专题02 实数、代数式（寒假复习讲义）七年级数学新教材浙教版

专题02实数、代数式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ： 平方根 1. 平方根的定义：如果一个数的平方等于(a)，那么这个数叫做(a)的平方根。即若，则(x)叫做(a)的平方根，记作（）。 2. 平方根的性质： · 正数有两个平方根，它们互为相反数； · (0)的平方根是(0)； · 负数没有平方根。 3. 算术平方根：正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，记作，(0)的算术平方根是(0)。算术平方根具有非负性，即（）。 4. 开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点2 ：从有理数到实数 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数形式有： · 开方开不尽的数，如，等； · 含的数，如，等； · 无限不循环小数，如（每两个(1)之间依次多一个(0)）。 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 3. 实数的分类： · 按定义分：实数分为有理数（整数和分数）和无理数； · 按性质分：实数分为正实数、(0)、负实数。 4. 实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数与数轴上的点一一对应。 5. 实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的意义完全相同。 知识点3 ： 立方根 1. 立方根的定义：如果一个数的立方等于(a)，那么这个数叫做(a)的立方根。即若，则(x)叫做(a)的立方根，记作。 2. 立方根的性质： · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数； · (0)的立方根是(0)。 3. 开立方：求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点4 ：实数的运算 1. 实数的运算法则：实数的加、减、乘、除、乘方运算与有理数的运算法则相同。 2. 运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 3. 运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律在实数范围内仍然成立。 4. 近似计算：在进行实数运算时，若结果是无理数，可根据需要取其近似值。 知识点5 ：列代数式 1. 代数式的定义：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 2. 列代数式的方法： · 认真审题，理解问题中的数量关系； · 找出表示运算关系的关键词，如“和”“差”“积”“商”“倍”“分”等； · 明确运算顺序，必要时添加括号； · 用字母表示题目中的未知数或相关量。 3. 代数式的书写规范： · 数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略不写或用“·”表示； · 字母与字母相乘时，乘号可以省略不写； · 带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数； · 除法运算一般写成分数形式； · 当式子后面有单位时，若式子是和或差的形式，要给式子加括号。 知识点6 ： 代数式的值 1. 代数式的值的定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。 2. 求代数式的值的步骤： · 代入：把给定的字母的值代入代数式中； · 计算：按照代数式中指定的运算顺序进行计算。 3. 注意事项： · 代入数值时，要注意数值的符号； · 若字母的值是分数或负数，代入时要加括号； · 代数式的值是由代数式中的字母的取值决定的，同一个代数式，字母的取值不同，代数式的值可能不同。 知识点7： 整式 1. 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 · 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数； · 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 · 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； · 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 3. 整式：单项式和多项式统称为整式。 知识点8 ： 合并同类项 1. 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 2. 合并同类项的定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3. 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 4. 合并同类项的步骤： · 找出多项式中的同类项； · 将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； 知识点9 ： 整式的加减 1. 整式加减的实质：整式的加减就是合并同类项。 2. 整式加减的步骤： · 如果有括号，先去括号； · 再合并同类项。 3. 去括号法则： · 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； · 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 4. 整式加减的应用：可以解决实际问题中的数量关系，如比较大小、求代数式的值等。 【考点1 】单、多项式的系、次、项数 例1．单项式的系数和次数分别是（    ） A．8，6 B．，6 C．8，5 D．，5 变式1．下列说法中正确的是（   ） A．多项式是一次二项式 B．单项式的次数是 C．单项式的系数是2 D．多项式的常数项是 变式2．多项式是 次 项式，其中四次项有 ． 【考点2 】同类型 例2 .下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1.下列各组两项属于同类项的是（    ） A．与 B．和 C．和 D．2和 变式2.若与的和是单项式，则的值是 ． 【考点3 】整体代入求值 例3. 如果，那么的值为（   ） A． B． C．1 D． 变式1.若，则代数式的值为（   ） A． B． C．8 D．14 变式2.实数满足，则的值为 ． 【考点4】估算无理数 例4．下列整数中，与的值最接近的是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 变式1．若，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．若，是两个连续整数，且，则 ． 【考点5】绝对值在数轴上化简 例5.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 变式1.数轴上，有理数、、、的位置如图，则化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 变式2.有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【考点6 】代数式中的规律 例6. 下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（    ） A．174 B．152 C．128 D．202 变式1.用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有 个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为 （用含的代数式表示）． 变式2.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数：    （）填空： 从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； 从图③中可以得到：________，因此图③中共有个黑色小正方形． 【规律总结】 （）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形（用含的代数式表示，其中为正整数）． （）根据上面的发现，我们还可以得到猜想：________（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【探究应用】 （）根据你发现的结论，计算：． 【拓展应用】 （）根据你发现的结论，计算：． 【考点7】代数式中的阴影部分问题 例7．如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 变式1．将①和②两张大小不同的正方形纸片按图所示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且，．若，，则正方形①与正方形②的边长差为 ． 变式2．如图，长方形的一组邻边长分别为10，，在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形和长方形． (1)线段之间的等量关系是__________； (2)记长方形的周长为，长方形的周长为，对于任意的值，的值是否为一个确定的值？若是一个确定的值，请求出这个值；若不是一个确定的值，并说明理由． 【考点8 】平方根与立方根 例8 .下列说法中正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C．的算术平方根是4 D．的立方根是 变式1.若，则的立方根是 ． 变式2.解方程： (1)； (2)． 【考点9】实数的运算 例9. 对于实数定义运算“”如下：，例如，．则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．7 变式1.计算： ． 变式2.（1）求x的值：；     （2）计算： 【考点10 】化简求值 例10．先化简，再求值：，其中，． 变式1．先化简，再求值：．其中：，． 变式2．先化简再求值，，其中，． 【考点11】代数式中的实际应用 例11 .“双减”政策减轻了学生的课业负担，学校里的社团活动更加受到学生们的青睐．为满足学生课外活动需要，学校决定添置一批某品牌的足球和跳绳．已知足球每个定价70元，跳绳每条定价为10元．现有A、B两家网店提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．具体如下： A网店：足球和跳绳都按定价的90%付款． B网店：买一个足球送一条跳绳． 已知该校计划从上述网店中购买足球40个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）； (2)若只选择一家网店购买，当时，通过计算说明学校选哪家网店购买较为合算； (3)当时，你能给出一种更为省钱的方法吗？试写出你的购买方法和所需费用． 变式1.为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案：居民生活用电将月用电量分为三档，第一档为月用电量200度（含）以内，第二档为月用电量度（含），第三档为月用电量320度以上．这三个档次的电价分别为：第一档元/度，第二档元/度，第三档元/度． 月用电量 单价 不超过200度的部分 元度 超过200度不超过320度的部分 元度 超过320度的部分 元度 注：电费按月结算 (1)若该户居民9月份用电320度，则应缴电费多少元？ (2)若该户居民12月份用电400度，则应缴电费多少元？ (3)用x（度）表示月用电量，请根据的不同取值范围，用含x的代数式表示出月用电费用． 变式2.某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下： 方案一： A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价100元，售价130元 方案二： 所购商品一律按进价加价销售 (1)某单位购买A商品20件，B商品10件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品件（为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【考点12 】代数式中的新定义问题 例12.定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则 ， ． (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 变式1.观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”；（填“是”或“不是”） (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 变式2.综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 1．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 4．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 5．（2025·海南·中考真题）写出一个比大的实数： ． 6．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 7．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 9．（2023·青海西宁·中考真题）计算：． 10．（2020·重庆·中考真题）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除． （1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由； （2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02实数、代数式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ： 平方根 1. 平方根的定义：如果一个数的平方等于(a)，那么这个数叫做(a)的平方根。即若，则(x)叫做(a)的平方根，记作（）。 2. 平方根的性质： · 正数有两个平方根，它们互为相反数； · (0)的平方根是(0)； · 负数没有平方根。 3. 算术平方根：正数(a)的正的平方根叫做(a)的算术平方根，记作，(0)的算术平方根是(0)。算术平方根具有非负性，即（）。 4. 开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点2 ：从有理数到实数 1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数形式有： · 开方开不尽的数，如，等； · 含的数，如，等； · 无限不循环小数，如（每两个(1)之间依次多一个(0)）。 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 3. 实数的分类： · 按定义分：实数分为有理数（整数和分数）和无理数； · 按性质分：实数分为正实数、(0)、负实数。 4. 实数与数轴的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数与数轴上的点一一对应。 5. 实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的意义完全相同。 知识点3 ： 立方根 1. 立方根的定义：如果一个数的立方等于(a)，那么这个数叫做(a)的立方根。即若，则(x)叫做(a)的立方根，记作。 2. 立方根的性质： · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数； · (0)的立方根是(0)。 3. 开立方：求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点4 ：实数的运算 1. 实数的运算法则：实数的加、减、乘、除、乘方运算与有理数的运算法则相同。 2. 运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 3. 运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律在实数范围内仍然成立。 4. 近似计算：在进行实数运算时，若结果是无理数，可根据需要取其近似值。 知识点5 ：列代数式 1. 代数式的定义：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。 2. 列代数式的方法： · 认真审题，理解问题中的数量关系； · 找出表示运算关系的关键词，如“和”“差”“积”“商”“倍”“分”等； · 明确运算顺序，必要时添加括号； · 用字母表示题目中的未知数或相关量。 3. 代数式的书写规范： · 数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略不写或用“·”表示； · 字母与字母相乘时，乘号可以省略不写； · 带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数； · 除法运算一般写成分数形式； · 当式子后面有单位时，若式子是和或差的形式，要给式子加括号。 知识点6 ： 代数式的值 1. 代数式的值的定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。 2. 求代数式的值的步骤： · 代入：把给定的字母的值代入代数式中； · 计算：按照代数式中指定的运算顺序进行计算。 3. 注意事项： · 代入数值时，要注意数值的符号； · 若字母的值是分数或负数，代入时要加括号； · 代数式的值是由代数式中的字母的取值决定的，同一个代数式，字母的取值不同，代数式的值可能不同。 知识点7： 整式 1. 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 · 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数； · 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 · 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； · 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 3. 整式：单项式和多项式统称为整式。 知识点8 ： 合并同类项 1. 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 2. 合并同类项的定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3. 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 4. 合并同类项的步骤： · 找出多项式中的同类项； · 将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变； 知识点9 ： 整式的加减 1. 整式加减的实质：整式的加减就是合并同类项。 2. 整式加减的步骤： · 如果有括号，先去括号； · 再合并同类项。 3. 去括号法则： · 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； · 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 4. 整式加减的应用：可以解决实际问题中的数量关系，如比较大小、求代数式的值等。 【考点1 】单、多项式的系、次、项数 例1．单项式的系数和次数分别是（    ） A．8，6 B．，6 C．8，5 D．，5 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的相关概念，由数与字母的积和字母与字母的积组成的代数式叫做单项式；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，由此即可得出结果，熟练掌握单项式的相关概念是解此题的关键． 【详解】解：∵单项式为， ∴系数为，次数为， 故选：D． 变式1．下列说法中正确的是（   ） A．多项式是一次二项式 B．单项式的次数是 C．单项式的系数是2 D．多项式的常数项是 【答案】B 【分析】本题考查单项式和多项式的基本概念，包括次数、系数和常数项等，正确理解单项式的次数、系数以及多项式的次数和常数项是解题的关键． 根据多项式定义、单项式定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、多项式的最高次项的次数为（和的指数和），是二次二项式，选项说法错误，不符合题意； B、单项式不含字母，次数是，选项说法正确，符合题意； C、单项式的系数是，选项说法错误，不符合题意； D、多项式的常数项是，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 变式2．多项式是 次 项式，其中四次项有 ． 【答案】 五 六 ， 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义通过计算多项式中每一项的次数（所有未知数的指数之和），确定最高次数为多项式的次数，并统计总项数；四次项是指次数为4的项． 【详解】解：的次数为， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 的次数为， 的次数为， ∴该多项式的次数为5，项数为6，即该多项式为五次六项式，其中四次项有，， 故答案为：五；六；，． 【考点2 】同类型 例2 .下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则，判断各选项计算是否正确，解题的关键是需熟练掌握法则． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 变式1.下列各组两项属于同类项的是（    ） A．与 B．和 C．和 D．2和 【答案】D 【分析】本题考查同类项的概念，掌握同类项的概念是解题关键． 根据同类项的概念逐项判断即可． 【详解】A：与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项； B：和字母不同，不是同类项； C：和字母不同，不是同类项． D：2和都是常数项，是同类项， 故选：D． 变式2.若与的和是单项式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义． 由于两个单项式的和是单项式，因此它们必须是同类项，即所含字母相同且相同字母的指数相等，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【考点3 】整体代入求值 例3. 如果，那么的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键．由已知条件，将所求表达式转化为，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 变式1.若，则代数式的值为（   ） A． B． C．8 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，将代数式变形为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴故选：A． 变式2.实数满足，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了代数式的求值， 由已知方程变形得到的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由，得 ， 则． 故答案为：2025． 【考点4】估算无理数 例4．下列整数中，与的值最接近的是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估值，先计算的近似值，与选项比较找出最接近的整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的值最接近的整数是7． 故选：A． 变式1．若，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，化简表达式为，再通过估算的值确定其范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由 ， 又∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 变式2．若，是两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 通过估算的范围，确定连续整数和的值． 【详解】， ，即， ， 和是两个连续整数，且， ，， ． 故答案是：． 【考点5】绝对值在数轴上化简 例5.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，掌握利用数轴上数的大小正确化简绝对值是解题的关键． 先根据数轴上的位置，得到a、b、c的符号以及绝对值的大小，再判断各绝对值内的正负号化简绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】解：由图可知， ，，，， ，， 故选择：B． 变式1.数轴上，有理数、、、的位置如图，则化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减，利用数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可得，，则有，，，再利用绝对值的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， ∴ ． 故选：C． 变式2.有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值，整式的加减，解决问题的关键是确定绝对值号里面的数的正负． 先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再根据绝对值的性质去绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【考点6 】代数式中的规律 例6. 下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（    ） A．174 B．152 C．128 D．202 【答案】A 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，图形类规律探索，解题关键是掌握图形类规律探索求解方法． 先分别用算式表示出前几个图中黑色棋子的个数，再用含有n的式子表示出来，然后求出第10个这样的图案需要黑色棋子的个数． 【详解】解：第一个图案需要黑色棋子的个数为（个）； 第二个图案需要的个数为（个）； 第三个图案需要的个数为（个）； 第四个图案需要的个数为（个）； … 第n个图案需要的个数为（个） ∴第10个图案需要的个数为（个） 故选∶A． 变式1.用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，依此规律，第7个图案中有 个正三角形，则第个图案中正三角形的个数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查规律探索，有理数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析可知规律是每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4个，根据此规律计算第7个图形中的三角形个数即可； （2）把找到的规律用代数式表示出来即可． 【详解】解：第一个图案正三角形个数为； 第二个图案正三角形个数为； 第三个图案正三角形个数为； ； 第7个图案正三角形个数为； 第个图案正三角形个数为． 故答案为：，． 变式2.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数：    （）填空： 从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； 从图③中可以得到：________，因此图③中共有个黑色小正方形． 【规律总结】 （）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形（用含的代数式表示，其中为正整数）． （）根据上面的发现，我们还可以得到猜想：________（用含的代数式表示，其中为正整数）． 【探究应用】 （）根据你发现的结论，计算：． 【拓展应用】 （）根据你发现的结论，计算：． 【答案】（）；；；（）；（）；（）；（） 【分析】（）根据图形解答即可； （）根据已知图形找出规律猜想即可； （）根据（）找出规律猜想即可； （）利用（）的猜想计算即可； （）把算式转化为，再利用规律计算即可； 本题考查了数字类规律变化问题，有理数的混合运算，由已知图形找到规律是解题的关键． 【详解】解：（）从图①中可以得到：，因此图①中共有个黑色小正方形； 从图②中可以得到：，因此图②中共有个黑色小正方形； 从图③中可以得到：，因此图③中共有个黑色小正方形； 故答案为：；；； （）由（）可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （）根据上面发现，我们还可以得到猜想：， 故答案为：； （）解：由（）可得，； （）解： ． 【考点7】代数式中的阴影部分问题 例7．如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减运算，设，，用含a、b的代数式分别表示，，，．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可． 【详解】解：长方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 设，， 则，， ，． ∴图中右上角阴影部分的周长为． 左下角阴影部分的周长为， ∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为： ． 故选：D． 变式1．将①和②两张大小不同的正方形纸片按图所示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为m，图（2）中阴影部分的周长和为n，且，．若，，则正方形①与正方形②的边长差为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是结合图形表示出图①和图②中阴影部分的周长．设，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，根据题意列方程即可解决． 【详解】解：设，正方形①边长为a，正方形②边长为b， ，，， ∴图（1）中阴影部分的周长和， 图（2）中阴影部分的周长和为： ， ， ， ∴，即正方形①与正方形②的边长差为 故答案为：． 变式2．如图，长方形的一组邻边长分别为10，，在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形和长方形． (1)线段之间的等量关系是__________； (2)记长方形的周长为，长方形的周长为，对于任意的值，的值是否为一个确定的值？若是一个确定的值，请求出这个值；若不是一个确定的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，40 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图形准确列出代数式表示相关边长是解题的关键． （1）根据图形中长方形的边的关系计算即可； （2）设，根据题意列代数式计算即可； 【详解】（1）解：由图可知：，， ； （2）解：是定值，，理由如下， 设， 根据题意可知， 所以 因为长方形的一组邻边长分别为10，， 所以， 所以， 所以 ． 【考点8 】平方根与立方根 例8 .下列说法中正确的是（    ） A．9的平方根是3 B． C．的算术平方根是4 D．的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解： 9的平方根是，A选项只说了3，忽略负根，∴ A错误； ，∵ ，∴ B正确； ，4的算术平方根是2，∴ C错误； 的立方根是，不是，∴ D错误． 故选：B． 变式1.若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、立方根的定义，熟练掌握“几个非负数的和为0时，每一个非负数都为0”是解题的关键． 利用绝对值和平方数的非负性，得出每一项为0，求出、的值，计算后求其立方根． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 的立方根是， 故答案为：． 变式2.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根和立方根的知识，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据立方根的定义解方程即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 或， 或． 【考点9】实数的运算 例9. 对于实数定义运算“”如下：，例如，．则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．7 【答案】A 【分析】本题考查新定义下的实数运算，熟练掌握完全平方公式和整式的混合运算法则是解题的关键，根据新定义的运算规则，将，代入公式，并简化表达式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 变式1.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、乘方、绝对值的运算，掌握先分别计算各部分运算结果，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、乘方绝对值，再进行有理数加减运算． 【详解】解：，，， 则原式 ． 故答案为 ． 变式2.（1）求x的值：；     （2）计算： 【答案】（1）   （2） 【分析】本题考查利用平方根解方程，实数的混合运算，熟练掌握平方根和立方根的定义，正确的计算是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）先开方，再进行加减运算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）原式． 【考点10 】化简求值 例10．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 变式1．先化简，再求值：．其中：，． 【答案】；6 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 变式2．先化简再求值，，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减运算的化简求值，先去括号，再合并同类项，得出，然后把，分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵，， ∴． 【考点11】代数式中的实际应用 例11 .“双减”政策减轻了学生的课业负担，学校里的社团活动更加受到学生们的青睐．为满足学生课外活动需要，学校决定添置一批某品牌的足球和跳绳．已知足球每个定价70元，跳绳每条定价为10元．现有A、B两家网店提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．具体如下： A网店：足球和跳绳都按定价的90%付款． B网店：买一个足球送一条跳绳． 已知该校计划从上述网店中购买足球40个，跳绳x条（）． (1)若在A网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款______元（用含x的代数式表示）； (2)若只选择一家网店购买，当时，通过计算说明学校选哪家网店购买较为合算； (3)当时，你能给出一种更为省钱的方法吗？试写出你的购买方法和所需费用． 【答案】(1)； (2)A网店购买合算；见解析 (3)先在B网店买40个足球，送40根跳绳，剩下的160条跳绳在A网店购买；4240元 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值及有理数混合运算，解题的关键是理解题意，列出正确的代数式． （1）根据两个网店的优惠方案分别列式合并即可得答案； （2）把分别代入（1）中式子计算，比较计算结果即可得答案； （3）由于B网店是买一个足球送一条跳绳，A网店是足球和跳绳都按定价的90%付款，所以可以在B网店买40个足球，剩下的160条跳绳在A网店购买即可． 【详解】（1）解：A网店：（元）； B网店：（元）； （2）解：当时， A网店需（元）； B网店需（元）； ∵， ∴在A网店购买合算； （3）解：∵A网店：足球和跳绳都按定价的90%付款；B网店：买一个足球送一条跳绳， ∴先在B网店买40个足球，送40根跳绳，剩下的160条跳绳在A网店购买， ∴共需（元）． 变式1.为了加强公民的节约意识，我市出台阶梯电价计算方案：居民生活用电将月用电量分为三档，第一档为月用电量200度（含）以内，第二档为月用电量度（含），第三档为月用电量320度以上．这三个档次的电价分别为：第一档元/度，第二档元/度，第三档元/度． 月用电量 单价 不超过200度的部分 元度 超过200度不超过320度的部分 元度 超过320度的部分 元度 注：电费按月结算 (1)若该户居民9月份用电320度，则应缴电费多少元？ (2)若该户居民12月份用电400度，则应缴电费多少元？ (3)用x（度）表示月用电量，请根据的不同取值范围，用含x的代数式表示出月用电费用． 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，电费为元；当时，电费为元；当时，电费为元 【分析】本题考查了列代数式和有理数的计算，理解阶梯电价的收费方法和电费的计算方法是解决问题的关键． （1）把320度电分成两档，分别计算，再相加即可得出答案； （2）把400度电分成三档，分别计算，再相加即可得出答案； （3）根据的不同取值范围，分别表示出月用电费用即可． 【详解】（1）解：该户居民9月份用电320度， 9月应缴费：(元)； （2）解：该户居民12月份用电400度， 12月应缴费：(元)； （3）解：根据题意得： 当时，应缴：元； 当时，应缴：元； 当时，应缴：元． 变式2.某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下： 方案一： A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价100元，售价130元 方案二： 所购商品一律按进价加价销售 (1)某单位购买A商品20件，B商品10件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品件（为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)方案二划算，便宜180元 (2)方案二更合算，理由见解析 【分析】本题考查整式加减的应用，有理数混合运算的应用： （1）分别计算出两种方案所需费用，选择费用低的方案即可； （2）用含x的代数式表示出两种方案所需费用，作差即可． 【详解】（1）解：两种方案所需费用如下： 方案一：（元）； 方案二： （元）， ， 方案二划算，便宜（元）． （2）解：购买A商品件，B商品件，两种方案所需费用如下： 方案一：； 方案二：； 作差比较：； 因x为正整数，， 所以， 故方案二更合算． 【考点12 】代数式中的新定义问题 例12.定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，． 根据以上材料，回答下列问题： (1)若，其中是整数，且，则 ， ． (2)若，其中是整数，且，求的值． (3)若，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了求算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则有，； （）先估算，从而求出，，再把进行化简，然后代入求解即可； （）先估算，从而求出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ， 当时， 原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 变式1.观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为，如：数对，都是“共生有理数对”． (1)通过计算判断数对是不是“共生有理数对”； (2)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”；（填“是”或“不是”） (3)如果是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是； (2)是； (3)． 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算、代数式求值、整式的加减运算等知识点，理解“共生有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“共生有理数对”的定义判断即可； （2）根据“共生有理数对”的定义可求出，从而通过计算可证，即得出是 “共生有理数对”； （3）根据“共生有理数对”的定义可求出，即可求出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴数对不是“共生有理数对”； （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∴， ∴是“共生有理数对”． 故答案为：是． （3）解：∵是“共生有理数对”， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2.综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1)4，16，25这三个数是“漂亮数” (2)1，9，16；4，25，64（答案不唯一） (3)81 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； （2）1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； （3）∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 1．（2025·江苏南京·中考真题）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，实数与数轴，先理解题意，得与是符号不相同，再由数轴得 ，则，得，故表示1的点可能是，即可作答． 【详解】解：依题意，，且与是符号不相同， 观察数轴，得， ∴， 则， ∴在和之间， ∴表示1的点可能是， 故选：C 2．（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比大的无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比大的无理数解答即可． 【详解】解：， ∵是无理数， 故答案为：C． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 4．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 5．（2025·海南·中考真题）写出一个比大的实数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．根据，可得，因此，即可写出比大的实数． 【详解】解：， ， ， 比大的实数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（2025·青海·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小． 【详解】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·四川·中考真题）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 9．（2023·青海西宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解：原式 . 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（2020·重庆·中考真题）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”． 定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”． 例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除； 643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除． （1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由； （2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由． 【答案】（1）312是“好数”，675不是“好数”，理由见解析；（2）611，617，721，723，729，831，941．理由见解析． 【分析】（1）根据“好数”的定义进行判断即可； （2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．根据题意判断出x、y取值，根据“好数”定义逐一判断即可． 【详解】（1）∵3，1，2都不为0，且3+1=4，4能被2整除，∴312是“好数”． ∵6，7，5都不为0，且6+7=13，13不能被5整除，∴675不是“好数”； （2）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为（x+5）．其中x，y都是正整数，且1≤x≤4，1≤y≤9.十位数字与个位数字的和为：2x+5． 当x=1时，2x+5=7，此时y=1或7，“好数”有：611，617 当x=2时，2x+5=9，此时y=1或3或9，“好数”有：721，723，729 当x=3时，2x+5=11，此时y=1，“好数”有：831 当x=4时，2x+5=13，此时y=1，“好数”有：941 所以百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数是7． 【点睛】本题为“新定义”问题，理解好“新定义”，并根据已有数学知识和隐含条件进行分析，转化为所学数学问题是解题关键． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $