专题01 三角形（寒假复习讲义）八年级数学新教材苏科版

专题01 三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：三角形中的线段和角 1.三角形的概念与表示 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。三角形的基本元素包括三条边（通常用a、b、c或顶点对应的小写字母表示，如BC边记为a，AC边记为b，AB边记为c）和三个内角（∠A、∠B、∠C）。 2.三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这一关系是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。具体来说，对于三条线段a、b、c，若a + b > c，a + c > b，b + c > a同时成立，则这三条线段能组成三角形；反之，若其中任何一个不等式不成立，则不能组成三角形。在已知两边长度求第三边取值范围时，第三边的长度大于两边之差，小于两边之和。 3.三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的高是一条线段。锐角三角形的三条高都在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点就是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。三角形的三条高（或其所在直线）相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 4.三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的中线也是一条线段。三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，因为这两个三角形等底同高。 5.三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线同样是一条线段。三角形的三条角平分线都在三角形内部，相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 知识点2：全等三角形 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。全等三角形用符号“≌”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，例如△ABC≌△DEF，表示点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点。 2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。由全等三角形的定义可知，既然两个三角形能够完全重合，那么它们的对应元素必然相等。此外，全等三角形的对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线也分别相等；全等三角形的周长相等，面积相等。这些性质是解决与全等三角形相关计算和证明问题的重要依据。 知识点3： 全等三角形的判定 1.判定方法1：边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。这意味着如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形一定全等。该判定方法是通过三角形的稳定性来理解的，只要三角形的三条边长确定，其形状和大小就唯一确定。 2.判定方法2：边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。这里需要注意的是，“夹角”是指两条已知边所夹的角，而不是其中一边的对角。如果是两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不一定全等，即“边边角”（SSA）不能作为全等三角形的判定方法。 3.判定方法3：角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。此判定方法强调的是两个角和这两个角所夹的边对应相等，只要满足这个条件，两个三角形就全等。 4.判定方法4：角角边（AAS） 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。由三角形内角和定理可知，两个角对应相等的三角形，第三个角也必然对应相等，因此“AAS”可以看作是“ASA”的推论。在应用时，要明确是哪两个角和其中一个角的对边对应相等。 5.判定方法5：斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。这是直角三角形特有的全等判定方法，因为直角三角形已经有一个直角是相等的，所以只需斜边和一条直角边对应相等即可判定全等。对于一般三角形，“SSA”不成立，但在直角三角形中，当其中一个角是直角时，“HL”判定方法有效。 6.判定全等三角形的思路 在判定两个三角形全等时，要根据已知条件选择合适的判定方法。若已知两边对应相等，可以考虑“SSS”（再找第三边相等）或“SAS”（找两边的夹角相等）；若已知两角对应相等，可以考虑“ASA”（找两角的夹边相等）或“AAS”（找其中一角的对边相等）；若已知一边一角对应相等，可根据角的位置（是夹角还是对角）选择“SAS”或“ASA”、“AAS”；对于直角三角形，除了上述一般方法外，还可以考虑“HL”。 知识点4：线段垂直平分线与角平分线 1.线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）。线段的垂直平分线是一条直线，它具有两个重要特征：一是经过线段的中点，二是垂直于该线段。 2.线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。即如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么PA = PB。这个性质定理可以通过全等三角形（如利用SAS证明△POA≌△POB，其中O为AB中点，PO为垂直平分线）来证明。 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。该逆定理可以用来判断一个点是否在线段的垂直平分线上。综合性质定理和逆定理可知，线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。 4.三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等。锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 5.角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。即如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，那么PD = PE。此性质定理可通过AAS或ASA证明△POD≌△POE得到。 6.角平分线的性质定理的逆定理（判定定理） 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。该逆定理用于判断一个点是否在一个角的平分线上。角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的所有点的集合。 7.三角形三内角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三条边的距离相等。无论三角形是锐角、直角还是钝角，内心都在三角形内部。 知识点5：等腰三角形 1.等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。等腰三角形是一种特殊的三角形，具有一般三角形的所有性质，同时还有其特殊性质。 2.等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。即如果在△ABC中，AB = AC，那么∠B = ∠C。这个性质可以通过作顶角的平分线（或底边上的中线、底边上的高）构造全等三角形（如SAS、SSS、ASA等）来证明。 3.等腰三角形的性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。这是等腰三角形的一个非常重要的性质，它表明等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线段实际上是同一条线段。例如，在等腰△ABC中，AB = AC，AD是顶角∠BAC的平分线，那么AD同时也是底边BC上的中线和底边BC上的高。 4.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。该判定定理是“等边对等角”的逆定理，它提供了一种判断三角形是否为等腰三角形的方法。如果在△ABC中，∠B = ∠C，那么AB = AC，即△ABC是等腰三角形。 5.等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，同时还有自身独特的性质。 6.等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。由于等边三角形三条边相等，根据“等边对等角”，三个角也相等，再由三角形内角和为180°，可得每个角都是60°。此外，等边三角形也具有“三线合一”的性质，即每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合。 7.等边三角形的判定 判定等边三角形的方法有：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。对于第三个判定方法，需要明确这个60°的角可以是顶角也可以是底角，若为底角，则另一个底角也是60°，顶角为60°；若为顶角，则两个底角和为120°，每个底角为60°。 8.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。即在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，那么BC = 1/2 AB。这个性质在解决与直角三角形相关的计算问题中非常有用，其逆命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”也成立。 【考点1 】三角形的三边关系 例1．在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，4cm B．3cm，3cm，7cm C．2cm，5cm，9cm D．8cm，4cm，4cm 变式1．已知是三角形的三边，化简 ． 变式2．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【考点2 】三角形的三条重要线段 例2 .下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 变式1.如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 变式2.如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【考点3 】等腰三角形的性质 例3. 已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 变式1.如图，在等腰中，，平分，若是等腰三角形，则的度数为 ． 变式2.如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【考点4】最值i问题 例4．如图，在中，，，的面积是14，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 变式1．如图，中，的面积为24，D为边上一动点（不与B，C重合），将和分别沿直线翻折得到与，那么的面积最小值为 . 变式2．请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若． （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【考点5】全等三角形的性质与判定 例5.如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 变式1.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是 （从“”中选择一个回答）． 变式2.【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【考点6 】垂直平分线与角平分线的性质与判定 例6. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式1.如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 变式2.如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点7】比较边的大小证明 例7．已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 变式1．龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 变式2．如图，为△内任意一点，求证： (1)； (2)． 【考点8 】尺规作图 例8 .如图，中，，． (1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 变式1.如图，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 变式2.如图，中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)在如图（1）边上求作一点D，使点D到点A、C两点的距离相等； (2)在如图（2）边上求作一点E，使得. 【考点9】课本上的定理证明 例9. 在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 变式1.问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形，并完成推理过程． 已知：平分，于E点，于D点，求证：． (1)定理证明：结合图1及已知和求证，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 变式2.数学兴趣小组探究“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个定理． (1)请你补全这个定理的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么______． (2)兴趣小组通过添加辅助线证明上述定理，请你帮助完成． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是______三角形， ______，且______， ， ， ______， ，即． (3)兴趣小组继续探索：该定理的逆命题也是真命题．下面是证明的过程，请你补充完整． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，延长到点，使得，连接， 【考点10 】动点问题 例10．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 变式1．（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 变式2．如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 【考点11】新定义问题 例11 .新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． (1)【初步尝试】如图，在中，，，，，点P为上一点，当_____时，与为积等三角形． (2)【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． (3)【综合应用】如图，在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 变式1.定义：如图1，在和中，，当时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高线叫做的“顶心距”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图2，图3中，与互为“顶补等腰三角形”，是“顶心距”． ①如图2，当时，与之间的数量关系为________； ②如图3，当，时，的长为________． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明． (3)拓展应用：如图4，在四边形中，，，，，，在四边形的内部找到点，使得与互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题． ①请用尺规作图，在图中作出点的位置； ②直接写出的“顶心距”的长为________． 变式2. 在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在第一象限，作射线．给出如下定义：如果点在的内部，过点作于点，于点，那么称与的长度之和为点关于的“内距离”，记作，即． (1)如图1，若点在的平分线上，则___________，___________，___________； (2)如图2，若，点（其中）满足，求的值； (3)若，点在的内部，用含，的式子表示 （直接写出结果）． 【考点12 】无刻度尺作图 例12. 图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 变式1.如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； (4)在图中，F是线段上一点，在线段上画点H，使得线段平分的面积． 变式2.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务．保留作图痕迹． (1)如图1，作的中线和高； (2)如图2，在上找到一点E，使得； (3)如图2，P为上一点，在上找一点Q，使得． 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 5．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 6．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 7．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    8．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 9．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 10．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：三角形中的线段和角 1.三角形的概念与表示 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。三角形的基本元素包括三条边（通常用a、b、c或顶点对应的小写字母表示，如BC边记为a，AC边记为b，AB边记为c）和三个内角（∠A、∠B、∠C）。 2.三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这一关系是判断三条线段能否组成三角形的重要依据。具体来说，对于三条线段a、b、c，若a + b > c，a + c > b，b + c > a同时成立，则这三条线段能组成三角形；反之，若其中任何一个不等式不成立，则不能组成三角形。在已知两边长度求第三边取值范围时，第三边的长度大于两边之差，小于两边之和。 3.三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。三角形的高是一条线段。锐角三角形的三条高都在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，三条高的交点就是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。三角形的三条高（或其所在直线）相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。 4.三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的中线也是一条线段。三角形的三条中线都在三角形内部，并且相交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，因为这两个三角形等底同高。 5.三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线同样是一条线段。三角形的三条角平分线都在三角形内部，相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。 知识点2：全等三角形 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。全等三角形用符号“≌”表示，读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，例如△ABC≌△DEF，表示点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点。 2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。由全等三角形的定义可知，既然两个三角形能够完全重合，那么它们的对应元素必然相等。此外，全等三角形的对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线也分别相等；全等三角形的周长相等，面积相等。这些性质是解决与全等三角形相关计算和证明问题的重要依据。 知识点3： 全等三角形的判定 1.判定方法1：边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。这意味着如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形一定全等。该判定方法是通过三角形的稳定性来理解的，只要三角形的三条边长确定，其形状和大小就唯一确定。 2.判定方法2：边角边（SAS） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。这里需要注意的是，“夹角”是指两条已知边所夹的角，而不是其中一边的对角。如果是两边和其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形不一定全等，即“边边角”（SSA）不能作为全等三角形的判定方法。 3.判定方法3：角边角（ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。此判定方法强调的是两个角和这两个角所夹的边对应相等，只要满足这个条件，两个三角形就全等。 4.判定方法4：角角边（AAS） 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。由三角形内角和定理可知，两个角对应相等的三角形，第三个角也必然对应相等，因此“AAS”可以看作是“ASA”的推论。在应用时，要明确是哪两个角和其中一个角的对边对应相等。 5.判定方法5：斜边、直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。这是直角三角形特有的全等判定方法，因为直角三角形已经有一个直角是相等的，所以只需斜边和一条直角边对应相等即可判定全等。对于一般三角形，“SSA”不成立，但在直角三角形中，当其中一个角是直角时，“HL”判定方法有效。 6.判定全等三角形的思路 在判定两个三角形全等时，要根据已知条件选择合适的判定方法。若已知两边对应相等，可以考虑“SSS”（再找第三边相等）或“SAS”（找两边的夹角相等）；若已知两角对应相等，可以考虑“ASA”（找两角的夹边相等）或“AAS”（找其中一角的对边相等）；若已知一边一角对应相等，可根据角的位置（是夹角还是对角）选择“SAS”或“ASA”、“AAS”；对于直角三角形，除了上述一般方法外，还可以考虑“HL”。 知识点4：线段垂直平分线与角平分线 1.线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫线段的中垂线）。线段的垂直平分线是一条直线，它具有两个重要特征：一是经过线段的中点，二是垂直于该线段。 2.线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。即如果点P在线段AB的垂直平分线上，那么PA = PB。这个性质定理可以通过全等三角形（如利用SAS证明△POA≌△POB，其中O为AB中点，PO为垂直平分线）来证明。 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理（判定定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。该逆定理可以用来判断一个点是否在线段的垂直平分线上。综合性质定理和逆定理可知，线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。 4.三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心。外心到三角形三个顶点的距离相等。锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形外部。 5.角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。即如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，那么PD = PE。此性质定理可通过AAS或ASA证明△POD≌△POE得到。 6.角平分线的性质定理的逆定理（判定定理） 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。该逆定理用于判断一个点是否在一个角的平分线上。角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的所有点的集合。 7.三角形三内角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心到三角形三条边的距离相等。无论三角形是锐角、直角还是钝角，内心都在三角形内部。 知识点5：等腰三角形 1.等腰三角形的定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。等腰三角形是一种特殊的三角形，具有一般三角形的所有性质，同时还有其特殊性质。 2.等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。即如果在△ABC中，AB = AC，那么∠B = ∠C。这个性质可以通过作顶角的平分线（或底边上的中线、底边上的高）构造全等三角形（如SAS、SSS、ASA等）来证明。 3.等腰三角形的性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。这是等腰三角形的一个非常重要的性质，它表明等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高这三条线段实际上是同一条线段。例如，在等腰△ABC中，AB = AC，AD是顶角∠BAC的平分线，那么AD同时也是底边BC上的中线和底边BC上的高。 4.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。该判定定理是“等边对等角”的逆定理，它提供了一种判断三角形是否为等腰三角形的方法。如果在△ABC中，∠B = ∠C，那么AB = AC，即△ABC是等腰三角形。 5.等边三角形的定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，同时还有自身独特的性质。 6.等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。由于等边三角形三条边相等，根据“等边对等角”，三个角也相等，再由三角形内角和为180°，可得每个角都是60°。此外，等边三角形也具有“三线合一”的性质，即每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合。 7.等边三角形的判定 判定等边三角形的方法有：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。对于第三个判定方法，需要明确这个60°的角可以是顶角也可以是底角，若为底角，则另一个底角也是60°，顶角为60°；若为顶角，则两个底角和为120°，每个底角为60°。 8.含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。即在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，那么BC = 1/2 AB。这个性质在解决与直角三角形相关的计算问题中非常有用，其逆命题“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”也成立。 【考点1 】三角形的三边关系 例1．在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A．2cm，3cm，4cm B．3cm，3cm，7cm C．2cm，5cm，9cm D．8cm，4cm，4cm 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系“在任意三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、由于，则能组成三角形，本选项符合题意； B、由于，则不能组成三角形，本选项不符合题意； C、由于，则不能组成三角形，本选项不符合题意； D、由于，不大于8，则不能组成三角形，本选项不符合题意． 故选：A． 变式1．已知是三角形的三边，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识．根据三角形三边关系，判断绝对值内的符号，进而化简绝对值，即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴，， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为． 变式2．已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 【考点2 】三角形的三条重要线段 例2 .下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的定义进行判断． 【详解】解：若线段是的高，需过点A作对边的垂线，则垂线段是的高． 选项B、C、D错误，只有选项A符合题意， 故选：A． 变式1.如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 变式2.如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差； (2)点E在边上，连接．若的周长被分成的两部分的差是，求线段的长． 【答案】(1) (2)线段的长为或 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， 与的周长差： （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 当的周长-四边形的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 四边形的周长的周长时， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ∴； 综上，线段的长为或． 【考点3 】等腰三角形的性质 例3. 已知等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3，则该等腰三角形的腰长是（   ） A．3 B．6 C．3或6 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：①当腰长是3时，则底边长为9，不符合构成三角形的条件，②当底边为3时，则腰长为6，符合构成三角形的条件，由此可得该等腰三角形的腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为15，其中一边的长为3， 有以下两种情况： ①当腰长是3时，则底边长为：， 此时该等腰三角形的三边为：3，3，9， ，不符合构成三角形的条件； ②当底边为3时，则腰长为：， 此时该等腰三角形的三边为：6，6，3， ，符合构成三角形的条件， 综上所述：该等腰三角形的腰长为6， 故选：． 变式1.如图，在等腰中，，平分，若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】36°或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键． 首先根据等腰三角形的性质，将设为并底角表示出来，再进行等腰三角形的分类讨论，计算是否符合情况得到答案即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论∶ ①当时，，即，解得， ∴； ②当时，此时点D和点C重合，∴此情况不存在； ③当时，，即， 解得 ， ∴； 故答案为：或． 变式2.如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【考点4】最值i问题 例4．如图，在中，，，的面积是14，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问题，正确添加辅助线是解题关键．连接，，先证明，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为9． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：C． 变式1．如图，中，的面积为24，D为边上一动点（不与B，C重合），将和分别沿直线翻折得到与，那么的面积最小值为 . 【答案】9 【分析】本题主要考查了几何折叠的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 过点作，交的延长线于点，根据折叠的性质得出相等的边和角，根据含角的直角三角形的性质，得出，当时，最短， 然后根据三角形的面积求出长，最后求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，最短， ∵，的面积为24， ∴当时，，， ∴的面积最小值为， 故答案为：9． 变式2．请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若． （1）求的最小值，并说明理由； （2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【答案】任务1：520米 任务2：（1）6，理由见解析      （2）10 任务3：9 【分析】本题考查了最短路径问题（涉及轴对称、垂直平分线的性质），解题的关键是利用轴对称或垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 任务1通过作对称点，结合中点与的条件转化路径求最短距离； 任务2利用垂直平分线性质转化线段，结合线段最短求及三角形周长的最小值； 任务3作对称点转化折线路径，结合角度条件求面积和． 【详解】任务1 解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米， ∴到该中点的距离为米， ∵， ∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则, ∴, ∴点在同一条直线上， 最短距离（米）． 故答案为：． 任务2 （1）解：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时， ∴的最小值为． （2）解：∵直线是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的最小值为, ∴的最小值为6, ∴周长最小值． 任务3 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，， ∴． 【考点5】全等三角形的性质与判定 例5.如图，已知，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质；根据全等三角形的性质可得，进而可得，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 变式1.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线，这里构造全等三角形的依据是 （从“”中选择一个回答）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 变式2.【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 【考点6 】垂直平分线与角平分线的性质与判定 例6. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 变式1.如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 【答案】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2.如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：在与中， ∵，， ， ， ， ， ． 【考点7】比较边的大小证明 例7．已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键. （1）延长，交于D，在中，根据三角形两边之和大于第三边可得同理中，可得再根据不等式的性质得到进而证明； （2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论. 【详解】（1）（1）证明：如图，延长，交于点D． 在中，． 在中，， 即． （2）（2）． 理由：在中，． 同理可得，． 以上三式左、右两边分别相加，得， 即． 变式1．龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． (1)若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， (2)路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【答案】(1)兔子的路线长，乌龟的路线短，过程见解析 (2)路线②和③相比，路线③更短，见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点，延长交于点．分别在中，根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：补全过程如下： 在中，， ∴， ∴， ∴兔子的路线长，乌龟的路线短． （2）解：如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，，① 在中，，② 在中，∵， ∴，③ ∴由①②③式得， ∴， ∴， ∴路线②和③相比，路线③更短． 变式2．如图，为△内任意一点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形的外角性质，关键是掌握三角形两边的和大于第三边，三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （1）延长交于，由三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，即可证明； （2）由三角形三边关系定理推出，，即可证明； 【详解】（1）延长交于， ，， ； （2），， ， ． 【考点8 】尺规作图 例8 .如图，中，，． (1)作边的垂直平分线，与，分别相交于点，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质及其画法、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形的性质，正确画出线段垂直平分线是解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，根据线段垂直平分线的性质得到，则，，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线就是所求． （2）解：连接， 因为，且， 所以， 因为是线段的垂直平分线，， 所以， 所以， 则， 在中，， 所以． 变式1.如图，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的作法、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握等角对等边和平行线的性质是解题的关键． （1）根据作角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）运用角平分线的定义和平行线的性质推导，从而得到，继而得解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求的作角平分线； （2）证明：∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． 变式2.如图，中，，利用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)在如图（1）边上求作一点D，使点D到点A、C两点的距离相等； (2)在如图（2）边上求作一点E，使得. 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查尺规作图画已知线段的垂直平分线，尺规作图画已知角的角平分线； （1）作线段的垂直平分线与的交点即为点D； （2）使得的点E到、的距离相等，即的角平分线与的交点. 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点D，连接， 由垂直平分线的性质可知：， 则点D即为所求. （2）解：如图，作的平分线，交于点， 此时点E到、的距离都等于的长度， ∴， 则点E即为所求. 【考点9】课本上的定理证明 例9. 在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【分析】（）①根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可；②由等腰三角形的三线合一的性质得，设，，，则，再根据三角形的周长公式解答即可； （）分别证明和，得到，，进而即可求证； 此题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①，平分， ，， 故答案为：，； ②∵，， ∴， 设，，，则， ∵的周长， ， 的周长， ∴， ， 即的长为； （2）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， 即． 变式1.问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形，并完成推理过程． 已知：平分，于E点，于D点，求证：． (1)定理证明：结合图1及已知和求证，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题关键． （1）证明，从而得到； （2）过E点作于F点，于G点，于H点，如图2，根据角平分线的性质可证明，然后证明，从而得到． 【详解】（1）解： 证明：平分， ， 于E点，于D点， ， 在和中， ， ， ， ∴角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2， 平分，DE平分， ，， ， 在和中， ， ， ． 变式2.数学兴趣小组探究“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”这个定理． (1)请你补全这个定理的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么______． (2)兴趣小组通过添加辅助线证明上述定理，请你帮助完成． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是______三角形， ______，且______， ， ， ______， ，即． (3)兴趣小组继续探索：该定理的逆命题也是真命题．下面是证明的过程，请你补充完整． 已知：在中，，．求证：． 证明：如图，延长到点，使得，连接， 【答案】(1)这条直角边所对的角是 (2)等边，，， (3)见解析 【分析】（）根据互逆命题的定义解答即可求解； （）先证明是等边三角形，得到，，即得，即得到，进而得到，即可求证； （）证明是等边三角形，得到，进而即可求证； 本题考查了互逆命题，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：这个定理的逆命题是：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是， 故答案为：这条直角边所对的角是； （2）证明：如图，在边上取一点，使得，连接， ，， ， 是等边三角形， ，且， ， ， ， ，即， 故答案为：等边，，，； （3）证明：如图，延长到点，使得，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【考点10 】动点问题 例10．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴点的运动时间， ∴点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 变式1．（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 变式2．如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查长方形的性质、列代数式、一元一次方程等知识点，解答本题的关键是熟练掌握长方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）分和根据路程=速度×时间可求出的长即可得出的长； （2）建立平面直角坐标系，得长方形顶点坐标，根据中点坐标公式可得结论； （3）分和列方程求解即可； （4）根据题意得，结合的情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，，则； 当时，点P在上，， 综上， （2）解：∵在长方形中，，， ∴设， ∵点在上运动，， ∴， ∴点的坐标为 ∵点在上运动，则， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得； （3）解：①时，当点P在上时，， 解得； ②当时，， 解得； 综上，可取或； （4）解：∵是点关于点的中心对称点， ∴点是的中点， ∴， 又 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，点P在上，， ， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 【考点11】新定义问题 例11 .新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． (1)【初步尝试】如图，在中，，，，，点P为上一点，当_____时，与为积等三角形． (2)【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． (3)【综合应用】如图，在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）利用三角形中线的性质及积等三角形的定义即可解决问题； （2）过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作，交延长线于点H，先证明，得到，依据三角形的面积公式可知，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【详解】（1）解：如图1，中，     ∴； ∵与不全等，与为积等三角形， ∴ ∴ 故答案为：； （2）如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵线段长为正偶数 ∴. （3）如图，过点作，交的延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴ ∵；     ∴ ∵是直角三角形，为钝角三角形， ∴和为不全等， ∴和为积等三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的中线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的分类等知识．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形解决问题． 变式1.定义：如图1，在和中，，当时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高线叫做的“顶心距”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图2，图3中，与互为“顶补等腰三角形”，是“顶心距”． ①如图2，当时，与之间的数量关系为________； ②如图3，当，时，的长为________． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明． (3)拓展应用：如图4，在四边形中，，，，，，在四边形的内部找到点，使得与互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题． ①请用尺规作图，在图中作出点的位置； ②直接写出的“顶心距”的长为________． 【答案】(1)①；② (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得，由全等三角形性质可得BC=DE，即可求解； ②由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （2）过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由全等三角形的性质可得，则可得结论． （3）①如图4中，连接，作的中点，即可求解； ②连接，作于．先证明，都是等边三角形，进一步即可证明与互为“顶补等腰三角形”，再根据直角三角形的性质求出的“顶心距”即可． 【详解】（1）①，； ， 为等腰直角三角形 在与中， ， ． ② ，； 为等边三角形 即： ，， ． （2）猜想：结论． 理由如下：如图，过点作于 ， ， 同理可得：， ， ， ， 在与中， ， （3）①如图所示， ②如图4中，连接,作于． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和是“顶补等腰三角形”， 在中，∵，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质,含度角的直角三角形的性质，理解题意，运用“顶补等腰三角形”的定义解决问题是本题的关键． 变式2. 在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在第一象限，作射线．给出如下定义：如果点在的内部，过点作于点，于点，那么称与的长度之和为点关于的“内距离”，记作，即． (1)如图1，若点在的平分线上，则___________，___________，___________； (2)如图2，若，点（其中）满足，求的值； (3)若，点在的内部，用含，的式子表示 （直接写出结果）． 【答案】(1)2；2；4 (2) (3) 【分析】（1）由角平分线的性质得，即可得到； （2）过点C作轴于点M，过点C作于点N，得到，，是等腰直角三角形，由得到，由勾股定理得到，则，可得到，解方程即可得到a的值； （3）过点Q作轴于点C，交于点D，则四边形是矩形，证得，即可得到，由勾股定理得到，则，同理可得，则,得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在的平分线上， ∴， ， 故答案是：2；2；4． （2）解：过点C作轴于点M，过点C作于点N，    ∵点（其中）， ∴，，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得：； （3）解：过点Q作轴于点C，交于点D，则四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，坐标与图形，添加合适的辅助线构造直角三角形，是解题的关键． 【考点12 】无刻度尺作图 例12. 图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求；理由如下： ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）如图3中，即为所求（答案不唯一）． 变式1.如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A、B、C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图中，画出的中线； (2)在图中，画的高； (3)在图中，在上找一点G，使得； (4)在图中，F是线段上一点，在线段上画点H，使得线段平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查网格作图，（1）如图，取与网格线的交点D，连，即为中线； （2）如图，取格点Q，连交于E，则为的高线； （3）如图，取格点M，则为等腰直角三角形，连交于G； （4）由面积公式，的面积为6，则的面积为3，如图，取与格线的交点H，连． 【详解】（1）解：如图，中线即为所求． 连接，交于点D， ∵四边形是矩形， ∴点D是的中点， ∴是的中线． （2）解：如图，高即为所求． 取格点Q，连接，交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：如图，点G即为所求． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴． （4）解：如图，线段即为所求． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】 变式2.如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务．保留作图痕迹． (1)如图1，作的中线和高； (2)如图2，在上找到一点E，使得； (3)如图2，P为上一点，在上找一点Q，使得． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题考查了网格中的几何作图，包括三角形中线与高线的作图原理，角度相等的作图原理及线段相等的作图原理． （1）取中点N，过点E作的平行线，交于点N，交于点M，连接即为中线，以点C向外作，，连接交于点H，即为的高线； （2）以点C向外作，取的中点F，连接，过点B作的平行线，交于点E，点E即为所求； （3）取中点F，使，连接，在，上分别取点M，N，使得，连接，与交点G，连接，交于点O，连接并延长交于点Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，中线和高为所求： 证明：取中点N，过点E作的平行线，交于点N，交于点M，连接，过点C作的平行线，交于点K，使得， 在和中， ， ∴， ∴， 即点M为中点，连接即为中线， 由网格图可知，，， ∴以点C向外作，，连接交于点H， 易证得：， ∴，， ∵， ∴， ∴，即为的高线． （2）解：如图所示，点E即为所求： 证明：由网格图可知，，， ∴以点C向外作，取的中点F，连接， 易证得：， ∴， 过点B作的平行线，交于点E， ∴， ∴， 即点E为所求． （3）解：如图所示，点Q即为所求： 证明：取中点F，使，连接， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即为的角平分线， 在，上分别取点M，N，连接，与交点G， 根据网格图特征及勾股定理可得， ，， ∴， ∴是等腰三角形， 易证得：， ∴是等腰的中垂线， 连接，交于点O，连接并延长交于点Q， 由线段垂直平分线性质可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点Q为所求． 1．（2025·海南·中考真题）已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识； 根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解. 【详解】解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 4．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 6．（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为 ． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 7．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 8．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 9．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 10．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $