专题02 实数的初步认识、勾股定理（寒假复习讲义）八年级数学新教材苏科版

专题02 实数的初步认识、勾股定理 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：平方根 1. 平方根的定义 若一个数( x )的平方等于( a )（即），则( x )叫做( a )的平方根，记作（）。正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 2. 算术平方根 正数( a )的正的平方根叫做( a )的算术平方根，记作，0的算术平方根是0。算术平方根具有非负性，即（）。 3. 平方根的性质 （）； 。 4. 开平方运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点2：立方根 1. 立方根的定义 若一个数( x )的立方等于( a )（即），则( x )叫做( a )的立方根，记作。任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 2. 立方根的性质 ； （即负数的立方根等于它相反数的立方根的相反数）。 3. 开立方运算 求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点3：实数 1. 实数的分类 实数包括有理数和无理数。 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无限循环小数）； 无理数：无限不循环小数（如、等）。 2. 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 3. 实数的性质 相反数：实数( a )的相反数是( -a )，0的相反数是0； 绝对值：，绝对值具有非负性； 倒数：非零实数( a )的倒数是，0没有倒数。 4. 实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算与有理数的运算规则一致，运算律（交换律、结合律、分配律）同样适用。 知识点4：近似值 1. 近似数的定义 接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数，近似数与准确数的差叫做误差。 2. 精确度 近似数精确到哪一位，需看末位数字实际所在的数位。例如： ( 3.14 )精确到百分位（或精确到( 0.01 )）； 精确到百位（先还原为2500，末位5在百位）。 3. 取近似值的方法 通常采用“四舍五入”法：对需要保留的数位后一位数字进行判断，若大于或等于5则向前一位进1，若小于5则舍去。例如： 将( 2.8765 )精确到千分位，得( 2.877 )； 将( 3.14159 )精确到0.001，得( 3.142 )。 4. 有效数字 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。例如：( 0.0203 )有3个有效数字（2，0，3）；有4个有效数字（5，1，0，4）。 知识点5：勾股定理的探究 1. 勾股定理的探索过程 勾股定理的发现源于对直角三角形边长关系的观察和归纳。通过测量多个直角三角形的三条边的长度，并对它们的平方进行计算和比较，可以发现其中存在的规律。例如，在等腰直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积。将这种关系推广到一般直角三角形，便逐步形成了勾股定理的猜想。 2. 勾股定理的内容 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边的长分别为(a)、(b)，斜边的长为(c)，那么。 3. 勾股定理的证明（面积法） （1）赵爽弦图证明法 以直角三角形的两条直角边(a)、(b)为边作两个正方形，以斜边(c)为边作一个大正方形。将四个全等的直角三角形（直角边为(a)、(b)，斜边为(c)）拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。大正方形的面积可以表示为，也可以表示为四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和，即。通过展开和化简可得，从而证明勾股定理。 （2）美国总统伽菲尔德的“总统证法” 用两个全等的直角三角形（直角边为(a)、(b)，斜边为(c)）和一个等腰直角三角形（直角边为(c)）拼成一个直角梯形。梯形的面积可以表示为，也可以表示为两个直角三角形的面积与等腰直角三角形的面积之和，即。通过等式变形和化简同样可以得到。 知识点6：勾股定理的逆定理 1. 勾股定理逆定理的内容 如果三角形的三边长(a)、(b)、(c)满足，那么这个三角形是直角三角形，其中(c)为斜边。 2. 勾股定理逆定理的证明 假设在三角形(ABC)中，，，，且。作一个直角三角形(A'B'C')，使，，。根据勾股定理，，所以。在三角形(ABC)和三角形(A'B'C')中，，，，所以两个三角形全等，因此，即三角形(ABC)是直角三角形。 3. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）等，并且勾股数的倍数也是勾股数，例如（6，8，10）是（3，4，5）的2倍。 4. 勾股定理与逆定理的区别与联系 （1）区别 勾股定理是以直角三角形为前提，得到边之间的数量关系；而逆定理是以三角形三边满足为前提，判断三角形是否为直角三角形。 （2）联系 两者都反映了直角三角形边之间的关系，勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理，它们互为逆定理。 知识点7：勾股定理的简单应用 1. 已知直角三角形两边求第三边 在直角三角形中，已知任意两条边的长度，可以根据勾股定理求出第三边的长度。若已知两条直角边(a)、(b)，则斜边；若已知斜边(c)和一条直角边(a)，则另一条直角边。 2. 判断三角形的形状 已知三角形的三边长，可利用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形。若，则为直角三角形；若，则为锐角三角形；若，则为钝角三角形（其中(c)为最长边）。 3. 最短路径问题 在立体图形（如圆柱、长方体、正方体等）中，求两点之间的最短路径时，通常将立体图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理，构造直角三角形，再运用勾股定理求出最短路径的长度。例如，圆柱侧面展开后是一个长方形，圆柱上两点间的最短路径在展开图中是长方形的对角线，其长度可通过勾股定理计算。 4. 解决实际生活中的问题 勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，如测量两点之间的距离、确定建筑物的高度、解决航海问题等。例如，在测量池塘两端的距离时，可以构造直角三角形，测量出另外两条直角边的长度，再用勾股定理计算池塘两端的距离；在梯子靠墙问题中，已知梯子长度和梯子底部与墙的距离，可以求出梯子顶端与地面的高度。 【考点1 】近似数与无理数 例1．由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（   ） A．精确到万位 B．精确到百位 C．精确到千分位 D．精确到百分位 变式1．在数，，，，中，其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．比较大小： 填“”“”或“” 【考点2 】勾股数与直角三角形的组成 例2 .下列各组数为勾股数的是（    ） A．，， B．4，5，6 C．7，24，25 D．，， 变式1.已知的三条边分别长为，，，则是（    ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 变式2.如图所示，数轴上点所表示的数为 ． 【考点3 】估算无理数 例3. 已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式1.的值在（　　） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 变式2.绝对值不大于的所有整数是 ． 【考点4】赵爽弦图 例4．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 变式1．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后随手做起拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，喜欢思考的他借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，点C、D、E在同一条直线上，设，，则正方形的面积是 ．（用含a，b的式子表示并化为最简形式） 变式2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【考点5】折叠问题 例5.如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 变式1.如图，在中，，，点D、E分别在、上，且，将沿所在的直线折叠得到（点F在四边形内），连接，则的长为 ． 变式2.【探索发现】 如图1，是等边三角形，点为边上一个动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形． （1）直接写出线段，，之间的数量关系：______； 【理解运用】 如图2，在中，于点．将绕点逆时针旋转得到，延长与交于点． （2）判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，的长为______． 【考点6 】实数运算 例6. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 变式1.计算： ． 变式2.计算： (1)； (2)． 【考点7】平方根、立方根（解方程） 例7．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 变式1．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果 ． 变式2．求下列各式中的： (1)； (2)． 【考点8 】勾股定理与逆定理的应用 例8 .如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 变式1.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 变式2.为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【考点9】整数部分与小数部分问题 例9.阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 变式1.【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答： (1)如果，其中m是整数，且，那么 ， ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的立方根； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 变式2.【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由4个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积可以由边长为2的大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，即，则格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个边长为1的小正方形组成的网格，求出图中格点正方形的面积和边长； (2)在由16个边长为1的小正方形组成的网格图③中，画出边长为的格点正方形； (3)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的值． 【考点10 】勾股定理中的新定义 例10．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)下列四边形一定是勾股四边形的有 ；（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形 (2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，请判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由； (3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求的长． 变式1．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形； ②如图1，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，是边上的高．若，试求的值； 【推广应用】 （2）如图2，等腰三角形为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作交边于点．若，试求线段的长度． 变式2．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“加倍三角形”． (1)下列三角形一定是“加倍三角形”的是_____； A．直角三角形        B．等腰三角形        C．等腰直角三角形        D．等边三角形 (2)如图1，是“加倍三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和24，则正方形的面积是_____； (3)如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“加倍三角形”． 1．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 4．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 5．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 6．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 7．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 8．（2025·江苏·一模）计算：； 9．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数的初步认识、勾股定理 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：平方根 1. 平方根的定义 若一个数( x )的平方等于( a )（即），则( x )叫做( a )的平方根，记作（）。正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 2. 算术平方根 正数( a )的正的平方根叫做( a )的算术平方根，记作，0的算术平方根是0。算术平方根具有非负性，即（）。 3. 平方根的性质 （）； 。 4. 开平方运算 求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 知识点2：立方根 1. 立方根的定义 若一个数( x )的立方等于( a )（即），则( x )叫做( a )的立方根，记作。任何实数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 2. 立方根的性质 ； （即负数的立方根等于它相反数的立方根的相反数）。 3. 开立方运算 求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点3：实数 1. 实数的分类 实数包括有理数和无理数。 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（有限小数、无限循环小数）； 无理数：无限不循环小数（如、等）。 2. 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点一一对应。 3. 实数的性质 相反数：实数( a )的相反数是( -a )，0的相反数是0； 绝对值：，绝对值具有非负性； 倒数：非零实数( a )的倒数是，0没有倒数。 4. 实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算与有理数的运算规则一致，运算律（交换律、结合律、分配律）同样适用。 知识点4：近似值 1. 近似数的定义 接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数，近似数与准确数的差叫做误差。 2. 精确度 近似数精确到哪一位，需看末位数字实际所在的数位。例如： ( 3.14 )精确到百分位（或精确到( 0.01 )）； 精确到百位（先还原为2500，末位5在百位）。 3. 取近似值的方法 通常采用“四舍五入”法：对需要保留的数位后一位数字进行判断，若大于或等于5则向前一位进1，若小于5则舍去。例如： 将( 2.8765 )精确到千分位，得( 2.877 )； 将( 3.14159 )精确到0.001，得( 3.142 )。 4. 有效数字 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。例如：( 0.0203 )有3个有效数字（2，0，3）；有4个有效数字（5，1，0，4）。 知识点5：勾股定理的探究 1. 勾股定理的探索过程 勾股定理的发现源于对直角三角形边长关系的观察和归纳。通过测量多个直角三角形的三条边的长度，并对它们的平方进行计算和比较，可以发现其中存在的规律。例如，在等腰直角三角形中，以两条直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积。将这种关系推广到一般直角三角形，便逐步形成了勾股定理的猜想。 2. 勾股定理的内容 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边的长分别为(a)、(b)，斜边的长为(c)，那么。 3. 勾股定理的证明（面积法） （1）赵爽弦图证明法 以直角三角形的两条直角边(a)、(b)为边作两个正方形，以斜边(c)为边作一个大正方形。将四个全等的直角三角形（直角边为(a)、(b)，斜边为(c)）拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。大正方形的面积可以表示为，也可以表示为四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和，即。通过展开和化简可得，从而证明勾股定理。 （2）美国总统伽菲尔德的“总统证法” 用两个全等的直角三角形（直角边为(a)、(b)，斜边为(c)）和一个等腰直角三角形（直角边为(c)）拼成一个直角梯形。梯形的面积可以表示为，也可以表示为两个直角三角形的面积与等腰直角三角形的面积之和，即。通过等式变形和化简同样可以得到。 知识点6：勾股定理的逆定理 1. 勾股定理逆定理的内容 如果三角形的三边长(a)、(b)、(c)满足，那么这个三角形是直角三角形，其中(c)为斜边。 2. 勾股定理逆定理的证明 假设在三角形(ABC)中，，，，且。作一个直角三角形(A'B'C')，使，，。根据勾股定理，，所以。在三角形(ABC)和三角形(A'B'C')中，，，，所以两个三角形全等，因此，即三角形(ABC)是直角三角形。 3. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）等，并且勾股数的倍数也是勾股数，例如（6，8，10）是（3，4，5）的2倍。 4. 勾股定理与逆定理的区别与联系 （1）区别 勾股定理是以直角三角形为前提，得到边之间的数量关系；而逆定理是以三角形三边满足为前提，判断三角形是否为直角三角形。 （2）联系 两者都反映了直角三角形边之间的关系，勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理，它们互为逆定理。 知识点7：勾股定理的简单应用 1. 已知直角三角形两边求第三边 在直角三角形中，已知任意两条边的长度，可以根据勾股定理求出第三边的长度。若已知两条直角边(a)、(b)，则斜边；若已知斜边(c)和一条直角边(a)，则另一条直角边。 2. 判断三角形的形状 已知三角形的三边长，可利用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形。若，则为直角三角形；若，则为锐角三角形；若，则为钝角三角形（其中(c)为最长边）。 3. 最短路径问题 在立体图形（如圆柱、长方体、正方体等）中，求两点之间的最短路径时，通常将立体图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理，构造直角三角形，再运用勾股定理求出最短路径的长度。例如，圆柱侧面展开后是一个长方形，圆柱上两点间的最短路径在展开图中是长方形的对角线，其长度可通过勾股定理计算。 4. 解决实际生活中的问题 勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，如测量两点之间的距离、确定建筑物的高度、解决航海问题等。例如，在测量池塘两端的距离时，可以构造直角三角形，测量出另外两条直角边的长度，再用勾股定理计算池塘两端的距离；在梯子靠墙问题中，已知梯子长度和梯子底部与墙的距离，可以求出梯子顶端与地面的高度。 【考点1 】近似数与无理数 例1．由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（   ） A．精确到万位 B．精确到百位 C．精确到千分位 D．精确到百分位 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法近似数的精确度，将科学记数法转换为原数是解题的关键． 近似数表示61800，末位数字8在百位上，据此解答即可． 【详解】解：，末位数字8表示8百，则精确到百位， 故选：B． 变式1．在数，，，，中，其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是明确无理数是无限不循环小数． 先判断每个数的类型：、是无限不循环小数（无理数）；是整数，是无限循环小数，是分数（后三者均为有理数）；统计无理数的个数为2个． 【详解】解：是无理数， 是无理数， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 无理数有和，共 2 个． 故选：B． 变式2．比较大小： 填“”“”或“” 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 【考点2 】勾股数与直角三角形的组成 例2 .下列各组数为勾股数的是（    ） A．，， B．4，5，6 C．7，24，25 D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，，5，6不是勾股数，不符合题意； C、，，24，25是勾股数，符合题意； D、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 变式1.已知的三条边分别长为，，，则是（    ） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，且第三边为斜边，据此解答即可． 【详解】解：∵，且b为最长边， ∴，， ∴， ∴是以b为斜边的直角三角形。 故选：B． 变式2.如图所示，数轴上点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴之间的对应关系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边的长是解答本题的关键．根据数轴上点的特点和相关线段的长，结合勾股定理求出斜边长，再求出原点和点A之间的线段的长，即可知A所表示的数． 【详解】解：∵由图可得，直角三角形的两直角边为1，2， ∴斜边长为， ∴原点和点A之间的距离为， ∴数轴上点A所表示的数为：， 故答案为：． 【考点3 】估算无理数 例3. 已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 变式1.的值在（　　） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，据此可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式2.绝对值不大于的所有整数是 ． 【答案】，，1， 0， 1， 2 【分析】根据绝对值的意义，找出所有整数满足绝对值不大于 ，需计算 的近似值以确定整数范围． 本题考查了无理数的估算，绝对值，不等式的性质，熟练掌握估算是解题的关键． 【详解】解：由得， 故， 故； 由于即， 故的整数部分为为2， 故绝对值不大于的整数为绝对值小于或等于2的整数，即， 故答案为：． 【考点4】赵爽弦图 例4．如图①的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理、赵爽弦图、阴影部分的面积，熟练掌握勾股定理是关键． 由四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点， ， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ， 故选：A． 变式1．数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小明同学拿到纸板后随手做起拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，喜欢思考的他借助这个图形设计了一道数学题：如图是由四个全等的直角三角形拼成的图形，点C、D、E在同一条直线上，设，，则正方形的面积是 ．（用含a，b的式子表示并化为最简形式） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键． 设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，在中，利用勾股定理表示出，从而得解． 【详解】解：设，则， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 变式2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设．可以验证出：．若大正方形的边长为，小正方形的边长为，求． (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)已知在中，，求的面积． 【答案】(1) (2)新路比原路少千米 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键． （1）根据勾股定理，完全平方公式变形得出即可求解； （2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答； （3）作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：依题意，， ， ， ． （2）解：设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得，即千米， （千米）． 答：新路比原路少千米． （3）解：如图：作，垂足为H， 设， ， ，，，， ∴在中，，在中，， ，即，解得：， ， ， ． 【考点5】折叠问题 例5.如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 变式1.如图，在中，，，点D、E分别在、上，且，将沿所在的直线折叠得到（点F在四边形内），连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，根据等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质进行计算求解．作于点，首先根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，判定是边长为2的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△也是边长为2的等边三角形，从而在中，求得，，，然后根据，求得，最后根据勾股定理得到的长． 【详解】解：如图，作于点， ，， 是边长为2的等边三角形， 将沿所在直线折叠得到， 也是边长为2的等边三角形， ，， 中，， ，， 又， ， 中，， 故答案为：． 变式2.【探索发现】 如图1，是等边三角形，点为边上一个动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．小明在探索这个问题时发现四边形是菱形． （1）直接写出线段，，之间的数量关系：______； 【理解运用】 如图2，在中，于点．将绕点逆时针旋转得到，延长与交于点． （2）判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的前提下，如图3，将沿折叠得到，连接，若，，的长为______． 【答案】（1）；（2）四边形是正方形，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质． （1）先证明、、在同一直线上，根据证明，则，，可得； （2）先根据，证明得四边形是矩形，由邻边相等可得四边形是正方形； （3）根据证明，根据及勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：线段之间的数量关系：， 理由是：由旋转得：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， 故答案为：； （2）四边形是正方形，理由如下： ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）如图3，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【考点6 】实数运算 例6. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 变式1.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的运算，掌握先分别计算平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、立方根和绝对值，再进行实数加减运算． 【详解】解：，，， 所以原式 ． 故答案为：． 变式2.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键． （1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可； （2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【考点7】平方根、立方根（解方程） 例7．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义． 先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求． 【详解】解：∵， ∴， ∵的算术平方根是， ∴． ∵的立方根是，， ∴． ∴． 故选B． 变式1．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，符号确定，绝对值的化简，有理数的大小比较，立方根，熟练掌握绝对值的化简，有理数的大小比较是解题的关键．根据数轴上有理数的位置，有理数的运算法则，有理数的大小比较法则，立方根，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴，， ∴， ， 故答案为：． 变式2．求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的知识点．解题的关键在于准确运用平方根和立方根的定义来求解方程． （1）根据平方根的定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，表示为．本题中，则，即求的平方根． （2）根据立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，表示为．本题中，即求的立方根，得到的值，再解出． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点8 】勾股定理与逆定理的应用 例8 .如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 变式1.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行． 【答案】西北 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 变式2.为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】空地的面积是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由勾股定理得米，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接， 在中，米，米，米，米， （米）， ， ， 是直角三角形，且， 答：空地的面积是. 【考点9】整数部分与小数部分问题 例9.阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 变式1.【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答： (1)如果，其中m是整数，且，那么 ， ； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的立方根； (3)已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)－1或－5 【分析】本题考查无理数的性质和等式的性质，正确理解等式得性质是解题的关键． （1）根据夹逼法可得，依此可求和； （2）根据夹逼法可得，依此可求和，代入算式进行计算即可； （3）已知x，y是有理数，所以也是有理数，根据材料二可得方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解： ，其中m是整数，且 ， 故答案为：，． （2）解： 的整数部分为b 的立方根为． （3）解： 且， 解得， 当时， 当时， 答：的值为或． 变式2.【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由4个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积可以由边长为2的大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，即，则格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个边长为1的小正方形组成的网格，求出图中格点正方形的面积和边长； (2)在由16个边长为1的小正方形组成的网格图③中，画出边长为的格点正方形； (3)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的值． 【答案】(1)面积为5，边长为 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查格点作图，利用网格求图形面积，估算无理数的大小不，熟练掌握网格与勾股定理、割补法求面积是解题的关键． （1）利用割补法求正方形的面积，勾股定理求正方形的边长即可； （2）取榭点P、Q、M、N，再顺次连接即可； （3）先估算无理数，求得a、b值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：， 正方形的边长为：， （2）解：如图，格点正方形即为所求（画法不唯一）； ∵ ∴四边形是边长为的正方形． （3）解：∵，， 又∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴，， ∴． 【考点10 】勾股定理中的新定义 例10．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)下列四边形一定是勾股四边形的有 ；（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形 (2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连接、、，，请判断四边形是否为勾股四边形，并说明理由； (3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求的长． 【答案】(1)①③ (2)四边形是勾股四边形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了勾股四边形的定义、旋转的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理及其逆定理，解题的关键是能理解勾股四边形的定义． （1）直接利用勾股四边形的定义得出答案； （2）证明是等边三角形，是直角，进而可证明四边形是勾股四边形； （3）将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到，证明为直角三角形，得出，即，代入和的长度即可解答． 【详解】（1）解：长方形和正方形的四个角都是直角，相邻两边的平方和等于对角线的平方， 长方形和正方形是勾股四边形； 故答案为：①③； （2）由旋转得：， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 即四边形是勾股四边形； （3）如图3，将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到， ，，， 是等边三角形， ， 为直角三角形， ， 即， ， 即． 变式1．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形； ②如图1，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，是边上的高．若，试求的值； 【推广应用】 （2）如图2，等腰三角形为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作交边于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1）①是；②32；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据勾股高三角形的定义即可判断； ②根据勾股定理得到，再由可得最后由，计算即可得到答案； （2）过点作于，证明为等腰三角形，，即可解决问题． 【详解】解：（1）①等腰直角三角形是勾股高三角形． 设等腰直角三角形的直角边长为， 则斜边长为， ， 等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， 等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； ②∵为勾股高三角形，点为勾股顶点，， （2）如图，过点作，垂足为点． ∵等腰三角形为勾股高三角形， 且， ∴只能是，由（1）②知． 又 ，， 而， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 根据三线合一原理可知． 又， 变式2．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“加倍三角形”． (1)下列三角形一定是“加倍三角形”的是_____； A．直角三角形        B．等腰三角形        C．等腰直角三角形        D．等边三角形 (2)如图1，是“加倍三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和24，则正方形的面积是_____； (3)如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“加倍三角形”． 【答案】(1)D (2) (3)证明见详解 【分析】本题考查了勾股定理、新定义的理解和利用平方根解方程等知识，解决本题的关键是理解题中所给出的新定义． （1）由选项中的各类三角形，结合“加倍三角形”定义判断即可得到答案； （2）根据正方形的性质可求得正方形和正方形两边的边长，再根据新定义即可求得正方形的边长，进而即可求得面积； （3）连接，如图所示，根据勾股定理和新定义判断求解即可得证． 【详解】（1）解：A、设的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； B、设等腰三边长分别为，则三边平方分别为，他们不一定满足两边的平方和等于第三边平方的2倍，比如某一等腰三角形三边长分别，则就不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； C、设等腰的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； D、设等边的边长为，则，满足“加倍三角形”定义，符合题意； 故选：D； （2）解：∵正方形和正方形的面积分别是8和24， ， ∵是“加倍三角形”，且， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：连接，如图所示： ， ∴和均为直角三角形， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得， ， ， ∴是“加倍三角形”． 1．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 2．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 4．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键． 根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根． 【详解】解：因为， 所以， 即4的算术平方根是2. 故答案为：2． 5．（2025·贵州·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，熟练掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴得：， ∴， 故答案为：． 6．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 【答案】7或9/9或7 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 7．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 8．（2025·江苏·一模）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，涉及立方根、负整数指数幂、零指数幂等知识点，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则． 先利用零指数幂和立方根及负整数指数幂的运算法则计算，再计算加减可得. 【详解】解：原式． 9．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ． ，又， ． 在和中， ， ． ，． ． （2）解：， ， ． ， ， 10．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （）如图，在等腰中，，，点在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出”．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 ①若，，则______； ②请你帮助小波证明他的结论． 【情境理解应用】 （）小波接着对小红说：“如图，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请帮小红求出的长度． 【答案】（）①；②证明见解析；（） 【分析】（）①由勾股定理可得，即得，得到，再利用勾股定理解答即可求解；②由旋转的性质可得，，，，进而可证，得到，再根据得到，即可求证； （）作于，由勾股定理得，进而得，又由等腰三角形的判定可得，即得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：（）①∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； ②证明：∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，连接，如图所示， 则，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，’ ∴； （）作于，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴或， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $