专题03 平面直角坐标系、一次函数（寒假复习讲义）八年级数学新教材苏科版

专题03 平面直角坐标系、一次函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：点的位置与坐标系 1. 有序数对 定义：用含有两个数的表达方式表示平面内点的位置，这两个数有顺序，记作（a，b），其中a称为横坐标，b称为纵坐标。 应用：如教室座位“第3列第4行”可表示为（3，4），注意（a，b）与（b，a）表示不同位置（a≠b时）。 2. 平面直角坐标系 构成：由两条互相垂直、原点重合的数轴组成。水平方向的数轴称为x轴（横轴），向右为正方向；竖直方向的数轴称为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点称为原点（0，0）。 象限：坐标系将平面分为四个象限，按逆时针方向依次为第一至第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限： · x轴上的点：纵坐标为0，即（a，0）； · y轴上的点：横坐标为0，即（0，b）； · 原点：（0，0）。 3. 点的坐标特征 各象限内点的坐标符号： · 第一象限：（+，+）；第二象限：（-，+）；第三象限：（-，-）；第四象限：（+，-）。 对称点的坐标规律： · 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即（a，b）→（a，-b）； · 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即（a，b）→（-a，b）； · 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即（a，b）→（-a，-b）。 4. 坐标与距离 点到坐标轴的距离： · 点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|； · 例如，点（-3，4）到x轴距离为4，到y轴距离为3。 坐标轴上两点间距离： · 若A（x₁，0）、B（x₂，0）在x轴上，则AB=|x₁-x₂|； · 若C（0，y₁）、D（0，y₂）在y轴上，则CD=|y₁-y₂| 知识点2： 图形变换与坐标变化 1. 平移变换 定义：图形沿水平或竖直方向移动，形状和大小不变，位置改变。 坐标变化规律（点P（a，b）平移后坐标）： · 向右平移m个单位：（a+m，b）；向左平移m个单位：（a-m，b）； · 向上平移n个单位：（a，b+n）；向下平移n个单位：（a，b-n）。 例如：点（2，-1）向右平移3个单位、向上平移2个单位后为（5，1）。 2. 轴对称变换 与坐标的关系：同“4.1中对称点的坐标规律”，即图形上所有点关于对称轴（x轴、y轴或原点）对称后，对应点坐标按对称规律变化，图形形状、大小不变。 3. 图形变换的应用 已知图形顶点坐标，可通过平移、轴对称变换后的坐标变化，确定变换后图形的位置；反之，已知变换前后图形的坐标，可推断变换方式（如平移方向与距离、对称轴等）。 例如：三角形ABC顶点坐标为A（1，2）、B（3，4）、C（5，0），若将其向左平移2个单位，则新顶点坐标为A'（-1，2）、B'（1，4）、C'（3，0）。 4. 用坐标描述图形运动 步骤：①确定原图形关键点的坐标；②根据变换规则计算变换后关键点的坐标；③依次连接变换后的关键点，得到新图形。 总结：本章核心是理解平面直角坐标系的构成，掌握点的坐标特征、对称规律，以及平移等图形变换与坐标变化的对应关系，能运用坐标解决位置描述、距离计算和图形变换问题。 知识点3： 变量与函数 在某个变化过程中，我们常常会遇到各种量。其中，数值始终保持不变的量叫做常量；而数值发生变化的量叫做变量。例如，在匀速直线运动中，速度是常量，时间和路程是变量。 函数是描述变量之间对应关系的重要概念。一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。这里的“唯一确定”是函数概念的核心，意味着给定一个自变量x的值，只能有一个y值与之对应。例如，对于y=2x，当x=3时，y只能是6，这就是唯一确定的对应关系。 函数的表示方法主要有三种：解析法、列表法和图象法。解析法是用数学式子表示函数关系，如y=3x-1，这种方法的优点是简洁明了，便于进行理论分析和计算；列表法是通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系，例如火车的时刻表，它的优点是可以直接看出自变量取某些值时对应的函数值；图象法是用图象来表示函数关系，它的优点是直观形象，能清晰地反映函数的变化趋势。 确定函数自变量的取值范围是研究函数的基础。在实际问题中，自变量的取值不仅要使函数解析式有意义，还要使实际问题有意义。例如，在解析式y=1/x中，自变量x不能为0，这是由数学式子本身的意义决定的；如果这个函数表示路程与速度的关系，那么速度x还必须是正数，这就是考虑了实际问题的意义。 知识点4： 一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了y=kx（k是常数，k≠0），这时我们把它叫做正比例函数。因此，正比例函数是一种特殊的一次函数，它是一次函数在b=0时的情况。 在一次函数y=kx+b中，k和b有着重要的意义。k叫做比例系数，它不能为0，因为如果k=0，函数就变成了y=b，这是一个常数函数，不再是一次函数了。b是函数的常数项。例如，函数y=2x+3中，k=2，b=3；函数y=-5x中，k=-5，b=0，所以它是正比例函数，也是一次函数。 判断一个函数是否为一次函数，关键是看它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式。例如，函数y=2(x-1)+1可以化简为y=2x-1，其中k=2，b=-1，k≠0，所以它是一次函数；而函数y=x²+1，由于x的次数是2，不符合一次函数的形式，所以不是一次函数。 知识点5： 一次函数的图象与性质 一次函数的图象是一条直线。由于两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只需要确定两个点，然后过这两个点画一条直线即可。对于正比例函数y=kx（k≠0），它的图象是经过原点（0,0）的一条直线，因此我们可以再找一个点，比如（1,k），然后过原点和（1,k）画直线。对于一般的一次函数y=kx+b（k≠0），我们可以取与坐标轴的交点，即当x=0时，y=b，得到点（0,b）；当y=0时，x=-b/k，得到点（-b/k,0），然后过这两个点画直线。 一次函数y=kx+b（k≠0）的性质主要由k和b决定。 k的符号决定了函数图象的倾斜方向和函数的增减性。当k>0时，函数图象从左到右上升，y随x的增大而增大；当k<0时，函数图象从左到右下降，y随x的增大而减小。例如，函数y=3x+2，因为k=3>0，所以y随x的增大而增大，图象是上升的；函数y=-2x+5，因为k=-2<0，所以y随x的增大而减小，图象是下降的。 b的符号决定了函数图象与y轴的交点位置。当b>0时，函数图象与y轴交于正半轴；当b=0时，函数图象经过原点；当b<0时，函数图象与y轴交于负半轴。例如，函数y=2x+3中，b=3>0，所以它的图象与y轴交于（0,3），在y轴的正半轴；函数y=-x-2中，b=-2<0，图象与y轴交于（0,-2），在y轴的负半轴。 两条直线的位置关系可以通过它们的k和b的值来判断。对于直线y=k₁x+b₁和直线y=k₂x+b₂：如果k₁=k₂且b₁≠b₂，那么这两条直线平行；如果k₁≠k₂，那么这两条直线相交；如果k₁=k₂且b₁=b₂，那么这两条直线重合。例如，直线y=2x+1和y=2x-3，k₁=k₂=2，b₁=1，b₂=-3，b₁≠b₂，所以它们平行；直线y=3x+2和y=-2x+5，k₁=3，k₂=-2，k₁≠k₂，所以它们相交。 知识点6：用一次函数解决问题 用一次函数解决实际问题，首先要分析问题中的数量关系，找出两个变量，然后根据题意列出一次函数的解析式，最后利用函数的性质解决问题。 具体步骤通常包括：（1）审题，理解题意，明确问题中的已知量和未知量；（2）设出适当的自变量和函数，通常设自变量为x，函数为y；（3）根据题目中的等量关系，列出一次函数的解析式y=kx+b；（4）确定解析式中的k和b的值，这需要根据题目中给出的条件，通常是给出两组x和y的值，代入解析式得到方程组，解方程组求出k和b；（5）利用求出的一次函数解析式解决实际问题，比如预测某个量的值，或者判断某个情况是否成立等。 例如，某商店销售一种商品，每件的成本是10元，售价为x元，每天的销售量为y件。已知当售价为15元时，每天的销售量为20件；当售价为20元时，每天的销售量为10件。假设销售量y与售价x之间是一次函数关系，求y与x之间的函数解析式，并求出当售价为25元时每天的销售量。 首先设y=kx+b，将（15,20）和（20,10）代入解析式，得到方程组：20=15k+b，10=20k+b。解这个方程组，用第一个方程减去第二个方程可得10=-5k，解得k=-2，将k=-2代入第一个方程可得20=15×(-2)+b，解得b=50。所以函数解析式为y=-2x+50。当售价x=25元时，y=-2×25+50=0，即此时每天的销售量为0件。 知识点7： 一次函数与二元一次方程 一次函数与二元一次方程有着密切的联系。每个二元一次方程都可以转化为一次函数的形式。对于二元一次方程ax+by+c=0（a、b不同时为0），当b≠0时，可以变形为y=-a/b x - c/b，这就是一个一次函数的形式；当a≠0时，可以变形为x=-b/a y - c/a，这也是一个关于y的一次函数。 反过来，每个一次函数的解析式y=kx+b都可以看作是一个二元一次方程kx - y + b=0。 二元一次方程组的解与一次函数图象的交点坐标相对应。如果两个一次函数的图象相交，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解；反之，如果二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是这两个一次函数图象的交点坐标。如果两个一次函数的图象平行，那么相应的二元一次方程组无解；如果两个一次函数的图象重合，那么相应的二元一次方程组有无数个解。 例如，二元一次方程组{x+y=3, 2x - y=0}，可以将两个方程变形为一次函数y=-x+3和y=2x。在同一坐标系中画出这两个函数的图象，它们的交点坐标是（1,2），所以这个二元一次方程组的解就是x=1，y=2。 【考点1 】象限或点的坐标 例1．在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1．若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2．如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 ． 【考点2 】一次函数、正比例函数的平移 例2 .将一次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新一次函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 变式1.对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数的图象平行 D．点，都在直线上，则 变式2.如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为 ． 【考点3 】一次函数的增减性 例3.已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 变式1.已知点，在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2.已知一次函数的图象经过，两点，若，则 （填“>”“<”或“=”）． 【考点4】函数图象中的信息 例4．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处的气温之间的关系： 海拔高度 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 下列说法错误的是（   ） A．海拔高度为自变量，气温为因变量 B．在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降 C．在一定范围内，气温t与海拔高度h之间的关系式为 D．当海拔高度为时，此高度处的气温是零下 变式1．某容器由上下两段圆柱体组成（如图①），现以速度v（单位：）匀速向容器注水、直至注满为止，图②是注水全过程中容器的水面高度h（单位：）与注水时间（单位：s）的函数图像，根据图像信息，上面小圆柱体与下面大圆柱体的半径之比是（） A． B． C． D． 变式2．如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 【考点5】一次函数与二元一次方程组 例5.已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 变式1.如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 变式2.已知直线：与直线：，且直线与直线交于点，关于，的方程组的解为： ． 【考点6 】一次函数与一元一次不等式 例6. 已知一次函数（，a，b为常数），x与y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 6 4 2 0 不等式的解集是（） A． B． C． D． 变式1.一次函数与的图象如图所示，若，根据图象可得x的取值范围为 ． 变式2.如图，一次函数和的图象交于点． (1)求出______；______． (2)求方程组的解． (3)请直接写出的解集． 【考点7】一次函数的解析式 例7．变量的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律推测，当时，的值是（  ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 6 13 20 27 ．．． A． B． C． D． 变式1．已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 变式2．如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 【考点8 】一次函数的实际应用 例8 .在9.3抗日战争胜利80周年阅兵典礼上，比亚迪纯电动环卫车组成“第零方阵”进行路面清洁任务．假设这些环卫车在行驶过程中，其电池电量剩余量与行驶时间（min）之间呈一次函数关系，关系式为，其图象如图所示，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式1.在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表： 时间（秒） … 20 40 60 … 油温 … 50 90 130 … 加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为 ． 变式2.某中学拟建一处劳动实践园，计划在2025年将其中120平方米的土地全部种植A，B两种蔬菜．已知A种蔬菜种植总成本y（单位：元）与A种蔬菜种植面积x（单位：平方米）的函数关系式为，其中当时，，种植B种蔬菜每平方米的成本为35元． (1)求A种蔬菜种植总成本y与A种蔬菜种植面积x的函数关系式． (2)若B种蔬菜种植面积为52平方米，求2025年A，B两种蔬菜总种植成本为多少元． 【考点9】行程问题 例9. 如图①所示，在两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论： ①的值为120； ②的值1.3； ③小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为：； ④乙车到达地前，两车与车站的路程之和不超过时行驶时间的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1.甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ． 变式2.一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_________千米，_________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距20千米？（直接写出答案即可） 【考点10 】一次函数中的特殊三角形 例10．已知直线：与x轴、y轴分别交于点、，直线：与x轴、y轴分别交于点C、E，两直线交于点． (1)求直线的函数表达式以及点D的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由； 变式1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，存在点M，使得为等腰直角三角形，请直接写出M点的坐标． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与直线交于点，两直线与轴分别交于点和． (1)填空：_____，_____，点的坐标为_____； (2)点是直线上一点，当最小时，求三角形的面积； (3)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，若为直角三角形，求点坐标． 【考点11】一次函数中的角的问题 例11 .如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点． (1)如图1，过O作直线于C，求的长； (2)在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标； (3)如图2，点E在直线上，且横坐标为4，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值?若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1.美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； (3)如图4，直线分别交轴、轴于点，直线过点交轴于点，且，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标． 变式2.如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，求的长； (3)求出当是等腰三角形时直线的函数解析式 (4)如图3，若，过点，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点12 】一次函数中的新定义 例12. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 变式1.在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的同族点的是______； ②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为______； (2)已知，， ①M为线段上一点，过点作与x轴垂直的直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出n的取值范围； ②E为直线上的一个动点，点在x轴下方，若点E、点F为同族点，直接写出m的取值范围． 变式2.在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，连接，若点M是线段的中点，则称点M是点P与图形W的 “关联点”.已知点，点. (1)在点，，中，其中点 是点与线段的“关联点”； (2)若点O是点与线段的“关联点”，求m的取值范围； (3)若在直线上存在点E，使点E与线段的“关联点”是点，则b的最小值为________． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ． 6．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ． 7．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 8．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 9．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 10．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面直角坐标系、一次函数 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：点的位置与坐标系 1. 有序数对 定义：用含有两个数的表达方式表示平面内点的位置，这两个数有顺序，记作（a，b），其中a称为横坐标，b称为纵坐标。 应用：如教室座位“第3列第4行”可表示为（3，4），注意（a，b）与（b，a）表示不同位置（a≠b时）。 2. 平面直角坐标系 构成：由两条互相垂直、原点重合的数轴组成。水平方向的数轴称为x轴（横轴），向右为正方向；竖直方向的数轴称为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点称为原点（0，0）。 象限：坐标系将平面分为四个象限，按逆时针方向依次为第一至第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限： · x轴上的点：纵坐标为0，即（a，0）； · y轴上的点：横坐标为0，即（0，b）； · 原点：（0，0）。 3. 点的坐标特征 各象限内点的坐标符号： · 第一象限：（+，+）；第二象限：（-，+）；第三象限：（-，-）；第四象限：（+，-）。 对称点的坐标规律： · 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即（a，b）→（a，-b）； · 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即（a，b）→（-a，b）； · 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即（a，b）→（-a，-b）。 4. 坐标与距离 点到坐标轴的距离： · 点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|； · 例如，点（-3，4）到x轴距离为4，到y轴距离为3。 坐标轴上两点间距离： · 若A（x₁，0）、B（x₂，0）在x轴上，则AB=|x₁-x₂|； · 若C（0，y₁）、D（0，y₂）在y轴上，则CD=|y₁-y₂| 知识点2： 图形变换与坐标变化 1. 平移变换 定义：图形沿水平或竖直方向移动，形状和大小不变，位置改变。 坐标变化规律（点P（a，b）平移后坐标）： · 向右平移m个单位：（a+m，b）；向左平移m个单位：（a-m，b）； · 向上平移n个单位：（a，b+n）；向下平移n个单位：（a，b-n）。 例如：点（2，-1）向右平移3个单位、向上平移2个单位后为（5，1）。 2. 轴对称变换 与坐标的关系：同“4.1中对称点的坐标规律”，即图形上所有点关于对称轴（x轴、y轴或原点）对称后，对应点坐标按对称规律变化，图形形状、大小不变。 3. 图形变换的应用 已知图形顶点坐标，可通过平移、轴对称变换后的坐标变化，确定变换后图形的位置；反之，已知变换前后图形的坐标，可推断变换方式（如平移方向与距离、对称轴等）。 例如：三角形ABC顶点坐标为A（1，2）、B（3，4）、C（5，0），若将其向左平移2个单位，则新顶点坐标为A'（-1，2）、B'（1，4）、C'（3，0）。 4. 用坐标描述图形运动 步骤：①确定原图形关键点的坐标；②根据变换规则计算变换后关键点的坐标；③依次连接变换后的关键点，得到新图形。 总结：本章核心是理解平面直角坐标系的构成，掌握点的坐标特征、对称规律，以及平移等图形变换与坐标变化的对应关系，能运用坐标解决位置描述、距离计算和图形变换问题。 知识点3： 变量与函数 在某个变化过程中，我们常常会遇到各种量。其中，数值始终保持不变的量叫做常量；而数值发生变化的量叫做变量。例如，在匀速直线运动中，速度是常量，时间和路程是变量。 函数是描述变量之间对应关系的重要概念。一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。这里的“唯一确定”是函数概念的核心，意味着给定一个自变量x的值，只能有一个y值与之对应。例如，对于y=2x，当x=3时，y只能是6，这就是唯一确定的对应关系。 函数的表示方法主要有三种：解析法、列表法和图象法。解析法是用数学式子表示函数关系，如y=3x-1，这种方法的优点是简洁明了，便于进行理论分析和计算；列表法是通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系，例如火车的时刻表，它的优点是可以直接看出自变量取某些值时对应的函数值；图象法是用图象来表示函数关系，它的优点是直观形象，能清晰地反映函数的变化趋势。 确定函数自变量的取值范围是研究函数的基础。在实际问题中，自变量的取值不仅要使函数解析式有意义，还要使实际问题有意义。例如，在解析式y=1/x中，自变量x不能为0，这是由数学式子本身的意义决定的；如果这个函数表示路程与速度的关系，那么速度x还必须是正数，这就是考虑了实际问题的意义。 知识点4： 一次函数的概念 一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了y=kx（k是常数，k≠0），这时我们把它叫做正比例函数。因此，正比例函数是一种特殊的一次函数，它是一次函数在b=0时的情况。 在一次函数y=kx+b中，k和b有着重要的意义。k叫做比例系数，它不能为0，因为如果k=0，函数就变成了y=b，这是一个常数函数，不再是一次函数了。b是函数的常数项。例如，函数y=2x+3中，k=2，b=3；函数y=-5x中，k=-5，b=0，所以它是正比例函数，也是一次函数。 判断一个函数是否为一次函数，关键是看它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式。例如，函数y=2(x-1)+1可以化简为y=2x-1，其中k=2，b=-1，k≠0，所以它是一次函数；而函数y=x²+1，由于x的次数是2，不符合一次函数的形式，所以不是一次函数。 知识点5： 一次函数的图象与性质 一次函数的图象是一条直线。由于两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只需要确定两个点，然后过这两个点画一条直线即可。对于正比例函数y=kx（k≠0），它的图象是经过原点（0,0）的一条直线，因此我们可以再找一个点，比如（1,k），然后过原点和（1,k）画直线。对于一般的一次函数y=kx+b（k≠0），我们可以取与坐标轴的交点，即当x=0时，y=b，得到点（0,b）；当y=0时，x=-b/k，得到点（-b/k,0），然后过这两个点画直线。 一次函数y=kx+b（k≠0）的性质主要由k和b决定。 k的符号决定了函数图象的倾斜方向和函数的增减性。当k>0时，函数图象从左到右上升，y随x的增大而增大；当k<0时，函数图象从左到右下降，y随x的增大而减小。例如，函数y=3x+2，因为k=3>0，所以y随x的增大而增大，图象是上升的；函数y=-2x+5，因为k=-2<0，所以y随x的增大而减小，图象是下降的。 b的符号决定了函数图象与y轴的交点位置。当b>0时，函数图象与y轴交于正半轴；当b=0时，函数图象经过原点；当b<0时，函数图象与y轴交于负半轴。例如，函数y=2x+3中，b=3>0，所以它的图象与y轴交于（0,3），在y轴的正半轴；函数y=-x-2中，b=-2<0，图象与y轴交于（0,-2），在y轴的负半轴。 两条直线的位置关系可以通过它们的k和b的值来判断。对于直线y=k₁x+b₁和直线y=k₂x+b₂：如果k₁=k₂且b₁≠b₂，那么这两条直线平行；如果k₁≠k₂，那么这两条直线相交；如果k₁=k₂且b₁=b₂，那么这两条直线重合。例如，直线y=2x+1和y=2x-3，k₁=k₂=2，b₁=1，b₂=-3，b₁≠b₂，所以它们平行；直线y=3x+2和y=-2x+5，k₁=3，k₂=-2，k₁≠k₂，所以它们相交。 知识点6：用一次函数解决问题 用一次函数解决实际问题，首先要分析问题中的数量关系，找出两个变量，然后根据题意列出一次函数的解析式，最后利用函数的性质解决问题。 具体步骤通常包括：（1）审题，理解题意，明确问题中的已知量和未知量；（2）设出适当的自变量和函数，通常设自变量为x，函数为y；（3）根据题目中的等量关系，列出一次函数的解析式y=kx+b；（4）确定解析式中的k和b的值，这需要根据题目中给出的条件，通常是给出两组x和y的值，代入解析式得到方程组，解方程组求出k和b；（5）利用求出的一次函数解析式解决实际问题，比如预测某个量的值，或者判断某个情况是否成立等。 例如，某商店销售一种商品，每件的成本是10元，售价为x元，每天的销售量为y件。已知当售价为15元时，每天的销售量为20件；当售价为20元时，每天的销售量为10件。假设销售量y与售价x之间是一次函数关系，求y与x之间的函数解析式，并求出当售价为25元时每天的销售量。 首先设y=kx+b，将（15,20）和（20,10）代入解析式，得到方程组：20=15k+b，10=20k+b。解这个方程组，用第一个方程减去第二个方程可得10=-5k，解得k=-2，将k=-2代入第一个方程可得20=15×(-2)+b，解得b=50。所以函数解析式为y=-2x+50。当售价x=25元时，y=-2×25+50=0，即此时每天的销售量为0件。 知识点7： 一次函数与二元一次方程 一次函数与二元一次方程有着密切的联系。每个二元一次方程都可以转化为一次函数的形式。对于二元一次方程ax+by+c=0（a、b不同时为0），当b≠0时，可以变形为y=-a/b x - c/b，这就是一个一次函数的形式；当a≠0时，可以变形为x=-b/a y - c/a，这也是一个关于y的一次函数。 反过来，每个一次函数的解析式y=kx+b都可以看作是一个二元一次方程kx - y + b=0。 二元一次方程组的解与一次函数图象的交点坐标相对应。如果两个一次函数的图象相交，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解；反之，如果二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是这两个一次函数图象的交点坐标。如果两个一次函数的图象平行，那么相应的二元一次方程组无解；如果两个一次函数的图象重合，那么相应的二元一次方程组有无数个解。 例如，二元一次方程组{x+y=3, 2x - y=0}，可以将两个方程变形为一次函数y=-x+3和y=2x。在同一坐标系中画出这两个函数的图象，它们的交点坐标是（1,2），所以这个二元一次方程组的解就是x=1，y=2。 【考点1 】象限或点的坐标 例1．在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查由点的坐标判断其所在象限，熟记象限中点的坐标符号特征是解决问题的关键． 点的横坐标为负，纵坐标恒为正，根据象限符号特点判断即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的横坐标、纵坐标， ∴ 点在第二象限， 故选：B． 变式1．若点在平面直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点在x轴上的特点，根据x轴上点的纵坐标为0，求出m的值，再代入横坐标表达式即可． 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴纵坐标， 解得， ∴横坐标， ∴点P的坐标为， 故选C． 变式2．如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 【考点2 】一次函数、正比例函数的平移 例2 .将一次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的新一次函数的图象过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移变换，解题的关键是掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证． 根据平移规律，将向左平移3个单位得，再向下平移5个单位得新函数解析式；将选项中代入解析式，计算值，匹配对应选项． 【详解】解：根据平移规律，一次函数向左平移3个单位得，再向下平移5个单位得：． 当时，， 即新函数图象过点，对应选项C． 故选：C． 变式1.对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数的图象平行 D．点，都在直线上，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，根据，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：对于一次函数，， ∴随的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，图象与正比例函数的图象平行 ∵ ∴ 故选：B． 变式2.如图，把直线往下平移后得到直线，点的坐标为，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，根据一次函数平移的性质，设直线的函数表达式为，代入到函数表达式求出的值，即可求解． 【详解】解：∵把直线往下平移后得到直线， ∴设直线的函数表达式为， 代入点得，， 解得， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 【考点3 】一次函数的增减性 例3.已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，可得y随x的增大而减小，再判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：C 变式1.已知点，在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 通过比较两点横坐标的大小和函数值的大小关系，判断一次函数的增减性，从而列出关于m的不等式求解即可． 【详解】解：∵，在一次函数的图象上，且，， ∴y随x的增大而减小， ∴，解得： ． 故选D． 变式2.已知一次函数的图象经过，两点，若，则 （填“>”“<”或“=”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，当一次项系数小于0时，函数值随自变量增大而减小，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，一次函数， 由于， 则该函数图象经过二、四象限，函数值y随x的增大而减小， 已知，则， 故答案为：． 【考点4】函数图象中的信息 例4．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度与此高度处的气温之间的关系： 海拔高度 0 1 2 3 4 5 … 气温 20 14 8 2 … 下列说法错误的是（   ） A．海拔高度为自变量，气温为因变量 B．在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降 C．在一定范围内，气温t与海拔高度h之间的关系式为 D．当海拔高度为时，此高度处的气温是零下 【答案】D 【分析】本题主要考查常量与变量；根据表格数据，逐一判断选项，海拔高度每增加，气温下降，得到关系式在给定范围内成立，再把代入关系式计算，即可得出结果． 【详解】解：∵从表格数据可得， 海拔高度为自变量，气温为因变量，故A正确， 在一定范围内，海拔高度每增加，气温就下降，B正确， 当时，时，时，时，时，时，， ∴关系式成立．故C正确， 对于选项D，当时，，但选项D是，与计算不符， ∴选项D错误． 选项A、B、C均正确． 故选：D． 变式1．某容器由上下两段圆柱体组成（如图①），现以速度v（单位：）匀速向容器注水、直至注满为止，图②是注水全过程中容器的水面高度h（单位：）与注水时间（单位：s）的函数图像，根据图像信息，上面小圆柱体与下面大圆柱体的半径之比是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆柱的体积公式和圆的面积公式，熟练掌握圆柱体积公式（）并结合图像获取体积、高度信息是解题的关键．先根据注水时间和速度求出上下圆柱的体积，再结合高度求出底面积，最后利用圆的面积公式得出半径之比． 【详解】解：设下面大圆柱体的半径为，上面小圆柱体的半径为． ∵注满下面大圆柱体的时间是，注水速度为， ∴下面大圆柱体的体积，且大圆柱体的高度为， ∴大圆柱体的底面积． ∵注满上面小圆柱体的时间是， ∴上面小圆柱体的体积，且小圆柱体的高度为， ∴小圆柱体的底面积． ∵圆柱底面积为（或）， ∴， ∴． 故选：A． 变式2．如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 【答案】 225 3600 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用． （1）根据函数图象可知长方体铁块的底面边长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据函数图象可知，求出，根据乙水槽倒完水的时间为40秒即可求出乙水槽存水量． 【详解】解：（1）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知： 长方体铁块的底面边长为，高为， 体积为； （2）根据题意得：， 解得：． ∴注水速度为， ∵乙水槽倒完水的时间为40秒， ∴乙水槽存水量， 故注水前乙水槽内装有水． 【考点5】一次函数与二元一次方程组 例5.已知函数和的图像交于点，则关于的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的联系即方程组中的每个方程都可以变形为一次函数解析式．根据两个一次函数的图像交点坐标即为对应方程组的解即可求解． 【详解】∵ 方程 可变形为 ， 方程 可变形为 ， ∴ 方程组 的解即为函数 和 的图像交点坐标． 又∵ 两函数图像交于点 ， ∴ 方程组的解为 ． 故答案为：A． 变式1.如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 将代入，即可求出的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 变式2.已知直线：与直线：，且直线与直线交于点，关于，的方程组的解为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，直接根据点写出答案即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解为． 故答案为． 【考点6 】一次函数与一元一次不等式 例6. 已知一次函数（，a，b为常数），x与y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 6 4 2 0 不等式的解集是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，一次函数的增减性，掌握相关知识是解决问题的关键．不等式的解集即函数中时x的取值范围，由表可知y随x增大而减小，且当时，故时 【详解】解：∵由表可知， 当时，； 当时，，且函数为一次函数，y随着x增大而减小， ∴的解集为 故选：D． 变式1.一次函数与的图象如图所示，若，根据图象可得x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，表示在x轴的上方，且的图象在的图象的上边部分自变量的取值范围，根据图象即可直接求解． 【详解】解：根据图象可得，，则x的取值范围是：． 故答案为：． 变式2.如图，一次函数和的图象交于点． (1)求出______；______． (2)求方程组的解． (3)请直接写出的解集． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）交点的横纵坐标即为方程组的解； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，两直线的交点为， 把代入，得：，解得； 把代入，得：，解得； （2）∵两直线的交点为， ∴方程组的解为； （3）由图象可知：的解集为． 【考点7】一次函数的解析式 例7．变量的一些对应值如下表，根据表格中的数据规律推测，当时，的值是（  ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 6 13 20 27 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式以及函数值，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题关键．设与的函数关系式为，根据表格中，的对应值，利用待定系数法求出关系式，将代入求出值，即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由表格可知，， 解得， 与的函数关系式为， 当时，， 故选：A． 变式1．已知与成正比例，当时，则与之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义及函数表达式的求解，涉及的知识点是 “正比例关系的定义（若与成正比例，则，为非零常数）”“待定系数法求函数表达式”．解题方法是先根据正比例关系设出函数关系式，再代入已知的值求出比例系数，进而得到与的函数表达式；解题关键是正确根据 “与成正比例” 设出关系式，避免直接设与x的正比例关系．易错点是误将 “与成正比例” 理解为 “与成正比例”，导致关系式设错．解题思路为：根据正比例关系设，代入、求出，再整理得到与的函数表达式． 【详解】设， 将，代入得：， 即， 解得． 所以， 即， 整理得． 故答案为． 变式2．如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 【答案】(1)的解析式为：，， (2)6 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设的解析式为：，将，代入求出，进而求出，，将代入即可求出； （2）求出，分别求出的面积和的面积，相减即可． 【详解】（1）解：设的解析式为： ∵经过， ∴将、代入解析式得： ， ∴，， 即的解析式为：， ∵在； ∴， ∴ ∵在， ∴ ∴； （2）解：是与轴的交点， 在中令，则， 得， ∴，，到的距离为2， ∵， ∴，， ∴． 【考点8 】一次函数的实际应用 例8 .在9.3抗日战争胜利80周年阅兵典礼上，比亚迪纯电动环卫车组成“第零方阵”进行路面清洁任务．假设这些环卫车在行驶过程中，其电池电量剩余量与行驶时间（min）之间呈一次函数关系，关系式为，其图象如图所示，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y随x增大而减小， ∴， ∵一次函数经过y轴正半轴， ∴，． 故选：D． 变式1.在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表： 时间（秒） … 20 40 60 … 油温 … 50 90 130 … 加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为 ． 【答案】230 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据表格数据，油温随时间均匀变化，建立一次函数关系式，代入时间求温度． 【详解】解：由表格数据可知，时间每增加20秒，油温升高，故每秒油温升高， ∴y与x成一次函数关系， 设y与x的函数关系式为，代入点和，得 ， 解得， ∴． 当时，， 故答案为：230． 变式2.某中学拟建一处劳动实践园，计划在2025年将其中120平方米的土地全部种植A，B两种蔬菜．已知A种蔬菜种植总成本y（单位：元）与A种蔬菜种植面积x（单位：平方米）的函数关系式为，其中当时，，种植B种蔬菜每平方米的成本为35元． (1)求A种蔬菜种植总成本y与A种蔬菜种植面积x的函数关系式． (2)若B种蔬菜种植面积为52平方米，求2025年A，B两种蔬菜总种植成本为多少元． 【答案】(1) (2)2025年，两种蔬菜总种植成本为3328元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求出一次函数解析式，是解题的关键． （1）把时，代入求出b的值，即可得出函数解析式； （2）由种蔬菜种植面积为52平方米可得，种蔬菜种植面积为平方米，把代入，得元，然后求出种蔬菜种植总成本为元，两者相加，即可求出总种植成本． 【详解】（1）解：把时，代入得： ， 解得：， 种蔬菜种植总成本与种植面积的函数关系式为； （2）解：种蔬菜种植面积为52平方米， 种蔬菜种植面积为：（平方米）， 把代入，得： （元）， 种蔬菜种植总成本为：（元）， 年两种蔬菜总种植成本为：（元）， 答：年、两种蔬菜总种植成本为元； 【考点9】行程问题 例9. 如图①所示，在两地之间有一车站，甲车从地出发经站驶往地，乙车从地出发经站驶往地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论： ①的值为120； ②的值1.3； ③小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为：； ④乙车到达地前，两车与车站的路程之和不超过时行驶时间的取值范围为． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图象得到信息，理解图象，求出甲，乙速度是本题的关键． 先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离；利用待定系数法可求解析式；分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 【详解】解：甲的速度， 的距离，故①正确； ， 乙车速度， ，故②错误； 设1.5小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式， 把和代入可得， 解得， 函数关系式为，故③正确； 当时， 甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为， 根据题意可得， 解得， ； 当时， 甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为， 根据题意可得， 解得， ， 综上所述，，故④错误； 其中正确的有①③两个， 故选：B． 变式1.甲车从A地匀速驶往相距的B地，当甲车行驶小时经过途中的C地时，乙车恰好从C地出发以另一速度匀速驶往B地，当乙车到达B地后立即掉头以原来的速度匀速驶往A地（甲车到达B地，乙车到达A地后分别停止运动）．行驶过程中两车的距离y（）与甲车从出发所用的时间x（）之间的函数关系如图所示，则甲车到达B地时，乙车距A地 ． 【答案】180 【分析】根据函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，然后再根据图象可知，4.5小时两车相遇，则可以计算出乙车的速度，再计算出甲车从A地到B地用的时间，然后即可计算出甲车到达B地时，乙车距A地的路程． 本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】解：由图象可得， 甲车的速度为：（）， 乙车的速度为：（）， 甲车从A地到B地用的时间为：（小时）， 则甲车到达B地时，乙车距A地的路程是：（）， 故答案为：180． 变式2.一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线每小时行驶千米匀速驶向地，货车到达地填装货物耗时分钟，然后立即按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（千米）与货车出发时间（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)两地之间的距离是_________千米，_________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)货车出发多少小时两车相距20千米？（直接写出答案即可） 【答案】(1)90， (2)线段所在直线的函数解析式为 (3)货车出发小时或小时或小时 【分析】（1）根据货车从地到地花了小时结合路程速度时间即可求出、两地的距离；根据货车装货花了分钟即可求出的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分两车从前往途中相遇前后和货车从往途中相遇前后，四种情况，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：千米， ，两地之间的距离是千米， 货车到达地填装货物耗时分钟， ， 故答案为：，； （2）解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）解：设货车出发小时两车相距千米， 由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， 当两车都在前往地的途中且未相遇时两车相距20千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往地的途中且相遇后两车相距20千米，则，解得； ， ∴货车装货过程中两车不可能相距千米， 当货车从地前往地途中且两车未相遇时相距千米，则， 解得； 当货车从地前往地途中且两车相遇后相距20千米，则， 解得； 综上所述，当货车出发小时或小时或小时时，两车相距千米． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 【考点10 】一次函数中的特殊三角形 例10．已知直线：与x轴、y轴分别交于点、，直线：与x轴、y轴分别交于点C、E，两直线交于点． (1)求直线的函数表达式以及点D的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)直线为， (2)P的坐标为或或或或 【分析】本题主要考查了勾股定理、一次函数的交点问题、等腰三角形的定义． （1）先利用待定系数法求解直线，再联立解析式建立方程组，解出方程组的解即可． （2）利用两点距离公式表示出、、，再分类讨论建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与x轴、y轴分别交于点、， ∴， 解得：， ∴直线为． 联立两直线解析式可得：， 解得， 则点D的坐标为． （2）解：，， 设， 则、、， ①当时，则， 解得， 则点的坐标为； ②当时，则， 解得， 则点的坐标为或； ③当时，则， 解得， 则点的坐标为或； 综上，P的坐标为或或或或． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，点C在x轴正半轴上，且． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，在直线上取一点D，且点D在x轴上方，连接，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是面积的2倍，求出D点的坐标； (3)在（2）的条件下，在线段，上分别取M，N，且使得线段轴，在x轴上取一点P，连接，，存在点M，使得为等腰直角三角形，请直接写出M点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论． （1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）根据三角形面积公式得到到的距离等于点到的距离的 2 倍，即点的纵坐标为 4 ，然后利用直线的解析式计算函数值为 4 所对应的自变量的值，从而得到点坐标． （3）先求出直线的表达式，再求出点的坐标为，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴线段的表达式． （2）解：令，则， ∴， ∵，且点在轴正半轴上， ， ∴， ， 设点的坐标为， 如图①，过点作轴的垂线交轴于点， 则， ， 即， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：存在，点的坐标为或， 设直线的表达式为， 将点代入， 得， 解得， ∴直线的表达式． 已知点在线段上， 设点的坐标为， 则， ∵轴，且点在上， ∴将代入， 得， 解得：． ∴点的坐标为， 分三种情况讨论：①如图②，当为直角顶点时，点的坐标为， ， ， 解得：， ∴点的坐标为． ②如图③，当为直角顶点时，点的坐标与①中情况相同； ③如图④，当为直角顶点时，， 过点作轴，交于点， 则点为的中点，且， ∴点的坐标为， ， ， ， 解得：， ， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 变式2．如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与直线交于点，两直线与轴分别交于点和． (1)填空：_____，_____，点的坐标为_____； (2)点是直线上一点，当最小时，求三角形的面积； (3)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点，若为直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)点或 【分析】（1）把点的坐标代入，求得的值，进而将以及代入求解即可． （2）设与轴交于点，根据直线解析式分别求得的坐标，勾股定理得出，进而可得是等腰三角形，进而根据点是的中点，根据三线合一可得垂直平分，得出点的位置，进而根据三角形的面积公式，即可求解． （3），，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：将代入 得，解得， 故直线的解析式为． 把，代入，得，解得， ∵直线的解析式为； 当时，，解得： ∴点的坐标为 故答案为：，，． （2）解：如图，设与轴交于点， ∵直线的解析式为． 当时，；当时，， ∴， ∴，，的中点为 又∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴是的中点， ∴ ∴ 又∵点是直线上一点， ∴当点为直线与轴的交点时最小 ∵直线的解析式为； 当时， ∴ ∵ ∴ （3）解：设点，如图，    当时，过点作于点， ∵，，沿直线翻折得到， ∴，，，， ∴， ∴，， 解得， 故点； 如图，    当时，过点作于点， ∵，，沿直线翻折得到， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，，， 解得， 故点； 综上所述，点或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的确定，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，线段和的最小值，熟练掌握待定系数法，勾股定理，分类思想是解题的关键 【考点11】一次函数中的角的问题 例11 .如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点． (1)如图1，过O作直线于C，求的长； (2)在（1）的条件下，点Q是直线上一动点，连接，将沿着翻折，若点A恰好落在直线上，请求出Q点的坐标； (3)如图2，点E在直线上，且横坐标为4，过点E作直线，使得．过点E作直线轴于点T，点M在射线上（不与点E重合），点N在射线上，若，请问是否存在最小值?若存在，请直接写出最小值及此时N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在最小值，最小值为， 【分析】（1）根据点，点，由两点间距离公式求解，结合，根据三角形面积不同表示方法，列式计算即可； （2）分点A的对称点落在第一象限和第三象限两种情况，利用折叠的性质，待定系数法求交点的坐标的思想，规范解答即可． （3）过点D作于点D，且使得，连接，利用三角形全等，待定系数法，两点之间线段最短，解方程组，两点间距离公式解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：当对称点落在第一象限时，如图所示， 过点Q作于点G， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 当时，， 故； 当对称点在第三象限时，如图所示，记交x轴于点M， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵直线的函数表达式． 当时，， 故， 综上：Q点的坐标或 （3）解：存在最小值，理由如下： ∵直线的函数表达式， ∴时，， ∴点， ∴， 过点D作于点D，且使得，连接，连接交于， ∵直线轴于点T， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， 故当B，F，N三点共线时，取得最小值，且为的长度， 故当N与点P重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 设直线的函数表达式， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式． 根据题意，得， 解得 ∴， 故． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，两点间距离公式，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，两点之间线段最短，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式1.美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点作直线，过点作于点，过点作于点，研究图形，不难发现：． (1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，点的坐标为，点的坐标为，则点坐标为 ； (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； (3)如图4，直线分别交轴、轴于点，直线过点交轴于点，且，若点是直线上的一个动点，点是轴上的一个动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】（1）如图1，过点作轴于E．证明推出，，可得； （2）若将直线绕点A顺时针旋转得到，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，由（1）的模型可得，求出，再由待定系数法求函数的解析式； （3）点M在上方和下方，两种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图2，过点轴于E， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：若将直线绕点A顺时针旋转得到， 如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， 由（1）的模型可得， ∵与x轴的交点，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，C， ∴，， ∵． ∴， ∴， 设点，点， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴ ，， 如图4，当点M在上方时， 分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H， 由（1）的模型可得：， ∴，， 即，， 解得，； 故点、点； 同理，当点M在下方时， ∴，， 解得， 故点、点； 综上，，或，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题． 变式2.如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线：交于点． (1)求，两点的坐标； (2)如图1，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，当，且时，求的长； (3)求出当是等腰三角形时直线的函数解析式 (4)如图3，若，过点，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质及分类讨论． （1）根据直线与坐标轴的坐标特点即可求解； （2）连接，根据题意可证明，得到，求出，再利用在中，由股定理求得； （3）分，两种情况讨论，分别求出直线的函数解析式即可； （4）根据平行求出直线的函数表达式为，得到，，再分当点在点左侧，当点在点右侧分别进行求解． 【详解】（1）解：∵直， 当时，， 当时，， ∴，两点的坐标分别为，． （2）如图，连接， ∵，两点的坐标分别为，， ． ， ． ， ． ， ． ，． ∵点是线段的中点， ． ． （3）如图，当时，过点作轴，于点， ， ． 轴， ． ． ． ， ． ． 点的坐标为：． ∴直线的函数解析式为：． 如图，当时，过点作轴，于点， ， ，． ． ． 点的坐标为：． ∴直线的函数解析式为：． 综上所述，直线的函数解析式为：或． （4）存在， ∵，，， ∴直线的解析式为． 当时， ∴． ． ， ． 如图，当点在点左侧时，在上取， 又，， ． ． ， ． ∴此时点即为所求． ， ． ∴点的坐标为． 如图，当点在点右侧时， ，， ． 设，则， 由勾股定理得，， ，解得． 此时的坐标为． 综上所述，在轴上存在点，使，点的坐标为或． 【考点12 】一次函数中的新定义 例12. 定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“不动点”．例如求的“不动点”： 令，解得；把代入得，．则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________； (2)若一次函数的“不动点”为，求m、n的值； (3)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①求出点A和点B的坐标． ②若P点为x轴上一个动点，使得，请直接写出满足条件点P的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)①，；②或 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“不动点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①先根据题意可得，再求出点A、B的坐标即可； ②先求出，设，得出，根据，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“不动点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立 解得， 一次函数的“不动点”为； （2）解：∵一次函数的“不动点”为， ∴， ∴， ∴“不动点”为， ∴， 解得：； （3）解：①∵直线上没有“不动点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， ∴，； ②， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． 变式1.在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的同族点的是______； ②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为______； (2)已知，， ①M为线段上一点，过点作与x轴垂直的直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出n的取值范围； ②E为直线上的一个动点，点在x轴下方，若点E、点F为同族点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①②或 (2)①② 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义”同族点”问题，涉及点到坐标轴的距离、一次函数与线段的交点等知识，解题的关键是理解”同族点”的定义，结合点的坐标特征和函数图象进行分析计算． （1）①根据”同族点”定义，计算各点到两坐标轴的距离之和，与点的进行比较；②设点坐标，根据定义列方程求解； （2）①先确定线段上点到两坐标轴的距离之和的范围，再结合直线上点的距离和，确定的取值范围； ②分析直线上点的距离和，结合点的距离和，确定的取值范围． 【详解】（1）解：（1）①点到两坐标轴的距离之和为， 点到两坐标轴的距离之和为， 点到两坐标轴的距离之和为， 点到两坐标轴的距离之和为， 为点的同族点的是， 故答案为：； ②设点的坐标为，则点到两坐标轴的距离之和为， 为同族点，，解得，则点的坐标为或， 故答案为：或； （2）解： ①，设直线的解析式为，代入得，解得， ， 设，则到两坐标轴的距离之和为， ，． 设，则到两坐标轴的距离之和为， 为同族点，，即，要使存在，需， 解得； ②设，则到两坐标轴的距离之和为， 当时，， 当时，， 当时，， 点到两坐标轴的距离之和为， 、为同族点， ，解得． 变式2.在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，连接，若点M是线段的中点，则称点M是点P与图形W的 “关联点”.已知点，点. (1)在点，，中，其中点 是点与线段的“关联点”； (2)若点O是点与线段的“关联点”，求m的取值范围； (3)若在直线上存在点E，使点E与线段的“关联点”是点，则b的最小值为________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的几何问题，求中点坐标，待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解题意，掌握中点坐标公式． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，根据定义求出“关联点”的解析式，然后判断点是否在直线上即可； （2）根据题意，求出临界点线段的中点坐标即可； （3）假设，根据临界点线段中点的坐标求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，点，代入解析式得， ， 解得， ∴，， ∴点与线段的“关联点”的解析式为， 当时，， ∴点不是点与线段的“关联点”； 当时，， ∴点是点与线段的“关联点”； 当时，， ∴点是点与线段的“关联点”； 故答案为：，； （2）解：∵点，点，点，， ∴当点是线段中点时，； 当点是线段中点时，； ∴； （3）解：假设， ∵点，点， ∴当点为线段中点时，， 解得， ∴， 解得； 当点为线段中点时，， 解得， ∴， 解得； ∴b的最小值为， 故答案为：． 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 2．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，   已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 3．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 4．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后点的坐标即可． 【详解】解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即． 故答案为：． 6．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 根据点的平移规律即可求解． 【详解】解：由题意得：将点沿着轴向右平移3个单位， ∴平移后点的坐标为，即， 故答案为：． 7．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 【答案】 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． 8．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 9．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 10．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $