合题意； 故答案为：②③． （2）∵关于的方程与方程互为“交换方程”， 又∵关于的方程与方程互为“交换方程”， ∴，， ∴，， ∴． （3）∵与， ∴， ， ． ∵无论取多少，多项式与的和始终等于， ∴，解得， ∴， ∴， ∵关于的方程的“交换方程”为， ∴， 解得． 【考点11】新定义线段与角 例11 .【课本再现】 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． （1）如图1，点M是线段的一个三等分点，满足，若，则______ 【类比迁移】 （2）如图2，已知，点C从点A出发，以每秒的速度沿射线方向运动t秒．当t为何值时，点C是线段的三等分点； 【方法运用】 （3）如图3，在数轴上有A，B两点，表示的数分别为、10，点C从点A出发，点D从点B出发，两点都同时向数轴正方向出发，点C的速度为每秒1个单位，点D的速度为每秒2个单位，若运动时间为t秒，当t为多少秒时，B、C、D中有一个点是另外两点的三等分点？ 【答案】（1）3；（2）或；（3）t为9，，54秒 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键． （1）由，，可得出的长度； （2）点C是线段的三等分点分两种情况：和进行讨论求解即可； （3）根据题意先确定秒后，点的位置，再分点B是的三等分点和点C在的三等分点进行讨论求解． 【详解】解：（1），， ， 解得， 故答案为：3； （2）点C是线段的三等分点分两种情况： 当；，则， ，解得， 当；，则， ，解得， 综上，或． （3）数轴上点A表示，点B表示10，运动t秒后： 点C的位置：（速度1单位/秒，向右运动）； 点D的位置：（速度2单位/秒，向右运动）， 需分两种情况讨论“一个点是另外两点的三等分点”： 情况1：点B是的三等分点， B在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得． 情况2：点C在的三等分点时 C在线段上，且或． ；． 若，解得； 若，解得（舍去）． 所以，t为9，，54秒时，B，C，D中有一个点是另两个点的三等分点． 变式1.【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点在直线上，射线，，位于直线同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． 【迁移运用】 (1)如图①，射线______（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)若，射线是射线和的“和谐线”，直接写出的度数：________． (3)如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角板绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒，求t何值时，射线是射线和的“和谐线”？ (4)如图③，，射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为t（单位：秒），且，当射线为两条射线和的“和谐线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用等，熟练掌握“双倍和谐线”的定义是解题的关键． （1）由定义可直接得到答案； （2）根据定义分平分，平分，平分三种情况，分别讨论，即可求解； （3）根据定义分平分，平分，平分三种情况，根据三角板的运动状态，分别讨论，即可求解； （4）根据定义分平分，平分，平分三种情况，分别画图，结合射线的运动状态，分别列出方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：不是． （2）解：若射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧，故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 当平分时，， 此时射线、射线、射线不是在一条直线同侧，故该情况不符合“双倍和谐线”的定义； 当平分时，， 此时射线、射线、射线不是在一条直线同侧，故该情况不符合“双倍和谐线”的定义； 故答案为：． （3）解：根据题意可得，当时，边与刻度线重合； 若满足射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，，如图， ， ， 故， 解得：， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线是射线和的“和谐线”． 当平分时，，如图： 故 解得：， 此时， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线是射线和的“和谐线”． 当平分时，射线在的下方， 该情况不存在． 综上：或时，射线是射线和的“和谐线”． （4）解：若满足射线与射线、射线组成的角恰好满足倍的数量关系， 即平分，或平分，或平分， 当平分时，，如图： 此时，， ∴， 故， 解得：， 此时，， 此时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线为两条射线和的“和谐线”． 当平分时，，如图： 此时，， ∴， 故， 解得：， 此时，， 时射线、射线、射线是在一条直线同侧， 故该情况符合“双倍和谐线”的定义； 即时，射线为两条射线和的“和谐线”． 当平分时，， 此时，， ∴， 故， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上，或时，射线为两条射线和的“和谐线”． 变式2.定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线，在的内部，且，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内余角，则____； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线，，，构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得，． ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， ①当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； ②当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ③当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ④当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，的值为秒或秒． 【考点12 】旋转角求t问题 例12. 将一副直角三角板按如图①摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转． (1)如图②，当____时，平分，此时____． (2)继续旋转三角板，使得，同时在直线的右侧，如图③，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当____时，； ②请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 (3)①或12；② 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系、用代数式表示旋转过程中的角是解题的关键． （1）先由角平分线定义求出的度数，结合旋转速度算时间；再利用，通过角的和差求． （2）用表示和，通过角的差得到，再推导其与的数量关系． （3）①用表示和，结合列绝对值方程求解；②用表示旋的角度和，推导数量关系即可． 【详解】（1）解：∵，且平分， ， ∵三角板的旋转速度是每秒， ， 又∵，， ； （2）解：，理由如下： 由旋转可知，且， ， 又∵， ； （3）解：①由旋转可知，，且， ， ∵， ∴， ，即， 当时， 解得； 当时， 解得． ∴当或12时，； ②由旋转可知，，，， ∴转动的角度为，， ， 又∵，即， ． 变式1.综合运用： 数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A 表示的数为a，B 表示的数为b，且 点C在线段上，图1中有3条线段，分别是线段、线段、线段．若其中一条线段是另一条线段的一半，则称点C是线段的等分点． 【问题解决】 （1） ①点A、B 表示的数分别是_______、_______； ②若点C是线段的等分点，请求出此时线段的长． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，射线在的内部，图中共有3 个角：， 和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的一半，则称射线是的“等分线”． ①如图3， 若，且射线绕点P从位置开始， 以每秒的速度逆时针旋转，旋转的时间为t 秒，当与成时停止旋转．当t为何值时，射线是的“等分线”． ②在①的条件下，射线从位置开始绕点P 以每秒的速度逆时针旋转，并与 同时停止，请直接写出当射线是的“等分线”时t的值． 【答案】（1）①，9；②；（2）①当，3，4，9时，射线是的“等分线”．②或或． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，角的和差计算，线段的和差计算等知识． （1）①根据非负数的性质即可求出答案；②根据等分点的定义分情况进行解答即可；（2）①根据射线是的“等分线”分情况进行解答即可；②根据射线是的“等分线”分情况进行解答即可． 【详解】（1）①，， ∴，， 解得，， 故答案为：，9； ②由①可知，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，则， 综上可知，若点C是线段的等分点，线段的长为． （2）①当，即，解得， 当，即，解得， 当，即，解得， 当时，，此时， 即，解得， 综上可知，当，3，4，9时，射线是的“等分线”． ②依题意有：在的外部， ∴，， 当时，如图所示： ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 在的外部，当时，若， 即 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴当射线是的“等分线”时的值为或或． 变式2.小明在学习线段和角的知识时，发现它们之间有许多相似之处．例如，线段有中点，角有平分线；线段可以度量长度，角可以度量大小；线段之间可以进行和差倍分的运算，角之间也可以．他尝试运用“类比”的方法，将线段问题的解决方法迁移到角的问题中，解决了一系列有趣的问题． (1)问题类比 ①如图①，已知线段，点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，运动时间为秒，若点是的中点，则___________（用含的代数式表示）； ②如图②，已知，射线从位置开始绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，运动时间为秒，若射线平分，则___________（用含的代数式表示）； (2)问题解决 如图③，已知，平分．若射线从位置绕点以每秒的速度顺时针向方向旋转，同时射线从位置绕点以每秒的速度逆时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．设运动时间为秒． ①在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． ②若在旋转过程中，到达后立即以原速度逆时针向方向旋转，到达后立即以原速度顺时针向方向旋转，当旋转至时，、均停止转动．是否存在某一时刻，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①； (2)①；②或或 【分析】本题考查线段和差，几何图形中的角度计算，一元一次方程； （1）①根据题意得，，，再结合中点得到，即可求出； ②根据题意得，，，由角平分线得到，即可求出； （2）①由角平分线得，根据题意得，，当射线与重合时，，根据列方程求解；再根据与不重合时，根据列方程求解即可； ②先求出与两次次相遇时间，当到达时间，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时间；当到达时间，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时间；再根据这些时间段分别画出图形，表示出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； ②根据题意得，，， ∵射线平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，平分， ∴， 根据题意得，，          当射线与重合时，，此时，即，解得； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 当在内部，在内部时，此时，，若，则，不合题意； 综上所述，当时，； ②由①得当时，与第一次相遇； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当射线到达时，，以原速度逆时针向方向旋转，旋转至时，； 当和第二次相遇时，，解得； 当时，与第一次相遇之前， ， 由得， 解得； 当时，与第一次相遇之后，到达之前， ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之前，此时，，   ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之前，此时，，   ， 由得， 解得； 当时，到达之后原速返回，到达之后原速返回，第二次相遇之后，直到旋转至时，、均停止转动．此时，，   ， 由得， 解得，不合题意， 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或或． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（   ） A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键． 设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天， 由题意，得， 解得， 故快马追上慢马的天数为20天， 故选：D． 2．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 3．（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键． 由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可． 【详解】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 4．（2025·广西·中考真题）在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可． 【详解】解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短． 故选：A 5．（2025·山东东营·中考真题）六年级全体数学教师参加“包粽子·迎端午”活动，若每人包6个，则比计划多包9个；若每人包4个，则比计划少包7个，求计划包多少个粽子．设计划包x个粽子，可列方程为 ． 【答案】＝ 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得，． 故答案为：． 6．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故答案为：． 9．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 10．（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat  surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式． （1）观察下列多面体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 棱数E 6 12 面数F 4 5 8 （2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________． 【答案】（1）表格详见解析；（2） 【分析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断； （2）从特殊到一般探究规律即可． 【详解】解：（1）填表如下： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：． 【点睛】本题考查规律型问题，欧拉公式等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律的方法，属于中考常考题型． 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $